精品解析：江苏宿迁市泗阳县实验初级中学2026-2027学年度第一学期九年级 期中考试数学试卷

2026-2027学年度第一学期泗阳县实验初中期中考试数学试卷 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：新苏科版九年级数学上册第1-第3章第5节． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 当三角形的面积为时，底与该底边上的高之间的函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题错误的是（　　） A. 圆是轴对称图形 B. 三角形的内心到它三边的距离相等 C. 等弧所对的圆心角相等 D. 相等的圆心角所对的弧相等 4. 如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其水平放置，截面是个圆，C为弦中点，点D是弧的中点，cm，杯内水面宽cm，则圆的半径的长是（ ） A. 6cm B. 5cm C. 4cm D. 5. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 函数解析式为 B. 蓄电池的电压是18V C. 当时， D. 当时， 6. 关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. －1 7. 如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足．若弹簧秤的示数F不超过，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点A、B， 下列说法正确的是（ ） A. 点B的坐标为 B. 一次函数的表达式为 C. 反比例函数的值随x值的增大而增大 D. 若，则或 9. 如图，是的弦，，的半径为，点是上一动点，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，点在矩形的内部，连接，，，若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11. 若是方程的一个根，则代数式的值是________． 12. 已知长方形相邻两边长是一元二次方程的两个根，则这个长方形的面积是________． 13. 若、是一元二次方程的两个根，则的值为_________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外接圆的半径为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点．则不等式的解集是_____． 16. 的半径为5，弦，则与间的距离为________． 17. 如图，在中，，，是的内切圆，则的半径_______． 18. 如图，MN是⊙O的直径，MN=4，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为_____． 三、解答题：本题共8小题，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 已知电路的电压（单位：）、电流（单位：）、电阻（单位：）之间有如下关系：．该电路的电压为． （1）写出电流（单位：）关于电阻（单位：）的函数表达式； （2）如果该电路的电阻由增大到，通过该电路的电流如何变化？ 20. 已知反比例函数的图像经过点． （1）求的值； （2）若点、也在这个函数的图像上，比较与的大小； （3）当时，直接写出的取值范围． 21. 有一台电脑感染了某种病毒，经过两轮传播后共有25台电脑感染． （1）求每轮传播中平均一台电脑感染几台电脑； （2）若病毒得不到控制，三轮传播后，被感染的电脑是否超过100台？ 22. 如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为6米，拱高（弧的中点到水面的距离）为1米． （1）求主桥拱所在圆的半径； （2）若水面下降1米，求此时水面的宽度． 23. 某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每天可卖出300件．经过市场调研发现，在一定范围内调整售价： ①每涨价1元，每天要少卖出10件； ②每降价1元，每天可多卖出20件． 如果只能调整一次售价，如何调整使每天的利润为6250元？ 24. 综合与实践 如图，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 托盘中的砝码质量 （1）依据实验得出与的对应点，请你在本题图中画出函数图像，并求出函数解析式； （2）当砝码质量为时，求托盘与点的距离； （3）当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 25. 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：，利用配方法求M的最值． 解： ∵ ∴当时，M有最小值． 请根据上述材料解决下列问题： （1）若，则M有最______值，为______． （2）解决实际问题：二十四中学准备在校园里利用院墙再围三面栅栏，形成一个矩形花圃．如图，院墙长20米，栅栏总长40米（栅栏必须用完）．如何设计可以使得围成的矩形面积最大？最大面积是多少？ 26. 如图，、为的弦，与相交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点在上，连接、，若为直径，，求证：． 27. 定义：内接于，为的内心，若关于该三角形某条边的对称点恰好在上，则称为的“完美三角形”． （1）【初步认识】下列内接三角形一定是的“完美三角形”的有_______（填序号）： ①等边三角形；②等腰直角三角形；③有一个角为的直角三角形． （2）【探索本质】如图，是的“完美三角形”，其内心关于的对称点在上． ①求的度数； ②若，求的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期泗阳县实验初中期中考试数学试卷 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：新苏科版九年级数学上册第1-第3章第5节． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义 ． 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是次的方程，叫做一元二次方程，其一般形式为(为常数，)，根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是分式方程，不是一元二次方程，此选项不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，此选项不符合题意； C、当时，方程为，不是一元二次方程，此选项不符合题意； D、是一元二次方程，此选项符合题意；  故选：D ． 2. 当三角形的面积为时，底与该底边上的高之间的函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角形面积公式列出底和高的关系式，得到反比例函数；重点要注意：底、高都是正数，自变量，所以图像只取第一象限的分支，排除有第二、四象限分支的选项． 【详解】解：三角形面积公式： 整理：，， 这里底、高是线段长度，，，图像是反比例函数在第一象限内的一支． 函数，当时，；当时，，对照选项， 选． 3. 下列命题错误的是（　　） A. 圆是轴对称图形 B. 三角形的内心到它三边的距离相等 C. 等弧所对的圆心角相等 D. 相等的圆心角所对的弧相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的特点，三角形内心的性质，圆周角及其推论逐项判断即可作答． 【详解】A项，圆是轴对称图形，说法正确，是真命题，不符合题意； B项，三角形的内心到它三边的距离相等，说法正确，是真命题，不符合题意； C项，等弧所对的圆心角相等，说法正确，是真命题，不符合题意； D项，等圆或同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，原说法错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的特点，三角形内心的性质，圆周角及其推论的知识，掌握相关考点知识是解答本题的关键． 4. 如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其水平放置，截面是个圆，C为弦中点，点D是弧的中点，cm，杯内水面宽cm，则圆的半径的长是（ ） A. 6cm B. 5cm C. 4cm D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．设圆的半径为，利用垂径定理和勾股定理，列出方程进行求解即可． 【详解】解：连接并延长，交圆于点，，， ∵，C为弦中点， ∴，， ∴平分， ∵为的中点， ∴点重合， ∴三点共线， 设圆的半径为，则：， 由勾股定理，得：， ∴， 解得：； 故选B． 5. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 函数解析式为 B. 蓄电池的电压是18V C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】将将代入求出U的值，即可判断A，B，D，利用反比例函数的增减性可判断C． 【详解】解：设，将代入可得，故A错误； ∴蓄电池的电压是36V，故B错误； 当时，，该项正确； 当当时，，故D错误， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 6. 关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. －1 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式可得答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴ ∴， 即a的取值范围是且． ∴整数a的最大值为0． 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程，熟练掌握根的判别式与根的关系是解题关键． 7. 如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足．若弹簧秤的示数F不超过，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据杠杆平衡条件得到，进而求出的取值范围． 【详解】解：由题意，木杆水平平衡，根据杠杆平衡条件：， 代入，， 得：， ， 由题意，弹簧秤示数，即：， ，不等式两边同乘，不等号方向不变， ， ， 又木杆长，为中点， 右侧最大力臂， 的取值范围是：． 8. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点A、B， 下列说法正确的是（ ） A. 点B的坐标为 B. 一次函数的表达式为 C. 反比例函数的值随x值的增大而增大 D. 若，则或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法求函数解析式，反比例函数的增减性等等，把A、B横坐标代入反比例函数解析式求出A、B的坐标是解题的关键． 【详解】解：在中，当时，， ∴点B的坐标为，故A说法错误，不符合题意； 同理可得点A的坐标为， 把代入中得：， ∴， ∴一次函数的表达式为，故B说法错误，不符合题意； ∵在中，， ∴反比例函数经过第二、四象限，在每个象限内的值随x值的增大而增大，故C说法错误，不符合题意； 由函数图象可知，当时，或，故D说法正确，符合题意； 故选D． 9. 如图，是的弦，，的半径为，点是上一动点，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作的垂线，垂足为，延长交于点，连接，，，就是点到的最大距离，的面积就是的最大面积，根据垂径定理和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作的垂线，垂足为，延长交于点，连接，，， ， 的半径为， ， ， 点到距离的最大值为， 面积的最大值为． 10. 如图，在矩形中，，，点在矩形的内部，连接，，，若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形性质推出，点在以点为圆心，为半径的半圆上，取的中点，连接，由勾股定理得，再根据圆外一点到圆上点的距离最值求出的最小值即为的值． 【详解】解：在矩形中，， ， ， ， ， 取的中点，则， 即点在以点为圆心，为半径的半圆上， 连接， 在中，，， 由勾股定理得， 根据圆的性质与三角形三边关系得， 当、、共线时，取得最小值，如下图： 此时最小值为，选项符合题意． 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11. 若是方程的一个根，则代数式的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】将n代入方程得，代入代数式解题． 【详解】将n代入方程得， 则． 故答案为：． 【点睛】本题考查求代数式的值，整体代入是解题的关键． 12. 已知长方形相邻两边长是一元二次方程的两个根，则这个长方形的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之积，长方形面积为相邻两边长的乘积，即可得到结果． 【详解】解：设一元二次方程的两个根分别为和． 根据根与系数的关系可得：． 长方形相邻两边长是该一元二次方程的两个根， 这个长方形的面积为． 13. 若、是一元二次方程的两个根，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】将所求代数式通分变形为含两根之和、两根之积的形式，结合一元二次方程根与系数的关系求出对应值，代入计算即可． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴，， ∵， ∴将，代入， 可得． 14. 如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外接圆的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形外心的性质找到圆心，由网格计算出半径． 【详解】解：如图，点即为圆心， 由网格可知，， ∴的外接圆的半径为． 15. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点．则不等式的解集是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】可转化为，观察图象即可求解． 【详解】解：可转化为， 由图象可知，的解集为或． 16. 的半径为5，弦，则与间的距离为________． 【答案】1或7 【解析】 【分析】本题考查圆中弦的距离计算，掌握分弦在圆心同侧和两侧两种情况，利用垂径定理和勾股定理求解是解题的关键． 分两种情况讨论，即圆心点在或不在之间，利用垂径定理和勾股定理分别求出弦心距，进而求出与间的距离． 【详解】解：过圆心作于，交于，连接． ， ， ， 而， ， 在中，； 在中，； 当圆心点不在之间，距离为； 当圆心点在之间，距离为． 故答案为：1或7． 17. 如图，在中，，，是的内切圆，则的半径_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，，，，，设的半径为，根据是的内切圆，得到，，，，结合，推出、、三点共线，即，根据勾股定理求出，最后根据，列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接，，，，，， 设的半径为， 是的内切圆， ，，，， 平分， ， 、、三点共线，即，， ， ， ， ， 解得， 则的半径为． 18. 如图，MN是⊙O的直径，MN=4，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，与MN的交点即为点P，此时PA+PB的最小值即为A′B的长，连接OA′、OB、OA，先求∠A′OB=∠A′ON+∠BON=60°+30°=90°，再根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，与MN的交点即为点P，PA+PB的最小值即为A′B的长，连接OA′、OB、OA， ∵A′点为点A关于直线MN的对称点，∠AMN=30°， ∴∠AON=∠A′ON=2∠AMN=2×30°=60°， 又∵B为的中点， ∴， ∴∠BON=∠AOB=∠AON=×60°=30°， ∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=60°+30°=90°， 又∵MN=4， ∴OA′=OB=MN=×4=2， ∴Rt△A′OB中，A′B=， 即PA+PB的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查作图-复杂作图及轴对称的最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和圆周角定理、圆心角定理是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 已知电路的电压（单位：）、电流（单位：）、电阻（单位：）之间有如下关系：．该电路的电压为． （1）写出电流（单位：）关于电阻（单位：）的函数表达式； （2）如果该电路的电阻由增大到，通过该电路的电流如何变化？ 【答案】（1） （2）电流从减小到 【解析】 【小问1详解】 解：根据得到，变形． 【小问2详解】 解：当时，；当时，； ∴该电路的电阻由增大到，通过该电路的电流从减小到． 20. 已知反比例函数的图像经过点． （1）求的值； （2）若点、也在这个函数的图像上，比较与的大小； （3）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将代入,解方程即可； （2）根据反比例函数的性质即可比较与的大小； （3）分别求得当时，当时的函数值，结合时，函数图像在第二象限，随的增大而增大，即可求得的取值范围． 【小问1详解】 解：将代入，得， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）得反比例函数解析式为， ， 该函数在第四象限内随的增大而增大， ，点、均在第四象限， ． 【小问3详解】 解：当时，，， 当时，，， 时，函数图像在第二象限，随的增大而增大， ． 21. 有一台电脑感染了某种病毒，经过两轮传播后共有25台电脑感染． （1）求每轮传播中平均一台电脑感染几台电脑； （2）若病毒得不到控制，三轮传播后，被感染的电脑是否超过100台？ 【答案】（1）每轮传播中平均一台电脑感染4台电脑 （2）三轮传播后，被感染的电脑超过100台 【解析】 【分析】（1）设每轮传播中平均一台电脑感染x台电脑，根据题意，得，解答即可； （2）根据题意，三轮传播后，感染病毒的电脑数为：，比较大小解答即可． 【小问1详解】 解：设每轮传播中平均一台电脑感染x台电脑， 根据题意，得， ， 解得或（电脑数量不能为负数，舍去） 故， 故每轮传播中平均一台电脑感染4台电脑； 【小问2详解】 解：根据题意，三轮传播后，感染病毒的电脑数为：（台）， ， 故三轮传播后，被感染的电脑超过100台． 22. 如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为6米，拱高（弧的中点到水面的距离）为1米． （1）求主桥拱所在圆的半径； （2）若水面下降1米，求此时水面的宽度． 【答案】（1）主桥拱所在圆的半径 （2）此时水面的宽度 【解析】 【分析】（1）以O为圆心，连接，根据三线合一定理可得，设，则，再根据勾股定理即可求出半径； （2）由题意得，水面下降为，连接，根据水面下降1米，可得，再根据勾股定理即可求得答案． 【小问1详解】 如图，以O为圆心，连接， 由题意可得，D为弧的中点， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，， ∴， 解得：， ∴主桥拱所在圆的半径； 【小问2详解】 由题意得，水面下降为，连接， ∵水面下降1米， ∴， 则， ∴，即水面的宽度为． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 23. 某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每天可卖出300件．经过市场调研发现，在一定范围内调整售价： ①每涨价1元，每天要少卖出10件； ②每降价1元，每天可多卖出20件． 如果只能调整一次售价，如何调整使每天的利润为6250元？ 【答案】涨价5元 【解析】 【分析】根据“总利润单件利润销售量”列出方程，解方程解题． 【详解】解：①设涨价x元，使每天的利润为6250元， ， 解得， ②设降y元，使每天的利润为6250元， ， 整理的， ， 方程无解， 答：涨价5元，每天的利润为6250元． 【点睛】本题考查列一元二次方程解应用题，找等量列方程找到符合实际的解是解题的关键． 24. 综合与实践 如图，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 托盘中的砝码质量 （1）依据实验得出与的对应点，请你在本题图中画出函数图像，并求出函数解析式； （2）当砝码质量为时，求托盘与点的距离； （3）当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据，描点，连线即可得函数图像，根据图像可得y是关于x的反比例函数，利用待定系数法求解即可； （2）当时，，求解即可； （3）设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离为，利用反比例函数的性质建立方程，求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：描点连线，函数图像如图所示， 由图象可得y与x之间是反比例函数关系， 设， 当时，， ，即， ； 【小问2详解】 解：当时，代入得，， 解得， 当砝码质量为时，托盘B与点O的距离是. 【小问3详解】 解：设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离为， ，， 解得：． 在移动前托盘B中的砝码质量为. 25. 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：，利用配方法求M的最值． 解： ∵ ∴当时，M有最小值． 请根据上述材料解决下列问题： （1）若，则M有最______值，为______． （2）解决实际问题：二十四中学准备在校园里利用院墙再围三面栅栏，形成一个矩形花圃．如图，院墙长20米，栅栏总长40米（栅栏必须用完）．如何设计可以使得围成的矩形面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）大，2； （2）矩形中，垂直院墙的边的长度为，平行院墙的边的长度为，最大面积 【解析】 【分析】（1）按照题干中给出的配方法作答即可； （2）设垂直院墙边长米，则平行院墙边长米，求出x的取值范围，表示出矩形的面积，最后按照凑配的方法，求出最值即可作答． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， ∴当时，M有最大值； 【小问2详解】 解：设垂直院墙边长米，则平行院墙边长米， 即，则有：， 矩形面积， ∵， ∴当时，，平行院墙那一边的边长（米）， 答：矩形中，垂直院墙的边的长度为，平行院墙的边的长度为，最大面积． 26. 如图，、为的弦，与相交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点在上，连接、，若为直径，，求证：． 【答案】（1）证明：连接，， ∵， ∴， ∵和是所对的圆周角， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：连接， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， 在中， ． 【解析】 【分析】（1）连接，，证明，即可证明结论； （2）证明是等腰直角三角形，由，得，根据是的直径，得，进而求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 27. 定义：内接于，为的内心，若关于该三角形某条边的对称点恰好在上，则称为的“完美三角形”． （1）【初步认识】下列内接三角形一定是的“完美三角形”的有_______（填序号）： ①等边三角形；②等腰直角三角形；③有一个角为的直角三角形． （2）【探索本质】如图，是的“完美三角形”，其内心关于的对称点在上． ①求的度数； ②若，求的半径． 【答案】（1）①③ （2）①；②⊙O的半径为 【解析】 【分析】（1）设，点关于边的对称点为点，证明，可得，，由为的内心，可得，，得到，则，推出，得到四边形内接于，即点在上，得到当有一个内角为时，为其外接圆的“完美三角形”，即可得结论； （2）①连接、、、，同理（1）即可得；②连接、，过作于点，则，利用等腰三角形的性质和勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：设， 点关于边的对称点为点， 由对称可得，，， ，， ， ， ，， 为的内心， ，分别平分，， ，， ，， ， ， ， ， ， 四边形内接于，即点在上， 当有一个内角为时，为其外接圆的“完美三角形”. 当三角形为等边三角形和有一个角为的直角三角形时，至少有一个内角为，一定是的“完美三角形”， 故①③符合； 【小问2详解】 ①如图，连接、、、， 设，， 是的内心， 平分，平分， ，， 和关于对称， ，， ，， ，即， ， ， ； ②连接、，过作于点，则， 由①知， ， ， ， 即⊙O的半径为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $