专题18 函数模型与二分法 期末讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题18 高一上函数应用突围·函数模型与二分法（期末专项） 【人教A版必修第一册】 【知识导航】 知识点1　函数的零点与方程的解（人教A版必修第一册 4．5．1） 对于函数 ，把使 的实数 叫做函数 的零点．于是：方程 有实数解 函数 有零点 函数 的图象与 轴有公共点，公共点的横坐标就是该实数解． 函数零点存在定理：如果函数 在区间 上的图象是一条连续不断的曲线，且有 ，那么函数 在区间 内至少有一个零点，即存在 使 ． 注意：定理只保证「至少有一个」；要说明「只有一个」，还需结合函数的单调性（教材 4．5．1 例 1 的说明）．另外 时不能断定没有零点． 知识点2　二分法（4．5．2） 对于在 上图象连续不断且 的函数 ，通过不断把零点所在区间一分为二，使区间两端逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．给定精确度 ，一般步骤： 1．确定初始区间 ，验证 ；2．求区间 的中点 ；3．计算 ：若 则 就是零点；若 则令 ；若 则令 ；4．若 ，取 （或 ）为零点近似值；否则重复第 2～4 步． 知识点3　常见函数模型（3．4 函数的应用（一）） 一次函数模型 （）；二次函数模型 （）；幂函数模型 （）；分段函数模型（定义域是各段自变量范围的并集，值域逐段求出后合并）． 解决实际问题的一般步骤：审题 → 建模 → 求模 → 还原，并检验所得数学解对实际问题的合理性；特别要注意由实际意义确定的自变量取值范围． 知识点4　指数、对数函数模型（4．5．3） 教材给出的人口增长模型 （ 为 时的人口数， 为增长率）；指数函数 （）随 增大增长越来越快，对数函数 （）增长越来越慢，幂函数 （）的增长介于两者之间：一般而言，当 足够大时，指数函数增长快于幂函数，幂函数快于对数函数（教材 4．5．3 的「函数模型的应用」与探究）． 知识点5　解函数应用题的边界（3．4、4．5．3） 求利润、面积、路程等实际量的最值，先写出函数解析式并注明定义域，再用配方法（二次函数）或函数单调性求最值；结果必须回到实际情境中解释，舍去不合实际意义的解． 【考点与教材出处对照】 1．零点与方程解的关系——4．5．1；2．零点存在定理与零点个数——4．5．1；3．二分法步骤与精确度——4．5．2；4．一次/二次/幂/分段函数模型——3．4；5．指数对数模型与增长差异、建模四步——4．5．3． 【易错清单】 1．「至少」不等于「恰好」： 只能推出至少一个零点；要说唯一，必须补上单调性． 2．逆命题不成立： 不能推出区间内无零点，例如不变号零点或偶数个零点． 3．精确度看区间长度：二分法停止条件是 ，不是 ；此时区间内任意一点都可作为近似值． 4．中点算完要判符号：每步都要用 、 的符号决定保留哪半区间，不能凭中点函数值绝对值大小猜． 5．定义域来自实际意义：人数、件数取非负整数，长度、时间取正数；求出的数学最值若不在定义域内要重新在边界上比较． 6．本章边界：本专题只用函数性质与方程知识，不用导数求最值，也不用数列或后续章节的求和方法． 【类型1　函数零点与方程的解】 1．求函数 的零点，并指出方程 的实数解． 【答案】零点为 与 ；方程的实数解为 或 ． 【分析】令 ，解一元二次方程． 【详解】由 得 或 ． 故函数有两个零点 ，它们也就是方程的两个实数解． 2．已知函数 ，验证 ，并说明方程 在区间 内至少有一个实数解． 【答案】；由零点存在定理知 内至少有一个实数解． 【分析】计算端点函数值，再引用零点存在定理，并说明函数图象连续不断． 【详解】，，故 ． 是多项式函数，图象在 上连续不断，由零点存在定理，存在 使 ． 即方程 在 内至少有一个实数解． 3．已知 ，判断方程 的实数解个数并说明理由． 【答案】恰有一个实数解． 【分析】先用零点存在定理说明存在，再用单调性说明唯一． 【详解】令 ，则 ，，故 内至少有一个零点． 与 在 上都是增函数，所以 在 上是增函数，至多有一个零点． 综上，方程恰有一个实数解． 4．函数 的零点个数是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【分析】令 解方程，或看判别式． 【详解】由 得零点 与 ，共 个，选 B． 5．若函数 在 上图象连续不断，且 ，则（　　） A． 在 内恰有一个零点 B． 在 内没有零点 C． 在 上单调递增 D． 在 内至少有一个零点 【答案】D 【分析】零点存在定理只保证存在性，不保证唯一性． 【详解】由零点存在定理得 内至少有一个零点，选 D；没有单调性条件，不能断定恰有一个． 6．若函数 恰有一个零点，则 ____________（写出一个值即可）． 【答案】 【分析】一元二次方程有两个相等实根时判别式为零． 【详解】由 得 ，取 时 恰有一个零点 ． 7．函数 的零点是（　　） A． 和 　　B． 和 　　C． 和 　　D． 和 【答案】A 【分析】零点是使 的实数 ，不是图象上的点；用因式分解求根． 【详解】由 得 或 ，故零点是 和 ，而不是坐标点 、．故选 A． 8．函数 的零点是____________． 【答案】 【分析】令 ，把 写成 的幂． 【详解】由 得 ，故 ，零点为 ． 【方法小结】　零点问题一律先化成 ；用零点存在定理时先算端点值验证异号、再说明连续，最后才下结论． 【类型2　二分法求方程的近似解】 9．设 ，已知 ，．用二分法求方程 在区间 内精确度为 的近似解（取区间中点后计算一次即可）． 【答案】近似解可取 ． 【分析】取中点 算 ，判定新区间，再看区间长度是否小于精确度． 【详解】取 的中点 ，． 因 ，零点在 内；此时 ，达到精确度要求． 区间内任意一点都可作近似值，取 ． 10．设 ，参考数据：，，，，，．用二分法求 精确度为 的近似解． 【答案】近似解可取 ． 【分析】按教材 4．5．2 的步骤逐次缩小区间，直到区间长度小于 ． 【详解】，零点在 ； 得 ； 得 ． 得 ； 得 ． 此时 ，零点所在区间内任一点都可作近似解，这里取端点 ． 11．用二分法求函数 的零点，已知 ，，取中点 算得 ；再取新区间中点算得 ．若精确度为 ，写出此时零点所在的区间并给出一个近似值． 【答案】零点在 内，近似值可取 （或 ）． 【分析】每步用端点与中点函数值的符号决定保留哪一半． 【详解】由 、 得零点在 ；由 、 得零点在 ． 区间长度 ，满足精确度，故区间内任一点均可作近似值，取 ． 12．用二分法求函数零点近似值时，若初始区间为 ，精确度为 ，则至少需要把区间平分的次数是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【分析】每次平分后区间长度变为原来的一半，要求 ． 【详解】初始长度 ，平分 次后长 ；，，故至少 次，选 C． 13．用二分法求方程近似解，当零点所在区间缩小为 时，若精确度为 ，则该区间内任意一点都可作为近似值，因为区间长度____________． 【答案】小于 【分析】二分法的停止条件是区间长度小于精确度 ． 【详解】，满足精确度，故区间内任意一点都可作为近似值． 14．用二分法求 在区间 内的近似解，已知 、，取中点 后算得 ，则下一步应在下列哪个区间内继续求解（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【分析】零点所在区间的两个端点函数值必须异号． 【详解】 而 ，两端异号，由零点存在定理知零点落在 内； 两端同号，应舍去．故选 B． 15．用二分法求方程的近似解，初始区间长度为 ，若要求最终区间长度不超过 ，则至少需要平分____________次． 【答案】 【分析】每平分一次区间长度减半，把 写成分数幂． 【详解】平分 次后区间长度为 ．由 知 时恰好达到要求，故至少平分 次． 【方法小结】　二分法只适用于变号零点；每步务必写出中点函数值的符号，停止条件是区间长度小于精确度，不是函数值足够小． 【类型3　一次、二次与幂函数模型】 16．某商品每件进价 元，售价 元时每天可卖 件；售价每提高 元，每天少卖 件．设售价为 元（），写出每天利润 关于 的函数解析式，并求利润最大时的售价． 【答案】，售价 元时利润最大． 【分析】销量是 ，利润＝(售价－进价)×销量． 【详解】销量为 ，故 ． 配方得 ；因 ，故 时利润最大为 元． 17．用长为 的篱笆围一个矩形菜园，一边靠墙（墙足够长，靠墙的一边不用篱笆）．设垂直于墙的边长为 ，写出菜园面积 关于 的函数并求最大面积． 【答案】（），最大面积 ． 【分析】平行于墙的边长为 ，面积＝两边之积． 【详解】由篱笆总长得平行于墙的边为 ，故 ，定义域 ． 配方 ，故 时面积最大为 ． 18．某工厂生产某产品，固定成本为 万元，每生产 千件另需投入 万元；销售收入 （万元）与产量 （千件）满足 （）．写出利润 关于 的解析式，并求最大利润． 【答案】（），最大利润 万元． 【分析】利润＝销售收入－固定成本－可变成本． 【详解】总成本为 ，故 ． 配方 ；，故最大利润 万元． 19．某物体做匀速运动，路程 （）与时间 （）满足 ，则前 小时内的平均速度是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【分析】平均速度＝路程增量除以时间增量，不是 ． 【详解】，，故平均速度 ，选 D． 20．某商品售价 元时销量 件，销售收入为 ，则使 最大的售价是（　　） A． 元　　B． 元　　C． 元　　D． 元 【答案】A 【分析】把 写成二次函数再求顶点横坐标． 【详解】，故 时最大，选 A． 21．用 长的绳子围成一个矩形，矩形面积的最大值是____________． 【答案】 【分析】设一边长 ，另一边 ，面积 在 时取最大． 【详解】，故最大面积为 ． 22．某物体运动时位移 （单位 ）与时间 （单位 ）满足 ，则 时的位移为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【分析】把给定的时刻代入函数解析式求值． 【详解】把 代入得 ，故位移为 ．故选 C． 23．已知幂函数 的图象经过点 ，则 ____________． 【答案】 【分析】把点的坐标代入解析式，解出指数． 【详解】把 代入得 ；又 ，故 ． 【方法小结】　实际最值题先把数量关系写成解析式并注明定义域，再用配方法（二次）或单调性求最值，最后回到实际情境检验． 【类型4　指数、对数函数模型与分段函数】 24．某物种初始数量为 ，年增长模型为 （ 为年数）．(1) 求 时的数量；(2) 若取 ，估计 时的数量． 【答案】(1) ；(2) 约 ． 【分析】代入 计算，指数部分按题给近似值． 【详解】(1) ． (2) ． 25．某城市人口按模型 增长，已知 时人口为 万， 时为 万．(1) 求 ；(2) 写出 关于 的解析式． 【答案】，． 【分析】把两组数据代入模型，先定 再定 ． 【详解】由 时 得 ． 由 得 ，即 ；故 ． 26．某公司实行阶梯水费：月用水量不超过 吨时每吨 元，超过 吨的部分每吨 元．设月用水量为 吨（），写出水费 （元）关于 的分段函数解析式，并求 时的水费． 【答案】； 时 元． 【分析】分段处要保证函数连续：前 吨 元，超出部分按 元计． 【详解】当 时 ；当 时 ． 故 ．取 得 元． 27．当 足够大时，下列函数中增长最快的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【分析】指数函数（底大于 1）最终快于幂函数与一次函数，更快于对数函数． 【详解】按教材 4．5．3 的增长差异， 的指数函数增长越来越快，最终超过幂函数与一次函数；对数函数最慢，故选 C（）． 28．已知 ，当 从 增加到 时， 变为原来的____________倍． 【答案】 【分析】指数函数自变量增加 时函数值变为 倍． 【详解】，故变为原来的 倍． 29．某量初始为 ，每年比上一年增长 ，则 年后该量为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【分析】逐年乘以 ，属于指数增长模型． 【详解】每过一年该量变为原来的 倍， 年后为 ； 是线性增长，不符合「每年按上一年增长」的条件．故选 D． 30．已知 ，若 ，则 ____________． 【答案】 【分析】把 写成 的幂． 【详解】由 得 ． 【方法小结】　指数模型 先定初值 再定增长率 ；分段函数务必按分界点逐段写，并检查分界点处两段取值是否衔接． 【类型5　函数模型与零点的综合应用】 31．已知函数 （），参考数据 ，．说明方程 的实数解个数． 【答案】恰有一个实数解． 【分析】教材 4．5．1 例 1：先由零点存在定理得存在，再由增函数得唯一． 【详解】 在 上连续，且 ，故 内至少有一个零点． 与 在 上都是增函数，故 是增函数，至多一个零点． 因此方程恰有一个实数解． 32．某产品第 个月的月销量（万件）可用 （，）描述．(1) 求月销量最少的月份；(2) 说明该函数在区间 上的单调性变化． 【答案】(1) 第 个月最少；(2) 在 上递减、在 上递增． 【分析】二次函数开口向上，顶点横坐标为对称轴． 【详解】，对称轴 ，开口向上． 故 在 上单调递减，在 上单调递增； 时月销量最少，为 万件． 33．设函数 ．(1) 求 、；(2) 求方程 的所有实数解． 【答案】(1) ，；(2) 与 ． 【分析】分段函数求值要先判断自变量落在哪一段，解方程要逐段求解并检验． 【详解】(1) 用第一段：； 用第二段：． (2) 当 时 得 ，只有 满足 ． 当 时 得 ，满足 ．故解为 ． 34．函数 在区间 内零点的个数是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【分析】先求出全部零点，再看哪些落在开区间内． 【详解】，零点为 ，都在 内，共 个，选 A． 35．已知 是定义在 上的连续函数，且 ，则下列说法一定正确的是（　　） A． 在 内恰有一个零点 B． C． 在 上单调 D． 在 内至少有一个零点 【答案】D 【分析】零点存在定理只给存在性；零点未必是中点，也未必单调． 【详解】由零点存在定理， 内至少有一个零点，选 D；其余三项都不能由条件推出． 36．关于函数 ，下列说法正确的有（　　） A． 有两个零点 B．方程 的两根之和为 C． 在区间 内恰有一个零点 D． 的图象与 轴没有公共点 【答案】AB 【分析】先因式分解写出零点，再逐项判断． 【详解】，零点为 ，A 正确；两根之和 ，B 正确． 开区间 内不含端点 ，故没有零点，C 错误；图象与 轴有两个公共点，D 错误． 所以正确选项为 AB． 37．若函数 的两个零点都在 内，且两根之和为 ，则 ____________． 【答案】 【分析】由韦达定理两根之和为 ，再验证判别式与根的符号． 【详解】设两根为 ，则 ，故 ；此时 ，两根 均为正，符合条件． 38．函数 的零点所在的区间是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【分析】用零点存在定理，逐个计算整数端点处的函数值，找异号区间． 【详解】，，且 在 上连续，故零点落在 内．故选 A． 39．函数 在区间 内的零点个数为____________． 【答案】 【分析】端点异号保证零点存在，再用对称轴判断单调性说明唯一． 【详解】，，由零点存在定理知至少有一个零点；抛物线对称轴为 ，故 在 上单调递减，零点至多一个．所以在 内恰有 个零点． 【方法小结】　综合题先把实际情境转成函数，再联用零点存在定理、单调性、配方法与分段讨论；求出的解务必代回定义域与各段条件检查． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18 高一上函数应用突围·函数模型与二分法（期末专项） 【人教A版必修第一册】 【知识导航】 知识点1　函数的零点与方程的解（人教A版必修第一册 4．5．1） 对于函数 ，把使 的实数 叫做函数 的零点．于是：方程 有实数解 函数 有零点 函数 的图象与 轴有公共点，公共点的横坐标就是该实数解． 函数零点存在定理：如果函数 在区间 上的图象是一条连续不断的曲线，且有 ，那么函数 在区间 内至少有一个零点，即存在 使 ． 注意：定理只保证「至少有一个」；要说明「只有一个」，还需结合函数的单调性（教材 4．5．1 例 1 的说明）．另外 时不能断定没有零点． 知识点2　二分法（4．5．2） 对于在 上图象连续不断且 的函数 ，通过不断把零点所在区间一分为二，使区间两端逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．给定精确度 ，一般步骤： 1．确定初始区间 ，验证 ；2．求区间 的中点 ；3．计算 ：若 则 就是零点；若 则令 ；若 则令 ；4．若 ，取 （或 ）为零点近似值；否则重复第 2～4 步． 知识点3　常见函数模型（3．4 函数的应用（一）） 一次函数模型 （）；二次函数模型 （）；幂函数模型 （）；分段函数模型（定义域是各段自变量范围的并集，值域逐段求出后合并）． 解决实际问题的一般步骤：审题 → 建模 → 求模 → 还原，并检验所得数学解对实际问题的合理性；特别要注意由实际意义确定的自变量取值范围． 知识点4　指数、对数函数模型（4．5．3） 教材给出的人口增长模型 （ 为 时的人口数， 为增长率）；指数函数 （）随 增大增长越来越快，对数函数 （）增长越来越慢，幂函数 （）的增长介于两者之间：一般而言，当 足够大时，指数函数增长快于幂函数，幂函数快于对数函数（教材 4．5．3 的「函数模型的应用」与探究）． 知识点5　解函数应用题的边界（3．4、4．5．3） 求利润、面积、路程等实际量的最值，先写出函数解析式并注明定义域，再用配方法（二次函数）或函数单调性求最值；结果必须回到实际情境中解释，舍去不合实际意义的解． 【考点与教材出处对照】 1．零点与方程解的关系——4．5．1；2．零点存在定理与零点个数——4．5．1；3．二分法步骤与精确度——4．5．2；4．一次/二次/幂/分段函数模型——3．4；5．指数对数模型与增长差异、建模四步——4．5．3． 【易错清单】 1．「至少」不等于「恰好」： 只能推出至少一个零点；要说唯一，必须补上单调性． 2．逆命题不成立： 不能推出区间内无零点，例如不变号零点或偶数个零点． 3．精确度看区间长度：二分法停止条件是 ，不是 ；此时区间内任意一点都可作为近似值． 4．中点算完要判符号：每步都要用 、 的符号决定保留哪半区间，不能凭中点函数值绝对值大小猜． 5．定义域来自实际意义：人数、件数取非负整数，长度、时间取正数；求出的数学最值若不在定义域内要重新在边界上比较． 6．本章边界：本专题只用函数性质与方程知识，不用导数求最值，也不用数列或后续章节的求和方法． 【类型1　函数零点与方程的解】 1．求函数 的零点，并指出方程 的实数解． 2．已知函数 ，验证 ，并说明方程 在区间 内至少有一个实数解． 3．已知 ，判断方程 的实数解个数并说明理由． 4．函数 的零点个数是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 5．若函数 在 上图象连续不断，且 ，则（　　） A． 在 内恰有一个零点 B． 在 内没有零点 C． 在 上单调递增 D． 在 内至少有一个零点 6．若函数 恰有一个零点，则 ____________（写出一个值即可）． 7．函数 的零点是（　　） A． 和 　　B． 和 　　C． 和 　　D． 和 8．函数 的零点是____________． 【类型2　二分法求方程的近似解】 9．设 ，已知 ，．用二分法求方程 在区间 内精确度为 的近似解（取区间中点后计算一次即可）． 10．设 ，参考数据：，，，，，．用二分法求 精确度为 的近似解． 11．用二分法求函数 的零点，已知 ，，取中点 算得 ；再取新区间中点算得 ．若精确度为 ，写出此时零点所在的区间并给出一个近似值． 12．用二分法求函数零点近似值时，若初始区间为 ，精确度为 ，则至少需要把区间平分的次数是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 13．用二分法求方程近似解，当零点所在区间缩小为 时，若精确度为 ，则该区间内任意一点都可作为近似值，因为区间长度____________． 14．用二分法求 在区间 内的近似解，已知 、，取中点 后算得 ，则下一步应在下列哪个区间内继续求解（　　） A．　　B．　　C．　　D． 15．用二分法求方程的近似解，初始区间长度为 ，若要求最终区间长度不超过 ，则至少需要平分____________次． 【类型3　一次、二次与幂函数模型】 16．某商品每件进价 元，售价 元时每天可卖 件；售价每提高 元，每天少卖 件．设售价为 元（），写出每天利润 关于 的函数解析式，并求利润最大时的售价． 17．用长为 的篱笆围一个矩形菜园，一边靠墙（墙足够长，靠墙的一边不用篱笆）．设垂直于墙的边长为 ，写出菜园面积 关于 的函数并求最大面积． 18．某工厂生产某产品，固定成本为 万元，每生产 千件另需投入 万元；销售收入 （万元）与产量 （千件）满足 （）．写出利润 关于 的解析式，并求最大利润． 19．某物体做匀速运动，路程 （）与时间 （）满足 ，则前 小时内的平均速度是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 20．某商品售价 元时销量 件，销售收入为 ，则使 最大的售价是（　　） A． 元　　B． 元　　C． 元　　D． 元 21．用 长的绳子围成一个矩形，矩形面积的最大值是____________． 22．某物体运动时位移 （单位 ）与时间 （单位 ）满足 ，则 时的位移为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 23．已知幂函数 的图象经过点 ，则 ____________． 【类型4　指数、对数函数模型与分段函数】 24．某物种初始数量为 ，年增长模型为 （ 为年数）．(1) 求 时的数量；(2) 若取 ，估计 时的数量． 25．某城市人口按模型 增长，已知 时人口为 万， 时为 万．(1) 求 ；(2) 写出 关于 的解析式． 26．某公司实行阶梯水费：月用水量不超过 吨时每吨 元，超过 吨的部分每吨 元．设月用水量为 吨（），写出水费 （元）关于 的分段函数解析式，并求 时的水费． 27．当 足够大时，下列函数中增长最快的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 28．已知 ，当 从 增加到 时， 变为原来的____________倍． 29．某量初始为 ，每年比上一年增长 ，则 年后该量为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 30．已知 ，若 ，则 ____________． 【类型5　函数模型与零点的综合应用】 31．已知函数 （），参考数据 ，．说明方程 的实数解个数． 32．某产品第 个月的月销量（万件）可用 （，）描述．(1) 求月销量最少的月份；(2) 说明该函数在区间 上的单调性变化． 33．设函数 ．(1) 求 、；(2) 求方程 的所有实数解． 34．函数 在区间 内零点的个数是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 35．已知 是定义在 上的连续函数，且 ，则下列说法一定正确的是（　　） A． 在 内恰有一个零点 B． C． 在 上单调 D． 在 内至少有一个零点 36．关于函数 ，下列说法正确的有（　　） A． 有两个零点 B．方程 的两根之和为 C． 在区间 内恰有一个零点 D． 的图象与 轴没有公共点 37．若函数 的两个零点都在 内，且两根之和为 ，则 ____________． 38．函数 的零点所在的区间是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 39．函数 在区间 内的零点个数为____________． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $