第二章 专题04 圆的方程专项训练（7大题型44题）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高中数学·题型专项训练系列 专题04 圆的方程（7大题型44题）（解析版） 高二数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型 题号 题数 题型一　圆的标准方程与圆心、半径 第1—6题 6 题型二　由条件求圆的方程 第7—12题 6 题型三　圆的一般方程与配方 第13—17题 5 题型四　点与圆的位置关系 第18—23题 6 题型五　含参圆的方程讨论 第24—29题 6 题型六　圆的方程与对称、最值 第30—35题 6 题型七　综合应用 第36—44题 9 题型通关 · 靶向提分 题型一　圆的标准方程与圆心、半径（共6小题） 【知识积累】 圆的标准方程：圆心为 、半径为 （）的圆的标准方程是 。 由方程读圆心与半径：标准方程 的圆心为 、半径为 ；读圆心时不要漏掉括号里的负号。 直径端点定圆：若 、 是圆的一条直径的两个端点，则圆心为 的中点，半径 。 常用特例： 的圆心在原点、半径为 ；判断一个点是否在圆上，只需把它的坐标代入圆的方程验证。 1．（单选题） （26-27高二上·黑龙江吉林·期中） 圆的圆心坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆的标准方程求解圆心坐标即可. 【详解】由题意得圆的方程为 ，该圆的圆心坐标为. 2．（填空题） （24-25高二下·上海·期中） 圆的圆心的坐标为__________． 【答案】 【详解】圆的圆心的坐标为． 3．（单选题） （26-27高二上·河北保定·期中） 以为圆心，为半径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以为圆心，为半径的圆的方程为． 4．（单选题） （25-26高二上·江西宜春·期末） 圆心为，半径为6的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接运用圆的标准方程进行求解即可. 【详解】因为圆的圆心为，半径为6， 所以圆的标准方程为. 故选：B 5．（单选题） （26-27高二上·云南·期末） 已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆的标准方程分析即可. 【详解】由于圆与轴相切，圆心到轴的距离等于半径， 距离为，故半径. 由题知圆心为， 故圆方程为. 故选：A． 6．（填空题） （25-26高二下·上海·期中） 以为圆心且经过点的圆的标准方程为__________． 【答案】 【分析】先计算圆心到点的距离得到圆的半径，再代入圆的标准公式即可求解. 【详解】根据两点间距离公式： ， 所以所求圆的标准方程为. 题型二　由条件求圆的方程（共6小题） 【知识积累】 待定系数法（标准式）：已知圆心在某条直线上、圆过若干点，设 ，用“圆心到各点距离相等”列方程，联立求 。 待定系数法（一般式）：过三点的圆可设 ，代入三点解出 ，再配方化为标准方程。 圆心的几何位置：圆过两点时，圆心一定在这两点连线的垂直平分线上；圆与某条坐标轴相切时，圆心到该轴的距离等于半径。 过原点的条件：圆过原点就是把 代入方程成立；一般式 中若 ，则圆必过原点。 7．（单选题） （25-26高二下·陕西汉中·期中） 已知点，，且线段是圆M的直径，则圆M的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，且线段是圆M的直径， 所以圆心为，半径，则圆M的方程为. 8．（单选题） （25-26高二上·浙江杭州·期中） 已知点，则以线段为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】点，则以线段为直径的圆的圆心为，半径， 所以所求圆的方程为. 9．（单选题） （25-26高二下·贵州遵义·期中） 已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆的标准方程为， 将，，代入圆的方程中可得，解得， 故圆的标准方程为 10．（解答题） （26-27高二上·江苏扬州·阶段检测） 求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)过三点、、的圆； (2)圆经过点，，且圆心在直线上 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出圆的一般方程，根据题意列方程组求出参数，然后化为标准方程即可； （2）先求线段的垂直平分线方程，再求圆心坐标及半径，由此可得结论. 【详解】（1）设圆的方程为， 由题可得，解得， 所以圆的一般方程为， 化为标准方程得. （2）由点，在圆上，，中点坐标为， 则直线的垂直平分线的直线方程为，即， 则圆心为直线与垂直平分线的交点， 联立方程组，解得， 所以圆心为，半径， 所以圆的标准方程为. 11．（填空题） （26-27高二上·重庆渝中·阶段检测） 求经过点，，且圆心在直线l：上的圆的标准方程为_____. 【答案】 【分析】由圆心在弦的中垂线上，求出中垂线方程，可得圆心，再求半径得解. 【详解】圆经过点，，则圆心在直线上， 又圆心在直线l：上， 故圆心坐标为，半径为， 故所求圆的标准方程为. 12．（单选题） （25-26高二上·重庆·期末） 已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意设，由求出的值，即得圆心与半径，进而得到圆的方程. 【详解】依题意，可设， 由可得， 解得，故得圆心，半径为， 则所求圆的方程为. 故选：A. 题型三　圆的一般方程与配方（共5小题） 【知识积累】 圆的一般方程： 表示圆的充要条件是 。 配方求圆心与半径：配方得 ，圆心为 ，半径 。 判断是否表示圆：先确认 与 的系数相等且不为零、不含 项，再由 求参数范围。 面积与直径：圆的面积 、直径 ，只需先配方求出半径 即可计算。 13．（单选题） （26-27高二上·河南·阶段检测） 已知圆，则该圆的半径为（   ） A． B．6 C．9 D．13 【答案】A 【详解】由，得，则半径为． 14．（单选题） （25-26高二下·四川成都·期中） 圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆的方程通过配方法由一般形式化为标准形式即可. 【详解】原方程为，分组配方得， 整理为圆的标准方程， 对比圆的标准方程 （为半径），可得半径 . 15．（单选题） （26-27高二上·安徽·期中） 已知圆的方程为，则圆的圆心和半径分别是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】整理圆的方程为标准形式，进而求出其圆心和半径. 【详解】由题意得圆的标准方程为， 所以圆的圆心和半径分别是，. 故选：B. 16．（填空题） （25-26高二下·上海杨浦·期末） 圆的圆心坐标为_________． 【答案】 【详解】将方程转化为圆的标准方程得：，所以圆心坐标为. 17．（单选题） （25-26高二下·广东深圳·期中） 已知圆，则该圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】法一：将圆的一般方程化为标准方程， 由此可知圆的半径，所以该圆的面积. 法二：由圆的一般方程知， 所以圆的半径，所以该圆的面积. 题型四　点与圆的位置关系（共6小题） 【知识积累】 位置关系判据：点 与圆 相比： 时在圆内， 时在圆上， 时在圆外（ 为圆心）。 一般方程的代入法：对 ，把点代入后所得的值小于 在圆内、等于 在圆上、大于 在圆外。 含参取交集：“点在圆外（或圆上）”的条件通常要与“方程表示圆”的 同时成立，结果取两者的交集。 圆上点到定点的距离：圆上点 到定点 的距离满足 ，最小、最大值都在圆心、定点、点 共线时取到。 18．（单选题） （25-26高二上·湖南张家界·期末） 已知圆的标准方程是，下列各点在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用点到圆心的距离与半径的大小关系判断即可。 【详解】因为圆的标准方程是，所以圆心在原点，半径， 选项A， ，所以点在圆外； 选项B， ,所以点在圆上； 选项C， ,所以点在圆内； 选项D， ,所以点在圆上； 故选：C 19．（单选题） （26-27高二上·江西南昌·阶段检测） 若圆（）经过坐标原点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若圆经过坐标原点， 则，又，所以. 20．（单选题） （25-26高二下·云南曲靖·期末） 设为圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【详解】因为，所以点在圆外，又, 故的最大值为. 21．（单选题） （25-26高二上·陕西西安·期末） 若点在圆外，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用方程表示圆和点在圆外建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】因为点在圆C外，所以，解得， 所以a的取值范围为． 故选：B. 22．（单选题） （25-26高二上·江苏常州·期末） 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二元二次方程表示圆可得的范围，再结合点在圆的外部，即可得解. 【详解】将圆化成标准方程，可得， 由，解得. 因为点在圆的外部， 所以，解得. 综上可得. 23．（填空题） （25-26高二上·云南保山·期末） 已知点，点在圆上运动，则的取值范围为_________． 【答案】 【详解】圆的标准方程为， 则圆心为，半径， 又圆心到点A的距离，所以点A在圆外， 则的最大值为，的最小值为， 则的取值范围为 题型五　含参圆的方程讨论（共6小题） 【知识积累】 直接由条件求范围：对 由 求参数范围；若二次项系数带参数，先令 与 的系数相等且不为零。 配方后讨论：把半径的平方写成关于参数的二次式，用配方法求半径的最大（小）值，再计算面积或直径。 多解必须检验：由系数相等推出的参数值要代回原方程，舍去使半径的平方小于或等于 的值。 几何量的最值：直径 与面积 都随 单调变化，先求半径 的最值即可。 24．（单选题） （26-27高二上·宁夏银川·阶段检测） 若二元二次方程表示圆，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元二次方程表示圆的条件求解. 【详解】因为二元二次方程表示圆， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 25．（单选题） （26-27高二上·江苏淮安·阶段检测） 若是一个圆的方程，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的标准形式为， 圆的半径的平方大于0，故，解得， 故实数的取值范围是． 26．（单选题） （25-26高二下·河南周口·阶段检测） 已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为方程表示圆，所以，解得或. 当时，方程化为，此时，方程不表示圆； 当时，方程化为，即，所得圆的圆心坐标为. 综上，圆心坐标为. 27．（填空题） （25-26高二下·上海黄浦·期中） 若方程为圆的方程，则的值为______. 【答案】1 【分析】根据圆的方程的形式，得，再代入验证求解. 【详解】若方程表示圆，则，即， 当时，方程，即，为圆的方程，成立， 当时，方程，即，不是圆的方程，故舍去， 所以 28．（单选题） （26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测） 已知方程表示圆，则a的值不可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：，整理可得，解得， 且，，，， 故ABC不符合题意，D符合题意. 29．（填空题） （26-27高二上·天津和平·阶段检测） 方程所表示的圆的最大面积为________. 【答案】 【详解】方程表示圆，化为圆的标准方程得， 圆的半径，由 ， 当时，半径的最大值. 所以圆的最大面积为. 题型六　圆的方程与对称、最值（共6小题） 【知识积累】 圆的对称轴：圆是轴对称图形，任意一条经过圆心的直线都是它的对称轴；反过来，若一条直线是圆的对称轴，则这条直线必过圆心。 关于直线对称：圆关于某条直线对称后半径不变，圆心变为原圆心关于该直线的对称点。 关于点对称：圆 关于点 对称后的圆心为 ，半径不变。 距离型最值：求 或 在圆上的取值范围，把它看成圆上点到原点（或定点）距离的平方，用 定出范围。 30．（单选题） （25-26高二上·浙江杭州·期中） 若直线是圆的一条对称轴，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知圆的圆心为， 因为圆的对称轴必过圆心，所以，解得. 31．（填空题） （25-26高二下·云南昭通·期末） 若直线是圆的一条对称轴，则______________． 【答案】2 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上， 即，解得． 32．（单选题） （26-27高二上·四川·期中） 若圆关于直线对称，则的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据圆的一般方程得出圆的圆心坐标，再结合圆关于直线对称，将圆心代入直线方程中求解即可. 【详解】因为圆方程为，所以圆心为， 又因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上， 所以，即. 33．（填空题） （25-26高二下·上海青浦·期末） 若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________． 【答案】 【分析】圆上两点关于直线对称时该直线必过圆心，代入圆心坐标即可求解参数. 【详解】圆的圆心 . 因为圆：上存在不同两点、关于直线对称， 所以圆心在直线上，故，解得. 34．（填空题） （24-25高二下·四川德阳·期末） 已知圆：关于直线对称，则圆上任意一点到原点的距离的最小值为__________．（请用数字作答） 【答案】 【详解】由题意得，点在直线上， 因为原点到直线的距离为， 则圆心到原点的距离的最小值为， 则圆上任意一点到原点的距离的最小值为 35．（单选题） （25-26高二上·福建厦门·阶段检测） 若，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，几何意义是点到原点的距离的平方. 【详解】，化为标准方程为， 所以点在以为圆心，为半径的圆上. 的几何意义是点到原点的距离的平方， 在平面直角坐标系中画出草图，分析可知， 当三点共线且在中间时， 距离取最小值为， 所以的最小值为. 题型七　综合应用（共9小题） 【知识积累】 曲线与圆的互化：含 的方程可按象限分类去绝对值，化为若干段圆弧，再求围成图形的周长或面积。 轨迹为圆：用直接法（设点代入条件）或相关点法（把所求点的坐标用已知圆上的动点表示后代入）求轨迹方程，注意点明变量范围与去掉的点。 距离和差的最值：圆上点 到两定点 的距离之和、差的最值，常借助对称或按同一比例转化为另一个定点，再用“三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”处理。 坐标法：建系后把长度、垂直、面积等几何条件翻译成坐标与方程；出现多种对应（如直角顶点、对称轴）时分类讨论并逐一检验。 36．（单选题） （26-27高二上·江苏南通·阶段检测） 由曲线围成的图形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对曲线方程分类讨论从而去绝对值，得出各象限曲线方程，再利用圆和三角形的面积公式求解. 【详解】当，时，曲线方程为，变形得，， 即在第一象限，该曲线是圆心为半径为的圆的一部分； 当，时，曲线方程为，变形得，， 即在第二象限，该曲线是圆心为半径为的圆的一部分； 当，时，曲线方程为，变形得，， 即在第三象限，该曲线是圆心为半径为的圆的一部分； 当，时，曲线方程为，变形得，， 即在第四象限，该曲线是圆心为半径为的圆的一部分； 当时，或；当时，或， 因此该曲线还经过，，，，， 所以该曲线的大致图象如下： 根据此图形的对称性，其面积为第一象限部分面积的倍， 第一象限的图形可分割为一个直角三角形和一个半圆， 所以第一象限面积为， 所以该曲线围成的图形的面积为 37．（单选题） （25-26高二下·辽宁·开学考试） 已知曲线，则下列结论错误的是（   ） A．曲线关于直线对称 B．曲线关于原点中心对称 C．曲线的长度为 D．曲线有两条对称轴 【答案】C 【分析】先求出变量的取值范围，再结合曲线方程结构分析化简得到曲线的轨迹，数形结合即可计算求解. 【详解】由已知，解得， 若，则等式一定不成立， 若，等式两边平方化简得，即， 故曲线如图所示，则曲线关于直线和都对称，即曲线有两条对称轴， 且关于原点中心对称，曲线的长度为， 所以选项ABD正确，选项C错误. 38．（填空题） （25-26高二下·上海·阶段检测） 若线段的端点，点在圆：上运动.则线段中点的轨迹方程______ 【答案】 【分析】通过中点坐标公式建立点与中点的坐标关系，将点的坐标用的坐标表示后代入已知圆方程，化简得到中点的轨迹方程. 【详解】设，， 由于是线段的中点， 所以， 将代入圆， 得 整理得. 39．（单选题） （26-27高二上·湖南永州·阶段检测） 已知圆上的动点和定点，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取点，连接，由，可得，推出，在中，，推出的最小值为的长. 【详解】 如图，取点，连接， ，， ，， ， ， ，当且仅当三点共线时等号成立, 的最小值为的长， ， ，即的最小值为. 40．（填空题） （26-27高二上·湖南长沙·阶段检测） 对平面上两点A，B，满足（）的点P的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点A，B是此圆的一对阿波罗点．不在圆上的任意一点（除圆心外）都可以关于此圆与另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数只与阿波罗点相对于圆的位置有关．已知，，，且，则的最大值是________． 【答案】10 【分析】先由距离之比求出点的轨迹圆方程，再利用阿波罗尼斯点的性质确定点关于该圆对应的圆内阿波罗尼斯点，将转化为，从而把目标式化为，最后用三角不等式求最大值. 【详解】设，由，可得：， 化简可得：，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆； 设点关于圆对应的阿波罗尼斯点为. 由阿波罗尼斯点的性质，对圆上任意点，为常数. 取圆上两点和： 所以，， 所以解得 所以，此时，即， 因此 由三角不等式：，当且仅当三点共线且在之间时取等号， 所以，即的最大值为. 41．（填空题） （25-26高二下·广东潮州·期末） 已知点是矩形内的动点，且，，，点为边上的动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】建系后由距离关系得的轨迹为圆，在定直线上，将对称转化，问题化为圆上点到定点距离的最小值，再减去半径可得结果. 【详解】如图，以为原点，为轴，为轴建立直角坐标系， 则，，，，设动点， 由平方得整理配方得 ，即的轨迹是以为圆心，半径的圆在矩形内的部分. 在直线上，作关于的对称点，由对称性质得， 因此，对圆上动点，的最小值为定点到圆心的距离减去半径. 由于，故，即的最小值为. 42．（填空题） （25-26高二上·上海·期末） 已知实数满足，，，则的最大值为________ 【答案】 【分析】设，线段的中点为，分析可知点的轨迹以为圆心，半径的圆，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，可得，结合圆的性质分析求解即可. 【详解】设，，为坐标原点，则，， 因为，，可知两点在以为圆心，半径的圆上， 又因为，且， 即，可得， 且，则， 可知三角形为等边三角形，则， 设线段的中点为，则，可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 过点分别作直线的垂线，垂足分别为， 则， 因为点到直线的距离， 则，当且仅当点在线段上时，等号成立， 可得， 所以的最大值为. 43．（单选题） （25-26高二上·山西朔州·期末） 如图，点A，B为射线OP上两动点（与O不重合），且，，若射线OQ上至少有一点C，使得，则线段OA长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点、为轴建系，由，设由得；即在以为直径的圆上，该圆与轴至少有一个公共点，则圆心纵坐标不大于半径. 【详解】以为坐标原点，为轴建立如图所示的平面直角坐标系. 因为，所以可设，. 由可得，解得. 由于，所以点在以为直径的圆上， 则以为直径的圆与射线至少有一个公共点， 圆心为，它到轴的距离小于或等于半径， 即，解得.所以. 故选：C 44．（多选题） （25-26高二上·湖南永州·期末） 已知曲线，点在上，为坐标原点，，则下列说法正确的是（    ） A．点在上 B．围成的图形面积为 C．的最小值为 D．若，则的最大值为2 【答案】ABD 【分析】对于A，将点坐标代入方程即可验证；对于B，先判断曲线围成的图像由四个半径为的半圆和一个边长为的正方形组成，进而计算面积；对于C，表示曲线上的点到直线的距离的倍，进而计算即可；对于D，将等价于到点的距离，即可计算. 【详解】 当时，原方程化为， 所以曲线是以圆心为，半径为的圆在第一象限的部分， 又曲线关于轴，轴对称，所以曲线，如图所示. 对于A，代入满足方程，所以A正确. 对于B，曲线围成的图像由四个半径为的半圆和一个边长为的正方形组成， 所以面积为：， 所以B正确. 对于C，表示曲线上的点到直线的距离的倍， 圆心到直线的距离，结合图像得， 故到直线的最小距离为,进而的最小值为，所以C错误. 对于D， 因为时，方程变为，所以 等价于到点的距离， 所以所以D正确. 故选：ABD. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·题型专项训练系列 专题04 圆的方程（7大题型44题）（原卷版） 高二数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型 题号 题数 题型一　圆的标准方程与圆心、半径 第1—6题 6 题型二　由条件求圆的方程 第7—12题 6 题型三　圆的一般方程与配方 第13—17题 5 题型四　点与圆的位置关系 第18—23题 6 题型五　含参圆的方程讨论 第24—29题 6 题型六　圆的方程与对称、最值 第30—35题 6 题型七　综合应用 第36—44题 9 题型通关 · 靶向提分 题型一　圆的标准方程与圆心、半径（共6小题） 【知识积累】 圆的标准方程：圆心为 、半径为 （）的圆的标准方程是 。 由方程读圆心与半径：标准方程 的圆心为 、半径为 ；读圆心时不要漏掉括号里的负号。 直径端点定圆：若 、 是圆的一条直径的两个端点，则圆心为 的中点，半径 。 常用特例： 的圆心在原点、半径为 ；判断一个点是否在圆上，只需把它的坐标代入圆的方程验证。 1．（单选题） （26-27高二上·黑龙江吉林·期中） 圆的圆心坐标为（ ） A． B． C． D． 2．（填空题） （24-25高二下·上海·期中） 圆的圆心的坐标为__________． 3．（单选题） （26-27高二上·河北保定·期中） 以为圆心，为半径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（单选题） （25-26高二上·江西宜春·期末） 圆心为，半径为6的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．（单选题） （26-27高二上·云南·期末） 已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 6．（填空题） （25-26高二下·上海·期中） 以为圆心且经过点的圆的标准方程为__________． 题型二　由条件求圆的方程（共6小题） 【知识积累】 待定系数法（标准式）：已知圆心在某条直线上、圆过若干点，设 ，用“圆心到各点距离相等”列方程，联立求 。 待定系数法（一般式）：过三点的圆可设 ，代入三点解出 ，再配方化为标准方程。 圆心的几何位置：圆过两点时，圆心一定在这两点连线的垂直平分线上；圆与某条坐标轴相切时，圆心到该轴的距离等于半径。 过原点的条件：圆过原点就是把 代入方程成立；一般式 中若 ，则圆必过原点。 7．（单选题） （25-26高二下·陕西汉中·期中） 已知点，，且线段是圆M的直径，则圆M的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（单选题） （25-26高二上·浙江杭州·期中） 已知点，则以线段为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 9．（单选题） （25-26高二下·贵州遵义·期中） 已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 10．（解答题） （26-27高二上·江苏扬州·阶段检测） 求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)过三点、、的圆； (2)圆经过点，，且圆心在直线上 11．（填空题） （26-27高二上·重庆渝中·阶段检测） 求经过点，，且圆心在直线l：上的圆的标准方程为_____. 12．（单选题） （25-26高二上·重庆·期末） 已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 题型三　圆的一般方程与配方（共5小题） 【知识积累】 圆的一般方程： 表示圆的充要条件是 。 配方求圆心与半径：配方得 ，圆心为 ，半径 。 判断是否表示圆：先确认 与 的系数相等且不为零、不含 项，再由 求参数范围。 面积与直径：圆的面积 、直径 ，只需先配方求出半径 即可计算。 13．（单选题） （26-27高二上·河南·阶段检测） 已知圆，则该圆的半径为（   ） A． B．6 C．9 D．13 14．（单选题） （25-26高二下·四川成都·期中） 圆的半径为（   ） A． B． C． D． 15．（单选题） （26-27高二上·安徽·期中） 已知圆的方程为，则圆的圆心和半径分别是（ ） A．， B．， C．， D．， 16．（填空题） （25-26高二下·上海杨浦·期末） 圆的圆心坐标为_________． 17．（单选题） （25-26高二下·广东深圳·期中） 已知圆，则该圆的面积为（    ） A． B． C． D． 题型四　点与圆的位置关系（共6小题） 【知识积累】 位置关系判据：点 与圆 相比： 时在圆内， 时在圆上， 时在圆外（ 为圆心）。 一般方程的代入法：对 ，把点代入后所得的值小于 在圆内、等于 在圆上、大于 在圆外。 含参取交集：“点在圆外（或圆上）”的条件通常要与“方程表示圆”的 同时成立，结果取两者的交集。 圆上点到定点的距离：圆上点 到定点 的距离满足 ，最小、最大值都在圆心、定点、点 共线时取到。 18．（单选题） （25-26高二上·湖南张家界·期末） 已知圆的标准方程是，下列各点在圆内的是（   ） A． B． C． D． 19．（单选题） （26-27高二上·江西南昌·阶段检测） 若圆（）经过坐标原点，则（     ） A． B． C． D． 20．（单选题） （25-26高二下·云南曲靖·期末） 设为圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．9 21．（单选题） （25-26高二上·陕西西安·期末） 若点在圆外，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 22．（单选题） （25-26高二上·江苏常州·期末） 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（填空题） （25-26高二上·云南保山·期末） 已知点，点在圆上运动，则的取值范围为_________． 题型五　含参圆的方程讨论（共6小题） 【知识积累】 直接由条件求范围：对 由 求参数范围；若二次项系数带参数，先令 与 的系数相等且不为零。 配方后讨论：把半径的平方写成关于参数的二次式，用配方法求半径的最大（小）值，再计算面积或直径。 多解必须检验：由系数相等推出的参数值要代回原方程，舍去使半径的平方小于或等于 的值。 几何量的最值：直径 与面积 都随 单调变化，先求半径 的最值即可。 24．（单选题） （26-27高二上·宁夏银川·阶段检测） 若二元二次方程表示圆，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 25．（单选题） （26-27高二上·江苏淮安·阶段检测） 若是一个圆的方程，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 26．（单选题） （25-26高二下·河南周口·阶段检测） 已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 27．（填空题） （25-26高二下·上海黄浦·期中） 若方程为圆的方程，则的值为______. 28．（单选题） （26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测） 已知方程表示圆，则a的值不可能为（     ） A． B． C． D． 29．（填空题） （26-27高二上·天津和平·阶段检测） 方程所表示的圆的最大面积为________. 题型六　圆的方程与对称、最值（共6小题） 【知识积累】 圆的对称轴：圆是轴对称图形，任意一条经过圆心的直线都是它的对称轴；反过来，若一条直线是圆的对称轴，则这条直线必过圆心。 关于直线对称：圆关于某条直线对称后半径不变，圆心变为原圆心关于该直线的对称点。 关于点对称：圆 关于点 对称后的圆心为 ，半径不变。 距离型最值：求 或 在圆上的取值范围，把它看成圆上点到原点（或定点）距离的平方，用 定出范围。 30．（单选题） （25-26高二上·浙江杭州·期中） 若直线是圆的一条对称轴，则（   ） A．1 B． C． D． 31．（填空题） （25-26高二下·云南昭通·期末） 若直线是圆的一条对称轴，则______________． 32．（单选题） （26-27高二上·四川·期中） 若圆关于直线对称，则的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 33．（填空题） （25-26高二下·上海青浦·期末） 若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________． 34．（填空题） （24-25高二下·四川德阳·期末） 已知圆：关于直线对称，则圆上任意一点到原点的距离的最小值为__________．（请用数字作答） 35．（单选题） （25-26高二上·福建厦门·阶段检测） 若，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型七　综合应用（共9小题） 【知识积累】 曲线与圆的互化：含 的方程可按象限分类去绝对值，化为若干段圆弧，再求围成图形的周长或面积。 轨迹为圆：用直接法（设点代入条件）或相关点法（把所求点的坐标用已知圆上的动点表示后代入）求轨迹方程，注意点明变量范围与去掉的点。 距离和差的最值：圆上点 到两定点 的距离之和、差的最值，常借助对称或按同一比例转化为另一个定点，再用“三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”处理。 坐标法：建系后把长度、垂直、面积等几何条件翻译成坐标与方程；出现多种对应（如直角顶点、对称轴）时分类讨论并逐一检验。 36．（单选题） （26-27高二上·江苏南通·阶段检测） 由曲线围成的图形面积为（    ） A． B． C． D． 37．（单选题） （25-26高二下·辽宁·开学考试） 已知曲线，则下列结论错误的是（   ） A．曲线关于直线对称 B．曲线关于原点中心对称 C．曲线的长度为 D．曲线有两条对称轴 38．（填空题） （25-26高二下·上海·阶段检测） 若线段的端点，点在圆：上运动.则线段中点的轨迹方程______ 39．（单选题） （26-27高二上·湖南永州·阶段检测） 已知圆上的动点和定点，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 40．（填空题） （26-27高二上·湖南长沙·阶段检测） 对平面上两点A，B，满足（）的点P的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点A，B是此圆的一对阿波罗点．不在圆上的任意一点（除圆心外）都可以关于此圆与另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数只与阿波罗点相对于圆的位置有关．已知，，，且，则的最大值是________． 41．（填空题） （25-26高二下·广东潮州·期末） 已知点是矩形内的动点，且，，，点为边上的动点，则的最小值为________． 42．（填空题） （25-26高二上·上海·期末） 已知实数满足，，，则的最大值为________ 43．（单选题） （25-26高二上·山西朔州·期末） 如图，点A，B为射线OP上两动点（与O不重合），且，，若射线OQ上至少有一点C，使得，则线段OA长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 44．（多选题） （25-26高二上·湖南永州·期末） 已知曲线，点在上，为坐标原点，，则下列说法正确的是（    ） A．点在上 B．围成的图形面积为 C．的最小值为 D．若，则的最大值为2 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $