专题17 三角恒等变换突围公式变换与图象变换期末专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题17 高一上三角恒等变换突围·公式变换与图象变换（期末专项） 【人教A版必修第一册】 【知识导航】 知识点1　两角和与差的正弦、余弦、正切公式（人教A版必修第一册 5．5．1） ，． ，． （各正切值及分母有意义）． 知识点2　二倍角公式（5．5．2） ；；（分母不为零、正切有意义）． 由 可得降幂形式 ，． 知识点3　辅助角公式（5．5．2） ，其中 ，（教材「简单的三角恒等变换」把 化为 的形式）． 知识点4　函数 的图象（5．6．1，） 由 的图象出发：向左（）或向右（）平移 个单位长度得 ；再把各点横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变）得 ；最后把各点纵坐标变为原来的 倍（横坐标不变）得 ． 用「五点作图法」画一个周期内的简图：令 依次取 ，求出对应的 与 ，描点后用光滑曲线连接． 知识点5　函数 的性质（5．6．2） 最小正周期 ，值域 ；令 得取最大值的 ，令 得取最小值的 （）． 对称轴过最高点或最低点，由 解出；对称中心是图象与中轴线的交点，由 解出（）（人教A版必修第一册 5．4．2 正弦函数图象的对称性）． 下图给出某个正弦型函数在一个周期内的简图，图中只标出关键点的坐标，供类型4 的看图写解析式题使用；图内不写解析式． 【考点与教材出处对照】 1．和差角公式求值——5．5．1；2．二倍角与降幂——5．5．2；3．辅助角与化简——5．5．2；4．图象变换与求解析式——5．6．1；5．周期、最值、单调与对称——5．6．2、5．4．2． 【易错清单】 1．余弦和差符号相反： 右边是「」， 右边是「」，与正弦公式的符号规律不同． 2．先平移后伸缩：由 到 若先平移，平移量是 ；若先伸缩再平移，平移量是 ，务必看清变换顺序． 3．公式的条件：、 要求相关正切有意义且分母不为零；用 的三种形式时要按题目已知量选最便捷的一种． 4．周期不是 ：最小正周期只由 决定，； 只影响左右位置，不影响周期． 5．对称轴与对称中心别混：对称轴令 ，对称中心令 ，两者相差 ． 6．本章边界：本专题只用三角恒等变换与图象性质，不使用导数求单调区间，也不使用解三角形的正、余弦定理． 【类型1　两角和与差公式的求值与化简】 1．求 与 的值． 【答案】，． 【分析】把 、 后套和差角公式． 【详解】． ． 2．已知 ，，，，求 的值． 【答案】． 【分析】先用同角三角函数关系补全 ，注意象限定号． 【详解】由 得 ；由 得 ． 故 ． 3．化简 ． 【答案】． 【分析】把两角和的正弦、余弦公式展开后合并同类项，再逆用差角公式． 【详解】原式 ． ． ． 4． 的值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【分析】分别用 展开，或直接算两值之差． 【详解】，． 故 ，选 B． 5．已知 ，，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【分析】用差角正切公式，注意分子分母的符号． 【详解】，选 D． 6．若 ，则 ____________． 【答案】 【分析】用诱导公式，或把 看成两角和展开． 【详解】． **【方法小结】**和差角求值先拆角、再选公式、最后定符号；给一个三角函数值求另一个时，务必用象限判断正负． 【类型2　二倍角公式与降幂变换】 7．已知 ，，求 、、 的值． 【答案】，，． 【分析】先求 ，再依次用三个二倍角公式． 【详解】由 为锐角得 ，． ． ． ． 8．化简 （在原式有意义的条件下）． 【答案】 【分析】用降幂形式把 化成单角的平方． 【详解】由 得 ，． 故原式 （要求 ）． 9．求函数 的最小正周期与最大值． 【答案】最小正周期为 ，最大值为 ． 【分析】先用二倍角把式子合成 的形式． 【详解】． 故最小正周期 ，值域为 ，最大值为 ． 10．若 ，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【分析】选只含 的那一种二倍角余弦公式． 【详解】，选 C． 11．已知 ，则 ____________． 【答案】 【分析】直接代入二倍角正切公式，注意分母为负． 【详解】． **【方法小结】**二倍角余弦有三种形式：已知正弦用 ，已知余弦用 ，要把式子化成 时用 ． 【类型3　辅助角公式与三角函数式的化简】 12．把 化为 （，）的形式，并写出它的值域． 【答案】，值域 ． 【分析】先算 ，再由 定 ． 【详解】，于是 ． 取 ，，得 ，故原式 ． 正弦函数的值域是 ，故原式值域为 ． 13．求函数 的最小正周期、最大值以及取最大值时 的集合． 【答案】周期 ，最大值 ，此时 （）． 【分析】先化辅助角形式，再按正弦函数取最大值的条件求解． 【详解】． 故最小正周期 ，最大值为 ． 取最大值需 ，即 （）． 14．已知 ，求 的最小正周期，并写出它的单调递增区间． 【答案】周期 ；递增区间 （）． 【分析】先用二倍角化简成 ，再用正弦函数的递增区间． 【详解】，故 ． 正弦函数在 上递增，令 ． 解得 （）． 15．关于函数 ，下列说法正确的有（　　） A． 的最小正周期是 B． 的最大值是 C． 的图象关于直线 对称 D． 在区间 上单调递减 【答案】ABC 【分析】先化成 ，再逐项判断． 【详解】，故周期 ，最大值 ，A、B 正确． 对称轴满足 ，取 得 ，C 正确． 当 时 ，函数先增后减，不是单调递减，D 错误． 所以正确选项为 ABC． 16．函数 的最大值是____________． 【答案】 【分析】辅助角公式中振幅 ． 【详解】，故 ，最大值为 ． **【方法小结】**把 化成 后，周期、最值、单调、对称全部回到正弦函数； 由 、 共同确定，别只看一个． 【类型4　图象变换与由图象求解析式】 17．说明由 的图象经过怎样的变换可得到 的图象． 【答案】先向左平移 个单位，再把横坐标变为原来的 ，最后把纵坐标变为原来的 倍． 【分析】按教材 5．6．1 的三步顺序，先平移、后伸缩横坐标、再伸缩纵坐标． 【详解】第一步：把 图象向左平移 个单位长度，得 ． 第二步：把各点横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），得 ． 第三步：把各点纵坐标变为原来的 倍（横坐标不变），得 ． 18．用五点作图法列出函数 在一个周期内五个关键点的坐标． 【答案】． 【分析】令 依次取 ，反解 ． 【详解】由 ， 得 ，； 得 ，． 得 ，； 得 ，； 得 ，． 19．已知函数 （）的最大值为 ，最小正周期为 ，且图象过点 ，求 的解析式． 【答案】． 【分析】由最大值定 、由周期定 、由最高点定 ． 【详解】由最大值为 得 ；由 得 ． 点 是最高点，故 ，即 ． 由 取 ，得 ． 20．把 图象上各点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），再向左平移 个单位长度，所得图象对应的函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先伸缩得 ，再平移时是对 本身加减，平移量会乘上 ． 【详解】横坐标缩短到原来的 得 ． 再向左平移 个单位，把 换成 ，得 ，选 B． 21．函数 的最小正周期是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【分析】周期只由 决定． 【详解】，选 A． 22．如图6，它是函数 （）在一个周期内的简图，则 ____________． 【答案】 【分析】由最高点纵坐标定 ，由相邻零点与最高点的横坐标定周期与 ，再定 ． 【详解】由图中最高点纵坐标为 得 ；零点 到相邻最高点 相差 ，是 个周期，故 ，． 最高点满足 ，得 ；由 取 ． 故 ． **【方法小结】**图象变换务必按题目给的先后顺序逐步写解析式：每一步都是把 或整个函数替换；先伸缩再平移时，平移量要除以 ． 【类型5　图象性质：周期、最值、单调与对称】 23．求函数 的最小正周期、最大值及取最大值时 的集合、对称轴方程． 【答案】周期 ；最大值 ，此时 ；对称轴 （）． 【分析】把 当作整体 ，回到 的性质． 【详解】；当 时取最大值 ，解得 ． 对称轴满足 ，解得 （）． 24．求函数 的单调递减区间与对称中心． 【答案】递减区间 ；对称中心 （）． 【分析】余弦函数在 上递减，对称中心对应 ． 【详解】令 ，解得 ． 对称中心满足 ，解得 ，纵坐标为 ． 25．已知函数 （）的最小正周期为 ，且 ，，求 并写出 的单调递增区间． 【答案】；递增区间 （）． 【分析】由周期定 ，由 定 ，再用整体代换求递增区间． 【详解】由 得 ；由 且 得 ． 故 ．令 ． 解得 （）． 26．函数 的一条对称轴方程是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【分析】令 ，取整数 检验四个选项． 【详解】由 得 ；取 得 ，选 D． 27．函数 在区间 上的值域是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【分析】先求整体 的范围，再看正弦在该区间上的最值． 【详解】当 时 ． 在该区间上递增，取值 ，故 ，选 C． 28．关于函数 ，下列说法正确的有（　　） A．最小正周期是 B．图象关于点 对称 C．在区间 上单调递增 D．最大值是 【答案】ABC 【分析】逐项用 整体代换判断． 【详解】A：，正确． B：对称中心满足 ，取 得 ，正确． C：当 时 ，正弦在此区间递增，正确． D：最大值为 ，错误． 所以正确选项为 ABC． 29．函数 的图象的对称中心坐标是____________（写出一个即可）． 【答案】 【分析】令整体等于 ，取最简单的 ． 【详解】由 得 ，故一个对称中心为 ． **【方法小结】**研究 的性质一律用整体代换 ：把 的范围算准，再回到 的图象；写区间时不要漏掉 ． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17 高一上三角恒等变换突围·公式变换与图象变换（期末专项） 【人教A版必修第一册】 【知识导航】 知识点1　两角和与差的正弦、余弦、正切公式（人教A版必修第一册 5．5．1） ，． ，． （各正切值及分母有意义）． 知识点2　二倍角公式（5．5．2） ；；（分母不为零、正切有意义）． 由 可得降幂形式 ，． 知识点3　辅助角公式（5．5．2） ，其中 ，（教材「简单的三角恒等变换」把 化为 的形式）． 知识点4　函数 的图象（5．6．1，） 由 的图象出发：向左（）或向右（）平移 个单位长度得 ；再把各点横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变）得 ；最后把各点纵坐标变为原来的 倍（横坐标不变）得 ． 用「五点作图法」画一个周期内的简图：令 依次取 ，求出对应的 与 ，描点后用光滑曲线连接． 知识点5　函数 的性质（5．6．2） 最小正周期 ，值域 ；令 得取最大值的 ，令 得取最小值的 （）． 对称轴过最高点或最低点，由 解出；对称中心是图象与中轴线的交点，由 解出（）（人教A版必修第一册 5．4．2 正弦函数图象的对称性）． 下图给出某个正弦型函数在一个周期内的简图，图中只标出关键点的坐标，供类型4 的看图写解析式题使用；图内不写解析式． 【考点与教材出处对照】 1．和差角公式求值——5．5．1；2．二倍角与降幂——5．5．2；3．辅助角与化简——5．5．2；4．图象变换与求解析式——5．6．1；5．周期、最值、单调与对称——5．6．2、5．4．2． 【易错清单】 1．余弦和差符号相反： 右边是「」， 右边是「」，与正弦公式的符号规律不同． 2．先平移后伸缩：由 到 若先平移，平移量是 ；若先伸缩再平移，平移量是 ，务必看清变换顺序． 3．公式的条件：、 要求相关正切有意义且分母不为零；用 的三种形式时要按题目已知量选最便捷的一种． 4．周期不是 ：最小正周期只由 决定，； 只影响左右位置，不影响周期． 5．对称轴与对称中心别混：对称轴令 ，对称中心令 ，两者相差 ． 6．本章边界：本专题只用三角恒等变换与图象性质，不使用导数求单调区间，也不使用解三角形的正、余弦定理． 【类型1　两角和与差公式的求值与化简】 1．求 与 的值． 2．已知 ，，，，求 的值． 3．化简 ． 4． 的值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 5．已知 ，，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 6．若 ，则 ____________． 【类型2　二倍角公式与降幂变换】 7．已知 ，，求 、、 的值． 8．化简 （在原式有意义的条件下）． 9．求函数 的最小正周期与最大值． 10．若 ，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 11．已知 ，则 ____________． 【类型3　辅助角公式与三角函数式的化简】 12．把 化为 （，）的形式，并写出它的值域． 13．求函数 的最小正周期、最大值以及取最大值时 的集合． 14．已知 ，求 的最小正周期，并写出它的单调递增区间． 15．关于函数 ，下列说法正确的有（　　） A． 的最小正周期是 B． 的最大值是 C． 的图象关于直线 对称 D． 在区间 上单调递减 16．函数 的最大值是____________． 【类型4　图象变换与由图象求解析式】 17．说明由 的图象经过怎样的变换可得到 的图象． 18．用五点作图法列出函数 在一个周期内五个关键点的坐标． 19．已知函数 （）的最大值为 ，最小正周期为 ，且图象过点 ，求 的解析式． 20．把 图象上各点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），再向左平移 个单位长度，所得图象对应的函数是（　　） A． B． C． D． 21．函数 的最小正周期是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 22．如图6，它是函数 （）在一个周期内的简图，则 ____________． 【类型5　图象性质：周期、最值、单调与对称】 23．求函数 的最小正周期、最大值及取最大值时 的集合、对称轴方程． 24．求函数 的单调递减区间与对称中心． 25．已知函数 （）的最小正周期为 ，且 ，，求 并写出 的单调递增区间． 26．函数 的一条对称轴方程是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 27．函数 在区间 上的值域是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 28．关于函数 ，下列说法正确的有（　　） A．最小正周期是 B．图象关于点 对称 C．在区间 上单调递增 D．最大值是 29．函数 的图象的对称中心坐标是____________（写出一个即可）． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $