专题06函数的零点和函数的模型讲义【11大考点+11大题型】-2025-2026学年高一数学上学期《考点·题型·难点》期末高效复习（人教A版必修第一册）

该高中数学讲义以函数零点和函数模型为核心，通过知识梳理系统呈现零点定义、等价关系、判定定理及二分法，用表格对比二次函数图像与零点个数的关系，构建清晰的知识脉络，突出重点概念与内在逻辑联系。 讲义亮点在于题型设计分层递进，涵盖零点存在性判断、参数范围求解、函数模型应用等11类题型，如结合酒驾酒精含量衰减问题培养数学建模与数据分析素养，通过二分法求近似值训练逻辑推理能力。强化精练包含选择、填空、解答题，助力学生巩固基础与提升能力，为教师分层教学提供精准支持。

专题06:函数的零点和函数的模型 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点01．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根． 知识点02．二分法 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 知识点03．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数 2 1 0 【题型归纳】 题型一：函数零点存在定理 【例1】．（25-26高一上·甘肃白银·期末）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断的单调性，进而使用零点存在性定理求解零点所在区间即可. 【详解】由指数函数性质得在上单调递增， 由一次函数性质得在上单调递增， 则在上单调递增，而， ，由零点存在性定理可得零点在区间内. 故选：B 【变式1】．（25-26高一上·贵州遵义·月考）函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合单调性与零点存在定理求解即可. 【详解】由于单调递增，且， 则零点所在的区间为， 故选：B. 【变式2】．（24-25高一下·云南玉溪·期末）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点存在定理，判断零点所在区间. 【详解】已知，因为都是R上的增函数， 所以函数是连续的增函数， 易知，， 可知，故函数的零点所在的区间是， 故选：C． 题型二：用二分法求函数f(x)零点近似值 【例2】．（25-26高一上·安徽·期末）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，则该近似解所在的区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用二分法及零点存在定理即可判断. 【详解】根据， 则由二分法可得近似解所在的区间为. 故选：C. 【变式1】．（25-26高一上·上海青浦·月考）若函数一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确度为0.01）可以是（   ） A．1.25 B．1.375 C．1.41 D．1.5 【答案】C 【分析】由零点存在性定理结合二分法的定义即可得出答案. 【详解】由表格可得，， 函数的零点在之间， 结合选项可知，方程的一个近似根(精确度为0.01)可以是1.41. 故选：C. 【变式2】．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用零点存在定理结合二分法，不断把区间一分为二计算求解. 【详解】由二分法可知，第一次计算，又，， 由零点存在性定理知零点在区间上， 所以第二次应该计算，又， 所以零点在区间上． 故选：A． 题型三：函数的零点所在区间求参数问题 【例3】．（25-26高一上·全国·期末）若函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数零点的判定定理及一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】当时，，在上没有零点，不符合题意； 当时，为一次函数， 函数在区间上存在零点的充要条件为， 即， 即．解得或． 故选： 【变式1】．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的零点在区间内，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由零点存在定理求解． 【详解】易知在上是增函数， 它的零点在区间上， 则，解得， 故选：C． 【变式2】．（23-24高一上·湖南株洲·期末）若方程的实根在区间上，则（   ） A． B．2 C．或2 D．1 【答案】C 【分析】根据方程的根与函数零点的关系转化为函数的零点来求解，画出函数图象观察交点范围，再用零点存在性定理证明即可. 【详解】方程化为， 分别做出方程左右两边的图象， 从图象可知，方程， 方程有两个分别在和之间的根， 下面证明：方程在和之间各有一个实根， 设， 根据函数性质得在区间上是增函数， 又，， 则， 由零点存在性定理知， 在区间上仅有一个零点， 即方程区间上仅有一个实根， 同理可得方程区间上仅有一个实根， 结合题意可知，或， 故选：C. 题型四：零点的个数或根个数问题 【例4】．（25-26高一上·四川遂宁·期末）已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数有个零点转化为方程有5个实根，令，解得 ，，即或，结合函数图象即可求出答案. 【详解】画出函数的大致图象，如下图所示： 因为函数恰好有个不同的零点， 所以方程有个根， 设，则方程化为， 解得，， 即或， 由图可知方程有两个根， 则方程有三个根，所以由图可知， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【变式1】．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，结合已知条件得出，解得或，则直线，与函数的图象共有五个交点，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】令，由可得， 即，解得或， 当，即时，， 当，即时，， 作出函数的图象如下图所示：    由图可知，直线与函数的图象有两个交点， 又因为原方程有五个不同的实数根，所以直线与函数的图象有三个交点， 由图可得，所以实数的取值范围是. 故选：B. 【变式2】．（25-26高一上·辽宁·期中）设函数，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A．－1 B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】由题意转化为方程在区间上有且只有一个根，再利用函数的奇偶性求解即可. 【详解】当时，曲线与恰有一个交点， 即时，方程只有一个实数根， 方程化简为， 问题可转化为函数在时只有一个零点， 由在上为偶函数，则有，解得. 时，函数， 方程在时，只有一个解， 所以当时，曲线与恰有一个交点. 故选：C 题型五：比较零点大小 【例5】．（24-25高一上·江西宜春·期末）已知函数的零点分别是，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转换成，，与交点的横坐标即可判断； 【详解】令， 得， 则为函数与交点的横坐标， 为函数与交点的横坐标， 为函数与交点的横坐标， 在同一直角坐标系中，分别作出和的图象， 如图所示，由图可知，. 故选：C. 【变式1】．（24-25高一上·重庆长寿·期末）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数的零点问题转化成两个函数图象的交点问题，三个函数的零点均可看成对应函数与图象交点的横坐标，根据函数图象可以得到的大小关系. 【详解】 的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，根据函数图象可知， 同理的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，根据函数图象可知， 的零点可以看成函数与图象交点的横坐标，可得， 因此， 故选：D. 【点睛】方法点睛：函数零点问题可以转化成两个函数图象的交点问题. 【变式2】．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断单调性，结合零点存在定理可得答案. 【详解】易知三个函数均为增函数，又，所以； ，所以，所以. 故选：B 题型六：零点求和问题 【例6】．（22-23高一上·福建龙岩·期末）函数在区间上的所有零点之和为（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】根据题意整理可得，将函数的零点问题转化为与的交点问题，利用图象结合对称性分析运算. 【详解】由题意可得：， 令，且，可得， ∵与均关于点对称， 由图可设与的交点横坐标依次为， 根据对称性可得， 故函数在上所有零点之和为. 故选：B.    【变式1】．（22-23高一上·河北邢台·期末）已知函数，若方程有四个不同的解且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意作函数与的图象，从而可得，，从而得到结果. 【详解】由题意作函数与的图象， ∵方程有四个不同的解且， ∴关于对称，即， 当得或，则， 由题知，，故， 所以， 故， 因为， 设，则由对勾函数的性质可知， 在单调递增，所以， 的取值范围是 故选：B. 【变式2】．（22-23高一上·湖北武汉·期末）已知函数，，函数有4个不同的零点且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，得，问题转化为，有4个不同的根，即 函数与函数有4个不同的交点，分别作出与的图像，利用二次函数与对数函数的图像性质，计算可得答案. 【详解】，令，得， 函数有4个不同的零点，即有4个不同的根； 根据题意，作出的图像，如图 明显地，根据二次函数和对数函数的性质，有，， 因为，故， 令，得或，故， 又因为， 则，整理得 故的取值范围为. 故选：B 题型七：二次函数零点分布求参数问题 【例7】．（24-25高一上·广东佛山·期末）若关于的方程有两相异实根，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两相异实根满足得到关于的不等式组，再解不等式组可得答案. 【详解】因为方程有两相异实根，且， 则，解得. 故选：C. 【变式1】．（23-24高一上·浙江温州·期末）已知函数有两个大于的零点，，则可以取到的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数零点的分布求出a的取值范围，利用根与系数的关系将化为关于a的二次函数，结合其单调性，即可求得答案.. 【详解】由已知函数有两个大于的零点，， 即有两个大于的不等实数根，， 得，解得； 又， 故， 由于在上单调递增， 故，即， 故结合选项可知可以取到的值是10， 故选：D 【变式2】．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知关于x的方程的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数k的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根的分布，结合二次函数的图象性质即可求解. 【详解】记，由题意可知函数有两个零点，所以， 若，则为开口向上的二次函数， 要有两个零点且一个大于1一个小于1，则，得，故； 若，则为开口向下的二次函数， 要有两个零点且一个大于1一个小于1，则，得，故； 综上可知：或，即实数k的取值范围是. 故答案为： 题型八：对指幂函数零点分布求参数问题 【例8】．（23-24高一上·云南昆明·月考）已知函数，若恰有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数的图象与直线交点的横坐标，即为的零点，因此作出函数的图象，直线，由它们有三个交点可得出的范围，的关系，从而求得结论． 【详解】的零点，即为函数的图象与直线交点的横坐标，作出的大致图象及直线，如图，它们有三个交点， 由于，，因此，，， 而，即，所以， 所以， 故选：B． 【变式1】．（23-24高一上·广东汕尾·期末）若函数，恰有3个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，则有，作出函数的图象，结合图象即可得答案. 【详解】由，得， 作出函数的图象，如图所示： 令，则， 由图可知，当时，直线与函数的图象有3个交点， 从而函数有3个零点， 但对恒成立，即对恒成立， 又，则， 所以. 故选：D. 【变式2】．（22-23高一上·湖北黄冈·期末）已知函数若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，作出函数的图象，分析可知关于的方程在内有两个不等的实根，令，利用二次函数的零点分布可得出关于的不等式组，解之即可. 【详解】令，作出函数的图象如下图所示： 因为关于的方程有个不同的实数根， 则关于的方程在内有两个不等的实根， 设，则函数在内有两个不等的零点， 所以，，解得. 故选：A. 题型九：函数模型的应用 【例9】．（25-26高一上·安徽合肥·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：mL血液中酒精含量在mg之间为酒后驾车，mg及以上为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，他的每mL血液中的酒精含量上升到了mg，如果在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20% 的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需要等待（    ）小时才能驾驶.（参考数据：） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】由题意，利用指对互化及对数运算性质求解即可. 【详解】想要在不违法的情况下驾驶汽车，则每血液中酒精含量小于， 即小时后，，则，两边取对数得， 即小时， 所以至少需要等待11个小时， 故选：A. 【变式1】．（25-26高一上·宁夏银川·月考）2025年8月27日，我国新疆、西藏等地发生多次3.1至4.7级地震，一般来说，震级在3级以上时，我们称该地震为有感地震（即人们能感觉到此次地震）.里氏震级与地震释放能量的关系为.已知6级地震释放的能量为，则下列说法错误的是（   ） A．震级越大，地震释放的能量越大 B．某次地震释放的能量为，则该地震为有感地震 C．8级地震释放的能量为6级地震释放能量的1000倍 D． 【答案】D 【分析】根据6级地震释放的能量为求出里式震级R与地震释放能量E的关系，然后结合指数运算和指数函数性质逐一判断即可. 【详解】由6级地震释放的能量为，所以， 解得，D错误； 所以， 根据指数函数的性质，R越大，则E就越大，A正确； 当时，，因为， 所以地震释放的能量为时该地震超过了3级，所以有震感，所以B正确； 记6级地震和8级地震释放的能量分别为， ，， 所以，所以，C正确. 故选：D. 【变式2】．（25-26高一上·广东东莞·期中）近年来，“北斗”指路、“天宫”览胜、“墨子”传信、“嫦娥”问月，中国航天硕果累累，令国人倍感自豪.这些航天器的发射中，都遵循“理想速度方程”：，其中是理想速度（单位：），是燃料燃烧时产生的喷气速度（单位：），是火箭起飞时的燃料与火箭质量的总和（单位：），是火箭自身的质量（单位：）.小婷同学所在社团向有关部门申请，准备制作一个试验火箭，得到批准后，她们利用某民用燃料燃烧时产生的喷气速度为，火箭自身的质量为，火箭起飞时燃料的质量为，在不计空气阻力等因素影响的理想状态下发射，该试验火箭的理想速度大约为（    ）（，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知得出，，，代入等式计算即可. 【详解】由题意可得，，， 所以该试验火箭的理想速度为 . 故选：A. 题型十：函数的实际应用问题 【例10】．（25-26高一上·辽宁抚顺·期末）某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究.通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间第天的函数关系近似满足，日销售量（单位：件）与时间第天的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 已知第20天的日销售收入为603元. (1)求； (2)给出以下两个函数模型：①；②为常数）根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量与时间第天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域； (3)设在过去一个月内该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值. 【答案】(1) (2)且定义域为 (3)441元. 【分析】（1）根据可求的值，从而可求； （2）根据表格中数据的增减性可选择，代入后可求的值，从而可求及其定义域. （3）根据可得分段函数的解析式，结合基本不等式和单调性可求其最小值. 【详解】（1）由题意，，可得， 则. （2）由表格数据知：日销售量随时间先增后减，显然①不符合， 所以，选②， 则，可得，即， 综上，且定义域为 （3）由题意 所以 当， 当且仅当时取等号，此时最小值为441元. 当在上单调递减， 此时最小值为元, 综上，的最小值是441元. 【变式1】．（25-26高一上·甘肃酒泉·期末）某科技公司设立了两个研发实验室，分别探索不同技术路线来提升人工智能芯片的性能．两个实验室的研发起点相同（月时，芯片基础性能得分均为0），记录了研发时间t（月）与芯片性能得分P（得分越高，性能越好）的关系如下： 实验室A（技术路线甲）：早期数据增长迅猛，如下表所示： t（月） 1 2 3 4 P（得分） 3 12 27 48 实验室B（技术路线乙）：增长平稳，符合对数函数特点，已知其性能增长模型为，，且当时，；当时，． (1)根据实验室A的数据，判断性能得分P与时间t更符合哪一种函数模型：指数函数还是幂函数?说明理由，并写出函数解析式； (2)根据实验室B的数据，求出常数a，b的值，并写出P关于t的函数解析式； (3)若两个实验室均研发至第6个月． （i）用实验室A的模型预测性能得分； （ⅱ）用实验室B的模型预测性能得分； （ⅲ）从从技术发展的长期可持续性角度，哪一种技术路线能获得更高的性能得分？请结合函数增长特性说明理由．（，） 【答案】(1)； (2)； (3)甲,理由见解析. 【分析】（1）利用函数过原点，可确定幂函数模型，再用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法直接可求出函数解析式； （3）利用两函数的解析式分别求第6个月的函数值，即可得到预测性能分，然后根据二次函数和对数型函数模型的增长率作出比较即可得到答案． 【详解】（1）由时，，若，则，此时，不满足题意， 故，又当时，，所以， 当时，，所以， 此时，当时，，当时，，满足题意， 故； （2）由于用实验室的数据来求参数， 所以当时，，代入得：， 当时，，代入得：， 两式相减得：，代入可得：， 所以； （3）（i）实验室研发至第6个月，用实验室A的模型预测性能得分： 则，所以用实验室A的模型预测性能得分为分； （ⅱ）实验室研发至第6个月，用实验室B的模型预测性能得分： 则， 所以实验室B的模型预测性能得分约为分； 从技术发展的长期可持续性角度，我认为甲技术路线更优，因为尽管在第1个月时乙路线得分更高，但从第2个月起，甲路线的得分就反超并持续大幅领先，且二次函数的增长速度远快于对数函数，因此甲路线更优. 【变式2】．（25-26高一上·重庆·月考）2025年10月29日，成都龙泉驿区汽车推出新款新能源车型，这彰显了我国新能源汽车的蓬勃发展．如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系．某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产（千辆）该型车辆，扣除制造车辆的成本后获利（万元），关系如下：，该公司预计2025年全年其他成本总投入为万元．由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求．记2025年的全年利润为（单位：万元）． (1)求函数的解析式； (2)当2025年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由． 【答案】(1); (2)4千辆时取得最大值30万元. 【分析】（1）根据给定信息直接求出的解析式. （2）利用二次函数、基本不等式分段求出最大值，再比较大小即得. 【详解】（1）由函数，得 ; （2）当时，，在处取最大值，（万元）； 当时，（万元），当且仅当（千辆）时取等号，而，所以在千辆时取得最大值30万元. 题型十一：函数与方程的综合问题 【例11】．（25-26高一上·河北邢台·期中）定义已知函数 (1)求的单调区间． (2)已知是关于的方程的三个不同的实根． （i）求的取值范围； （ii）已知，求的最小值． 【答案】(1)单调递减区间为和，单调递增区间为 (2)（i）（0，1）；（ii）2 【分析】（1）根据题意，分类讨论，求得函数的解析式，结合反例函数与二次函数的性质，即可求解； （2）（i）根据题意，分别求得和时，方程的根，结合题意，列出不等式组，即可求解；（ii）由（i）知，根据不等式的性质，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，令，可得，即，解得， 所以当时，；当时，， 所以， 当时，，可得在单调递减； 当时，函数，可得在单调递减，在单调递增， 综上可得：函数的单调递减区间为和，单调递增区间为. （2）解：（i）当时，令，可得； 当时，令，可得，解得或， 因为关于的方程有三个不同的实根，则满足，解得， 所以的取值范围为. （ii）由（i）可知， 令，所以， 可得， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为． 【变式1】．（24-25高一上·广东汕头·期末）已知函数． (1)用定义证明函数在R上为减函数； (2)若（其中，），求实数的取值范围； (3)若在上存在唯一零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）任取，，且， 则， 因为，所以，所以，则， 所以函数在R上为减函数； （2）由（1）得在R上为减函数，又， 则， 当时，，解得， 当时，，解得，不成立， 综上所述， （3）由（1）得在R上为减函数，则在R上也为减函数， 又在上存在唯一零点， 即，且 解得. 【变式2】．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数满足，函数 (1)求函数的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3) 【详解】（1）因为①，则②， 由①②，解得； （2）由（1）知，所以， 因为不等式在上恒成立， 所以在上恒成立， 设，则，所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为，所以，而在上单调递减， 故当时，取得最大值，最大值为， 所以，所以k的取值范围是； （3）令，且， 方程即为， 即即 由题意可得此方程必有两个不等根，，且， 由韦达定理可得：， 所以，，， 所以，即，解得且， 所以m的取值范围为 . 【强化精练】 一、单选题 1．（25-26高一上·黑龙江鸡西·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断函数的单调性，再计算，根据零点存在性定理确定零点存在的区间即可. 【详解】因为函数，在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 又，， ，，， 所以函数的零点所在的区间是 故选：D 2．（25-26高一上·山东济南·期中）已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过2次二分法后确定的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零点存在定理，结合二分法，不断把区间一分为二计算判断. 【详解】由，且，，得在内有零点； 由，且，，得在内有零点； 所以经过2次二分法后确定的零点所在区间为． 故选：B 3．（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性和特殊值计算，可求得和，再由函数的单调性和零点存在定理推理得到即可. 【详解】因是上的增函数，且，则可得， 又是上的增函数，且，则可得． 因为函数在上是增函数，，， 由零点存在定理可知，有唯一的零点，故得． 故选：D． 4．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知函数，，若方程有四个实数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程有四个实数解分析可得方程有一个正数解，一个零解，还有两个负数解，再结合一元二次方程的根与系数关系可得结果. 【详解】因有四个实数解，所以时方程有一个实数解，时方程有三个实数解. ①当时，由，即，因方程要有一个正实数解， 所以，即，方程有一正实数解. ②当时，由，即，显然方程有一个实数解. 所以有两负实数解，设为，由根与系数关系得 ，，得. 综上①②，得. 故选：D. 5．（25-26高一上·河南周口·月考）在资源有限的情况下，种群数量随时间（单位：天）的变化满足数学模型：，其中为环境容纳量，为增长率，为常数．某实验小组做培养变形虫的实验，初始时，在培养皿中放入5个变形虫，观察到时，种群数量为126，已知环境容纳量，根据上面的模型，可估算变形虫种群的增长率为（　　）参考数据：． A．1.09 B．1.35 C．1.54 D．1.73 【答案】D 【分析】将已知数据代入函数模型，求出的值，再利用指对互化以及对数运算求解即可． 【详解】已知初始时，在培养皿中放入5个变形虫，则， 又时，种群数量为126；环境容纳量， 则，则， 因此， 所以， 解得． 所以变形虫种群的增长率约为1.73． 故选：D． 6．（25-26高一上·江苏淮安·期中）如果二次函数有两个不同的零点，那么实数m的取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质可得，由此求得m的范围. 【详解】由二次函数有两个不同的零点，得，即， 解得或，所以实数m的取值范围为或. 故选：C 7．（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知函数，若，且，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，分析函数性质并作出图象，建立目标式的函数关系，借助二次函数求出范围. 【详解】函数的图象关于直线对称， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 令，则函数的图象与直线有3个交点，其横坐标为， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图， 观察图象，得，，， 由，得，因此， 所以的取值范围是. 故选：A 8．（25-26高二上·贵州毕节·期中）已知函数若关于的方程有7个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象进行数形结合分析可得. 【详解】由，得， 所以或. 再由，图象如下：    显然与有三个交点，所以有三个不同的实数根. 所以必须有四个不同的实数根，即与有四个交点， 因，再结合图象分析判断可得. 故选：D. 9．（25-26高一上·北京·期中）若定义在R上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】根据函数的解析式及性质，分别作出与的图象，根据图象交点个数，即可得答案. 【详解】因为，所以的周期为2， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 令，则， 即求与在上交点个数， 作出与图象，如图所示    所以与图象在上有11个交点， 则函数在区间内的零点个数为11. 故选：B 二、多选题 10．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知函数，若，且，则（    ） A． B． C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】BCD 【分析】利用方程的根与函数图象的关系，结合对数函数性质，二次函数的值域，即可作出判断. 【详解】作出函数的图象，如图所示，    设，因为， 所以由图可知，当时，直线与函数的图象有4个交点， 又设这4个交点横坐标分别为，且， 由关于直线对称，得，故A错误； 由，可得，故B正确； 由图可知，则，故C正确； 由图可知，即，得， 则，故D正确. 故选：BCD 11．（25-26高一上·江苏无锡·期中）设函数，且关于的方程恰有3个不同的实数根，则下列说法正确的是（   ） A．的取值范围是 B． C．的取值范围为 D．的取值范围是 【答案】BCD 【分析】分析函数的性质，将方程零点问题转化为函数的图象与直线的交点问题，再作出函数图象，利用图象，结合二次函数性质逐项求解判断. 【详解】函数在上单调递减，函数值集合为； 在上单调递增，函数值集合为；在上单调递减，函数值集合为， 方程恰有3个不同的实数根，即函数的图象与直线有3个交点， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图： 对于A，的取值范围是，A错误； 对于B，为方程，即的两个根，，B正确； 对于C，由，得，又，解得， 因此，C正确； 对于D，由选项B知，，则， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，而，则， 因此的取值范围是，D正确. 故选：BCD 12．（24-25高一上·广东阳江·期末）已知函数则（    ） A．， B．函数只有2个零点 C．直线与的图象有3个交点 D．， 【答案】ABD 【分析】对于A项，求出函数的值域即可判断；对于BCD项，作出的图象即可依次判断. 【详解】对于A：当时，，当时，， 所以成立，即选项A正确； 作出的图象（如图所示），    由图象，得与的图象关于轴对称，且与有交点， 即，，即选项D正确； 对于C：由图象，得直线与的图象只有2个交点， 即选项C错误； 对于B：的零点个数等于 的图象与的图象的交点个数，由图可知，的图与的图象的交点个数为2，即选项B正确． 故选：ABD 13．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数，若方程，则（   ） A．当或时，方程有个解 B．当时，方程有个解 C．当或时，方程有个解 D．当时，方程有个解 【答案】BCD 【分析】根据分段函数的性质及函数单调性与最值情况，数形结合，转化为函数图像与直线交点情况. 【详解】由已知， 当时，，此时函数在上单调递减，在上单调递增， 且，， 当时，，函数在上单调递增，且此时， 做出函数图像如图所示，    方程的解可转化为函数与函数的交点横坐标， 当时，函数与函数有一个交点，即方程有个解； 当时，函数与函数有两个交点，即方程有个解； 当时，函数与函数有三个交点，即方程有个解； 当时，函数与函数有两个交点，即方程有个解； 即A选项错误，BCD选项正确； 故选：BCD. 三、填空题 14．（25-26高一上·甘肃酒泉·期末）已知函数若方程有四个不等实数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用数形结合法，把方程的根的个数转化为图象与直线的交点个数，即可求得参数的取值范围. 【详解】作出函数图象：    因为，，所以在处是连续的， 根据方程有四个不等实数解，则直线与函数的图象有四个交点， 即a的取值范围是. 故答案为： 15．（25-26高一上·全国·期末）方程在上的近似解为 （精确度为0.1）． 【答案】1.3126（答案不唯一） 【分析】根据二分法，依次计算区间端点及中间点的函数值，根据精确度判断零点所在区间，根据精确度要求写出方程的一个近似解. 【详解】设函数， 区间端点及中点的函数值用二分法逐次计算列表如下： 1 1.5 1.25 1.375 1.3125 0.875 0.2246 因为，，， 所以原方程的解在区间上，所以取方程的近似解1.3126. 故答案为：1.3126（答案不唯一） 16．（25-26高一上·江苏泰州·月考）已知函数，若关于的方程有8个不同的实数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，数形结合，把问题转化为方程在上有两个不同的解求的取值范围. 【详解】作出函数的草图如下： 由图可知：当时，方程无解； 当时，方程有2个不同的实数解； 当时，方程有4个不同的实数解； 当时，方程有3个不同的实数解； 当时，方程有2个不同的实数解. 若关于的方程有8个不同的实数解， 则方程在上有两个不同的实数解. 所以. 故答案为： 17．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的零点分别为，则大小顺序为 .（按由小到大排列） 【答案】 【分析】根据零点的定义，令，，，据此分别讨论的大致范围，进而得到答案. 【详解】由题意，令，即，得， 由，即，得，则，得， 由，即，得， 所以. 故答案为：. 四、解答题 18．（25-26高一上·北京延庆·月考）已知关于的方程，. (1)当时，若方程的两实数根为与，求下列各式的值： ①；②；③. (2)若该方程有两个负实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1)①；②；③ (2) 【分析】（1）利用韦达定理依次求解各个式子即可； （2）分别讨论两个负实数根相等和不相等的情况，结合二次函数图象可列出不等式组求解即得. 【详解】（1）当时，的两根为，，， ①； ②； ③. （2）若两个负实数根相等，则，解得：； 若两个负实数根不相等，则，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. 19．（24-25高一下·四川成都·期末）已知函数，（，且）. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)当时，若有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)奇函数，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据对数函数的定义域进行求解即可. （2）根据函数的奇偶性的定义进行求解即可. （3）首先通过化简求出的解析式，然后判断对数函数的单调性和值域，进而可求出的范围. 【详解】（1）由题意得， 由，得， 所以的定义域为. （2）因为，定义域关于原点对称， 由于， 所以是奇函数. （3）当时，.定义域为. 则函数为偶函数， 令，根据二次函数的性质，在上单调递增，在上单调递减，所以. 而是单调递增的，所以函数在上单调递增，在上单调递减. 故. 要使有两个零点，即有两个解， 所以，所以实数m的取值范围是. 20．（25-26高一上·重庆渝北·期中）为了更好地提升生产水平，某工厂从产品质量和生产效率两个方面进行了调查，通过调查发现：工厂每天的生产水平评分等于每天产品质量评分+每天生产效率评分，而工厂的产品质量评分（单位：分）与每天生产时长（单位：小时）的函数关系近似满足，而生产效率评分（单位：分）与每天生产时长（单位：小时）的部分数据如下表所示： 3 4 5 6 7 8 9 10 25 34 41 46 49 50 49 46 已知生产时长达到9小时的产品质量评分为8分. (1)求的值； (2)给出三个函数模型：①；②；③.根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述生产效率与每天生产时长（单位：小时）的变化关系，并求出该函数解析式； (3)设该工厂的生产水平评分为，求当为何值时取得最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据求解即可； （2）根据函数先增后减，可得模型符合，再利用待定系数法求解析式即可； （3）分和两种情况讨论，结合函数的单调性及基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意知，， 即，解得； （2）由表可知，函数先增后减， 则只有模型符合， 由表可知，， 则，解得， 所以； （3）， 函数的对称轴为， 故函数在上单调递增， 又函数在定义域上单调递增， 所以函数在上单调递增， 则当时，， 当时，， 因为， 当且仅当，即时取等号， 所以， 即当时，， 综上所述，当时取得最大值. 21．（24-25高一上·上海·期末）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并用定义给出证明； (3)若关于的方程只有一个实根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)函数单调增，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用函数奇偶性的性质可直接求出a值，再检验即可； （2）利用函数单调性的定义及指数运算的性质验证即得； （3）由题可得方程有且只有一个正数根，分，讨论，利用二次函数的性质可得. 【详解】（1）因为函数是定义在R上的奇函数， 所以，解得， 当时，，定义域R上恒满足， 故满足题意，所以. （2）根据题意，在R上单调递增； 证明：任取，且， 则， ∵，∴，∴．即， 故函数在R上单调递增； （3）根据题意，若关于的方程只有一个实根， 令，则，则问题等价转化为方程有且只有一个正数根， ①当时，，不合题意， ②当时，若，则或， 若，则，符合题意； 若，则，不合题意， 若，则或，由题意，方程有一个正根和一个负根， 即，解得； 综上，实数的取值范围是． 22．（24-25高一上·广东深圳·期末）为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”.经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入为元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销售畅通，记该水果单株利润为（单位：元）. (1)求单株利润（单位：元）关于施用肥料（单位：千克）的关系式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大?最大利润是多少? 【答案】(1) (2)当施用肥料为4千克时，该水果单株利润最大，最大利润是240元 【分析】（1）利用该水果树单株产量乘以市场售价减投入总成本即可得出利润表达式； （2）根据定义域求每段函数的利润最大值比较后可得答案. 【详解】（1）由题意可得， 即，整理得. （2）当时，是对称轴为且开口向上的抛物线， 所以当时，； 当时，， 因为，当且仅当即取等号， 所以； 综上所述，当施用肥料为4千克时，该水果单株利润最大，最大利润是240元． 23．（24-25高一上·江苏·期末）已知函数，. (1)若，使得不等式成立，求实数的取值范围； (2)记，若函数在单调递增，求实数的取值范围； (3)当时，若关于的方程无实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分离参数，即可根据基本不等式求解最值得解， （2）对进行讨论，即可结合二次函数的性质求解， （3）根据， 整体换元则，结合二次函数的最值即可求解. 【详解】（1）由可得，成立， 当时，显然不能使成立， 当时，由可得，进而可得，使得，故， 当且仅当时取等号，故 （2）， 当时，即时，此时， 由于函数在单调递增，故，解得， 当时，此时， 要使函数在单调递增，则或 解得， 综上可得 （3）当时，，， 此时， 令则， 故， 由于，故， 故的最小值为，即， 要使无实数根，只需要， 24．（24-25高一上·河北·期末）将曲线上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得曲线上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象． (1)求的解析式； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围； (3)若函数在上有3个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦函数的图象变换直接求解即可； （2）利用指数函数和正弦函数的性质可得，的值域，再根据值域的包含关系列不等式组求解即可； （3）令，则函数有两个零点，且的图象与直线，共有3个公共点，根据的图象求的取值范围即可. 【详解】（1）由题意得. （2）因为是增函数，当时， 由得， 由正弦函数的图象可知， 所以， 由题意可知， 则解得，即的取值范围为． （3）令，则函数有两个零点， 且的图象与直线，共有3个公共点， 由的图象可知，当，时，，得， 由，得，，符合题意． 当，时，解得， 综上的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06:函数的零点和函数的模型 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点01．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根． 知识点02．二分法 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 知识点03．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数 2 1 0 【题型归纳】 题型一：函数零点存在定理 【例1】．（25-26高一上·甘肃白银·期末）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·贵州遵义·月考）函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一下·云南玉溪·期末）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 题型二：用二分法求函数f(x)零点近似值 【例2】．（25-26高一上·安徽·期末）在用二分法求方程在上的近似解时，构造函数，依次计算得，则该近似解所在的区间是（ ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·上海青浦·月考）若函数一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确度为0.01）可以是（   ） A．1.25 B．1.375 C．1.41 D．1.5 【变式2】．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 题型三：函数的零点所在区间求参数问题 【例3】．（25-26高一上·全国·期末）若函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【变式1】．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的零点在区间内，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（23-24高一上·湖南株洲·期末）若方程的实根在区间上，则（   ） A． B．2 C．或2 D．1 题型四：零点的个数或根个数问题 【例4】．（25-26高一上·四川遂宁·期末）已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一上·辽宁·期中）设函数，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A．－1 B． C．1 D．2 题型五：比较零点大小 【例5】．（24-25高一上·江西宜春·期末）已知函数的零点分别是，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高一上·重庆长寿·期末）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 题型六：零点求和问题 【例6】．（22-23高一上·福建龙岩·期末）函数在区间上的所有零点之和为（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 【变式1】．（22-23高一上·河北邢台·期末）已知函数，若方程有四个不同的解且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（22-23高一上·湖北武汉·期末）已知函数，，函数有4个不同的零点且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型七：二次函数零点分布求参数问题 【例7】．（24-25高一上·广东佛山·期末）若关于的方程有两相异实根，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（23-24高一上·浙江温州·期末）已知函数有两个大于的零点，，则可以取到的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知关于x的方程的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数k的取值范围是（        ） A． B． C． D． 题型八：对指幂函数零点分布求参数问题 【例8】．（23-24高一上·云南昆明·月考）已知函数，若恰有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（23-24高一上·广东汕尾·期末）若函数，恰有3个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（22-23高一上·湖北黄冈·期末）已知函数若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型九：函数模型的应用 【例9】．（25-26高一上·安徽合肥·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：mL血液中酒精含量在mg之间为酒后驾车，mg及以上为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，他的每mL血液中的酒精含量上升到了mg，如果在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20% 的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需要等待（    ）小时才能驾驶.（参考数据：） A．11 B．10 C．9 D．8 【变式1】．（25-26高一上·宁夏银川·月考）2025年8月27日，我国新疆、西藏等地发生多次3.1至4.7级地震，一般来说，震级在3级以上时，我们称该地震为有感地震（即人们能感觉到此次地震）.里氏震级与地震释放能量的关系为.已知6级地震释放的能量为，则下列说法错误的是（   ） A．震级越大，地震释放的能量越大 B．某次地震释放的能量为，则该地震为有感地震 C．8级地震释放的能量为6级地震释放能量的1000倍 D． 【变式2】．（25-26高一上·广东东莞·期中）近年来，“北斗”指路、“天宫”览胜、“墨子”传信、“嫦娥”问月，中国航天硕果累累，令国人倍感自豪.这些航天器的发射中，都遵循“理想速度方程”：，其中是理想速度（单位：），是燃料燃烧时产生的喷气速度（单位：），是火箭起飞时的燃料与火箭质量的总和（单位：），是火箭自身的质量（单位：）.小婷同学所在社团向有关部门申请，准备制作一个试验火箭，得到批准后，她们利用某民用燃料燃烧时产生的喷气速度为，火箭自身的质量为，火箭起飞时燃料的质量为，在不计空气阻力等因素影响的理想状态下发射，该试验火箭的理想速度大约为（    ）（，） A． B． C． D． 题型十：函数的实际应用问题 【例10】．（25-26高一上·辽宁抚顺·期末）某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究.通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间第天的函数关系近似满足，日销售量（单位：件）与时间第天的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 已知第20天的日销售收入为603元. (1)求； (2)给出以下两个函数模型：①；②为常数）根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量与时间第天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域； (3)设在过去一个月内该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值. 【变式1】．（25-26高一上·甘肃酒泉·期末）某科技公司设立了两个研发实验室，分别探索不同技术路线来提升人工智能芯片的性能．两个实验室的研发起点相同（月时，芯片基础性能得分均为0），记录了研发时间t（月）与芯片性能得分P（得分越高，性能越好）的关系如下： 实验室A（技术路线甲）：早期数据增长迅猛，如下表所示： t（月） 1 2 3 4 P（得分） 3 12 27 48 实验室B（技术路线乙）：增长平稳，符合对数函数特点，已知其性能增长模型为，，且当时，；当时，． (1)根据实验室A的数据，判断性能得分P与时间t更符合哪一种函数模型：指数函数还是幂函数?说明理由，并写出函数解析式； (2)根据实验室B的数据，求出常数a，b的值，并写出P关于t的函数解析式； (3)若两个实验室均研发至第6个月． （i）用实验室A的模型预测性能得分； （ⅱ）用实验室B的模型预测性能得分； （ⅲ）从从技术发展的长期可持续性角度，哪一种技术路线能获得更高的性能得分？请结合函数增长特性说明理由．（，） 【变式2】．（25-26高一上·重庆·月考）2025年10月29日，成都龙泉驿区汽车推出新款新能源车型，这彰显了我国新能源汽车的蓬勃发展．如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系．某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产（千辆）该型车辆，扣除制造车辆的成本后获利（万元），关系如下：，该公司预计2025年全年其他成本总投入为万元．由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求．记2025年的全年利润为（单位：万元）． (1)求函数的解析式； (2)当2025年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由． 题型十一：函数与方程的综合问题 【例11】．（25-26高一上·河北邢台·期中）定义已知函数 (1)求的单调区间． (2)已知是关于的方程的三个不同的实根． （i）求的取值范围； （ii）已知，求的最小值． 【变式1】．（24-25高一上·广东汕头·期末）已知函数． (1)用定义证明函数在R上为减函数； (2)若（其中，），求实数的取值范围； (3)若在上存在唯一零点，求实数的取值范围． 【变式2】．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数满足，函数 (1)求函数的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围. 【强化精练】 一、单选题 1．（25-26高一上·黑龙江鸡西·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山东济南·期中）已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过2次二分法后确定的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知函数，，若方程有四个实数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·河南周口·月考）在资源有限的情况下，种群数量随时间（单位：天）的变化满足数学模型：，其中为环境容纳量，为增长率，为常数．某实验小组做培养变形虫的实验，初始时，在培养皿中放入5个变形虫，观察到时，种群数量为126，已知环境容纳量，根据上面的模型，可估算变形虫种群的增长率为（　　）参考数据：． A．1.09 B．1.35 C．1.54 D．1.73 6．（25-26高一上·江苏淮安·期中）如果二次函数有两个不同的零点，那么实数m的取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 7．（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知函数，若，且，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·贵州毕节·期中）已知函数若关于的方程有7个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·北京·期中）若定义在R上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 二、多选题 10．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知函数，若，且，则（    ） A． B． C．的取值范围是 D．的取值范围是 11．（25-26高一上·江苏无锡·期中）设函数，且关于的方程恰有3个不同的实数根，则下列说法正确的是（   ） A．的取值范围是 B． C．的取值范围为 D．的取值范围是 12．（24-25高一上·广东阳江·期末）已知函数则（    ） A．， B．函数只有2个零点 C．直线与的图象有3个交点 D．， 13．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数，若方程，则（   ） A．当或时，方程有个解 B．当时，方程有个解 C．当或时，方程有个解 D．当时，方程有个解 三、填空题 14．（25-26高一上·甘肃酒泉·期末）已知函数若方程有四个不等实数解，则a的取值范围是 ． 15．（25-26高一上·全国·期末）方程在上的近似解为 （精确度为0.1）． 8个不同的实数解，则实数的取值范围是 . 17．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的零点分别为，则大小顺序为 .（按由小到大排列） 四、解答题 18．（25-26高一上·北京延庆·月考）已知关于的方程，. (1)当时，若方程的两实数根为与，求下列各式的值： ①；②；③. (2)若该方程有两个负实数根，求实数的取值范围. 19．（24-25高一下·四川成都·期末）已知函数，（，且）. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)当时，若有两个零点，求实数的取值范围. 20．（25-26高一上·重庆渝北·期中）为了更好地提升生产水平，某工厂从产品质量和生产效率两个方面进行了调查，通过调查发现：工厂每天的生产水平评分等于每天产品质量评分+每天生产效率评分，而工厂的产品质量评分（单位：分）与每天生产时长（单位：小时）的函数关系近似满足，而生产效率评分（单位：分）与每天生产时长（单位：小时）的部分数据如下表所示： 3 4 5 6 7 8 9 10 25 34 41 46 49 50 49 46 已知生产时长达到9小时的产品质量评分为8分. (1)求的值； (2)给出三个函数模型：①；②；③.根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述生产效率与每天生产时长（单位：小时）的变化关系，并求出该函数解析式； (3)设该工厂的生产水平评分为，求当为何值时取得最大值. 21．（24-25高一上·上海·期末）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并用定义给出证明； (3)若关于的方程只有一个实根，求实数的取值范围． 22．（24-25高一上·广东深圳·期末）为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”.经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入为元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销售畅通，记该水果单株利润为（单位：元）. (1)求单株利润（单位：元）关于施用肥料（单位：千克）的关系式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大?最大利润是多少? 23．（24-25高一上·江苏·期末）已知函数，. (1)若，使得不等式成立，求实数的取值范围； (2)记，若函数在单调递增，求实数的取值范围； (3)当时，若关于的方程无实数根，求实数的取值范围. 24．（24-25高一上·河北·期末）将曲线上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得曲线上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象． (1)求的解析式； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围； (3)若函数在上有3个零点，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $