精品解析：广西壮族自治区柳州市柳城县中学2026-2027学年高三上学期11月期中检测数学试题

2026年秋季学期高三期中检测 数学 （满分150分　时间150分钟） 一、单选题（共40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 样本数据8，4，5，7，16的极差为（ ） A. 7 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【详解】样本数据的极差为 2. 下列复数中，属于纯虚数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据纯虚数的定义，实部为0，虚部不为0， 所以选项中只有为纯虚数. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合并集计算即可； 【详解】由题意可得， 故选：D. 4. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直坐标运算即可求解. 【详解】因为向量，且，则， 故选：B 5. 设等差数列的前项和为，若，则等于（ ） A. 9 B. 11 C. 13 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求解. 【详解】设公差为， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6. 已知关于直线的对称点为，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率及所过的点，再利用直线的点斜式方程求出方程. 【详解】依题意，直线的斜率，则直线的斜率为，且过点， 所以直线的方程是，即. 故选：B 7. 已知函数，满足对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，可得函数在R上单调递增，再利用分段函数及对数函数单调性列出不等式求解即得. 【详解】函数的定义域为R， 由对任意，都有，得函数在R上单调递增， 于是，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为M，且．双曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为，P为曲线与的一个公共点，若，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，可求得，假设点在第一象限，则根据双曲线和椭圆的定义列方程组可表示出，然后在中利用余弦定理列方程化简可求出结果. 【详解】因为椭圆的上顶点为M，且， 所以， 所以，所以， 设双曲线的方程为， 假设点在第一象限，则 ，得， 在中，由余弦定理得 ，即， 整理得， 所以，则， ，所以， 所以， 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆和双曲线定义的应用，考查余弦定理的应用，解题的关键是根据椭圆和双曲线的定义列方程组表示出，考查计算能力，属于较难题. 二、多选题（共18分）：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据不等式的性质解决. 【详解】对于A ,时不成立，故A错误； 对于B ,则，因此，于是，故B错误； 对于C，由知， 故，即，故C正确. 对于D ，则，所以，故D正确. 故选：CD 10. 设是无穷数列，若存在正整数，使得对任意，均有，则称是“间隔递增数列”，k是的“间隔数”，下列说法正确的是（ ） A. 公比大于1的等比数列一定是“间隔递增数列” B. 若，则是“间隔递增数列” C. 若，则是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为r D. 已知，若是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为3，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用新定义，逐项验证是否存在正整数，使得，即可判断正误. 【详解】选项A中，设等比数列的公比是，则，其中，即，若，则，即，不符合定义，故A错误； 选项B中，， 当n是奇数时，，则存在时，成立，即对任意，均有，符合定义；当n是偶数时，，则存在时，成立，即对任意，均有，符合定义.综上，存在时，对任意，均有，符合定义，故B正确； 选项C中，，令，开口向上，对称轴，故在时单调递增，令最小值，得， 又，，，故存在时，成立，即对任意，均有，符合定义，“间隔数”的最小值为r，故C正确； 选项D中，因为，是“间隔递增数列”，则，即，对任意成立，设，显然在上递增，故要使，只需成立，即. 又“间隔数”的最小值为3，故存在，使成立，且存在，使成立，故且，故，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】本题的解题关键在于读懂题中“间隔递增数列”的定义，判断是否存在正整数，使对于任意的恒成立，逐项突破难点即可. 11. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 一共有6项 B. 第3项为 C. 所有项的系数和为0 D. 所有项的二项式系数和为32 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用展开式的通项公式和赋值法可求解. 【详解】对于A选项，因为的次数为5，故展开式共有6项，故A正确； 对于B选项，二项式展开式的通项公式为，，1，2，3，4，5，令，可得第三项为，B不正确； 对于C选项，令可得所有项的系数和为0，故C正确； 对于D选项，所有项的二项式系数和为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（共15分） 12. 已知，则的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据求解即可. 【详解】. 故答案为： 13. 设，若，则_________ . 【答案】 【解析】 【分析】由二项分布的概率公式，代入可得结果. 【详解】, , ，解得：或(舍去) 故答案为：. 14. 已知函数有且仅有一条切线经过点.若，恒成立，则实数的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义及直线的点斜式方程，将所求问题转化为方程的根的问题，求出函数表达式，然后再分离参数，构造函数，利用导数法求最值即可 【详解】因为，所以，设切点为， 由题意，有且仅有一解，即只有一解， 则，解得或（舍），所以，恒成立，即在上恒成立， 当时，，此时； 当时，在上恒成立， 记，则，， 令，则，， 令，得，令，得， 所以在单调递增，在单调递减， 又，所以当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，所以，即， 综上，，所以实数的最大值是 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数的单调性，如果一次求导无法解决时，可以利用多次求导的方法来解决.在此过程中，要注意导函数和原函数间的对应关系. 四、解答题（共77分） 15. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，. （1）求b的值; （2）求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简可得，再由余弦定理即可求解； （2）直接由三角形的面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得，即， 由余弦定理得. 所以. 【小问2详解】 因为，，， 所以. 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱的中点． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到直线的距离． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系（1）求出向量与坐标，由向量夹角余弦公式可得答案； （2）求出平面的法向量，由向量法求解即可； （3）由空间向量法，求点到直线距离公式可得答案. 【小问1详解】 如图，建立空间直角坐标系，则. 故，，则直线与所成角的余弦值为： ； 【小问2详解】 由（1）， 设平面法向量为，则， 则可取，又，则直线与平面所成角的正弦值为： ； 【小问3详解】 由（1），，又， 则到直线的距离为：. 17. 随着科技的进步，人工智能（AI）工具在职场中的应用日益广泛，像豆包、DeepSeek等常见的AI工具，已被证明能有效提升员工的工作效率和准确率．某公司为了解员工使用这类AI工具的熟练度，进行了一次内部统计，统计结果如下表： 能够熟练使用AI工具 不能够熟练使用AI工具 男员工 30 15 女员工 16 9 （1）根据的独立性检验，能否认为性别与使用AI工具的熟练度具有相关性？ （2）现按熟练度采用分层抽样的方法从该公司的男员工中随机抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记其中不能够熟练使用AI工具的人数为，求的分布列以及数学期望． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）性别与使用AI工具的熟练度无关； （2） 0 1 2 3 数学期望为1. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出的观测值，再与临界值比对即可得解. （2）求出12名男员工中能够熟练与不能够熟练使用AI的人数，进而求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望. 【小问1详解】 设零假设：性别与使用AI工具的熟练度无关， 由统计表得， 则， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 所以可以认为成立，即认为性别与使用AI工具的熟练度无关. 【小问2详解】 男员工中能够熟练与不能够熟练使用AI的人数比为， 按分层抽样抽12人，抽取的能够熟练使用的人数为，抽取的不能够熟练使用的人数为4， 因此的可能取值为， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. 18. 已知椭圆，左顶点为A，下顶点为B，，焦距为． （1）求E的方程； （2）平行于AB的直线l与E相交于C，D两点（C，D均在第一象限，且A，B，C，D按逆时针排列），直线AD与y轴相交于点P，直线BC与x轴相交于点Q． ①求直线PQ的斜率； ②若四边形ABQP的面积为，求四边形PQCD的面积． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用椭圆顶点距离、焦距建立方程组，求出椭圆标准方程； （2）①设平行直线，联立椭圆得到韦达关系，求出P，Q坐标后代入斜率公式，借助化简，求出直线PQ的斜率；②利用①得到的斜率设，则，其中，由四边形面积求出参数，联立直线求C，D，得到，再用梯形面积计算PQCD面积. 【小问1详解】 因为，所以， 因为焦距为，所以，则 所以E的方程为； 【小问2详解】 ①因为，则AB的斜率为， 设直线l方程为， 联立l与E的方程：，消去y得：，则， 直线AD方程为：，令得，故， 直线BC方程为：，令得，故， 则PQ的斜率 ， 所以直线PQ的斜率为； ②由①知PQ斜率为，设，则，其中， 则， 所以四边形ABQP的面积，解得， 则，PQ方程为：，AP方程为：， 联立AP与E的方程：解得，同理， 故CD方程为：，且， 则PQ//CD，又直线PQ与CD间距离， 故四边形PQCD面积. 19. 已知函数（），． （1）若，求的单调区间； （2）若恒成立，求的值； （3）已知数列，满足，记，若对任意的正整数，不等式成立，其中为整数，求最小值． 【答案】（1）在上单调递增，上单调递减 （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）对函数求导，利用导函数的正负求得函数的单调区间. （2）构造新函数，对分类讨论，结合即可得解 （3）利用（2）的结论，通过放缩法得到的上界，再结合时的值，确定的最小值. 【小问1详解】 由题意函数，，求导可得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，上单调递减， 【小问2详解】 因为，所以，其中， 令 ，则恒成立，，且， 当时，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 若，则在上单调递增，所以时，，与题设矛盾； 若，则在上单调递减，所以时，，与题设矛盾； 若，则在上单调递减，在上单调递增，所以，满足题意； 综上所述． 【小问3详解】 因为，所以， 由（2）可知当时 ，即， 所以当且仅当时取等号，所以，． ， 所以 ，即：对于任意正整数，恒成立， 且因为为整数，且对于任意正整数， 成立， 当时， ，所以不能恒成立， 所以m的最小值为3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季学期高三期中检测 数学 （满分150分　时间150分钟） 一、单选题（共40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 样本数据8，4，5，7，16的极差为（ ） A. 7 B. 8 C. 12 D. 16 2. 下列复数中，属于纯虚数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 设等差数列的前项和为，若，则等于（ ） A. 9 B. 11 C. 13 D. 25 6. 已知关于直线的对称点为，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，满足对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为M，且．双曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为，P为曲线与的一个公共点，若，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 二、多选题（共18分）：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 设是无穷数列，若存在正整数，使得对任意，均有，则称是“间隔递增数列”，k是的“间隔数”，下列说法正确的是（ ） A. 公比大于1的等比数列一定是“间隔递增数列” B. 若，则是“间隔递增数列” C. 若，则是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为r D. 已知，若是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为3，则 11. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 一共有6项 B. 第3项为 C. 所有项的系数和为0 D. 所有项的二项式系数和为32 三、填空题（共15分） 12. 已知，则的值为 _____． 13. 设，若，则_________ . 14. 已知函数有且仅有一条切线经过点.若，恒成立，则实数的最大值是______. 四、解答题（共77分） 15. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，. （1）求b的值; （2）求的面积. 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱的中点． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到直线的距离． 17. 随着科技的进步，人工智能（AI）工具在职场中的应用日益广泛，像豆包、DeepSeek等常见的AI工具，已被证明能有效提升员工的工作效率和准确率．某公司为了解员工使用这类AI工具的熟练度，进行了一次内部统计，统计结果如下表： 能够熟练使用AI工具 不能够熟练使用AI工具 男员工 30 15 女员工 16 9 （1）根据的独立性检验，能否认为性别与使用AI工具的熟练度具有相关性？ （2）现按熟练度采用分层抽样的方法从该公司的男员工中随机抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记其中不能够熟练使用AI工具的人数为，求的分布列以及数学期望． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知椭圆，左顶点为A，下顶点为B，，焦距为． （1）求E的方程； （2）平行于AB的直线l与E相交于C，D两点（C，D均在第一象限，且A，B，C，D按逆时针排列），直线AD与y轴相交于点P，直线BC与x轴相交于点Q． ①求直线PQ的斜率； ②若四边形ABQP的面积为，求四边形PQCD的面积． 19. 已知函数（），． （1）若，求的单调区间； （2）若恒成立，求的值； （3）已知数列，满足，记，若对任意的正整数，不等式成立，其中为整数，求最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $