专题03 椭圆十大题型突破专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题03 椭圆十大题型突破 【题型1 求椭圆标准方程】 【题型2 离心率求值与范围（选择填空必考）】 【题型3 焦点三角形（小题高频）】 【题型4 弦长问题（直线与椭圆相交求弦长）】 【题型5 面积求值与面积最值（大题最高频）】 【题型6 定点问题（统考高频大题）】 【题型7 定值问题（斜率定值、距离定值）】 【题型8 向量条件】 【题型9 点差法（中点弦，小题、大题均可考）】 【题型10 轨迹方程】 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 ， ， 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 轴长 长轴长：；短轴长： 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率 离心率越接近1，则椭圆越扁；离心率越接近0，则椭圆越圆 通径 通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小： 弦长：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为：． 【题型1 求椭圆标准方程】 【例1】椭圆的两个焦点坐标分别为，，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】在中，已知， 且的周长为16，则顶点的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点坐标分别是，，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26； （2）两个焦点在坐标轴上，且经过和两点. 【题型2 离心率求值与范围（选择填空必考）】 求椭圆离心率范围的2种方法 （1）几何法：利用椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，则|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系，适用于题设条件有明显的几何关系； （2）直接法：根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式，适用于题设条件直接有不等关系． 【例2】已知焦点在x轴上的椭圆的短轴长为,则其离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】若椭圆的焦距为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知椭圆C：．，，若椭圆C上存在3个不同的点P满足，则椭圆C离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型3 焦点三角形（小题高频）】 【例3】已知分别是椭圆的焦点，过点的直线交椭圆于两点，则的周长是（    ） A．16 B． C． D． 【变式3-1】已知椭圆的两焦点分别为为椭圆上一点且，则（    ） A． B． C． D．2 【变式3-2】已知椭圆（）的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 【题型4 弦长问题（直线与椭圆相交求弦长）】 【例4】椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆C经过点且长轴长为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦长|AB|． 【变式4-1】已知圆过二次函数的图像与轴的两个交点，，同时圆过椭圆的上焦点. (1)求圆的方程； (2)已知点，过作直线与圆相交所得弦长为，求直线的方程. 【变式4-2】已知椭圆，且焦点在轴上，离心率. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求直线的方程及弦长. 【题型5 面积求值与面积最值（广西大题最高频）】 【例5】已知椭圆：（）的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)斜率为1的直线与椭圆交于，两点，以为底边作等腰三角形，顶点，求的面积． 【变式5-1】已知椭圆过点且离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线过椭圆的右焦点且与椭圆交于A，B两点，为坐标原点，的面积为，求直线的方程． 【变式5-2】已知椭圆离心率为，过点． (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆右焦点作直线交椭圆于、两个不同的点，记的面积为S，求S的最大值及取得最大值时直线的方程． 【题型6 定点问题（广西统考高频大题）】 特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关． 2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决． 【例6】已知椭圆的标准方程为，离心率为且过点，直线与椭圆交于，两点且不过原点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求证：直线经过定点，并求出定点的坐标； (3)若直线，，的斜率分别为，且，求面积的取值范围． 【变式6-1】已知椭圆的焦距为2，C上的点到两个焦点的距离之和为4，直线l过C的右焦点F且与C交于A，B两点，过点A作直线的垂线，垂足为D． (1)求C的标准方程； (2)证明：直线恒过定点． 【变式6-2】已知椭圆，，分别是左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为3，当为椭圆上顶点时，为等边三角形． (1)求椭圆的标准方程； (2)设，分别是椭圆的左、右顶点，若直线与交于点，，且．证明：直线过定点． 【题型7 定值问题（斜率定值、距离定值）】 1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值； 2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简变形求得； 3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得． 【例7】已知动点在运动过程中总满足关系式 (1)请说明动点的轨迹是什么曲线，并求出轨迹的标准方程； (2)记点的轨迹为曲线，且曲线与轴交于两个不同的点，当动点与两点均不重合时，证明直线的斜率之积为定值，并求出此定值． 【变式7-1】已知和为椭圆上两点． (1)求椭圆C的方程； (2)若点H在椭圆C上，、是椭圆C的两焦点，且，求的面积； (3)过点的直线l与椭圆C交于A、B两点，证明：为定值． 【变式7-2】已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆的上顶点时，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于两点，且，求证：（为坐标原点）的面积为定值. 【变式7-3】已知直线与椭圆交于、两点，为坐标原点． (1)证明：； (2)已知，证明：点到直线的距离为定值． 【题型8 向量条件】 【例8】已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，过的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为45°，到直线l的距离为． (1)求椭圆C的焦距； (2)若，求椭圆C的方程． 【变式8-1】已知椭圆C的下顶点为，右焦点为为坐标原点，是等腰直角三角形，是上一动点，且的最大值为. (1)求的方程； (2)已知点满足是椭圆上异于顶点的点，直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点，求直线的斜率. 【变式8-2】已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆C上一点，的周长为6，离心率． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程． 【题型9 点差法（中点弦，小题、大题均可考）】 【例9】已知椭圆E：（a＞b＞0）的一个顶点为，离心率． (1)求椭圆E的标准方程； (2)设运动直线L：与椭圆E相交于M、N两点，线段MN的中点为P，若，求k的值． 【变式9-1】设直线l与椭圆相交于A，B两点，且的中点为，则直线l的斜率为______. 【变式9-2】过点的直线与椭圆交于，两点，若为中点，则直线的方程为____________. 【题型10 轨迹方程】 】 【例10】已知椭圆的离心率为，上顶点B的坐标为． (1)求C的方程； (2)已知M为C上一点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若点S满足，当点M在C上运动时，求点S的轨迹方程； 【变式10-1】已知点是圆上的动点，作轴于点，则线段的中点的轨迹方程为_______. 【变式10-2】已知点到定点的距离与到定直线的距离之比为， (1)求点的轨迹方程； (2)若，求的面积. 1.已知点的轨迹方程为，则PC的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 2．已知焦点在轴上的椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的短半轴长为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 3.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，是C上一点. (1)求C的方程； (2)已知斜率为1的直线l与C交于M，N两点，若，求l的方程. 4．已知椭圆的焦距为2，C上的点到两个焦点的距离之和为4，直线l过C的右焦点F且与C交于A，B两点，过点A作直线的垂线，垂足为D． (1)求C的标准方程； (2)证明：直线恒过定点． 5．已知椭圆的标准方程为，离心率为且过点，直线与椭圆交于，两点且不过原点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求证：直线经过定点，并求出定点的坐标； (3)若直线，，的斜率分别为，且，求面积的取值范围． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 椭圆十大题型突破 【题型1 求椭圆标准方程】 【题型2 离心率求值与范围（选择填空必考）】 【题型3 焦点三角形（小题高频）】 【题型4 弦长问题（直线与椭圆相交求弦长）】 【题型5 面积求值与面积最值（大题最高频）】 【题型6 定点问题（统考高频大题）】 【题型7 定值问题（斜率定值、距离定值）】 【题型8 向量条件】 【题型9 点差法（中点弦，小题、大题均可考）】 【题型10 轨迹方程】 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 ， ， 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 轴长 长轴长：；短轴长： 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率 离心率越接近1，则椭圆越扁；离心率越接近0，则椭圆越圆 通径 通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小： 弦长：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为：． 【题型1 求椭圆标准方程】 【例1】椭圆的两个焦点坐标分别为，，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，，所以. 又，所以. 且焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为：. 【变式1-1】在中，已知， 且的周长为16，则顶点的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由周长得到，利用椭圆定义写出点的轨迹方程. 【详解】由条件可知，， ， 点是以为焦点的椭圆，除去左右顶点，并且， ， 顶点的轨迹方程是 . 故选：C 【变式1-2】求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点坐标分别是，，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26； （2）两个焦点在坐标轴上，且经过和两点. 【答案】（1）； （2） 【分析】（1）依据椭圆的定义得到的值，即可求得椭圆的标准方程； （2）设所求椭圆方程为，代入和两点的坐标，联立方程组，求得的值，即可求解. 【详解】（1）因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为， 因为，，所以，． 所以． 所以所求椭圆的标准方程为． （2）设所求椭圆方程为， 由和两点在椭圆上，可得， 即，解得， 故所求椭圆的标准方程为． 【题型2 离心率求值与范围（选择填空必考）】 求椭圆离心率范围的2种方法 （1）几何法：利用椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，则|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系，适用于题设条件有明显的几何关系； （2）直接法：根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式，适用于题设条件直接有不等关系． 【例2】已知焦点在x轴上的椭圆的短轴长为,则其离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆方程和短轴的长度，得出、的具体值,进而求出离心率. 【详解】由椭圆方程可知,所以,又短轴长,所以, 所以离心率. 故选:A 【变式2-1】已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意在中，，在中，，再结合离心率求解即可. 【详解】连接，设，，则， 因为，所以， 在中，，所以， 化简得，则，， 在中，， 所以，即，所以离心率. 故选：D 【变式2-2】若椭圆的焦距为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由焦距得，可判断，由离心率公式计算可得. 【详解】由得， 又， 所以，，得， 所以． 故选：A． 【变式2-3】已知椭圆C：．，，若椭圆C上存在3个不同的点P满足，则椭圆C离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点P满足，求出点P的轨迹方程，再与椭圆方程联立解方程组，结合有3个点列出不等式求出离心率范围. 【详解】设，由，得，化简得， 即点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，则该圆与椭圆有3个交点， 由消去得，即， 显然是方程的一个解，点是圆与椭圆的1个公共点，因此必为方程的另一个解， 则，解得，所以椭圆C的离心率. 故选：C 【点睛】关键点点睛：求出点的轨迹轨迹方程并解方程组是求出范围是关键. 【题型3 焦点三角形（小题高频）】 【例3】已知分别是椭圆的焦点，过点的直线交椭圆于两点，则的周长是（    ） A．16 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义即可求出. 【详解】因为椭圆方程为，所以， 由椭圆的定义得：， 所以，所以的周长是16. 故选：A 【变式3-1】已知椭圆的两焦点分别为为椭圆上一点且，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义结合条件即得. 【详解】椭圆， ，，， 设，，则， ，， ， ， ，即． 故选：A． 【变式3-2】已知椭圆（）的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点在椭圆上得出定义表达式，运用余弦定理，联立求得的值，再运用三角形面积公式即得. 【详解】 如图，不妨设，由点在椭圆上可得：①， 由余弦定理可得：，化简得：②， 由①式两边平方再减去②式，得：， 于是的面积为. 故选：D. 【变式3-3】设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点的坐标，从而得出的值； 方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出； 方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，即可根据中线定理求出． 【详解】方法一：设，所以， 由，解得：， 由椭圆方程可知，， 所以，，解得：， 即，因此． 故选：B． 方法二：因为①，， 即②，联立①②， 解得：， 而，所以， 即． 故选：B． 方法三：因为①，， 即②，联立①②，解得：， 由中线定理可知，，易知，解得：． 故选：B． 【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大． 【题型4 弦长问题（直线与椭圆相交求弦长）】 【例4】椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆C经过点且长轴长为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦长|AB|． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的长轴长及所经过点直接求出，得出椭圆C的标准方程. （2）直线l与椭圆方程联立，得出韦达定理，根据弦长公式得出结果. 【详解】（1）由题意设椭圆C的方程为， 因为椭圆经过点且长轴长为， 所以， 所以椭圆C的标准方程为. （2）由已知设直线l的方程为，设，. 将直线代入， 得， 所以，， . 【变式4-1】已知圆过二次函数的图像与轴的两个交点，，同时圆过椭圆的上焦点. (1)求圆的方程； (2)已知点，过作直线与圆相交所得弦长为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设出圆的一般方程并代入各点坐标解方程即可求出圆的方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，根据弦长公式，利用点到直线距离列方程求得结果. 【详解】（1）设圆, 令得，此方程的解为，的横坐标 在二次函数中，令得， 此方程的解也为，的横坐标所以，     椭圆的上焦点为在圆上，所以，所以     所以圆的方程为，即 （2）由（1）可知圆心，半径为； 直线的斜率不存在时，直线， 直线与圆的两个交点为，弦长为，直线符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线，即 由于弦长为，所以圆心到直线的距离为1， 圆心到直线的距离，解得； 所以直线的方程为； 综上，直线的方程为或. 【变式4-2】已知椭圆，且焦点在轴上，离心率. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求直线的方程及弦长. 【答案】(1). (2)直线的方程为，弦长. 【分析】（1）由题意根据椭圆离心率求得，进而计算可求椭圆的方程； （2）由题意结合弦长公式、点到直线的距离公式可得三角形面积，进而建立等式计算求解即可. 【详解】（1）已知椭圆焦点在轴上，故，即. 由离心率，得，， 因此椭圆方程为； （2）设过的直线方程为，设，. 联立直线与椭圆方程得：， 消去整理得， 由判别式 ，得. 由韦达定理得，. 原点到直线的距离， 弦长. 三角形面积， 令，，则 ， 代入化简可得，整理得 ， 解得，即，得，即，满足， 当，即时，直线的方程为，. 当直线斜率不存在时，直线过，此时三点共线，不符合题意，舍去. 【题型5 面积求值与面积最值（广西大题最高频）】 【例5】已知椭圆：（）的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)斜率为1的直线与椭圆交于，两点，以为底边作等腰三角形，顶点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率、椭圆所过的点列方程组求椭圆参数，即可得方程； （2）设AB为，，联立椭圆方程，应用韦达定理得，，由的中点且有求参数，进而求、到AB的距离，即可求三角形面积. 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）设的方程为，， 联立，消去得：， 则，解得， 则， 所以， 则的中点的坐标为， 依题意知：， 则，所以，解得， 则，，直线的方程为， 所以， 到的距离， 所以. 【变式5-1】已知椭圆过点且离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线过椭圆的右焦点且与椭圆交于A，B两点，为坐标原点，的面积为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆过点且离心率为列方程求解即可； （2）设出直线的方程及，联立方程根据根与系数的关系可得到的表达式，列方程即可直线方程中的参数. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，即， 所以，所以. 因为椭圆过点，所以， 将代入得，解得，所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，所以椭圆的右焦点为， 设直线的方程为，，如图， 所以， 由消去得， 所以， 所以， 解得，所以直线的方程为，即. 【变式5-2】已知椭圆离心率为，过点． (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆右焦点作直线交椭圆于、两个不同的点，记的面积为S，求S的最大值及取得最大值时直线的方程． 【答案】(1) (2)S的最大值为，此时直线l的方程为. 【分析】（1）根据离心率，可得，将点坐标代入椭圆方程，可得，联立即可求得答案. （2）当直线l垂直x轴时，方程，代入椭圆C，可得，代入面积公式，可求得S，当直线l不垂直x轴时，设出直线，与椭圆联立，结合韦达定理，可得表达式，进而可求出的表达式，代入面积公式，可得S表示，根据二次函数的性质，化简整理，综合分析，即可得答案. 【详解】（1）由题意离心率，所以， 又在椭圆C上，所以， 与上式联立，解得，则椭圆的方程为. （2）由（1）得，则，所以. 如图： 当直线l垂直x轴时，方程，代入椭圆C的方程可得， 所以， 所以； 当直线l不垂直x轴时，设斜率为（时，），则方程为， 联立，可得， ， 则， 所以， 则， 令，则，所以 则， 因为，所以， 因为在上单调递减， 所以， 综上，的最大面积，此时直线l的方程为. 【题型6 定点问题（广西统考高频大题）】 特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关． 2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决． 【例6】已知椭圆的标准方程为，离心率为且过点，直线与椭圆交于，两点且不过原点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求证：直线经过定点，并求出定点的坐标； (3)若直线，，的斜率分别为，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，，， 联立方程组消去得， 则，， 由，得， 由，得，即， 化简得， 从而， 化简得，即， 所以或（直线过点，舍去）， 即直线的方程为，所以直线过定点． 当直线的斜率不存在时，令，代入椭圆方程得， 则，所以， 可得，则，解得或（舍）， 所以直线的方程为，也过定点； (3). 【分析】（1）由离心率及椭圆上的点求椭圆参数，即可得方程； （2）讨论直线斜率的存在性，设直线为，，，联立椭圆，应用韦达定理并结合的坐标表示列方程求，即可得结论； （3）由（2）及题意得，进而得到，且，，应用点线距离、弦长公式、三角形面积公式得 ，最后应用基本不等式求范围即可. 【详解】（1）由已知得，且， 所以椭圆的标准方程为； （2）略 （3）由（2）知且，， ， 因为直线，，的斜率分别为，且， 所以，即，即， 又，所以，， 因为直线的斜率存在且不过原点，结合可得， 而斜率存在，故不为上下顶点，故， 设为点到直线的距离， 则 ， 所以的取值范围为. 【变式6-1】已知椭圆的焦距为2，C上的点到两个焦点的距离之和为4，直线l过C的右焦点F且与C交于A，B两点，过点A作直线的垂线，垂足为D． (1)求C的标准方程； (2)证明：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)直线恒过定点 【分析】（1）根据条件确定求椭圆方程； （2）首先直线方程与椭圆方程联立，并利用坐标表示直线的方程，利用韦达定理表示直线与轴的交点，即可求解. 【详解】（1）由条件可知，焦距为，则，，则， 所以， 所以椭圆的标准方程为； （2）由（1）可知，椭圆的右焦点， 设直线， 与椭圆方程联立得，设，， 则， 又，，直线的方程为， 令，得，（*） 由韦达定理可知，，即，代入（*）得 ， 所以直线恒过定点， 当直线的斜率为0时，直线，满足条件的直线为，也过点 综上可知，直线恒过定点. 【变式6-2】已知椭圆，，分别是左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为3，当为椭圆上顶点时，为等边三角形． (1)求椭圆的标准方程； (2)设，分别是椭圆的左、右顶点，若直线与交于点，，且．证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明：法一：由（1）可知， 设直线的斜率为，则直线的斜率为，设， 则直线的方程为，直线的方程为， 联立，化简得， 因为，所以，即， 联立，化简得， 因为，所以，即， 则， 所以直线的方程为， 整理得， 所以直线过定点． 法二：设，又由（1）知， 所以， 则有， 又，则，代入上式可得. 又因为，所以. 设直线的方程为， 联立，得， 所以， 且， 所以， 由， 化简得且， 即，解得或（舍），所以直线过定点． 【分析】（1）设，，，表示出，故最大值为，又，从而得到，求出，得到椭圆方程； （2）法一：设，直线的方程为，直线的方程为，分别联立椭圆方程，求出的坐标，得到直线的方程为，所以直线过定点； 法二：设，求出，所以，设直线的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由得到，由得到方程，求出，所以直线过定点. 【详解】（1）设，则，，， 则， 故当时，取得最大值，最大值为， 又为椭圆上顶点时，为等边三角形，故， 联立，解得， 因为，所以椭圆的标准方程为． （2）略 （2）略 【题型7 定值问题（斜率定值、距离定值）】 1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值； 2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简变形求得； 3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得． 【例7】已知动点在运动过程中总满足关系式 (1)请说明动点的轨迹是什么曲线，并求出轨迹的标准方程； (2)记点的轨迹为曲线，且曲线与轴交于两个不同的点，当动点与两点均不重合时，证明直线的斜率之积为定值，并求出此定值． 【答案】(1)动点的轨迹是椭圆，椭圆的标准方程为. (2)直线的斜率之积为定值. 【分析】（1）根据椭圆的定义判断动点的轨迹，并求出椭圆的标准方程；（2）先求出曲线与轴的交点坐标，再根据直线的斜率公式求出直线的斜率，最后计算它们的斜率之积. 【详解】（1）设，，， 则动点到定点，的距离之和为 ， 又，满足， 所以动点的轨迹是以，为焦点的椭圆. 因为焦点在轴上，设的轨迹方程为， ，，，所以， 则椭圆的标准方程为. （2）令，解得， 所以，， 直线的斜率为， 直线的斜率为， . 因为点在椭圆上，满足， 所以， 将代入得：， 所以直线的斜率之积为定值. 【变式7-1】已知和为椭圆上两点． (1)求椭圆C的方程； (2)若点H在椭圆C上，、是椭圆C的两焦点，且，求的面积； (3)过点的直线l与椭圆C交于A、B两点，证明：为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明:当l的斜率为0时，； 当l不与x轴重合时，设直线l的方程为， 联立，得，所以， 由韦达定理可得． ， 故为定值． AI 【分析】（1）将和代入椭圆，即可求解； （2）由椭圆定义得，结合余弦定理求得，再由三角形面积公式即可求解； （3）当l的斜率为0时，直接求解；当l不与x轴重合时，设直线l的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理得，化简即可证明. 【详解】（1）由题意得，解得，所以椭圆C的方程为． （2）由题可知． 在中，由余弦定理得 ， 则，即， 所以，故的面积是． （3）略. 【变式7-2】已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆的上顶点时，的面积为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于两点，且，求证：（为坐标原点）的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明：如图所示，设， 联立直线与椭圆的方程得， . ， 又 ， 因为点到直线的距离，且， 所以， 综上，的面积为定值. 【分析】（1）由题意可得，结合三角形面积公式计算可得，即可得； （2）联立直线与椭圆方程，可得与交点横坐标有关韦达定理，结合面积公式与所给等式计算即可得解. 【详解】（1）根据题意，， 在椭圆上顶点，此时. 所以，则求椭圆的方程； （2）略 【变式7-3】已知直线与椭圆交于、两点，为坐标原点． (1)证明：； (2)已知，证明：点到直线的距离为定值． 【答案】(1) 由消去，得，由直线与椭圆交于两点， 得， 所以. (2) 设，由（1）知，， ，由，得， 整理得，因此点到直线的距离为定值， 所以点到直线的距离为定值． 【分析】（1）联立直线与椭圆方程，利用判别式列出不等式推理即得. （2）利用韦达定理，结合数量积的坐标表示及点到直线距离公式推理即得. 【详解】（1）略 （2）略 【题型8 向量条件】 【例8】已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，过的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为45°，到直线l的距离为． (1)求椭圆C的焦距； (2)若，求椭圆C的方程． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）设出直线方程，利用点到直线距离公式得到，求出椭圆焦距； （2）联立直线方程和椭圆方程，得到两根之和，两根之积，根据向量的线性关系得到，代入两根之和，两根之积，求出，求出椭圆方程. 【详解】（1）由题意知直线l的方程为． 因为到直线l的距离为，所以，解得：， 所以椭圆C的焦距为2． （2）由（1）知直线l的方程为，设，， 联立方程组消去x得， 所以，． 因为，所以， 所以，， 消去得， 解得：，从而， 所以椭圆C的方程为． 【变式8-1】已知椭圆C的下顶点为，右焦点为为坐标原点，是等腰直角三角形，是上一动点，且的最大值为. (1)求的方程； (2)已知点满足是椭圆上异于顶点的点，直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点，求直线的斜率. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据是等腰直角三角形得，利用和的最大值即可求解； （2）设直线的方程为，与椭圆的方程联立得到点的坐标，由得即可解得. 【详解】（1）设的焦距为，因为是等腰直角三角形，所以，从而. 又因为的最大值为，所以. 由解得 所以的方程为. （2）由（1）知，因为，所以. 显然直线的斜率存在，设直线，联立方程组 消去得，解得或，可得. 因为为线段的中点，所以， 所以直线的斜率为. 由，整理得，解得或.    【变式8-2】已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆C上一点，的周长为6，离心率． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由离心率及的周长求得，再根据即可求解； （2）分类讨论，当直线l为x轴时，与题意不符，当直线l不与x轴重合时，设，联立方程，由韦达定理，平面向量数量积的坐标运算公式即可求解． 【详解】（1）由已知可得， ， ， ． （2），当直线l为x轴时，与题意不符， ∴可设， 由， 得， ， ， 又 ， ， ∴直线l的方程为． 【题型9 点差法（中点弦，小题、大题均可考）】 【例9】已知椭圆E：（a＞b＞0）的一个顶点为，离心率． (1)求椭圆E的标准方程； (2)设运动直线L：与椭圆E相交于M、N两点，线段MN的中点为P，若，求k的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）依题意可得，，进而求出椭圆方程； （2）设、，则，联立方程组，由根与系数的关系结合求解. 【详解】（1）由题意可知，，所以， 则所求椭圆的方程为； （2）设、，则， 由，消去整理得， 所以，解得， 所以， 则， 因为，所以， 解得，满足， 所以. 【变式9-1】设直线l与椭圆相交于A，B两点，且的中点为，则直线l的斜率为______. 【答案】 【分析】利用点差法求解即可. 【详解】设，由的中点为，有， 直线l与椭圆相交于A，B两点，则， 两式作差变形得， 即，得， 所以直线l的斜率为. 故答案为： 【变式9-2】过点的直线与椭圆交于，两点，若为中点，则直线的方程为____________. 【答案】 【分析】借助点差法可得，再利用为线段AB的中点计算可得，即可得直线的方程. 【详解】设、，则有、， 故，化简得，故， 由为线段AB的中点，则，则，， 则， 又，故，解得， 即直线的方程为，化简得. 故答案为：. 【题型10 轨迹方程】 】 【例10】已知椭圆的离心率为，上顶点B的坐标为． (1)求C的方程； (2)已知M为C上一点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若点S满足，当点M在C上运动时，求点S的轨迹方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，且，结合运算求解，即可得椭圆方程； （2）设，根据可得，代入椭圆方程即可得轨迹方程； 【详解】（1）设的半焦距为， 由题意可知：，即，由上顶点B的坐标为可知， 因为，即，解得， 所以椭圆的方程为． （2）设，由题意可知， 则， 因为，则，可得， 又因为在椭圆上，即， 可得，化简得， 所以点的轨迹方程为． 【变式10-1】已知点是圆上的动点，作轴于点，则线段的中点的轨迹方程为_______. 【答案】 【分析】分别设，建立相关点之间的关系，代入求解. 【详解】如图所示： 不妨设， 则满足； 易知， 又线段的中点为，可得； 即， 代入方程 可得，整理得. 故答案为：. 【变式10-2】已知点到定点的距离与到定直线的距离之比为， (1)求点的轨迹方程； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据题意列方程，两边平方化简即可. （2）先在焦点三角形中借助余弦定理求出，然后再利用面积公式求出面积. 【详解】（1）设点，点到直线的距离为，依题意有， 即，而， 所以， 两边平方化简整理得， 所以点的轨迹方程为. （2）    由（1）得，，，， 又， 所以在中，， 即， 所以. 1.已知点的轨迹方程为，则PC的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“相关动点法”求轨迹方程即可. 【详解】设点坐标为，点坐标为 由中点坐标公式得，即， 将代入 得点的轨迹方程为：，即. 故选：B 2．已知焦点在轴上的椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的短半轴长为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】运用作差法、中点坐标公式及直线斜率求解即可. 【详解】设直线与椭圆相交于，， 由题意得，， 直线的斜率为， 由，两式相减得， 所以，即，所以，即. 所以椭圆的短半轴长为4. 3.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，是C上一点. (1)求C的方程； (2)已知斜率为1的直线l与C交于M，N两点，若，求l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件列出关于的方程组求解； （2）设直线l：y＝x＋m，，直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后应用韦达定理，然后由圆锥曲线中的弦长公式求解. 【详解】（1）由题可知解得a＝2，， 所以C的方程为. （2）设直线l：y＝x＋m，. 由得，则， ， 解得，所以l的方程为. 4．已知椭圆的焦距为2，C上的点到两个焦点的距离之和为4，直线l过C的右焦点F且与C交于A，B两点，过点A作直线的垂线，垂足为D． (1)求C的标准方程； (2)证明：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)直线恒过定点 【分析】（1）根据条件确定求椭圆方程； （2）首先直线方程与椭圆方程联立，并利用坐标表示直线的方程，利用韦达定理表示直线与轴的交点，即可求解. 【详解】（1）由条件可知，焦距为，则，，则， 所以， 所以椭圆的标准方程为； （2）由（1）可知，椭圆的右焦点， 设直线， 与椭圆方程联立得，设，， 则， 又，，直线的方程为， 令，得，（*） 由韦达定理可知，，即，代入（*）得 ， 所以直线恒过定点， 当直线的斜率为0时，直线，满足条件的直线为，也过点 综上可知，直线恒过定点. 5．已知椭圆的标准方程为，离心率为且过点，直线与椭圆交于，两点且不过原点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求证：直线经过定点，并求出定点的坐标； (3)若直线，，的斜率分别为，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，，， 联立方程组消去得， 则，， 由，得， 由，得，即， 化简得， 从而， 化简得，即， 所以或（直线过点，舍去）， 即直线的方程为，所以直线过定点． 当直线的斜率不存在时，令，代入椭圆方程得， 则，所以， 可得，则，解得或（舍）， 所以直线的方程为，也过定点； (3). 【分析】（1）由离心率及椭圆上的点求椭圆参数，即可得方程； （2）讨论直线斜率的存在性，设直线为，，，联立椭圆，应用韦达定理并结合的坐标表示列方程求，即可得结论； （3）由（2）及题意得，进而得到，且，，应用点线距离、弦长公式、三角形面积公式得 ，最后应用基本不等式求范围即可. 【详解】（1）由已知得，且， 所以椭圆的标准方程为； （2）略 （3）由（2）知且，， ， 因为直线，，的斜率分别为，且， 所以，即，即， 又，所以，， 因为直线的斜率存在且不过原点，结合可得， 而斜率存在，故不为上下顶点，故， 设为点到直线的距离， 则 ， 所以的取值范围为. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $