专题11 三角函数（ 9个高频考点）期末复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题11 三角函数（三角恒等变换，函数，三角函数的应用） （9个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识点01】两角和与差的余弦公式 两角和与差的余弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 【知识点02】两角和与差的正弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 【知识点03】两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,，，，. ③变形结论： 【知识点04】二倍角的正弦、余弦正切公式 ① ②； ； ③ 【知识点05】半角公式 ① ② ③ 【知识点06】辅助角公式： (其中) 【知识点07】五点法作图 必备方法：五点法步骤 ③ ① ② 对于复合函数， 第一步：将看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令等于，，，，，对应的则取，，，，。，（如上表中，先列出序号①②两行） 第二步：逆向解出（如上表中，序号③行。） 第三步：得到五个关键点为：，,,, 【知识点08】根据图象求解析式 形如的解析式求法： 1、求法： ①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置. ②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解. 2、求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出. 3、求法： ①第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点，将第一关键点代入求解. （第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离轴最近） ②最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解. ③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①②中的条件，可以寻找图象的其它特殊点代入解析式求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件取舍答案. 【考点题型一】给定角或者三角函数值，求三角函数值 核心方法：拼凑角 【例1-1】（25-26高一下·陕西西安·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为. 【例1-2】（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知，则的值为________. 【答案】 【详解】已知， 则． 【变式1-1】（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知，则________． 【答案】 【详解】因为， 所以 【变式1-2】（25-26高一下·浙江·开学考试）若，则的值为______. 【答案】/ 【详解】因为 所以 . 【变式1-3】（25-26高一下·全国·阶段检测）已知，则______．______． 【答案】 / / 【分析】利用，，求解即可. 【详解】． ． 故答案为：①；②. 【考点题型二】给定三角函数值，求角 【例2-1】（25-26高一上·湖南郴州·期末）已知都是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两角差的余弦公式，结合同角三角函数关系式进行求解即可. 【详解】因为都是锐角， 所以，又因为， 所以， ， 因此 ， 因为是锐角， 所以. 故选：B 【例2-2】（25-26高一下·江西赣州·期中）已知 (1)求 的值; (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的基本关系求出和的值，然后利用两角差的正弦公式可求出的值； （2）利用两角和的余弦公式求出的值，并求出角的取值范围，即可求出的值. 【详解】（1）且，. 且， 因此，； （2）由（1）知，，，， ， 、，， 因此，. 【变式2-1】（2026高一·全国·专题练习）已知，且，. (1)求的值； (2)求角的大小. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）. （2）， ， ∵且，∴，∴， ∵且，∴，∴， ∴，∴. 【变式2-2】（25-26高一下·山东潍坊·期末）已知，，. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦二倍角公式和同角关系式弦化切，再代入求值. （2）先利用两角和正切公式求，再根据范围求. 【详解】（1）. （2）， 因为，所以，因此. 【变式2-3】（24-25高一下·四川成都·期中）已知锐角，满足， (1)求的值． (2)求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角关系可得，再结合倍角公式运算求解； （2）先根据同角三角关系求，再利用两角和差公式可求，即可得结果. 【详解】（1）因为，，则，， 所以. （2）因为，，则， 则， 且，所以. 【考点题型三】逆用两角和差公式 【例3-1】（25-26高一下·四川成都·阶段检测） （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 【例3-2】（26-27高二上·四川成都·阶段检测）（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 . 【变式3-1】（重难点培优02 三角恒等变换（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逆用两角和的余弦公式计算求解. 【详解】. 【变式3-2】（25-26高一下·江苏徐州·阶段检测）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 【变式3-3】（26-27高三上·山东德州·阶段检测）（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 【考点题型四】三角函数图象平移，伸缩变换 【例4-1】（26-27高三上·河北沧州·阶段检测）已知函数，为了得到函数的图象，需将的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【详解】，设将向右平移个单位(表示向右移，表示向左移)， 则平移后得函数为：， 令其等于，得，解得，故向右平移个单位． 【例4-2】（24-25高一下·广东茂名·阶段检测）已知函数的图象相邻的两条对称轴间的距离为，为得到的图象，可将的图象上所有的点（   ） A．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 B．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 C．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 D．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 【答案】A 【分析】直接求出函数的周期T，利用周期公式可求，得到函数的解析式，利用图象平移的规律：左加右减，图象伸缩变换的规律即可得解． 【详解】由题意可知， 所以， 所以可将的图象上所有的点先向右平移个单位长度得到， 再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到的图象， 即的图象， 故选：A 【变式4-1】（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）为了得到的图象，可以将函数 的图象上（    ） A．每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位 B．每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位 C．每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 【答案】C 【详解】将函数的图象上每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得函数的图象， 再向右平移个单位，可得函数的图象. 【变式4-2】（25-26高一上·河北沧州·期末）将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数的伸缩变换结合题目条件即可判断选项. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度，则， 横坐标缩短到原来的，则， 纵坐标伸长到原来的倍，则. 故选：A 【变式4-3】（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的值可以是___. 【答案】（答案不唯一，只需满足即可） 【分析】利用诱导公式可得出，求出平移后所得函数的解析式，进而可得出的表达式，即可得解. 【详解】因为， 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数， 所以，，解得. 故答案为：（答案不唯一，只需满足即可） 【考点题型五】根据图象求解析式 【例5-1】（2026·四川绵阳·一模）函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象过点及单调性求出的值，利用图象平移变换规律求出的解析式，代入求值即可． 【详解】由图象可知，函数过点， 所以，即， 解得． 又由图象可知，且函数在附近单调递减， 当时，， 此时，， 且在处，正弦函数处于递减阶段，符合题意， 所以． 将的图象向右平移个单位后，得到函数的图象， 则， 所以． 【例5-2】（多选）（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数的图象关于直线对称 C．函数是奇函数 D．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象 【答案】BC 【分析】由函数图象求出，得到函数解析式，再根据三角函数的性质及图象变换规则逐一判断各选项. 【详解】由图可知，，，所以，则，故A错误； 由，得， 又，所以，故. 选项B：当时，，此时函数取得最小值，图象关于直线对称，故B正确； 选项C：，该函数为奇函数，故C正确； 选项D：将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，即变为，得到函数的图象，故D错误. 【变式5-1】（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）已知函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（   ） A．函数解析式 B．将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．点是图象的一个对称中心 【答案】D 【分析】由图象得到，再根据三角函数的平移变换判断B选项；然后根据三角函数的对称轴与对称中心的坐标判断CD选项即可. 【详解】由函数图象的最高点可知，，解得. 又结合，可得 且，所以， 解得，结合，可得， 所以函数解析式，A正确. 函数的图象向左平移个单位长度, 则图象变为，B正确. 将代入，得， 所以直线是函数图象的一条对称轴，C正确. 将代入，得 ， 所以点不是图象的一个对称中心，D错误. 【变式5-2】（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）函数的部分图象如图所示，其中，，则下列说法正确的是（     ） A． B．函数的图象关于点对称 C．在区间上的所有实根之和为 D．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象 【答案】D 【分析】根据函数图象求出和的值，确定函数解析式，再逐项判断即可. 【详解】由图象可知，函数的最大值为3，最小值为−1，所以，选项A错误； 因为函数图象过点，所以，解得，又，所以， 所以. 令，得，函数的图象关于点对称，选项B错误； 令，即，等价于，或，解得或者， 因为，所以或或或，所有实数根之和为，选项C错误； 将函数的图象向右平移个单位长度，得到，选项D正确. 【变式5-3】（多选）（26-27高三上·四川成都·阶段检测）已知如图是函数的部分图象，则（     ） A． B．在上单调递增 C．的图象关于中心对称 D．的图象向左平移个单位长度后为偶函数 【答案】ABD 【分析】对于A，根据题图有，进而求出的值即可判断；再根据题图有和，从而求出的值，进而得到的解析式．对于B，根据余弦函数的单调性即可判断；对于C，根据余弦函数的对称性即可判断；对于D，根据函数平移及余弦函数的奇偶性即可判断． 【详解】对于A，由题图可得，即，又，得，故A正确； 又，即，而在增区间中， 故，得， 又，且，即，即，得，所以． 对于B，由，得，所以函数在上单调递增，故B正确； 对于C，由，所以不是函数的对称中心，故C错误； 对于D，将向左平移个单位长度后，得，则为偶函数，故D正确． 【考点题型六】三角函数中的恒（能）成立问题（核心考点） 【例6-1】（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）已知函数 (1)求函数的对称中心； (2)若方程在上有两个解，求的范围； (3)将函数的图象上所有点向下平移1个单位得到曲线，再将上的各点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．若，，不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，． (2) (3)． 【分析】（1）利用二倍角公式对化简，再利用三角函数的图象与性质求解即可； （2）结合在取值，根据有两个解，确定答案； （3）利用给定变换求出及在上的最小值，再利用关于的一次函数列出不等式组求解即得. 【详解】（1）因为， 所以， 令，，解得，，所以对称中心为，． （2）因为，所以，因为， 当，即时，单调递增， 当，即，单调递减， 当或时，， 当时，， 所以方程在上有两个解，所以． （3）因为函数的图象上所有点向下平移1个单位得到曲线，再将上的各点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，所以， 因为，，不等式成立，所以， 因为，所以， 当，即时，， 当时，令， 所以，即，即， 所以实数的取值范围． 【例6-2】（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知函数 (1)求的单调区间； (2)设函数的最小值为，求的最大值； (3)若任意，存在，使，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) (3) 【分析】（1）根据余弦函数的单调区间即可求解； （2）化简解析式，构造函数，结合二次函数的单调性，即可求得结果； （3）将条件等价于，根据值域，即可求出结果. 【详解】（1）由题知，， 令，则， 令，则， 则的单调递增区间为， 且的单调递减区间为. （2）由题知， ， 令，则， 设，开口向下，对称轴为， 若，即， 则当时，最小，且为， 若，即， 则当时，最小，且为， 综上，， 则在上递增，在上递减， 所以的最大值为. （3）若任意，存在，使， 等价于， 因为， 所以， 又，故 所以，即， 所以或，即的取值范围为. 【变式6-1】已知函数的图象相邻对称轴之间的距离是，将的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数为偶函数． (1)求函数的解析式和单调区间； (2)若，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1)，单调递增区间为：单调递减区间为： (2) 【分析】（1）根据已知条件求出，进而求出，再根据正弦型函数的单调性求出的单调区间； （2）先求出在区间内的值域，运用换元法转化已知条件为恒成立，进而利用二次函数的性质构造不等式组求出实数的取值范围． 【详解】（1）函数图象相邻对称轴之间的距离是， ，故， ，解得， ， 将的图象向左平移个单位长度，得到函数 的图象， 函数为偶函数， ， ， ，故， 令，解得； 令，解得． 函数的单调递增区间为， 单调递减区间为． （2）， ，故， 令，则恒成立， 等价于恒成立， 函数是关于的二次函数，函数图象开口向上，恒过定点， 由二次函数图象的性质，要使恒成立， 需满足，解得， 实数的取值范围为． 【变式6-2】（25-26高一下·北京·期中）条件①对任意的，都满足；条件②最小正周期为；条件③在上为增函数，这三个条件中选择两个，补充在下面的题目中，并解答．已知（，），若________，则，唯一确定． (1)求的解析式； (2)设函数，， ①求函数的值域； ②若存在，关于的不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)②③, (2)①；②． 【分析】（1）分别分析①②，②③，①③三种选择，对应的情况，可确定的值，求得的解析式； （2）根据（1）所得的的解析式，求得，利用正弦函数的单调性求得函数的值域；并根据该值域，分离参数并利用的单调性求得实数的取值范围． 【详解】（1）（1）若选择①②： 由条件②函数最小正周期为，得，所以. 所以. 由条件①对任意的，都在， 得函数的图象关于对称. 即，. 由，所以或. 即不能唯一确定，不合题意； 若选①③： 由条件①对任意的，都在， 得函数的图象关于对称. 由条件③在上为增函数，在处取得最大值， 且，即. 此时不能唯一确定，不合题意； 若选②③，由条件②函数最小正周期为，得，所以. 所以. 由条件③在上为增函数，且， 得函数在处取得最大值，且在处取得最小值， 所以. 由，得，唯一确定. 此时，. （2）①由（1）得． 由，得． 令，则． 因为在上单调递增，在上单调递减， 且， 所以，即， 所以，即函数的值域为． ②因为存在， 所以由关于的不等式成立， 得到． 令，得， 由解析式可知：在上是增函数， 所以的最小值在处取得最小值，即最小值为， 所以的取值范围是． 【变式6-3】（25-26高一下·辽宁沈阳·阶段检测）已知，，可能利用的公式是． (1)当时，求的值域；及取得最值时x的值； (2)若时，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)的值域为，当取最小值时或；当取最大值时， (2) 【分析】（1）令，，求出函数的最大值和最小值，并求出此时的值进而求出的值即可求出答案； （2）令，时，恒成立可化为在上恒成立，求出函数在上的最小值，即可求出答案. 【详解】（1）当时，， 令，，则， 函数可化为， 当时，函数取得最小值，最小值为， 此时，解得或， 所以的最小值为，此时或， 当时，，当时，， 所以当时，函数取得最大值，最大值为， 此时，解得， 所以的最大值为，此时， 综上所述，的值域为， 当取最小值时或； 当取最大值时，. （2）令， 因为，所以，所以， 当时，恒成立，即当时，恒成立， 可化为，即在上恒成立， 函数在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为， 所以， 所以实数a的取值范围为. 【考点题型七】三角函数中的零点个数问题（核心考点） 【例7-1】（25-26高一下·上海黄浦·期末）已知． (1)若，求函数在上的值域； (2)若函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简函数，代入求出的解析式，采用换元法，结合正弦函数的性质求函数在上的值域； （2）解方程，用换元法转化为，求出的解，利用函数在上恰有2个零点构造不等式求出实数的取值范围． 【详解】（1）， 当时，，令， 由得，故， 所以， 即函数在上的值域为． （2）令，则，即， 设，当时，， 满足的解满足或， 前3个解依次是：， 已知函数在上恰有2个零点，则， 解得，故实数的取值范围是． 【例7-2】（25-26高一下·北京·期中）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)求的对称轴方程； (3)若方程在有且仅有一个实根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由图象可得出的值以及函数的最小正周期，可求出的值，结合以及的取值范围可得出的值，由此可得出函数的解析式； （2）由可解得函数的对称轴方程； （3）由可得，由求出的取值范围，数形结合可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】（1）由图可知，函数的最小正周期为，又， 所以，所以， 因为，可得， 所以，则， 因为，故，因此. （2）由可得， 故函数的对称轴方程为. （3）由可得，即， 由可得， 令，则，如下图所示： 因为方程在有且仅有一个实根，则， 解得，即实数的取值范围是. 【变式7-1】（25-26高一下·安徽安庆·阶段检测）小王同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 2 (1)请将上表数据补充完整，并直接写出的解析式及其图象的对称轴方程； (2)若函数在上恰有个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) 0 ，图象的对称轴方程是，. (2). 【分析】（1）利用五点画图法求函数解析式； （2）把问题转化为三角函数图象与直线恰有一个交点，再求解. 【详解】（1）由题意可知，可得，，易知， 数据补全如下表： 所以，图象的对称轴方程是，. （2）令，得. 当时，， 则函数在上恰有1个零点， 等价于当时，的图象与直线恰有一个交点， 所以或，解得或， 即实数的取值范围是. 【变式7-2】（25-26高一下·内蒙古包头·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)若函数在上恰有两个不同的零点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据图象周期求出，再由过定点求出，进而求出解析式； （2）由，得到．结合在上有两个不同的零点，得到，解不等式即可． 【详解】（1）由图可得的最小正周期． 因为，且，所以． 因为的图象经过点，所以， 所以，即. 因为，所以，则． （2）因为，所以． 由，得，因为在上有两个不同的零点，所以， 解得． 故的取值范围为． 【变式7-3】（25-26高一下·四川南充·阶段检测）已知函数． (1)求的解析式； (2)已知，函数是偶函数，求的值； (3)若关于的方程在区间上有且只有一个实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）解：将原式化简为： （2）解：由（1）得， 由函数是偶函数， 得，解得， 而，所以或 （3）解：由，得， 由，得，函数在上单调递增， 由，得，函数在上单调递减， 依题意，在上有且只有一个实数根， 则直线与在上的图象有且只有一个交点， 则或， 所以实数的取值范围是． 【考点题型八】三角函数中的零点代数运算问题（核心考点） 【例8-1】（25-26高一下·河南平顶山·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)求关于的方程在上的所有实数解之和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据余弦函数图象先计算周期得出，再代入点的坐标得出即可求解解析式； （2）应用换元法结合余弦函数性质求解值域； （3）应用余弦解析式结合特殊值计算得出或，再结合定义计算求解. 【详解】（1）由图可知的一条对称轴为, 则该函数的最小正周期. 因为，且，所以. 因为的图象经过点，所以，所以. 因为，所以. 因为的图象经过点，所以，则， 故. （2）因为，所以，则，         故在上的值域为. （3）由，即，得， 则或， 解得或. 因为，所以，，，，，，              则， 即关于的方程在上的所有实数解之和为. 【例8-2】（25-26高一下·江西赣州·阶段检测）已知函数. (1)若关于的方程在时有实数根，求实数的取值范围； (2)若函数在上有3个零点，（其中），求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过将方程转化为，结合求解范围，进而得到的取值范围； （2）利用余弦函数的对称性确定三个零点的关系，进而求出的值，再代入计算结果即可. 【详解】（1）将方程变形为，即， 因为，即当时，，则， 因为， 故，所以. （2）因为函数在上有3个零点， 等价于方程在上有3个根， 令，由，可得， 则问题转化为在上有3 个根. 根据余弦函数的对称性可得，，则， 故， 即， 所以. 【变式8-1】（25-26高一下·江苏南京·开学考试）已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上不单调，求实数m的取值范围； (3)若方程的解为，（），求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图像的特点即可求出； （2）先求出函数的单调区间，再根据函数在区间上不单调列式即可； （3）先求出方程的解为，之间的关系，再利用三角函数的性质即可求出. 【详解】（1）由图可知，，，又，，故， 又函数图像过点，，即， 又，，故函数的解析式为. （2）令，解得， 令，解得， 故函数的单调递增区间为；单调递减区间为， 因为，当时，函数的单调递增区间为；单调递减区间为， 又函数在区间上不单调，故，所以的取值范围为. （3），即，，， 又，，即，故， 又，则， 故. 【变式8-2】（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知函数的图象如图所示. (1)求函数的单调递减区间； (2)已知方程在区间内有四个不相等的实数根，分别记为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦函数性质并结合图象求出函数解析式，再利用整体代入法求解单调递减区间即可. （2）利用换元法并结合题意得到在上有四个根，进而结合正弦函数的对称性求解即可. 【详解】（1）由函数解析式和图象可得， 最小正周期，则， 由，则有， 解得，又，得，故， 由， 可得， 故函数的单调递减区间为. （2）由，得， 当时，令，则， 则在上有四个根， 且， 则， 解得. 【变式8-3】（25-26高一上·四川成都·期末）已知函数. (1)当函数的最小正周期为时，求的值和的单调减区间； (2)若在上恰有两条对称轴，求的取值范围； (3)当时，在内有且仅有3个实数，使，求的值. 【答案】(1)，单调减区间为 (2) (3) 【分析】（1）由周期求出的值，即可求出函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）由的取值范围求出的范围，结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可； （3）依题意可得，由的取值范围求出的范围，根据正弦函数的对称性求出的值，即可得解. 【详解】（1）因为且最小正周期为， 所以，解得，所以， 令，，解得，． 所以的单调递减区间为，． （2）因为且，所以， 因为在上恰有两条对称轴，所以， 解得，所以的取值范围为； （3）当时， 由，则， 令，， 则在上有两条对称轴和， 又因为在内有且仅有3个实数，使， 则必有和关于对称，和关于对称， 所以有，即. 又因为，所以，， 即， 所以， 所以. 【考点题型九】三角函数中新定义题 【例9-1】（24-25高一下·安徽·阶段检测）定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数． (1)试判断函数在实数集上是不是有界函数？若是，给出证明；若不是，请说明理由； (2)若函数在上是有界函数，求M的最小值． 【答案】(1)函数在实数集R上是有界函数，证明如下： 因为， 所以． 故函数在实数集R上是有界函数． (2)5 【分析】（1）由辅助角公式结合三角函数的有界性即可判断； （2）只需求出函数的最大值即可，即只需求出函数的值域即可. 【详解】（1）略； （2）只要求函数的最大值即可． 因为，所以． 于是． 因此在上恒成立．故正常数M的最小值是5． 【例9-2】（23-24高一下·上海·期中）定义有序实数对的“跟随函数”为． (1)记有序数对的“跟随函数”为，若为偶函数，求的值； (2)记有序数对的“跟随函数”为，若函数，，请画出函数的图像，并求出与直线有且仅有四个不同的交点时，实数k的取值范围； (3)记有序数对的“跟随函数”，若在上恰有奇数个零点，求实数与零点的个数． 【答案】(1)； (2)； (3)；. 【分析】(1)由题意整理，再由偶函数的定义列出等式计算即可； (2)根据自变量的不同范围解出函数的解析式，利用辅助角公式对函数进行化简，结合函数的图像和与直线有且仅有四个不同的交点，求得实数的取值范围； (3)根据题意整理出，分别讨论：显然不成立；时，通过，推出，画出的图象，根据图象即可得出所求. 【详解】（1）由题意有序数对的“跟随函数”为， 若为偶函数，有， 故， 整理得，故； （2）由题意，则， 时，， 时，， 作出函数，的图象，如图，   在和上递增，在和上递减， ，，由图象可知，时， 函数，的图象与直线有且仅有四个不同的交点， 所以的范围是； （3）因为有序实数对的“跟随函数”为， 所以有序数对的“跟随函数”， 故， 时，显然不成立； 时，， 即，的定义域为， 设，则， 在上单调递增，且， 函数在上单调递减，所以在上单调递减； 同理，在和上单调递增；在上单调递减； ，，的周期为， 所以的函数图象如图所示，    在上，直线与的图象恰有奇数个交点， 结合图象，可得时，. 综上，，在上有个零点. 【变式9-1】（24-25高一下·陕西咸阳·阶段检测）若函数满足，且，则称函数为“函数”.已知函数为“函数”. (1)求函数的解析式； (2)求不等式的解集； (3)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）由题意得“函数”是周期为6的函数，且为其的一条对称轴，结合三角函数的周期及对称性即可求解； （2）由（1）知，利用三角函数的性质解不等式即可； （3）根据三角函数的图象变换及奇偶性即可求解. 【详解】（1）由，得， 所以是周期为6的函数， 由，得， 所以是的一条对称轴， 因为函数为“函数”，所以， 是的一条对称轴，所以. 因为，所以， 所以函数的解析式为. （2）由（1）知，，即， 所以， 解得， 即不等式的解集为. （3）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）， 得到函数， 再将所得图象向左平移个单位长度， 得到， 因为的图象关于轴对称， 所以，解得. 因为，所以时，取最小值，为. 【变式9-2】（24-25高一下·河南焦作·阶段检测）已知函数的定义域是，对于任意的，定义集合． (1)设，定义域，求； (2)设，定义域，若，求的取值范围； (3)设，定义域．求实数的取值范围，使得对任意的，且，都有． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，得到，即可求解； （2）由，得到，结合为，即可求解； （3）由任意，，都有，得到，根据的单调性，得到，令，得到，结合二次函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，其定义域， 所以，所以. 又由且，可得. （2）解：由函数，其定义域， 因为，所以， 又因为，所以，所以. （3）解：因为对任意，，都有， 则，则，所以， 又因为，所以在上单调递增， 因为， 令，则， 由在上单调递减，根据复合函数的单调性， 只需在单调递减即可，所以，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 【变式9-3】（25-26高一下·上海浦东新·期中）定义有序实数对的“跟随函数”为. (1)记有序数对的“跟随函数”为，若，求满足要求的所有； (2)记有序数对的“跟随函数”为，若函数与直线有且仅有二个不同的交点，求实数的取值范围； (3)已知，若有序数对的“跟随函数”在处取得最大值，当在区间变化时，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）代入有序数对得跟随函数，令化简得，结合求得唯一解. （2）代入有序数对得，进而得，化为，结合分析单调性、最值及图象，确定的取值范围为. （3）由得，化为正弦型函数，利用最大值点性质推出，再用二倍角公式化简，结合分析单调性，得的取值范围为. 【详解】（1）由定义，有序数对的跟随函数为. 令，即，移项得. 当时，两边同除以，得. 已知，满足的解为. 当时，显然不成立. 验证：当时，，符合条件. 故满足要求的所有为. （2）由题意，有序数对的跟随函数为，则，. 整理得. 令，由得，则，. 函数在上递增，在上递减. ，，. 作出函数，的图象. 由图象可知，当时，函数与直线有且仅有2个不同的交点. 所以实数的取值范围是. （3）由题意. 其中， 易知时，，， ， 同理，，， 时，函数是增函数，因此. 从而，即. 一、单选题 1．（25-26高二下·云南·学业考试真题）将函数图象上所有点向下平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将函数图象上所有点向下平移个单位长度，所得图象的函数解析式为. 2．（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）若将函数的图象向右平移个单位，再把所得图象上的每个点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角函数图象变化的规律求解即可. 【详解】的图象向右平移个单位得到， 再把所得图象上的每个点的横坐标缩小为原来的，得到 3．（2026·广东广州·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度得到，则（    ） A．是奇函数，最小正周期为 B．是偶函数，最小正周期为 C．是奇函数，最小正周期为 D．是偶函数，最小正周期为 【答案】B 【分析】先利用辅助角公式化简的解析式，再根据图象的平移变换得到的表达式，再逐一判断选项即可； 【详解】函数， ， 所以，是偶函数，最小正周期为. 4．（26-27高三上·安徽·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于，当时，， 结合图象可知，当时，，所以，即． 5．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知函数（，）的部分图象如图所示，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】正弦函数从零点上升到最高点，这段距离，即， 所以，所以， 又函数图象过零点，且此处函数处于上升段，则，得到. 6．（26-27高三上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出相位的范围，再结合正弦函数的性质可求参数的取值范围.. 【详解】当时，， 因为在上单调递增，故，故. 当时，， 因为在区间上有且仅有2个零点， 故，故， 综上， 7．（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）函数的部分图象如图所示，其中，，则下列说法正确的是（     ） A． B．函数的图象关于点对称 C．在区间上的所有实根之和为 D．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象 【答案】D 【分析】根据函数图象求出和的值，确定函数解析式，再逐项判断即可. 【详解】由图象可知，函数的最大值为3，最小值为−1，所以，选项A错误； 因为函数图象过点，所以，解得，又，所以， 所以. 令，得，函数的图象关于点对称，选项B错误； 令，即，等价于，或，解得或者， 因为，所以或或或，所有实数根之和为，选项C错误； 将函数的图象向右平移个单位长度，得到，选项D正确. 8．（26-27高三上·贵州·阶段检测）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】C 【详解】由题， 所以的图象可由的图象向左平移个单位得到. 二、多选题 9．（26-27高一上·河北保定·期中）如图，函数的图象与轴的一个交点为，与直线的相邻两个交点为，，且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．若区间内包含了的零点与对称轴，则 D．若将的图象沿轴平移个单位长度得到一个偶函数的图象，则的最小值为 【答案】AD 【分析】由可确定，代入，可得，再利用正弦型函数相关性质即可判断CD. 【详解】令得，或，， 由图可知：，， 所以，结合， 所以，所以，故A正确， 所以，由且处在减区间，得， 所以，， 所以，， 因为，所以，故B错误． 函数的零点满足， 函数的对称轴满足， 相邻的一个零点和极值点之间的最小距离为， 即在一个周期内，零点与相邻对称轴之间的最小距离为， 若区间内包含了的零点与对称轴，则即可，故C错误； 若的图象沿轴向右平移个单位得的图象， 为偶函数得，， 所以，，且， 则时，的最小值为， 若的图象沿轴向左平移个单位得的图象， 为偶函数得，， 所以，，且， 则时，的最小值为， 综合可知．的最小值为，D正确. 10．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）函数的部分图象如图所示，若将图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，则关于函数有下列四个说法，其中正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的一条对称轴为直线 C．函数的一个对称中心为 D．向左平移个单位长度得到的函数为偶函数 【答案】AD 【分析】根据图象求得的解析式，根据三角函数图象变换求得，根据的最小正周期、对称轴、对称中心、图象变换即可确定正确答案. 【详解】对于， 由图可知，， ，， 由于，即. 所以，则，所以. 将图象上的所有点向右平移个单位得到函数. 对于选项A，的最小正周期为，故A正确； 对于选项B，，故B错误； 对于选项C，点的纵坐标是，所以不是的对称中心，故C错误； 对于选项D，再向左平移个单位得到， 则，所以函数为偶函数，故D正确. 三、填空题 11．（26-27高三上·天津·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，其中，下列五个命题：①的最小正周期为；②的值为或；③将图象上的所有点向右平移个单位长度后，得到的函数图象关于原点对称；④函数在单调递减；⑤．其中真命题有______．    【答案】①③⑤ 【分析】根据三角函数解析式的求法求出，再根据正弦函数的性质及图象平移逐一分析即可. 【详解】因为，由图可知， ，可得，因为，所以或， ，当时，，解得； 当时，，解得，此时周期为， ，，与图象不符， 所以，，； 对于①：，故①为真命题； 对于②：，故②不是真命题； 对于③：，该函数为奇函数， 所以将图象上的所有点向右平移个单位长度后，得到的函数图象关于原点对称，故③为真命题； 对于④：，，， 令， 函数在上单调递减，在上单调递增，故④不是真命题； 对于⑤：，故⑤为真命题. 12．（26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则_________． 【答案】 【详解】由图象可知，函数的最大值为，最小值为，所以． 由图象可知，函数图象过最高点和最低点， 所以，即最小正周期． 因为，所以，此时． 将点代入函数解析式，得，即， 所以，解得． 因为，令，得，所以． 故． 13．（26-27高二上·上海徐汇·开学考试）函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是______. ① ② 的图象关于点 中心对称 ③ 在区间 上单调递增 ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】①③④ 【分析】根据图象特征确定函数的解析式，并进一步分析函数的对称性、单调区间以及图象变换规律. 【详解】由图象可知，函数的最大值为2，因为，所以. 又图象经过点，代入解析式得： ，即，解得. 因为，所以，故①正确； 由图象可知，函数在处取得零点，且此时图象处于下降阶段． 对于正弦曲线，当时，函数值为0且处于下降趋势． 所以，整理得：，解得：， 因为，且，所以.即函数解析式为． 将代入解析式：． 因为，所以点不是函数图象的对称中心，故②错误； 令，当时，， 正弦函数在区间上是单调递增的． 因为，所以函数在区间上单调递增，故③正确； 将的图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为： ，代入，得： ，这与函数的解析式完全一致，故④正确． 四、解答题 14．（26-27高二上·上海普陀·期中）已知函数． (1)求函数的单调递增区间和图象的对称中心的坐标； (2)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在区间内恰有3个零点，，，求的取值范围及的值． 【答案】(1)单调递增区间为；对称中心坐标为 (2)的取值范围为， 【分析】（1）根据正弦函数性质计算求解即可； （2）先求出并换元，数形结合求出的范围，利用对称性求和. 【详解】（1）令，解得， 所以函数的单调递增区间为， 令，解得， 所以函数图象的对称中心的坐标为； （2）将的图象向右平移个单位长度，得到的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到的图象， 所以． 当时，，令， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且． 所以当时，曲线与直线在内有3个交点，即函数在内有3个零点． 因为有3个实数根，且，关于直线对称，，关于直线对称， 所以，， 所以， 即，得． 综上，的取值范围是，的值为． 15．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）函数的一段图象如图所示. (1)求函数的解析式，并求的单调减区间； (2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据图象可分别求出，代入点坐标可得，即可求出解析式，再由整体代换法求出其减区间即可； （2）根据不等式能成立求出在上的最小值，解不等式即可求得结果. 【详解】（1）由图象知，， 因为，所以， 将图象上的点代入中得， 结合图象可知， 则， 又，所以，故. 令，解得， 的单调减区间是； （2）， 当，即时，取最小值. 因为存在，使不等式成立， ，即， 解得或， 因此的取值范围为. 16．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象． (1)求与的解析式； (2)求方程在区间内的所有实数解的和． 【答案】(1)， (2) 【分析】(1) 由图像的最值、周期、特殊点求三角函数解析式，平移时遵循 “左加右减、仅对x作用” 的规则;(2)三角方程区间内多解求和，先换元简化，结合正弦函数对称性判断解的分布与和，再回代计算原变量解的和. 【详解】（1）设函数的最小正周期为，由图象得，， 因为，由，解得， 将点代入，得， 又，解得，所以， 将图象向左平移个单位长度，得． （2）， ． 令，即． 当时，，令． 方程在区间内共有4个解，，，， 画出在的函数图象，如图： 满足，． 由，，， 解得，， 所以． 17．（26-27高三上·山东潍坊·阶段检测）如图，点和在函数的图象上． (1)求的解析式； (2)若，，求的值； (3)若关于的方程在区间上恰有3个不同的实数根，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）通过图形看出周期性求出，再代入最高点求出即可； （2）将原式展开求出，再通过求出，最后利用角的变形求解即可； （3）通过整体换元法令，最后通过方程的根的分布情况即可求解的取值范围． 【详解】（1）由图可得，所以， 由题意得为一个最高点，则，且，则，所以. （2）即， 因为，所以，所以，所以，从而. （3），令， 因为，则，从而原题即为在上恰有3个不同的实数根，方程的通解为或，在的范围内，满足条件的值从大到小依次排列为......，要使区间内恰有3个实数根，左端点必须落在第3个根和第4个根之间（包含第3个根，不包含第4个根），从而. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 三角函数（三角恒等变换，函数，三角函数的应用） （9个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识点01】两角和与差的余弦公式 两角和与差的余弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 【知识点02】两角和与差的正弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 【知识点03】两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,，，，. ③变形结论： 【知识点04】二倍角的正弦、余弦正切公式 ① ②； ； ③ 【知识点05】半角公式 ① ② ③ 【知识点06】辅助角公式： (其中) 【知识点07】五点法作图 必备方法：五点法步骤 ③ ① ② 对于复合函数， 第一步：将看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令等于，，，，，对应的则取，，，，。，（如上表中，先列出序号①②两行） 第二步：逆向解出（如上表中，序号③行。） 第三步：得到五个关键点为：，,,, 【知识点08】根据图象求解析式 形如的解析式求法： 1、求法： ①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置. ②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解. 2、求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出. 3、求法： ①第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点，将第一关键点代入求解. （第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离轴最近） ②最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解. ③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①②中的条件，可以寻找图象的其它特殊点代入解析式求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件取舍答案. 【考点题型一】给定角或者三角函数值，求三角函数值 核心方法：拼凑角 【例1-1】（25-26高一下·陕西西安·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知，则的值为________. 【变式1-1】（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知，则________． 【变式1-2】（25-26高一下·浙江·开学考试）若，则的值为______. 【变式1-3】（25-26高一下·全国·阶段检测）已知，则______．______． 【考点题型二】给定三角函数值，求角 【例2-1】（25-26高一上·湖南郴州·期末）已知都是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（25-26高一下·江西赣州·期中）已知 (1)求 的值; (2)求的值. 【变式2-1】（2026高一·全国·专题练习）已知，且，. (1)求的值； (2)求角的大小. 【变式2-2】（25-26高一下·山东潍坊·期末）已知，，. (1)求； (2)求. 【变式2-3】（24-25高一下·四川成都·期中）已知锐角，满足， (1)求的值． (2)求的大小． 【考点题型三】逆用两角和差公式 【例3-1】（25-26高一下·四川成都·阶段检测） （    ） A． B． C． D． 【例3-2】（26-27高二上·四川成都·阶段检测）（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（重难点培优02 三角恒等变换（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一下·江苏徐州·阶段检测）（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（26-27高三上·山东德州·阶段检测）（     ） A． B． C． D． 【考点题型四】三角函数图象平移，伸缩变换 【例4-1】（26-27高三上·河北沧州·阶段检测）已知函数，为了得到函数的图象，需将的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【例4-2】（24-25高一下·广东茂名·阶段检测）已知函数的图象相邻的两条对称轴间的距离为，为得到的图象，可将的图象上所有的点（   ） A．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 B．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 C．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 D．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 【变式4-1】（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）为了得到的图象，可以将函数 的图象上（    ） A．每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位 B．每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位 C．每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 【变式4-2】（25-26高一上·河北沧州·期末）将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的值可以是___. 【考点题型五】根据图象求解析式 【例5-1】（2026·四川绵阳·一模）函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【例5-2】（多选）（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数的图象关于直线对称 C．函数是奇函数 D．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象 【变式5-1】（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）已知函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（   ） A．函数解析式 B．将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．点是图象的一个对称中心 【变式5-2】（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）函数的部分图象如图所示，其中，，则下列说法正确的是（     ） A． B．函数的图象关于点对称 C．在区间上的所有实根之和为 D．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象 【变式5-3】（多选）（26-27高三上·四川成都·阶段检测）已知如图是函数的部分图象，则（     ） A． B．在上单调递增 C．的图象关于中心对称 D．的图象向左平移个单位长度后为偶函数 【考点题型六】三角函数中的恒（能）成立问题（核心考点） 【例6-1】（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）已知函数 (1)求函数的对称中心； (2)若方程在上有两个解，求的范围； (3)将函数的图象上所有点向下平移1个单位得到曲线，再将上的各点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．若，，不等式成立，求实数的取值范围． 【例6-2】（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知函数 (1)求的单调区间； (2)设函数的最小值为，求的最大值； (3)若任意，存在，使，求实数的取值范围. 【变式6-1】已知函数的图象相邻对称轴之间的距离是，将的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数为偶函数． (1)求函数的解析式和单调区间； (2)若，都有，求实数的取值范围． 【变式6-2】（25-26高一下·北京·期中）条件①对任意的，都满足；条件②最小正周期为；条件③在上为增函数，这三个条件中选择两个，补充在下面的题目中，并解答．已知（，），若________，则，唯一确定． (1)求的解析式； (2)设函数，， ①求函数的值域； ②若存在，关于的不等式成立，求实数的取值范围． 【变式6-3】（25-26高一下·辽宁沈阳·阶段检测）已知，，可能利用的公式是． (1)当时，求的值域；及取得最值时x的值； (2)若时，恒成立，求实数a的取值范围． 【考点题型七】三角函数中的零点个数问题（核心考点） 【例7-1】（25-26高一下·上海黄浦·期末）已知． (1)若，求函数在上的值域； (2)若函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围． 【例7-2】（25-26高一下·北京·期中）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)求的对称轴方程； (3)若方程在有且仅有一个实根，求实数的取值范围． 【变式7-1】（25-26高一下·安徽安庆·阶段检测）小王同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 2 (1)请将上表数据补充完整，并直接写出的解析式及其图象的对称轴方程； (2)若函数在上恰有个零点，求实数的取值范围. 【变式7-2】（25-26高一下·内蒙古包头·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)若函数在上恰有两个不同的零点，求m的取值范围． 【变式7-3】（25-26高一下·四川南充·阶段检测）已知函数． (1)求的解析式； (2)已知，函数是偶函数，求的值； (3)若关于的方程在区间上有且只有一个实数根，求实数的取值范围． 【考点题型八】三角函数中的零点代数运算问题（核心考点） 【例8-1】（25-26高一下·河南平顶山·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)求关于的方程在上的所有实数解之和. 【例8-2】（25-26高一下·江西赣州·阶段检测）已知函数. (1)若关于的方程在时有实数根，求实数的取值范围； (2)若函数在上有3个零点，（其中），求的值. 【变式8-1】（25-26高一下·江苏南京·开学考试）已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上不单调，求实数m的取值范围； (3)若方程的解为，（），求的值． 【变式8-2】（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知函数的图象如图所示. (1)求函数的单调递减区间； (2)已知方程在区间内有四个不相等的实数根，分别记为，求的值. 【变式8-3】（25-26高一上·四川成都·期末）已知函数. (1)当函数的最小正周期为时，求的值和的单调减区间； (2)若在上恰有两条对称轴，求的取值范围； (3)当时，在内有且仅有3个实数，使，求的值. 【考点题型九】三角函数中新定义题 【例9-1】（24-25高一下·安徽·阶段检测）定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数． (1)试判断函数在实数集上是不是有界函数？若是，给出证明；若不是，请说明理由； (2)若函数在上是有界函数，求M的最小值． 【例9-2】（23-24高一下·上海·期中）定义有序实数对的“跟随函数”为． (1)记有序数对的“跟随函数”为，若为偶函数，求的值； (2)记有序数对的“跟随函数”为，若函数，，请画出函数的图像，并求出与直线有且仅有四个不同的交点时，实数k的取值范围； (3)记有序数对的“跟随函数”，若在上恰有奇数个零点，求实数与零点的个数． 【变式9-1】（24-25高一下·陕西咸阳·阶段检测）若函数满足，且，则称函数为“函数”.已知函数为“函数”. (1)求函数的解析式； (2)求不等式的解集； (3)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，求的最小值. 【变式9-2】（24-25高一下·河南焦作·阶段检测）已知函数的定义域是，对于任意的，定义集合． (1)设，定义域，求； (2)设，定义域，若，求的取值范围； (3)设，定义域．求实数的取值范围，使得对任意的，且，都有． 【变式9-3】（25-26高一下·上海浦东新·期中）定义有序实数对的“跟随函数”为. (1)记有序数对的“跟随函数”为，若，求满足要求的所有； (2)记有序数对的“跟随函数”为，若函数与直线有且仅有二个不同的交点，求实数的取值范围； (3)已知，若有序数对的“跟随函数”在处取得最大值，当在区间变化时，求的取值范围. 一、单选题 1．（25-26高二下·云南·学业考试真题）将函数图象上所有点向下平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）若将函数的图象向右平移个单位，再把所得图象上的每个点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·广东广州·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度得到，则（    ） A．是奇函数，最小正周期为 B．是偶函数，最小正周期为 C．是奇函数，最小正周期为 D．是偶函数，最小正周期为 4．（26-27高三上·安徽·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知函数（，）的部分图象如图所示，则（     ） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）函数的部分图象如图所示，其中，，则下列说法正确的是（     ） A． B．函数的图象关于点对称 C．在区间上的所有实根之和为 D．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象 8．（26-27高三上·贵州·阶段检测）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 二、多选题 9．（26-27高一上·河北保定·期中）如图，函数的图象与轴的一个交点为，与直线的相邻两个交点为，，且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．若区间内包含了的零点与对称轴，则 D．若将的图象沿轴平移个单位长度得到一个偶函数的图象，则的最小值为 10．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）函数的部分图象如图所示，若将图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，则关于函数有下列四个说法，其中正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的一条对称轴为直线 C．函数的一个对称中心为 D．向左平移个单位长度得到的函数为偶函数 三、填空题 11．（26-27高三上·天津·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，其中，下列五个命题：①的最小正周期为；②的值为或；③将图象上的所有点向右平移个单位长度后，得到的函数图象关于原点对称；④函数在单调递减；⑤．其中真命题有______．    12．（26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则_________． 13．（26-27高二上·上海徐汇·开学考试）函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是______. ① ② 的图象关于点 中心对称 ③ 在区间 上单调递增 ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 四、解答题 14．（26-27高二上·上海普陀·期中）已知函数． (1)求函数的单调递增区间和图象的对称中心的坐标； (2)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在区间内恰有3个零点，，，求的取值范围及的值． 15．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）函数的一段图象如图所示. (1)求函数的解析式，并求的单调减区间； (2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 16．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象． (1)求与的解析式； (2)求方程在区间内的所有实数解的和． 17．（26-27高三上·山东潍坊·阶段检测）如图，点和在函数的图象上． (1)求的解析式； (2)若，，求的值； (3)若关于的方程在区间上恰有3个不同的实数根，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $