专题4.7 三角函数的图像及性质2（周期性、奇偶性、对称性）讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦三角函数周期性、奇偶性、对称性三大高考核心考点，按“定义-公式-图像应用”逻辑梳理知识，通过考点分块讲解、方法归纳及真题训练，构建系统复习框架，助力学生突破性质综合应用难点。 讲义采用“问题驱动-方法迁移”教学策略，如对称性教学中用整体代换推导对称轴方程，培养数学思维与符号表达能力。设置基础与综合分层练习，结合高考真题演练，确保高效复习，为教师把控节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

专题4.7三角函数的图像及性质2（周期性、奇偶性、对称性） 知识梳理 1.周期的计算方法： （1）.基本公式：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为求解 （2）图像法：含绝对值。 （3）定义法：若，则为周期 2.奇偶性的判断方法： 与三角函数奇偶性相关的结论 三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．常见的结论有： （1）若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． （2）若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)． （3）若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． 3.三角函数图象的对称轴和对称中心的求解思路和方法 (1)思路：函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴和对称中心可结合y＝sin x图象的对称轴和对称中心求解． (2)方法：利用整体代换的方法求解，令ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z，即对称轴方程；令ωx＋φ＝kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z，即对称中心的横坐标(纵坐标为0)．对于y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)，可以利用类似方法求解(注意y＝Atan(ωx＋φ)的图象无对称轴)． 考点一 三角函数的周期性 【例1】下列函数中，最小正周期为的函数是（   ） A． B． C． D． 跟踪训练 1.(25-26高三上全国阶段练习)函数的最小正周期是( ) A． B． C． D． 2.函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为（    ） A． B． C． D． 3.（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 4．(2024·四川成都·模拟)函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 考点二 三角函数的奇偶性 【例2】函数f(x)＝2cos2－1是(　　) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 跟踪训练 1．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是(　　) A．y＝sin　　　　 B．y＝cos C．y＝sin 2x＋cos 2x D．y＝sin x＋cos x 2.函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 3.已知函数y＝2sin(ωx＋θ)(0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y＝2的某两个交点的横坐标分别为x1，x2，|x2－x1|的最小值为π，则(　　) A．ω＝2，θ＝　　　　　　 B．ω＝，θ＝ C．ω＝，θ＝ D．ω＝2，θ＝ 4．（2024·四川·模拟预测）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 考点三　三角函数的对称性 【例3】函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，它的最小正周期为π，则函数f(x)图象的一个对称中心是(　　) A． B． C． D． 跟踪训练 1.已知函数的最小正周期为，则图象的对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 2.已知函数的图象关于点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3.已知函数f(x)＝|sin x||cos x|，则下列说法错误的是(　　) A．f(x)的图象关于直线x＝对称 B．f(x)的周期为 C．(π，0)是f(x)的一个对称中心 D．f(x)在区间上单调递减 4．（2025·全国一卷·高考真题）若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 课后作业 基础题组练 1．函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为(　　) A． B． C．π D．2π 2．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是(　　) A．y＝sin　　　　 B．y＝cos C．y＝sin 2x＋cos 2x D．y＝sin x＋cos x 3．设函数f(x)＝sin的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则(　　) A．f(x)在上单调递增 B．f(x)在上单调递减 C．f(x)在上单调递减 D．f(x)在上单调递增 4．f(x)＝tan x＋sin x＋1，若f(b)＝2，则f(－b)＝(　　) A．0 B．3 C．－1 D．－2 5．若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝(　　) A．2 B． C．1 D． 6.已知函数f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象(　　) A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝对称 7．若是函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx图象的一个对称中心，则ω的一个取值是(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 8．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 9．若函数y＝cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为________． 10．在函数①y＝cos|2x|；②y＝|cos 2x|；③y＝cos；④y＝tan 2x中，最小正周期为π的所有函数的序号为________． 11．已知函数f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则函数f(x)的最小正周期为________． 12．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π. (1)求当f(x)为偶函数时φ的值；(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间． 综合提升练 13．(2024·山东泰安·模拟预测)已知函数，且是偶函数，则实数( ) A． B． C． D．2 14.(2024·陕西商洛·一模)已知函数，且是奇函数，则( ) A． B． C． D． 15.(2025·天津北辰·三模)记为中的较大值，则关于函数有如下四个命题：①的最小正周期为；②的图象关于直线对称；③的值域为； ④在区间上单调递增. 其中真命题的个数为( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16.(多选 2025·四川成都·三模、多选)已知函数，则( ) A．的最小正周期为 B．是奇函数 C．曲线关于直线对称 D．在上单调递减 17.(2025·广东·一模)已知函数在区间上单调递减，且和分别是函数图象的对称轴和对称中心，则( ) A．1 B． C． D． 18.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象经过点(0，1)，且关于直线x＝对称，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)在上是减函数 B．若x＝x0是f(x)图象的对称轴，则一定有f′(x0)≠0 C．f(x)≥1的解集是，k∈Z D．f(x)图象的一个对称中心是 19．(多选)已知函数f(x)＝，则下列说法错误的是(　　) A．f(x)的周期是 B．f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0} C．直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴 D．f(x)的单调递减区间是，k∈Z 20.已知函数f(x)＝sin＋，ω>0，x∈R，且f(α)＝－，f(β)＝.若|α－β|的最小值为，则f＝________，函数f(x)的单调递增区间为________． 21.(2025·江西·模拟预测)定义：闭区间[a，b]的长度为，已知函数同时满足以下3个条件：①在任意一个区间长度为的闭区间内，都不存在，使得； ②；③是函数图象的一个对称中心，则实数的最大值为 . 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.7三角函数的图像及性质2（周期性、奇偶性、对称性） 知识梳理 1.周期的计算方法： （1）.基本公式：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为求解 （2）图像法：含绝对值。 （3）定义法：若，则为周期 2.奇偶性的判断方法： 与三角函数奇偶性相关的结论 三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．常见的结论有： （1）若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． （2）若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)． （3）若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． 3.三角函数图象的对称轴和对称中心的求解思路和方法 (1)思路：函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴和对称中心可结合y＝sin x图象的对称轴和对称中心求解． (2)方法：利用整体代换的方法求解，令ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z，即对称轴方程；令ωx＋φ＝kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z，即对称中心的横坐标(纵坐标为0)．对于y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)，可以利用类似方法求解(注意y＝Atan(ωx＋φ)的图象无对称轴)． 考点一 三角函数的周期性 【例1】下列函数中，最小正周期为的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于选项A，利用定义法， ，故A不符合题意． 对于选项B，作出函数的图象，由图可知， 函数的最小正周期为，故选项B符合题意． 对于选项C，根据公式法，的最小正周期为，故选项C不符合题意． 对于选项D，依题可得函数，其图象如图所示． 由图可知，函数不是周期函数，故选项D不符合题意． 故选：B 跟踪训练 1.(25-26高三上全国阶段练习)函数的最小正周期是( ) A． B． C． D． 【答案】D【解】利用周期公式可得． 2.函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 由正弦函数的性质知，相邻两条对称轴之间的距离即为半个周期，而， 所以函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为. 故选：C． 3.（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【详解】因为函数的最小正周期为，则，所以， 即，当时，， 所以当，即时， 故选：D 4．(2024·四川成都·模拟)函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，又，可得，即，且、，故.故选：C. 考点二 三角函数的奇偶性 【例2】函数f(x)＝2cos2－1是(　　) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【解析】因为f(x)＝2cos2－1＝cos＝cos＝sin 2x. 所以T＝＝π，f(x)＝sin 2x是奇函数． 故函数f(x)是最小正周期为π的奇函数．A 跟踪训练 1．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是(　　) A．y＝sin　　　　 B．y＝cos C．y＝sin 2x＋cos 2x D．y＝sin x＋cos x 解析：选B．y＝sin＝cos 2x是偶函数，不符合题意；y＝cos＝－sin 2x是T＝π的奇函数，符合题意；同理C，D均不是奇函数． 2.函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】D 【详解】， 所以函数的最小正周期为， 又，所以为偶函数. 故选：D. 3.已知函数y＝2sin(ωx＋θ)(0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y＝2的某两个交点的横坐标分别为x1，x2，|x2－x1|的最小值为π，则(　　) A．ω＝2，θ＝　　　　　　 B．ω＝，θ＝ C．ω＝，θ＝ D．ω＝2，θ＝ 【解析】　因为函数y＝2sin(ωx＋θ)的最大值为2，且其图象与直线y＝2的某两个交点的横坐标分别为x1，x2，|x2－x1|的最小值为π，所以函数y＝2sin(ωx＋θ)的最小正周期是π. 由＝π得ω＝2. 因为函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数，所以θ＝＋kπ，k∈Z. 又0＜θ＜π，所以θ＝，故选A． 4．（2024·四川·模拟预测）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，显然它定义域关于原点对称， 且，所以为奇函数， ，则， 所以，.故选：C 考点三　三角函数的对称性 【例3】函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，它的最小正周期为π，则函数f(x)图象的一个对称中心是(　　) A． B． C． D． 【解析】　由题意可得＝π，所以ω＝2， 可得f(x)＝Asin(2x＋φ)，再由函数图象关于直线x＝对称，故f＝Asin＝±A， 故可取φ＝－.故函数f(x)＝Asin，令2x－＝kπ，k∈Z， 可得x＝＋，k∈Z，故函数的对称中心为，k∈Z. 所以函数f(x)图象的一个对称中心是.【答案】　B 跟踪训练 1.已知函数的最小正周期为，则图象的对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知,则，可得， 根据余弦函数对称轴方程得，解得得． 故选：B. 2.已知函数的图象关于点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得， 则，解得. 因为，所以时，取得最小值. 故选：D. 3.已知函数f(x)＝|sin x||cos x|，则下列说法错误的是(　　) A．f(x)的图象关于直线x＝对称 B．f(x)的周期为 C．(π，0)是f(x)的一个对称中心 D．f(x)在区间上单调递减 解析：选C．f(x)＝|sin x||cos x|＝|sin xcos x|＝·|sin 2x|，由图象知，f(x)的图象关于直线x＝对称，故A正确；函数周期T＝×＝，故B正确；，由图象知(π，0)不是f(x)的一个对称中心，故C错误；当x∈时，2x∈，此时sin 2x＞0，且sin 2x为减函数，故D正确． 4．（2025·全国一卷·高考真题）若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是， 即， 又，则时最小，最小值是， 即. 故选：B 课后作业 基础题组练 1．函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为(　　) A． B． C．π D．2π 解析：选C．因为y＝2＝2sin，所以T＝＝π. 2．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是(　　) A．y＝sin　　　　 B．y＝cos C．y＝sin 2x＋cos 2x D．y＝sin x＋cos x 解析：选B．y＝sin＝cos 2x是偶函数，不符合题意；y＝cos＝－sin 2x是T＝π的奇函数，符合题意；同理C，D均不是奇函数． 3．设函数f(x)＝sin的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则(　　) A．f(x)在上单调递增 B．f(x)在上单调递减 C．f(x)在上单调递减 D．f(x)在上单调递增 解析：选A．f(x)＝sin，因为f(x)的最小正周期为π，所以ω＝2，所以f(x)＝sin.f(－x)＝f(x)，即f(x)为偶函数，所以φ－＝kπ＋(k∈Z)，所以φ＝kπ＋(k∈Z)．因为|φ|＜，所以φ＝－，所以f(x)＝－cos 2x，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，故选A． 4．f(x)＝tan x＋sin x＋1，若f(b)＝2，则f(－b)＝(　　) A．0 B．3 C．－1 D．－2 解析：选A．因为f(b)＝tan b＋sin b＋1＝2， 即tan b＋sin b＝1. 所以f(－b)＝tan(－b)＋sin(－b)＋1 ＝－(tan b＋sin b)＋1＝0. 5．若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝(　　) A．2 B． C．1 D． 解析：选A．依题意得函数f(x)的最小正周期T＝＝2×(－)＝π，解得ω＝2，选A． 6.已知函数f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象(　　) A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝对称 解析：选B．函数f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期是4π，而T＝＝4π，所以ω＝，即f(x)＝2sin.函数f(x)的对称轴为＋＝＋kπ，解得x＝π＋2kπ(k∈Z)；令k＝0得x＝π.函数f(x)的对称中心的横坐标为＋＝kπ，解得x＝2kπ－π(k∈Z)，令k＝1得f(x)的一个对称中心. 7．若是函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx图象的一个对称中心，则ω的一个取值是(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：选C．因为f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin， 由题意，知f＝sin＝0，所以＋＝kπ(k∈Z)，即ω＝8k－2(k∈Z)，当k＝1时，ω＝6. 8．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案. 【详解】因为在区间单调递增， 所以，且，则，， 当时，取得最小值，则，， 则，，不妨取，则， 则， 故选：D. 9．若函数y＝cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为________． 解析：由题意知＋＝kπ＋(k∈Z)⇒ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N*，所以ωmin＝2. 答案：2 10．在函数①y＝cos|2x|；②y＝|cos 2x|；③y＝cos；④y＝tan 2x中，最小正周期为π的所有函数的序号为________． 解析：①y＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期为π；②y＝cos 2x，最小正周期为π，由图象知y＝|cos 2x|的最小正周期为；③y＝cos的最小正周期T＝＝π；④y＝tan 2x的最小正周期T＝.因此①③的最小正周期为π. 答案：①③ 11．已知函数f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则函数f(x)的最小正周期为________． 解析：由函数f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，可得ωπ－＝kπ＋，k∈Z， 所以ω＝k＋，又ω∈(1，2)，所以ω＝，从而得函数f(x)的最小正周期为＝. 答案： 12．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π. (1)求当f(x)为偶函数时φ的值；(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间． 解：由f(x)的最小正周期为π，则T＝＝π，所以ω＝2， 所以f(x)＝sin(2x＋φ)． (1)当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)． 所以sin(2x＋φ)＝sin(－2x＋φ)， 展开整理得sin 2xcos φ＝0， 已知上式对∀x∈R都成立， 所以cos φ＝0.因为0<φ<，所以φ＝. (2)因为f＝，所以sin＝， 即＋φ＝＋2kπ或＋φ＝＋2kπ(k∈Z)， 故φ＝2kπ或φ＝＋2kπ(k∈Z)， 又因为0<φ<，所以φ＝， 即f(x)＝sin， 由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)得 kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， 故f(x)的单调递增区间为(k∈Z)． 综合提升练 13．(2024·山东泰安·模拟预测)已知函数，且是偶函数，则实数( ) A． B． C． D．2 【答案】B【难度】0.85【知识点】辅助角公式、由正弦(型)函数的奇偶性求参数、特殊角的三角函数值 【分析】利用辅助角公式得到，，从而得到的表达式，根据函数为偶函数得到方程，求出，求出答案. 【解】，其中，， 为偶函数，故，解得，则.故选：B 14.(2024·陕西商洛·一模)已知函数，且是奇函数，则( ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】辅助角公式、由正弦(型)函数的奇偶性求参数 【分析】分析可知，可求出的值，然后利用辅助角公式化简函数的解析式，验证为奇函数即可. 【解】因为函数为奇函数，即，且函数的定义域为， 所以，，可得，解得， 所以，，则为奇函数，合乎题意. 因此，.故选：A. 15.(2025·天津北辰·三模)记为中的较大值，则关于函数有如下四个命题：①的最小正周期为；②的图象关于直线对称；③的值域为； ④在区间上单调递增. 其中真命题的个数为( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B【难度】0.65【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦(型)函数的最小正周期、求正弦(型)函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性 【分析】利用辅助角公式化简函数，画出函数的图象，利用图象判断各个命题. 【解】设，， 则， 函数的图象如下所示： 对于①，由图知，函数的最小正周期为，①正确； 对于②，由图知，为函数的对称轴，②正确； 对于③，，由图知，函数的值域为，③错误； 对于④，由图知，函数在区间上单调递减，④错误. 所以真命题的个数为2个.故选：B 16.(多选2025·四川成都·三模、多选)已知函数，则( ) A．的最小正周期为 B．是奇函数 C．曲线关于直线对称 D．在上单调递减 【答案】ACD【难度】0.65【知识点】判断或证明函数的对称性、求sinx的函数的单调性、求正弦(型)函数的最小正周期、二倍角的余弦公式【分析】利用周期函数的定义判断A；利用奇函数定义判断B；利用对称性定义判断C；由复合函数的单调性即可判断D. 【解】对于A，设(是不为0的常数)是的周期，则对于，有， 可得，即，解得或. 由，可得， 若，因，即不是的周期， 又由，得， 若，因，故不是的周期， 同理不是的周期， 又因，因此函数的最小正周期为，A正确； 对于B，，，函数不是奇函数，B错误； 对于C，， 即曲线关于直线对称，C正确； 对于D，， 函数在上单调递增，且， 函数在上单调递减， 因此在上单调递减，D正确.故选：ACD 17.(2025·广东·一模)已知函数在区间上单调递减，且和分别是函数图象的对称轴和对称中心，则( ) A．1 B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、求正弦(型)函数的最小正周期、利用正弦函数的对称性求参数、由图象确定正(余)弦型函数解析式【分析】利用正弦型函数图像的单调性和对称性，通过最小正周期求出参数和，得到函数的解析式，代入求值即可. 【解】由题意，函数的最小正周期满足，即所以. 因为是函数图像的对称轴，所以， 解得，又因为，所以. 所以，则.故选：B. 18.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象经过点(0，1)，且关于直线x＝对称，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)在上是减函数 B．若x＝x0是f(x)图象的对称轴，则一定有f′(x0)≠0 C．f(x)≥1的解集是，k∈Z D．f(x)图象的一个对称中心是 解析：选D．由f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象经过点(0，1)，得sin φ＝，又|φ|＜，所以φ＝，则f(x)＝2sin.因为f(x)的图象关于直线x＝对称，所以存在m∈Z使得ω＋＝mπ＋，得ω＝＋(m∈Z)，又0＜ω＜1，所以ω＝，则f(x)＝2sin.令2nπ＋≤x＋≤2nπ＋，n∈Z，得4nπ＋≤x≤4nπ＋，n∈Z，故A错误；若x＝x0是f(x)图象的对称轴，则f(x)在x＝x0处取得极值，所以一定有f′(x0)＝0，故B错误；由f(x)≥1得4kπ≤x≤4kπ＋，k∈Z，故C错误；因为f＝0，所以是其图象的一个对称中心，故D正确．选D． 19．(多选)已知函数f(x)＝，则下列说法错误的是(　　) A．f(x)的周期是 B．f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0} C．直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴 D．f(x)的单调递减区间是，k∈Z 解析：选ABC．函数f(x)＝的周期T＝＝2π，故A错误；函数f(x)＝的值域为[0，＋∞)，故B错误； 当x＝时，x－＝≠，k∈Z，即x＝不是f(x)图象的对称轴，故C错误； 令kπ－<x－≤kπ，k∈Z，解得2kπ－<x≤2kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z，故D正确．故选ABC． 20.已知函数f(x)＝sin＋，ω>0，x∈R，且f(α)＝－，f(β)＝.若|α－β|的最小值为，则f＝________，函数f(x)的单调递增区间为________． 解析：函数f(x)＝sin＋，ω>0，x∈R，由f(α)＝－，f(β)＝，且|α－β|的最小值为，得＝，即T＝3π＝，所以ω＝.所以f(x)＝sin＋.则f＝sin＋＝.由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋3kπ≤x≤π＋3kπ，k∈Z，即函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z. 答案：　，k∈Z 21.(2025·江西·模拟预测)定义：闭区间[a，b]的长度为，已知函数同时满足以下3个条件：①在任意一个区间长度为的闭区间内，都不存在，使得； ②；③是函数图象的一个对称中心，则实数的最大值为 . 【答案】【难度】0.4【知识点】利用正弦函数的对称性求参数 【分析】利用①得出，解得.数形结合，利用②中分析出取得最小值时所在的位置，最后利用③中解出的值,求出 【解】当时，说明与一个取最小值，一个取最大值， 而要想在一个闭区间内能同时取得最小值和最大值，闭区间最少要为半个周期， 因此，若闭区间的长度小于半个周期，则一定不能同时取得最小值和最大值， 所以，解得，所以.不妨设，如图所示：    依次讨论对应为点C，A，D，E四种情况，且， 若对应为点(或点之后)，则，即，不合题意； 若求的最大值，即的最小值，即与之间相位跨度最大， 若对应为点，则直线为图象的对称轴， 又是函数图象的一个对称中心，且， 则，解得，则.所以取值的最大值为.故答案为： 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $