江苏苏州市2026-2027学年高三上学期期中阳光调研数学试题

高三年级期中阳光调研试卷 数 学 2026.11 注意事项 学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1．本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第11题）、填空题（第12题~第14题）、解答题（第15题~第19题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置． 3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚． 4．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集，，则 A． B． C． D． 2．已知正数，满足，则的最小值为 A． B． C． D． 3．数列中，“，，成等差数列”是“数列是等差数列”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 A． B． C． D． 5．在平行四边形中，点，分别是边，边的中点，，分别与交于，两点，若，则的值是 A． B． C． D． 6．已知，，则 A． B． C． D． 7．在盐碱地生态调查中，科研人员用土壤饱和浸提液电导率来评价土壤盐渍化程度．为缩小数值跨度，便于绘图与统计分析，定义对数盐度指数：，其中基准电导率，为实测饱和浸提液电导率（单位：）．下表为某地三块试验田土壤样本测得的对数盐度指数区间，记甲、乙、丙三份土壤样本对应的实测饱和浸提液电导率依次为，，，则下列说法正确的是 土壤样本 土地类型 对数盐度指数 样本甲 重度盐渍化农田 50~80 样本乙 中度盐渍化农田 40~50 样本丙 轻度盐渍化农田 10~20 A． B． C． D． 8．给定两个函数：，．记满足的正数，按从小到大的顺序记为，，，，．对每一个，构造点．若存在连续三点，，，使得为直角三角形，则正实数的值是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数满足（为虚数单位），记为的共轭复数，则 A． B． C． D． 10．有一组数据共12个，记第个数为，其中，，…，是首项为2的等差数列，且，，．记．将，，…，分成6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6，公差为的等差数列，则 A． B． C．的取值不唯一 D．对于满足条件的，存在唯一的分组方式 11．已知函数的定义域为，对任意实数，，都满足，其中是自然对数的底数，且当时，，则 A．是奇函数 B．在上是单调函数 C．若，则 D．若，，，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若向量，，且，则实数m的值为______． 13．设等比数列的各项均为正数，前n项和为，，，则______． 14．定义：若，函数满足，其中是的导函数，则称在区间I上“自洽单调”．已知实数，函数，若在区间上“自洽单调”，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的外接圆半径为1，且． （1）求角A的大小； （2）若，求的面积． 16．（15分） 已知向量，，记函数． （1）若，且，求； （2）将函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．当时，求的值域． 17．（15分） 已知函数（，且）的图象经过点． （1）求a的值； （2）若存在两个互不相同的实数x，使得，，成等差数列，求实数t的取值范围； （3）设，其中．若是方程的根，试判断的符号，并说明理由． 18．（17分） 已知数列的首项，前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）记为在区间中所含项的个数，数列的前项和为，若，求的值； （3）设，数列的前项和为，符号表示不超过实数的最大整数．若存在整数，使得当时，恒有，求满足该条件的最小正整数及整数的值． 19．（17分） 已知函数，是自然对数的底数，记． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若对任意，都有，求的值； （3）若方程有两个不同的实数根，，满足且，记为的零点． （ⅰ）求的值； （ⅱ），从下面①②中任选一个作答（若两个都作答，以第一个计分）． ①当时，求证：；②当时，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $高三年级期中阳光调研试卷 数学（参考答案） 2026.11 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 题号12345678 答案 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分， 题号 9 10 11 答案 ACD AC ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.1: 13.32: 14.8 四、解答题：本题共5小题，共77分， 15.(13分) 解：（1)因为△ABC外接圆半径为1，所以由正弦定理得a=2sinA,…2分 bcosC+ccos B=2sin BcosC+2sin Ccos B=2sin(B+C)=2sinA=a=3, 即sinA= 5 …5分 2 又△4BC为锐角三角形，所以A=工 …6分 3 (2)由(1)及余弦定理知a2=b2+c2-2 bccos A=b2+c2-bc=3,…8分 所以86-+c-3tc-2,所以e1 …11分 c b bc bc 6 7 93 所以△ABC的面积为S=bosin A= 13分 2 14 16.（15分) 解：(1)因为a∥b,所以√5cosx+2sinx=0,显然cosx≠0，…2分 所以tamx=- 2 …3分 cos2x=cos'sinosintan cosx+sinx 1+tanx1) 7 …6分 2 高三数学参考答案第1页共6页 (2)f(x)=(a+b).b=(3cosx+sinx,-1).(sinx,1) =V5 cosxsin x+sin2x-1…8分 sinax1ossin( …10分 2 由题意如y=2x名月5y=m2u--m2:-孕-号 6-3 所以g=s2x-骨-号 …12分 3 所以g)的值城为-2， 3+11, ..... …15分 17.(15分) 解：(1)因为函数f(x)=log。x(a>0且a≠1)的图象经过点(2，)， 所以g,5=月 …1分 所以克=2，则a=2.… …3分 (2)因为存在两个互不相同的实数x,使得/心②)，/心x+),f心x+)成等差数列， 所以f(2)+f(x+)=。fx+),… …4分 1og,2+1og,+0=og,+0=og,可有丙个不同实数根， x+1>0 所以3x+1>0 有两个不同实数根.… …6分 (2(x+)=Vx+1 令H=√x+1(u>0),则2r2-+21-2=0由两个不等正根， A=1-8(21-2)>0 所以+：=方>0，解得1<1 17 442=1-1>0 高三数学参考答案第2页共6页 所以实数1的范围为0 …9分 6 (3)g(2-o)<0,理由如下：… 10分 +a2-3a2的定义域为(0,2).…11分 g(x)=10g22-x 因为x是方程g(x)=0的根，所以∈(0,2)，且g(x)=0,2-∈(0,2)， 即g）-i82产六。+心-3a=0. …13分 因为g2-6)-b,2+A2-%P-30--3 2-0-3+362-4k. 所以g(x)+g(2-)=g(2-x)=-4k, 由于k>0,所以g(2-)=4k<0. …15分 18.(17分) 解：(1)当n≥2时，Sn=an-2,所以S,-Sn-1=an1-an=a,, 所以an1=2an(≥2）.… …2分 当n=1时，S1=a2-2,a=2,所以a2=4,则a2=2a. 所以an1=2a,(n∈N). 所以{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，故an=2°.…4分 (2)当m=1时，b=0,共1个；m∈[2,4)时，bm=1,共2个： me[4,8)时，bn=2,共4个人：me[8,1时，bn=3,共8个： me16,32)时，bn=4,共16个：m∈[32,64)时，bn=5,共32个： me[64,128)时，bn=6,共64个；me[128,256时，bn=7,共128个； me[256,512)时，bn=8,共256个，…，me[2,2*)时，bn=t,共2个 …7分 所以R2s5=b,+b2+b+b,+…+b2s5 =0×1+1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6×64+7×128=1538, R1=3586>2026, 所以第k项对应的m落在区间[256,512)内，6.=8，共2026-153 =61个. 故k=1+2+4+8+16+32+64+128+61=316.…10分 高三数学参考答案第3页共6页 3a1 3.2” (3)c,a,-2- 当n=1时，c=6: 当n≥2时，0，=3-2” -V--0- 3.2” 32- 1 所以T,<6+分32）=6+30-2”与K9.…14分 又c>0,所以{Tm}是单调递增数列. 对于neN,6≤n<9,所以[Tn]e{6,7,8. 因为[=6：7<五=6+号8，【]=7：7<G=6+拿+0<8，【G]=7: 3+49 8<万=6号芳号c9,-8,所以当≥4时，都有小-8， 所以满足条件的r=8,n的最小值n。=4. … …17分 19.(17分) 解：(1)当a=1时，f(x)=(1-x)e+x-1,(x)=(x-2)e+1,所以(0)=-1.1分 又f(0)=0,所以曲线y=∫()在x=0处的切线方程为y=一x.…3分 (2)法一：函数(x)的定义域为R,由f(x)≥∫(a)知(a-x)e+x-1≥a-1, 整理得(x-a)(e-1)≤0恒成立.… …4分 当x≥0时，ex-1≤0，则必有x-a≥0恒成立，所以a≤0： 当x<0时，ex-1>0,则必有x-a≤0恒成立，所以a≥0： 综上，0=0.… …7分 法二：函数(x)的定义域为R 由f()≥f(a)可知f(@)是函数f)的最小值，且x=a是f()的极小值点. 因为f(x)=(x-a-1e*+1,所以f'(@=-e°+1=0，解得a=0.…5分 当a=0时，f)=(x-1)e+1=X-1+e ex 当xe(0,+o)时，x-1+e>0,所以f(>0,则f)在(0，+∞上单调递增： 当xe(0,0)时，x-1+e<0,所以∫(0，则)在（←0,0单调递减， 高三数学参考答案第4页共6页 所以X=Q=0是极小值点也是最小值点，故a=0满足条件.…7分 (3)()因为x+x2=0,且满足f(:)=∫(：)=0，所以 (a-x)e5+x-1=0 (a+x)e-x-1=0 整理得{a-Xe=-￥+1 所以(a-xa+x)=(-x+10(x+1), (a+x)e=x+1 所以a2=1,则a=士1.… …9分 当a=1时，(x)=(1-x)e+x-1=0,x=0或x=1,不满足x+5=0,舍去. 当a=-1时，f(x)=(-1-x)e+x-1,易知f(0)=-2. 设()=0，则1≠0，(-1-)e+1-1=0,所以(-1-)+c'(1-)=0, 所以f(-)=(-1+1)e'-t-1=0,则存在两个不同的实数根满足x+:3=0. 故a=-】,…11分 (i)当a=-1时，g()=∫(x)=x0+1. 因为x是(x)=0的根，x>0,x为g(x)的零点， 所以(x)=(-1-x)e4+x-1=0,g(x)=x。e6+1=0, 所以e=+1 5->1,=-6%<0. …12分 若选①： 令h(x)=e“+x,显然h(x)在R上单调递增，且h(x)=0. 因为入≤2，x。<0,所以要证x+x>0,只要证x+2x,>0,即证-<x, 只要证M-之)<心)=0，即证e音-手<0. …13分 2 又因为e-0,所以y--则e x-1 V+1 所以只要证 三<车，即证+子-4+4>0. Vx+12 令p(x)=x2+x2-4x+4,x∈1，+0)，则0(x)=3x2+2x-4. 当x∈(1，+∞)时，p'(x)>0,所以p(x)在(1，+∞)上单调递增， 所以p(x)>p(I)=2>0,所以x+2x。>0. 高三数学参考答案第S页共6页 故当入≤2时，为十儿x0>0.… …17分 若选②： 令h(x)=e2+x,显然h(x)在R上单调递增，且h(x,)=0. 因为2≥3，名。<0，所以要证×+x<0,只要证+3%<0，即证-兰>· 3 只要证(-字)>b6)=0,即证e子_点>0. …13分 3 又因为e0,质以y--所以宁 -1 Vx+1 所以只要证 写音即证≥学，即证+-214+2c0 +1 因为当x∈(1，+∞)时，g(x)=∫(x)=xe'+1>0,所以()在(，+o)上单调递增， 又由于d<学<5，所以/=0+0，/=-30+1>0， 所以e号，2. 令p=+-27x+27,xe号2，即证p6<0. m'(x)=42+3x2-27,m(x)=12x2+6x>0, 所以p(x)在1，+∞)上单调递增，且()<0，(2)>0， 所以存在5e(号，2》，使得s)=0. 当xe与)，p()<0,()在写)上单调递减： 当xE(;,2),0()>0,(x)在(：，2)上单调递增. 由于<0，Q<0,所以当xe号2到时，6<0，所以3+3%<0. 故当1≥3时，x+元x。<0. …17分 高三数学参考答案第6页共6页