专题强化训练4：圆与方程【十大题型 培优】-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题强化4：圆与方程 题型一：圆的方程 1 题型二：轨迹方程 3 题型三：点与圆的位置关系 4 题型四：圆的几何关系 5 题型五：直线与圆的位置关系 7 题型六：圆的切线方程 9 题型七：圆的弦长、圆心距问题 11 题型八：圆与圆的位置关系 13 题型九：圆的公切线问题 14 题型十：直线和圆的定点定值问题 16 题型一：圆的方程 【例1】．（26-27高二上·甘肃甘南·期中） （1）已知圆经过点，，且圆心在直线上，求圆的方程； （2）已知圆关于直线对称的圆为圆，求圆的方程． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）因为圆心在直线上，所以设圆心为．由题意，得圆心到点和的距离相等， 即． 整理得，即，解得．所以圆心的坐标为， 圆半径的平方为．故圆的方程为． （2）圆的圆心为，半径． 设关于直线的对称点为． 则线段的中点在直线上，且直线与直线垂直， 则，解得，即． 因为两圆关于直线对称，所以两圆半径相同，即圆的半径为3． 故圆的方程为． 【变式1】．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）求下列各圆的标准方程： (1)圆心在直线上，且与直线切于点； (2)圆心在轴上，并且与直线，都相切. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）先求出过点与直线垂直的直线，再与直线联立即可求出圆心坐标，再由点到直线的距离公式即可求出半径，由此即可写出答案； （2）设圆心，由圆心到直线与直线的距离相等都为半径，即可求出圆的标准方程. 【详解】（1）直线的斜率，则与其垂直的直线斜率， 所以过点与直线垂直的直线为：，化简得：， 所以圆心在直线与直线上， 联立，解得圆心坐标为， 所以圆心到直线的距离， 所以 所以圆的标准方程为：. （2）设圆的标准方程为：，圆心，半径， 因为圆与直线，都相切 所以，解得或， 当时，，圆的标准方程为：， 当时， ，圆的标准方程为：. 所以圆的标准方程为：或. 【变式2】．（26-27高二上·广东惠州·期中）（1）圆心C在x轴上，且圆经过点，，求该圆的方程； （2）三角形ABC的三个顶点，，，求该三角形外接圆的方程． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由题意得圆心在轴上，设圆心为，半径为， 可得圆的标准方程为， 将，代入得， 解得，代入得，所求圆的方程为. （2）设三角形外接圆的一般方程为， 将代入，可得，将代入，得，解得， 将代入得，解得， 所求外接圆方程为，即. 题型二：轨迹方程 【例2】．（26-27高二上·安徽六安·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则动点C的轨迹方程为________． 【答案】 【详解】设动点 ，因为， 所以 因为， 所以，展开整理： 所以，即， 所以，动点C的轨迹方程为 【变式1】．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆：，又点在圆上运动，点，则线段中点的轨迹方程为______. 【答案】 【详解】设在圆上运动，则：①, 设的中点，由中点坐标公式：， 解得， 将代入①：得化简得： 即：因此线段中点的轨迹方程为：． 【变式2】．（2026高二·全国·专题练习）已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，则弦的中点的轨迹方程为_____________． 【答案】（） 【详解】由恒过，且与圆相交于、， 而的圆心为，令的中点为，则， 若点不重合时，，点在以线段为直径的圆上，且， 若点重合时，点也在以线段为直径的圆上， 所以弦的中点的轨迹方程且． 题型三：点与圆的位置关系 【例3】．（26-27高二上·河北·阶段检测）已知点在圆外，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将圆的方程化为标准方程得，所以，解得或， 又点在圆外，故，解得，因此的取值范围为． 【变式1】．（26-27高二上·安徽芜湖·阶段检测）已知点关于直线对称的点在圆：外，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】设点关于直线对称的点， 则，解得. 因为在圆外，所以，可得 且表示圆可得，即得 综上可得. 【变式2】．（25-26高二上·辽宁辽阳·期末）已知直线l：与圆C：，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定的 【答案】C 【详解】因为直线为，即， 由，得，则直线过定点. 因为，所以点在圆的内部，则直线与圆相交. 故选：C 题型四：圆的几何关系 【例4】．（26-27高二上·甘肃甘南·期中）已知圆与直线，则圆的圆心到直线的距离的最大值为（    ） A．3 B．1 C． D．0 【答案】C 【详解】化为标准方程为， 则圆的圆心为，半径为1. 圆心到直线的距离为， 因为，所以，则，当且仅当时，等号成立， 所以，即圆心到直线的距离的最大值为. 【变式1】．（26-27高二上·天津南开·期中）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆：上，则它爬行的最短路程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由圆，可得圆心，半径， 根据最短路径的对称转化规则，蚂蚁从出发经轴到圆上的最短路程， 等价于点关于轴的对称点到圆上点的最短距离， 由关于轴对称的点的坐标性质，得的对称点为， 根据两点间距离公式， ， 圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去半径， 因此最短路程为 【变式2】．（26-27高二上·天津河北·阶段检测）已知点，，动点在圆上，则的面积的最大值为（） A．15 B． C．16 D． 【答案】D 【详解】已知，，由两点间距离公式得：， 由截距式可得直线的方程为，整理为一般式：， 由圆，得圆心，半径， 圆心到直线的距离：， 圆上的点到直线的距离的最大值为， 因此面积的最大值为：. 题型五：直线与圆的位置关系 【例5】．（26-27高二上·山东聊城·阶段检测）已知函数 的图象上有且仅有两个不同的点关于直线 的对称点在 的图象上，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上， 关于直线的对称直线为， 故题意等价于函数的图象和的图象有两个交点， 令，即， 设直线和相切， 由，解得或（舍）， 又当直线过点时，解得， 所以的取值范围是． 【变式1】．（26-27高二上·广东东莞·期中）若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点， 又曲线可化为，其表示以为圆心，半径为2的圆的上半部分，如图. 当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得， 设，则， 由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，须得，即. 【变式2】．（26-27高二上·甘肃兰州·期中）已知，点为直线上的动点，过点作直线与相切于点．若，则的最小值为（     ） A．4 B． C． D．2 【答案】C 【详解】设，由已知，圆半径为， 由切线的性质可得，故， 它表示点到点的距离，故， 设关于直线的对称点为，则， 所以， 易知当三点共线时，取得最小值， 因此的最小值为． 题型六：圆的切线方程 【例6】．（26-27高二上·内蒙古赤峰·阶段检测）一条光线从点射出，经x轴反射后，反射光线所在直线与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（   ） A． B．不存在 C．或不存在 D．或0 【答案】A 【详解】圆的圆心坐标为，半径为1， 点关于轴的对称点的坐标为，由题意，点在反射光线所在直线上， 设反射光线所在直线方程为，即， 因为反射光线所在直线与圆相切， 所以，解得或， 当时，反射光线为，与轴无交点，不符合反射要求，所以. 【变式1】．（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）已知圆，为圆的一条弦，且，若圆上存在点，使得直线，与圆相切，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 圆，圆心为，半径为1， ，取的中点，， 弦心距， ，与圆相切，所以，， ，， 所以，， 所以点轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 要使圆上存在满足条件的点，即圆与点的轨迹圆有公共点， ， ， 解得. 【变式2】．（25-26高二下·海南·期末）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆的圆心为，则圆心坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径， 所以点P到圆心C的最大距离为， 因为A为切点，所以， 所以， 所以四边形面积的最大值. 题型七：圆的弦长、圆心距问题 【例7】．（26-27高二上·吉林长春·期中）已知点，直线及圆． (1)求直线所过的定点的坐标； (2)求过点的圆的切线方程； (3)若直线与圆相交于，两点，且弦的长为，求的值． 【答案】(1)定点的坐标为 (2)和 (3) 【详解】（1）因为直线即为， 不论取何值，必定使方程成立，即直线经过定点， 所以定点的坐标为. （2）由题意可知：圆的圆心为，半径. 当直线斜率不存在时，直线为， 圆心到该直线的距离为，满足切线条件； 当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得， 所以切线方程为； 综上所述：过点的圆的切线方程为和. （3）设圆心到直线的距离， 则，即，解得， 则，解得. 【变式1】．（26-27高二上·广东深圳·期中）已知圆经过，，三点． (1)求圆的一般方程； (2)若直线经过点且被圆截得的弦长为，则求直线的一般方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：设圆的一般方程为，其中， 因为圆经过，，三点， 代入方程得，即， 解得，所以圆的一般方程为. （2）解：由（1）圆，可化为， 所以圆的圆心为，半径， 设圆心到直线的距离为，由圆截直线的弦长为，可得， 又因为直线过点， 当直线斜率不存在，即，圆心到的距离为，符合题意； 当直线斜率存在时，设直线的斜率为，可得直线的方程为， 即，可得，解得， 此时直线的方程为， 综上可得，直线的方程为或. 【变式2】．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知两点，，且动点满足． (1)求点的轨迹方程； (2)过点的直线交曲线于异于点的点，当时，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 和 【详解】（1）设动点，根据两点间距离公式有，. 又因为，两边平方得. 展开整理，化简得轨迹方程. （2） 首先验证在曲线上，代入得，满足方程. 又曲线是圆心为，半径的圆. 若直线斜率不存在，则方程为，与仅交于点，不符合题意，故斜率存在. 设直线的斜率为，方程为，即. 由圆的弦长公式，其中为圆心到直线的距离， 代入，，解得. 由点到直线的距离公式，两边平方整理得，解得，即. 当时，直线方程为；当时，直线方程为. 经检验，两条直线均与交于异于的点，符合要求. 题型八：圆与圆的位置关系 【例8】．（26-27高二上·全国·期中）已知圆的圆心在圆上，且和交于，两点，则__． 【答案】/ 【详解】圆， 则圆的圆心为， 由题意可知，，解得， 故圆，即， 则圆心，半径， 两圆相减可得，，即为直线的方程， 圆心到直线的距离， 所以． 【变式1】．（26-27高二上·天津东丽·阶段检测）已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在直线的方程为______；公共弦长为______． 【答案】 【详解】由圆和圆， 两圆的方程，相减可得，即， 即两圆的公共弦所在的直线方程为， 又由圆，可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 则公共弦长为. 【变式2】．（25-26高一下·重庆·期中）圆，圆，且，分别为两圆半径，圆和圆有且仅有一条公切线，则直线的方程为__________. 【答案】或 【详解】联立，①-②得， 由，得， 因为圆和圆有且仅有一条公切线：， 所以圆和圆相内切，故， 即或， 代入公切线方程得， 则直线的方程为或 题型九：圆的公切线问题 【例9】．（26-27高二上·天津东丽·阶段检测）已知圆：，圆：，则两圆公切线的条数为（     ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【详解】圆的标准方程为，故圆心，半径； 将圆的一般方程配方，得，故圆心，半径； 两圆圆心距： ， 由，可知两圆外切， 故两圆公切线的条数为3. 【变式1】．（26-27高二上·重庆江北·阶段检测）已知点，直线，圆的圆心为点A关于直线l的对称点，且圆的半径为2，若圆的方程为，则圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】设点A关于直线l的对称点，，解得， 则的圆心为，半径为2， ，圆心为，半径为， 圆与圆的圆心距， 又， 所以圆与圆外切， 则圆与圆的公切线条数为． 【变式2】．（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两圆方程得圆心和半径，判断两圆外离，求公切线时，利用圆心到直线的距离等于半径这一条件，逐一检验选项：分别计算两圆心到各直线的距离，若都等于半径，则该直线为公切线. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 两圆半径相等，圆心距所以两圆外离，有公切线； A选项：，圆心到该直线距离，不是切线，A选项错误； C选项：，圆心到该直线距离，也不是切线，C选项错误； B选项：，圆心到直线距离，不是切线，B选项错误； D选项：，圆心到直线距离，圆心到直线距离， 两者都等于半径，所以是两圆的一条公切线，D选项正确. 题型十：直线和圆的定点定值问题 【例10】．（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）设，，，圆过三个点. (1)求圆的方程； (2)设点，若圆上存在点，使得成立，求实数的取值范围； (3)设斜率为的直线与圆相交于两点（不与原点重合），直线斜率分别为，且，证明：直线恒过定点. 【详解】（1）已知圆过 ，，三点，观察可知，点和点的横坐标相同，线段的垂直平分线方程为，圆心定在这条垂直平分线上，故设圆心坐标为 ， 由圆的性质知 ，即：， 展开得：，解得：， 所以圆心为，半径 ，圆的方程为：； （2）设点在圆上，，，取线段的中点，坐标为 ，即 ， 的长度为 ，由中线长公式，有：，因为 ，且 ， 代入得：，点 到圆心的距离平方为：， 所以 ，因为点 在圆上，的最大值为 ，最小值为 ， 因此 ，计算得：， 所以 的取值范围是 ， 实数的取值范围是：； (3)设直线的方程为，因为直线与圆相交于异于原点的两点，故，将直线方程代入圆的方程中：， 整理得：，设，，由韦达定理得：， ， 已知直线，斜率分别为，，且 ，则：， 又因为 ，，所以：，代入 ， 得：，将韦达定理代入上式：， 等式两边同乘 ：，展开化简得：，，， 因为 ，两边同除以得：，将代回直线的方程：，由此可知，当时，无论取何值，恒为 ， 故直线恒过定点 . 【变式1】．（26-27高二上·江苏扬州·期中）已知圆的圆心为坐标原点，且经过点，圆与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点． (1)求圆的标准方程； (2)是圆上一点且不在坐标轴上，直线交轴于点，直线交轴于点，求证：为定值； (3)若直线的斜率存在，且与圆交于两点（异于点），直线与直线的斜率之积为，求证：直线过定点． 【详解】（1）由已知得圆的半径， 所以圆的标准方程为． (2)证明：由（1）可知，，设，则 ，由题意知，直线的方程为，令，得，所以， 由，得直线BP的方程为， 令，得，所以，所以 所以为定值； (3)证明：设直线的方程为，，， 已知，联立，得， ，即， 所以，． 所以 ， 所以， 所以， 整理得，所以或， 当时，直线的方程为，恒过点，不符合题意； 当时，直线的方程为，恒过点，符合题意． 所以直线过定点． 【变式2】．（26-27高二上·福建·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们以他的名字命名该种圆，称之为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点所构成的曲线为． (1)求曲线的标准方程； (2)已知直线与曲线交于，两点（不与原点重合），直线，斜率分别为，，求证为定值； (3)过点作直线与曲线交于，两点，若，求的方程（一般式表示）． 【详解】（1）设点，因为，所以，整理得． （2）证明：设直线与曲线的交点为，，则， 联立消去， 可得， ，所以， 其中，， 所以 （3）当斜率为零时，即，此时或，不符合题意； 故可设其方程为，设，， 由消去得， 所以， ①，②． 由，，得， 所以，，③， 联立①②③，可得，即， ∴直线的方程为． 一、单选题 1．（26-27高二上·新疆喀什·期中）已知方程表示圆，则其圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由圆的一般方程，其圆心坐标为. 可得圆的方程，对应， 代入公式计算可得：圆心横坐标为，纵坐标为， 因此圆心坐标为. 2．（26-27高二上·北京丰台·期中）直线被圆所截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵直线 直线恒过定点 ， 由，圆心 ，半径 ， ∴，即点在圆内， 故当 与该 直线垂直时，弦心距最大，则弦长最小 此时弦长最小值为. 3．（26-27高二上·新疆喀什·期中）已知两条动直线和交于点，则点的轨迹方程为（    ） A． B．（去除） C． D．（去除） 【答案】B 【详解】易知直线恒过定点，直线恒过定点， 且两直线互相垂直，其中的斜率不为0，的斜率一定存在， 所以点的轨迹是以为直径的圆（去除）， 圆心为的中点，半径为， 所以圆的方程为， 整理可得（去除）. 4．（26-27高二上·辽宁沈阳·期中）已知圆：，圆：．若圆上存在点，使得过点可作圆的两条切线，切点分别为，，且．则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图所示，圆：，圆心为，半径为， 圆：，圆心为，半径为， 由题意得：，，， 所以，则，， 设，则，即：点的轨迹方程是圆， 则原题等价于和有公共点， 圆和圆圆心距为：，若两圆有交点，则需满足：，解得：. 5．（26-27高二上·天津河北·阶段检测）已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】曲线整理得， 则该曲线表示圆心为，半径为1的圆的上半部分， 直线即过定点， 如图， 当时，曲线与直线有两个不同的交点，由，得或，所以，， 所以实数的取值范围是. 6．（26-27高二上·湖北襄阳·阶段检测）设圆：，直线：，为上的动点，过点作圆的两条切线、切点分别为A、B，则直线过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可设，则以为直径的圆的圆心为， 半径为， 所以以为直径的圆的方程为， 化简得， 所以为圆C和以为直径的圆的公共弦， 联立可得，两式相减可得， 即， 因该式对任意成立，故，解得定点为， 故直线过定点. 7．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线与圆交于A，B两点，当的面积最大时，（    ） A． B． C．0或 D．0或 【答案】D 【分析】利用已知直线与圆的位置关系，结合三角形面积公式和点到直线的距离公式列关于的方程求解． 【详解】 直线， 圆是圆心为，半径为的圆， 的面积，， 当时，的面积最大，此时圆心到直线l的距离为， ，解得或，经验证均符合题意， 当的面积最大时，或． 故选：D． 二、多选题 8．（26-27高二上·甘肃临夏·期中）已知圆，直线，则（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆一定有两个交点 C．若不经过第三象限，则 D．圆与圆恰有条公切线 【答案】ACD 【详解】圆的圆心为，半径为. 对于A，把直线的方程变形得，令且，解得，，所以直线恒过定点，A正确； 对于B，圆心到直线的距离为，取，得，此时直线与圆没有交点，B错误； 对于C，直线的方程变形为，若不经过第三象限，则，解得，C正确； 对于D，圆，即，其圆心为、半径为， 两圆圆心距为，而两圆半径分别为2，3，由知两圆外切，恰有3条公切线，D正确. 9．（26-27高二上·河北·期中）已知直线：，圆：，则下列结论正确的是（     ） A．直线与圆相交 B．当时，圆上有四个点到直线的距离等于 C．当直线与圆相交于，两点时，的最小值为 D．直线与轴垂直时，直线与圆的交点中位置较上的交点为，则过点且与圆相切的直线方程是 【答案】ACD 【详解】直线：即为， 令，解得， 可知直线过定点. 圆：即为， 可知圆的圆心为，半径， 设圆心到直线的距离为，则. 对于选项A：因为，即点在圆内， 所以直线与圆相交，故A正确； 对于选项B：当时，直线：， 圆心到直线的距离， 所以圆上有个点到直线的距离等于，故B错误； 对于选项C：因为， 当且仅当直线时，等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 对于选项D：当直线与轴垂直时，则直线：， 联立方程，解得或，即， 则直线的斜率，可知切线斜率为1， 所以所求切线方程为，即，故D正确. 10．（26-27高二上·云南玉溪·期中）已知圆：，直线：，直线与圆交于，两点，则（     ） A．直线过定点 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．当圆上恰有三个点到直线的距离等于时， 【答案】ACD 【详解】对于A，由可得，令，则且，所以直线过定点，选项A正确； 对于B，由A知，直线过定点，由，则点在圆内， 由圆的弦长公式为，即，则当最大时，弦最小，即当时， 的最大值为，此时的最小值为，选项B错误； 对于C，由B可知，又，所以，则， 因为， 又因为，则，所以，即， 所以的最大值为，选项C正确； 对于D，由题可知半径，因为圆上恰有三个点到直线的距离等于，则圆心到直线的距离为， 又直线：，圆心为，所以圆心到直线的距离，解得，选项D正确. 11．（26-27高二上·河北邯郸·期中）已知是圆上的一点，是直线上的一点，则下列结论正确的是（    ） A．点到直线的距离的取值范围是 B．若直线与圆相切，则的最小值为 C．若，则点的横坐标的取值范围是 D．若是直线与轴的交点，，则的最小值为 【答案】BD 【详解】由圆，可得圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以点到直线的距离的取值范围是，即，故A错误； 因为直线与圆相切，所以，所以， 所以最小时，取得最小值，又， 所以，故B正确； 因为，所以在圆上存在使， 又直线与圆相切时，最大，即此时， 又由正弦定理可得，所以， 设，所以，所以， 又，所以，所以， 所以，解得， 所以点的横坐标的取值范围是，故C错误； 当是直线与轴的交点时，可得， 取点，设，令，可得， 化简得，即为圆，所以， 所以， 当且仅当三点共线且在之间时取等号，故D正确. 三、填空题 12．（26-27高二上·江苏扬州·期中）已知复数满足，复数满足，则的最大值为________________________． 【答案】18 【详解】因为，说明在复平面上是以为圆心，半径的圆上； ，说明是以为圆心，半径的圆上，则就是两圆上两点之间的距离. 圆心距为， 则两圆上点距离最大值为，即的最大值为18. 13．（26-27高二上·天津北辰·阶段检测）已知点满足关系式：，求：（1）的最小值_______；（2）的最大值_______ 【答案】 / / 【详解】（1）可化为，即P点的轨迹为以为圆心，半径的圆； 设，即原点和圆上点连线的斜率，直线，整理得， 直线与圆相切时，斜率取得最值，即圆心到直线的距离， ，解得，故； （2）由题意得，，为圆上点到原点的距离， 原点到圆心的距离：， 圆上点到原点距离的最大值为：， 故. 14．（26-27高二上·广东深圳·期中）已知圆，点，若圆上的任意点，都满足为钝角，则的取值范围为_____________. 【答案】 【详解】当时，，此时点在以为直径的圆上， 因为为钝角，所以点P在圆内部. 要使圆上任意点满足条件， 需圆整体在圆内部： 即，即，又，所以的取值范围是. 15．（25-26高二上·四川成都·期中）已知为直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为 【答案】/ 【详解】设，过点引圆的两条切线，切点分别为， 则切点在以为直径的圆上，圆心，半径， 则以为直径的圆的方程是，整理得， 又点在圆上，两圆方程相减得到，即直线AB的方程是，则直线恒过定点， 所以点到直线的距离， 所以点到直线的距离的最大值为.故答案为：. 四、解答题 16．（26-27高二上·新疆喀什·期中）已知圆与圆相交于，两点． (1)判断两圆公切线的条数； (2)求两圆公共弦所在直线的方程； (3)求线段的长． 【详解】（1）因为两圆相交，所以两圆有两条公切线； （2）联立， 两式相减，得到， 即直线AB的方程为； （3）由（2）知直线的方程为， 联立，可得或，     则. 17．（26-27高二上·北京丰台·期中）已知圆，圆. (1)判断圆和圆的位置关系； (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 【详解】（1）圆方程可整理为：， 则圆心，半径， 由圆方程可知：圆心，半径， 因为， 所以，所以圆和圆相交； （2）当过的切线斜率不存在时，即为时，其与圆相切； 当切线斜率存在时，可设所求切线的方程为：，即， 所以圆心到切线的距离，即，解得：， 代入切线方程得：， 综上，切线的方程为：或． 18．（26-27高二上·河北·期中）在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：，直线：． (1)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦长； (2)直线与圆相交于，两点，与圆相交于，两点，且，若直线不经过点，求的值及对应的的取值范围． 【详解】（1）圆，圆心，半径； 圆，圆心，半径． 将两圆方程相减，得，即公共弦所在直线的方程为． 圆心到直线的距离， 所以公共弦长为． （2）直线，设圆心和到直线的距离分别为，． 因为且，由勾股定理，得，即， 所以， 两边平方得，，即， 故． 当时，直线． 因为直线与圆和圆相交，所以， 解得． 当直线经过点时，，解得，舍去， 故的取值范围为． 当时，，此时直线，经过点，不符合题意，舍去． 综上，的值为，对应的的取值范围为. 19．（26-27高二上·上海普陀·期中）在平面直角坐标系中，已知、，动点满足，记动点的轨迹为.已知动点在直线上，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、. (1)求曲线的方程； (2)直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由； (3)设直线、、的斜率分别为、、.证明：存在常数，使得恒成立. 【详解】（1）设， 又因为、，， 所以， 整理得. 所以曲线是以原点为圆心，半径的圆，方程为. （2）设，， 因为，所以点恒在圆外. 设切点，则切线方程为，将点代入，得； 同理，对切点，有. 所以直线的方程为，即. 则，解得. 所以直线恒过定点. (3)由，，，， 得，，. 由直线的方程与圆的方程联立得 ，消去得. ， 所以， 因为，所以，，即都不在轴上. 所以. 又因为，即， 所以. 所以存在常数，使得恒成立. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化4：圆与方程 题型一：圆的方程 1 题型二：轨迹方程 2 题型三：点与圆的位置关系 2 题型四：圆的几何关系 2 题型五：直线与圆的位置关系 3 题型六：圆的切线方程 3 题型七：圆的弦长、圆心距问题 4 题型八：圆与圆的位置关系 4 题型九：圆的公切线问题 5 题型十：直线和圆的定点定值问题 5 题型一：圆的方程 【例1】．（26-27高二上·甘肃甘南·期中） （1）已知圆经过点，，且圆心在直线上，求圆的方程； （2） 已知圆关于直线对称的圆为圆，求圆的方程． 【变式1】．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）求下列各圆的标准方程： (1)圆心在直线上，且与直线切于点； (2)圆心在轴上，并且与直线，都相切. 【变式2】．（26-27高二上·广东惠州·期中） （1）圆心C在x轴上，且圆经过点，，求该圆的方程； （2）三角形ABC的三个顶点，，，求该三角形外接圆的方程． 题型二：轨迹方程 【例2】．（26-27高二上·安徽六安·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则动点C的轨迹方程为________． 【变式1】．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆：，又点在圆上运动，点，则线段中点的轨迹方程为______. 【变式2】．（2026高二·全国·专题练习）已知动直线（其中且为变动参数）和圆相交于、两点，则弦的中点的轨迹方程为_____________． 题型三：点与圆的位置关系 【例3】．（26-27高二上·河北·阶段检测）已知点在圆外，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（26-27高二上·安徽芜湖·阶段检测）已知点关于直线对称的点在圆：外，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 【变式2】．（25-26高二上·辽宁辽阳·期末）已知直线l：与圆C：，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定的 题型四：圆的几何关系 【例4】．（26-27高二上·甘肃甘南·期中）已知圆与直线，则圆的圆心到直线的距离的最大值为（    ） A．3 B．1 C． D．0 【变式1】．（26-27高二上·天津南开·期中）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆：上，则它爬行的最短路程是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（26-27高二上·天津河北·阶段检测）已知点，，动点在圆上，则的面积的最大值为（） A．15 B． C．16 D． 题型五：直线与圆的位置关系 【例5】．（26-27高二上·山东聊城·阶段检测）已知函数 的图象上有且仅有两个不同的点关于直线 的对称点在 的图象上，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．（26-27高二上·广东东莞·期中）若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（26-27高二上·甘肃兰州·期中）已知，点为直线上的动点，过点作直线与相切于点．若，则的最小值为（     ） A．4 B． C． D．2 题型六：圆的切线方程 【例6】．（26-27高二上·内蒙古赤峰·阶段检测）一条光线从点射出，经x轴反射后，反射光线所在直线与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（   ） A． B．不存在 C．或不存在 D．或0 【变式1】．（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）已知圆，为圆的一条弦，且，若圆上存在点，使得直线，与圆相切，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二下·海南·期末）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（     ）． A． B． C． D． 题型七：圆的弦长、圆心距问题 【例7】．（26-27高二上·吉林长春·期中）已知点，直线及圆． (1)求直线所过的定点的坐标； (2)求过点的圆的切线方程； (3)若直线与圆相交于，两点，且弦的长为，求的值． 【变式1】．（26-27高二上·广东深圳·期中）已知圆经过，，三点． (1)求圆的一般方程； (2)若直线经过点且被圆截得的弦长为，则求直线的一般方程． 【变式2】．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知两点，，且动点满足． (1)求点的轨迹方程； (2)过点的直线交曲线于异于点的点，当时，求直线的方程． 题型八：圆与圆的位置关系 【例8】．（26-27高二上·全国·期中）已知圆的圆心在圆上，且和交于，两点，则__． 【变式1】．（26-27高二上·天津东丽·阶段检测）已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在直线的方程为______；公共弦长为______． 【变式2】．（25-26高一下·重庆·期中）圆，圆，且，分别为两圆半径，圆和圆有且仅有一条公切线，则直线的方程为__________. 题型九：圆的公切线问题 【例9】．（26-27高二上·天津东丽·阶段检测）已知圆：，圆：，则两圆公切线的条数为（     ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式1】．（26-27高二上·重庆江北·阶段检测）已知点，直线，圆的圆心为点A关于直线l的对称点，且圆的半径为2，若圆的方程为，则圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】．（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（） A． B． C． D． 题型十：直线和圆的定点定值问题 【例10】．（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）设，，，圆过三个点. (1)求圆的方程； (2)设点，若圆上存在点，使得成立，求实数的取值范围； (3)设斜率为的直线与圆相交于两点（不与原点重合），直线斜率分别为，且，证明：直线恒过定点. 【变式1】．（26-27高二上·江苏扬州·期中）已知圆的圆心为坐标原点，且经过点，圆与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点． (1)求圆的标准方程； (2)是圆上一点且不在坐标轴上，直线交轴于点，直线交轴于点，求证：为定值； (3)若直线的斜率存在，且与圆交于两点（异于点），直线与直线的斜率之积为，求证：直线过定点． 【变式2】．（26-27高二上·福建·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们以他的名字命名该种圆，称之为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点所构成的曲线为． (1)求曲线的标准方程； (2)已知直线与曲线交于，两点（不与原点重合），直线，斜率分别为，，求证为定值； (3)过点作直线与曲线交于，两点，若，求的方程（一般式表示）． 一、单选题 1．（26-27高二上·新疆喀什·期中）已知方程表示圆，则其圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·北京丰台·期中）直线被圆所截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·新疆喀什·期中）已知两条动直线和交于点，则点的轨迹方程为（    ） A． B．（去除） C． D．（去除） 4．（26-27高二上·辽宁沈阳·期中）已知圆：，圆：．若圆上存在点，使得过点可作圆的两条切线，切点分别为，，且．则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高二上·天津河北·阶段检测）已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高二上·湖北襄阳·阶段检测）设圆：，直线：，为上的动点，过点作圆的两条切线、切点分别为A、B，则直线过定点（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线与圆交于A，B两点，当的面积最大时，（    ） A． B． C．0或 D．0或 二、多选题 8．（26-27高二上·甘肃临夏·期中）已知圆，直线，则（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆一定有两个交点 C．若不经过第三象限，则 D．圆与圆恰有条公切线 9．（26-27高二上·河北·期中）已知直线：，圆：，则下列结论正确的是（     ） A．直线与圆相交 B．当时，圆上有四个点到直线的距离等于 C．当直线与圆相交于，两点时，的最小值为 D．直线与轴垂直时，直线与圆的交点中位置较上的交点为，则过点且与圆相切的直线方程是 10．（26-27高二上·云南玉溪·期中）已知圆：，直线：，直线与圆交于，两点，则（     ） A．直线过定点 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．当圆上恰有三个点到直线的距离等于时， 11．（26-27高二上·河北邯郸·期中）已知是圆上的一点，是直线上的一点，则下列结论正确的是（    ） A．点到直线的距离的取值范围是 B．若直线与圆相切，则的最小值为 C．若，则点的横坐标的取值范围是 D．若是直线与轴的交点，，则的最小值为 三、填空题 12．（26-27高二上·江苏扬州·期中）已知复数满足，复数满足，则的最大值为________________________． 13．（26-27高二上·天津北辰·阶段检测）已知点满足关系式：，求：（1）的最小值_______；（2）的最大值_______ 14．（26-27高二上·广东深圳·期中）已知圆，点，若圆上的任意点，都满足为钝角，则的取值范围为_____________. 15．（25-26高二上·四川成都·期中）已知为直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为 四、解答题 16．（26-27高二上·新疆喀什·期中）已知圆与圆相交于，两点． (1)判断两圆公切线的条数； (2)求两圆公共弦所在直线的方程； (3)求线段的长． 17．（26-27高二上·北京丰台·期中）已知圆，圆. (1)判断圆和圆的位置关系； (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 18．（26-27高二上·河北·期中）在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：，直线：． (1)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦长； (2)直线与圆相交于，两点，与圆相交于，两点，且，若直线不经过点，求的值及对应的的取值范围． 19．（26-27高二上·上海普陀·期中）在平面直角坐标系中，已知、，动点满足，记动点的轨迹为.已知动点在直线上，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、. (1)求曲线的方程； (2)直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由； (3)设直线、、的斜率分别为、、.证明：存在常数，使得恒成立. 2 学科网（北京）股份有限公司 $