江苏省徐州市2026-2027学年度第一学期高三期中抽测数学举一反三变式训练

徐州市 2026~2027 学年高三期中抽测·举一反三变式训练 数学变式训练（母题 19 道 + 变式 57 道，共 76 题） 使用说明： 1. 本题库对原卷 19 道题逐题配置 3 个变式，编号“m-n”表示母题 m 的第 n 个变式。 2. 变式保持母题的考查知识点与解题主线，只改变数据、设问角度或图形位置。 3. 建议先独立完成母题，再按顺序做 3 个变式，最后对照解析复盘错因。 一、选择题变式：母题 1~8 各配 3 个变式（共 24 道变式，每小题 5 分）。母题题干加粗，仅作对照。 【母题 1】 已知集合 ，，则 A. B. C. D. 1-1. 已知集合 ，，则 A. B. C. D. 1-2. 已知集合 ，，则 A. B. C. D. 1-3. 已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 【母题 2】 一组数据 ，，，，，，，， 的 百分位数是 A. B. C. D. 2-1. 一组数据 ，，，，，，， 的 百分位数是 A. B. C. D. 2-2. 一组数据 ，，，，，，，，，，， 的 百分位数是 A. B. C. D. 2-3. 已知一组数据 ，，，， 的 百分位数是 ，则 A. B. C. D. 【母题 3】 若复数 满足 ，则 A. B. C. D. 3-1. 若复数 满足 ，则 A. B. C. D. 3-2. 已知复数 ，则 A. B. C. D. 3-3. 若复数 满足 ，，且 在复平面内对应的点位于第二象限，则 A. B. C. D. 【母题 4】 已知数列 满足 （），且 ，则 A. B. C. D. 4-1. 已知数列 满足 （），且 ，则 A. B. C. D. 4-2. 已知数列 满足 （），且 ，则 A. B. C. D. 4-3. 已知数列 满足 （），，且 ，则使 成立的最小正整数 为 A. B. C. D. 【母题 5】 已知双曲线 （）的离心率为 ，则 的渐近线方程为 A. B. C. D. 5-1. 已知双曲线 （）的离心率为 ，则它的渐近线方程为 A. B. C. D. 5-2. 已知双曲线 （，）的渐近线方程为 ，则它的离心率为 A. B. C. D. 5-3. 已知双曲线 （）的离心率为 ，则过焦点且垂直于实轴的弦长为 A. B. C. D. 【母题 6】 已知向量 ，，则“”是“”的 A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6-1. 已知向量 ，，则“”是“”的 A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6-2. 已知向量 ，，则“”是“”的 A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6-3. 已知向量 ，，若 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是 A. B. 且 C. D. 【母题 7】 一个圆台的上、下底面半径之比为 ，半径为 的球与该圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积是 （母题7） A. B. C. D. 7-1. 一个圆台的上、下底面半径之比为 ，半径为 的球与该圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积是 A. B. C. D. 7-2. 已知圆台的上、下底面半径分别为 和 ，且存在一个球与该圆台的上、下底面及侧面均相切，则该球的表面积为 A. B. C. D. （7-2图） （7-3图） 7-3. 已知圆台的上、下底面半径之比为 ，母线长为 ，且存在一个球与该圆台的上、下底面及侧面均相切，则该球的表面积为 A. B. C. D. 【母题 8】 对于非空集合 ，记 ，集合 中整数的个数为 ，则 A. 当 确定时， 唯一确定 B. 和 具有函数关系 C. 和 具有函数关系 D. 和 不具有函数关系 8-1. 对于非空集合 ，记 ，集合 中整数的个数为 。当 时， 的所有可能取值为 A. B. C. 或 D. ， 或 8-2. 对于非空集合 ，记 ，集合 中整数的个数为 。若 ，则 的取值范围是 A. B. C. D. 8-3. 对于非空集合 ，记 ，集合 中整数的个数为 ，则下列结论一定成立的是 A. B. C. D. 二、多项选择题变式：母题 9~11 各配 3 个变式（共 9 道变式，每小题 6 分）。母题题干加粗，仅作对照。 【母题 9】 已知函数 ，则 A. 在区间 上单调递增 B. 的图象关于点 中心对称 C. 在区间 上的值域为 D. 当 （）是偶函数时， 的最小值为 9-1. 已知函数 ，则 A. 在区间 上单调递减 B. 的图象关于点 中心对称 C. 在区间 上的值域为 D. 当 （）是偶函数时， 的最小值为 9-2. 已知函数 ，则 A. 在区间 上单调递增 B. 的图象关于点 中心对称 C. 在区间 上的值域为 D. 将 的图象向左平移 个单位长度，得到 的图象 9-3. 已知函数 （）的图象关于直线 对称，则 A. B. 在区间 上单调递增 C. 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到 D. 当 是奇函数时， 的最小正值为 【母题 10】 已知过原点 的直线与函数 的图象交于 ， 两点，分别过点 ， 作 轴的平行线与函数 的图象交于 ， 两点，则 A. B. 直线 过点 C. 当点 的横坐标为 时， D. 当 时，点 的横坐标为 10-1. 已知过原点 的直线与函数 的图象交于 ， 两点，分别过点 ， 作 轴的平行线与函数 的图象交于 ， 两点，则 A. B. 直线 过点 C. 当点 的横坐标为 时， D. 当 时，点 的横坐标为 10-2. 已知过原点 的直线与函数 的图象交于 ， 两点（ 在 左侧），分别过点 ， 作 轴的平行线与函数 的图象交于 ， 两点。若直线 的斜率为 ，则 A. B. C. 四边形 的面积为 D. 直线 的斜率为 10-3. 已知过原点 的直线与函数 的图象交于 ， 两点（ 在 左侧），分别过点 ， 作 轴的平行线与函数 的图象交于 ， 两点，则 A. 直线 与 平行 B. 当 时，点 的横坐标为 C. 当 时，四边形 的面积为 D. 直线 的斜率为直线 斜率的 倍 【母题 11】 已知正四面体 的棱长为 ，平面 内的点 满足 ．设点 到侧棱 ，， 的距离分别为 ，，，则 A. 平面 B. 该正四面体外接球的表面积为 C. 满足 的点 有且仅有 个 D. 11-1. 已知正四面体 的棱长为 ，平面 内的点 满足 ．设点 到侧棱 ，， 的距离分别为 ，，，则 A. 该正四面体外接球的表面积为 B. 平面 C. 满足 的点 有且仅有 个 D. （11-1图） （11-2 图） 11-2. 已知正四面体 的棱长为 ， 为平面 内一点，，， 分别是 到侧棱 ，， 的距离，若 ，则 A. 为正三角形 的中心 B. C. D. 该正四面体外接球的半径为 11-3. 已知正四面体 的棱长为 ，平面 内的点 到侧棱 ，， 的距离分别为 ，，，且 ，则 A. 到正三角形 中心 的距离为 B. C. 满足条件的点 的轨迹是一个圆，其面积为 D. 存在点 使 平面 （11-3图） 三、填空题变式：母题 12~14 各配 3 个变式（共 9 道变式，每小题 5 分）。母题题干加粗，仅作对照。 【母题 12】 的二项展开式中的常数项为________ 12-1. 的二项展开式中的常数项为________ 12-2. 的二项展开式中 的系数为________ 12-3. 已知 （）的二项展开式中的常数项为 ，则 ________ 【母题 13】 若圆 在点 处的切线也是曲线 的切线，则 ________ 13-1. 若圆 在点 处的切线也是曲线 的切线，则 ________ 13-2. 若圆 在点 处的切线也是曲线 的切线，则 ________ 13-3. 已知直线 的斜率为 ，且 既是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 ________ 【母题 14】 已知正八面体 的棱长为 ．设点 到 的各顶点的距离相等，直线 经过 的一个顶点及点 ，将 绕着 旋转 得到几何体 ，则 与 重合部分的体积为________ 14-1. 已知正八面体 的棱长为 ．设点 到 的各顶点的距离相等，直线 经过 的一个顶点及点 ，将 绕着 旋转 得到几何体 ，则 与 重合部分的体积为________ 14-2. 已知正八面体 的棱长为 ．设点 到 的各顶点的距离相等，直线 经过 的一个顶点及点 ，将 绕着 旋转 得到几何体 ，则 与 重合部分的体积与 的体积之比为________ 14-3. 已知正八面体 的棱长为 ．设点 到 的各顶点的距离相等，直线 经过 的一个顶点及点 ，将 绕着 旋转 得到几何体 ，则 与 重合部分的体积为________ 四、解答题变式：母题 15~19 各配 3 个变式（共 15 道变式，共 77 分）。母题题干加粗，仅作对照。 【母题 15】 （13 分） 记 的内角 ，， 的对边分别为 ，，．已知 ，，． （1）求 ，； （2）求 ． 15-1. （13 分） 记 的内角 ，， 的对边分别为 ，，．已知 ，，． （1）求 ，； （2）求 ． 15-2. （13 分） 记 的内角 ，， 的对边分别为 ，，．已知 ，，． （1）求 ； （2）求 ． 15-3. （13 分） 记 的内角 ，， 的对边分别为 ，，．已知 ，，． （1）求 及 ； （2）求 ． 【母题 16】 （15 分） 一个不透明的盒子中装有 个红球和 个白球，这些球除颜色外完全相同．先从盒中一次随机摸出 个球（不放回），若这 个球的颜色相同，则再从盒中随机摸出 个球，摸球结束；若这 个球的颜色不同，则不再摸球，摸球结束．用随机变量 表示摸出的红球个数． （1）求先摸出的 个球的颜色不同的概率； （2）求 的概率分布及数学期望 ． 16-1. （15 分） 一个不透明的盒子中装有 个红球和 个白球，这些球除颜色外完全相同．先从盒中一次随机摸出 个球（不放回），若这 个球的颜色相同，则再从盒中随机摸出 个球，摸球结束；若这 个球的颜色不同，则不再摸球，摸球结束．用随机变量 表示摸出的红球个数． （1）求先摸出的 个球的颜色不同的概率； （2）求 的概率分布及数学期望 ． 16-2. （15 分） 一个不透明的盒子中装有 个红球和 个白球，这些球除颜色外完全相同．先从盒中一次随机摸出 个球（不放回），若这 个球的颜色相同，则再从盒中随机摸出 个球，摸球结束；若这 个球的颜色不同，则不再摸球，摸球结束．用随机变量 表示摸出的红球个数． （1）求先摸出的 个球的颜色不同的概率； （2）求 的概率分布及数学期望 ． 16-3. （15 分） 一个不透明的盒子中装有 个红球和 个白球，这些球除颜色外完全相同．先从盒中一次随机摸出 个球（不放回），若这 个球的颜色相同，则再从盒中随机摸出 个球，摸球结束；若这 个球的颜色不同，则不再摸球，摸球结束．用随机变量 表示摸出的红球个数． （1）求先摸出的 个球的颜色相同的概率； （2）求 的概率分布及数学期望 ； （3）求在 的条件下，先摸出的 个球颜色相同的概率． 【母题 17】 （15 分） 设抛物线 的焦点为 ，过点 作 的两条切线，切点分别为 ，． （1）求直线 截 所得的弦长； （2）证明：． 17-1. （15 分） 设抛物线 的焦点为 ，过点 作 的两条切线，切点分别为 ，． （1）求直线 截 所得的弦长； （2）证明：． 17-2. （15 分） 设抛物线 的焦点为 ，过点 作 的两条切线，切点分别为 ，． （1）求两条切线的方程及切点 ， 的坐标； （2）证明：． 17-3. （15 分） 设抛物线 的焦点为 ，过点 作 的两条切线 ，（， 为切点），且 ． （1）求点 的轨迹方程； （2）求 的最小值，并求此时点 的坐标． 【母题 18】 （17 分） 已知数列 的各项均为正整数，，，，（）．记数列 的前 项和为 ． （1）若 ，直接写出数列 的前 项的所有可能情况； （2）若 ，求 ； （3）若 ，证明：． 18-1. （17 分） 已知数列 的各项均为正整数，，，，（）．记数列 的前 项和为 ． （1）若 ，直接写出数列 的前 项的所有可能情况； （2）若 ，求 ． 18-2. （17 分） 已知数列 的各项均为正整数，，，，，（）．记数列 的前 项和为 ． （1）求 ， 及 ，； （2）证明：． 18-3. （17 分） 已知数列 的各项均为正整数，，，，（），且 ．记数列 的前 项和为 ． （1）求 及奇数项、偶数项的通项公式； （2）证明：． 【母题 19】 （17 分） 已知函数 的定义域为 ．若存在区间 和 ，使得 在区间 单调递增，在区间 单调递减，则称 为 F 函数， 为 F 点， 为 的一个 F 区间． （1）判断 是否为 F 函数？若是，写出它的一个 F 点；若不是，说明理由； （2）若 （）是 F 函数，且 是它的一个 F 区间，求 的取值范围； （3）设 （）是 F 函数， 是它的一个 F 区间，且 存在最大值，记该最大值为 ． （ⅰ）当 时，求 的 F 点及 ； （ⅱ）当 时，若 在 F 区间 内的 F 点为 ，求 ． 19-1. （17 分） 已知函数 的定义域为 ．若存在区间 和 ，使得 在区间 单调递增，在区间 单调递减，则称 为 F 函数， 为 F 点． （1）判断 是否为 F 函数？若是，写出它的一个 F 点； （2）若 （）是 F 函数，且 是它的一个 F 区间，求 的取值范围； （3）判断 是否为 F 函数，并求它的所有 F 点． 19-2. （17 分） 已知函数 的定义域为 ．若存在区间 和 ，使得 在区间 单调递增，在区间 单调递减，则称 为 F 函数， 为 F 点． （1）判断 是否为 F 函数？若是，写出它的一个 F 点； （2）若 （）是 F 函数，且 是它的一个 F 区间，求 的取值范围； （3）设 ，求 的 F 点，并求它的 F 区间长度的最大值 ． 19-3. （17 分） 已知函数 的定义域为 ．若存在区间 和 ，使得 在区间 单调递增，在区间 单调递减，则称 为 F 函数， 为 F 点， 为它的一个 F 区间． （1）判断 是否为 F 函数，并求它的所有 F 点； （2）若 （）的 F 点为 ，求 ，并判断 是否为它的一个 F 区间； （3）设 ，求 的 F 点，并求它的 F 区间长度的最大值 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 徐州市 2026~2027 学年高三期中抽测·举一反三变式训练 数学变式训练（母题 19 道 + 变式 57 道，共 76 题） （满分 150 分　建议用时 120 分钟　母题对应原卷 1~19 题） 使用说明： 1. 本题库对原卷 19 道题逐题配置 3 个变式，编号“m-n”表示母题 m 的第 n 个变式。 2. 变式保持母题的考查知识点与解题主线，只改变数据、设问角度或图形位置。 3. 建议先独立完成母题，再按顺序做 3 个变式，最后对照解析复盘错因。 一、选择题变式：母题 1~8 各配 3 个变式（共 24 道变式，每小题 5 分）。母题题干加粗，仅作对照。 【母题 1】 已知集合 ，，则 A. B. C. D. 【考查知识点】集合的交集运算；集合中元素的逐个检验 【答案】C 【解析】 是开区间，端点 与 都取不到。 逐个检验 中的元素： 不满足 ，而 ，， 都满足。 故 ，选 C。 1-1. 已知集合 ，，则 A. B. C. D. 【考查知识点】集合的交集运算；区间的端点取舍 【答案】A 【解析】 是开区间，端点取不到，只有严格介于 与 之间的元素属于 。 中 与 都不满足，只有 ， 满足，故 ，选 A。 1-2. 已知集合 ，，则 A. B. C. D. 【考查知识点】一元二次不等式的解法；集合的交集运算 【答案】A 【解析】 由 得 ，即 。 中 ，其余四个元素都满足，故 ，选 A。 1-3. 已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 【考查知识点】集合的包含关系；区间端点能否取等的判断 【答案】A 【解析】 是以 与 为端点的开区间， 需左端点不小于 、右端点不大于 ，即 且 。 解得 。两端均可取： 时 ， 时 ，故取值范围为 ，选 A。 【母题 2】 一组数据 ，，，，，，，， 的 百分位数是 A. B. C. D. 【考查知识点】百分位数的定义与计算； 是否为整数的分类 【答案】B 【解析】 数据已按从小到大排列，共 个。计算 ，不是整数。 不是整数时，取第 项，即第 个数据，故 百分位数为 ，选 B。 2-1. 一组数据 ，，，，，，， 的 百分位数是 A. B. C. D. 【考查知识点】百分位数的计算； 非整数时的取项规则 【答案】B 【解析】 共 个数据， 不是整数，向上取整得 。 故取第 个数据， 百分位数为 ，选 B。 2-2. 一组数据 ，，，，，，，，，，， 的 百分位数是 A. B. C. D. 【考查知识点】百分位数的计算； 为整数时取两项平均 【答案】C 【解析】 共 个数据， 是整数，应取第 项与第 项的平均数。 第 项为 ，第 项为 ，故 百分位数为 ，选 C。 2-3. 已知一组数据 ，，，， 的 百分位数是 ，则 A. B. C. D. 【考查知识点】百分位数的逆向运用；分类讨论思想 【答案】B 【解析】 共 个数据， 是整数， 百分位数为第 项与第 项的平均数，即 ，故这两项之和为 。 若 ，则第 ， 项为 与 ，得 ，与 矛盾；若 ，则第 ， 项为 与 ，平均数为 ，矛盾。 故只能 ，此时第 ， 项为 与 ，由 得 ，选 B。 【母题 3】 若复数 满足 ，则 A. B. C. D. 【考查知识点】复数模的运算性质；复数的四则运算 【答案】B 【解析】 由模的性质 ，而 ，。 故 ，选 B。 3-1. 若复数 满足 ，则 A. B. C. D. 【考查知识点】复数模的运算性质 【答案】A 【解析】 两边取模：，而 ，。 故 ，选 A。 3-2. 已知复数 ，则 A. B. C. D. 【考查知识点】复数的除法运算；模的商等于商的模 【答案】B 【解析】 。 也可直接化简：，，选 B。 3-3. 若复数 满足 ，，且 在复平面内对应的点位于第二象限，则 A. B. C. D. 【考查知识点】复数的几何意义；共轭复数与模的方程 【答案】A 【解析】 设 （，），由 得 ；由 得 ，故 。 对应点在第二象限要求 ，故 ，，选 A。 【母题 4】 已知数列 满足 （），且 ，则 A. B. C. D. 【考查知识点】等差数列的判定；整体代换思想 【答案】B 【解析】 由 知 是公差为 的等差数列。 由 得 ，故 ，选 B。 4-1. 已知数列 满足 （），且 ，则 A. B. C. D. 【考查知识点】等差数列的判定；整体代换 【答案】C 【解析】 是公差为 的等差数列，。 ，选 C。 4-2. 已知数列 满足 （），且 ，则 A. B. C. D. 【考查知识点】隔项成等差数列；奇数项子列的通项 【答案】B 【解析】 说明奇数项 ，，， 构成公差为 的等差数列。 ，选 B。 4-3. 已知数列 满足 （），，且 ，则使 成立的最小正整数 为 A. B. C. D. 【考查知识点】等差数列通项；数列不等式的整数解 【答案】C 【解析】 ，由 得 。 由 得 ，即 ，故最小正整数 ，选 C。 【母题 5】 已知双曲线 （）的离心率为 ，则 的渐近线方程为 A. B. C. D. 【考查知识点】双曲线的标准方程；离心率与渐近线的相互转化 【答案】A 【解析】 把方程化为 ，则 ，，故 。 由 得 ，即 ，。 渐近线为 ，选 A。 5-1. 已知双曲线 （）的离心率为 ，则它的渐近线方程为 A. B. C. D. 【考查知识点】离心率与渐近线的相互转化 【答案】B 【解析】 由 得 ，即 ，。 渐近线为 ，选 B。 5-2. 已知双曲线 （，）的渐近线方程为 ，则它的离心率为 A. B. C. D. 【考查知识点】由渐近线斜率求离心率 【答案】A 【解析】 渐近线为 ，故 ，即 。 于是 ，选 A。 5-3. 已知双曲线 （）的离心率为 ，则过焦点且垂直于实轴的弦长为 A. B. C. D. 【考查知识点】双曲线基本量关系；通径长公式 【答案】C 【解析】 由 得 ，即 ，。 过焦点且垂直于实轴的弦即通径，长为 ，选 C。 【母题 6】 已知向量 ，，则“”是“”的 A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【考查知识点】向量平行的坐标条件；充分必要条件的判断 【答案】A 【解析】 ，即 或 。 能推出 ；而 时 还可能是 ，推不出 。 故“”是“”的充分且不必要条件，选 A。 6-1. 已知向量 ，，则“”是“”的 A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【考查知识点】向量平行的坐标条件；充分必要条件的判断 【答案】A 【解析】 ，即 或 。 可推出平行，平行时还可能是 ，故为充分且不必要条件，选 A。 6-2. 已知向量 ，，则“”是“”的 A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【考查知识点】向量垂直的坐标条件；充分必要条件的判断 【答案】C 【解析】 。 两个命题互相推出，故为充要条件，选 C。 6-3. 已知向量 ，，若 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是 A. B. 且 C. D. 【考查知识点】向量夹角的坐标判定；剔除反向共线的情形 【答案】B 【解析】 夹角为钝角需 且 ， 不反向共线。由 得 。 当 时 ，，两向量反向，夹角为 ，不合题意。 故 且 ，选 B。 【母题 7】 一个圆台的上、下底面半径之比为 ，半径为 的球与该圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积是 A. B. C. D. 【考查知识点】圆台的内切球；轴截面中的切线长定理；圆台体积公式 【答案】D 【解析】 作圆台的轴截面，得等腰梯形，其内切圆就是球的大圆，半径为 ，故圆台的高 。 设上、下底面半径为 ，，母线长为 。由切线长定理，梯形两底之和等于两腰之和，即 ，故 。 又 ，代入得 ，即 ，。结合 得 ，。 ，选 D。 7-1. 一个圆台的上、下底面半径之比为 ，半径为 的球与该圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积是 A. B. C. D. 【考查知识点】圆台的内切球；轴截面梯形内切圆；圆台体积 【答案】A 【解析】 轴截面等腰梯形的内切圆半径为 ，故圆台的高 ，且 ，。 由 得 ，又 ，故 ，。 ，选 A。 7-2. 已知圆台的上、下底面半径分别为 和 ，且存在一个球与该圆台的上、下底面及侧面均相切，则该球的表面积为 A. B. C. D. 【考查知识点】由两底半径与母线关系求内切球半径 【答案】C 【解析】 由切线长定理，母线长 ；轴截面中 ，故 。 内切球半径等于高的一半，即 ，表面积 ，选 C。 检验：，与相切条件一致。 7-3. 已知圆台的上、下底面半径之比为 ，母线长为 ，且存在一个球与该圆台的上、下底面及侧面均相切，则该球的表面积为 A. B. C. D. 【考查知识点】圆台内切球的综合计算 【答案】C 【解析】 设上、下底面半径为 ，，由 得 ，即 ，。 高 ，球半径 。 球的表面积 ，选 C。 【母题 8】 对于非空集合 ，记 ，集合 中整数的个数为 ，则 A. 当 确定时， 唯一确定 B. 和 具有函数关系 C. 和 具有函数关系 D. 和 不具有函数关系 【考查知识点】函数概念的本质（单值性）；含整数的区间计数 【答案】D 【解析】 取 ： 含 ， 共 个整数； 只含 共 个整数。故 确定时 不唯一，A、B 均错。 取 ： 只含 个整数，此时 ； 也只含 个整数，此时 。故 确定时 也不唯一，C 错。 两个方向都不满足单值性，故 与 不具有函数关系，选 D。 8-1. 对于非空集合 ，记 ，集合 中整数的个数为 。当 时， 的所有可能取值为 A. B. C. 或 D. ， 或 【考查知识点】含整数的区间计数；端点位置的讨论 【答案】C 【解析】 的长度固定为 ，把它沿数轴平移：当两个端点都落在整数上时整数最多，如 含 ，， 共 个。 当两个端点都落在相邻整数之间时整数最少，如 含 ， 共 个。 长度为 的闭区间不可能含 个整数（那至少要长度 ），故 只能取 或 ，选 C。 8-2. 对于非空集合 ，记 ，集合 中整数的个数为 。若 ，则 的取值范围是 A. B. C. D. 【考查知识点】区间长度与整数个数的相互制约；逆向求范围 【答案】A 【解析】 恰含 个整数，设这两个整数为 ，，则 且 ，故 。 又 ，，故 。两端都可取到： 时 ； 时 。 故 ，选 A。 8-3. 对于非空集合 ，记 ，集合 中整数的个数为 ，则下列结论一定成立的是 A. B. C. D. 【考查知识点】区间内整数个数的估计；不等式恒成立的判断 【答案】B 【解析】 区间内任意两个相邻整数相距 ，长度为 的区间中整数个数不超过 （ 时 ，取到等号），故 B 恒成立。 取 ，则 ，A、C 均不成立；取 ，则 ，D 不成立。 故选 B。 二、多项选择题变式：母题 9~11 各配 3 个变式（共 9 道变式，每小题 6 分）。母题题干加粗，仅作对照。 【母题 9】 已知函数 ，则 A. 在区间 上单调递增 B. 的图象关于点 中心对称 C. 在区间 上的值域为 D. 当 （）是偶函数时， 的最小值为 【考查知识点】余弦型函数的单调性、对称性、值域与奇偶性 【答案】AC 【解析】 当 时，， 在 上单调递增，故 递增，A 正确。 ，故图象不关于点 中心对称，B 错误。 当 时，，，故 ，C 正确。 为偶函数需 ，即 ，，最小正值为 ，D 错误。 故选 AC。 9-1. 已知函数 ，则 A. 在区间 上单调递减 B. 的图象关于点 中心对称 C. 在区间 上的值域为 D. 当 （）是偶函数时， 的最小值为 【考查知识点】余弦型函数的单调性、对称中心、值域与奇偶性 【答案】ABD 【解析】 当 时，， 在此区间单调递减，故 递减，A 正确。 ，B 正确。 当 时，，，故值域为 ，C 错误。 为偶函数需 ，取 得 为最小正值，D 正确。故选 ABD。 9-2. 已知函数 ，则 A. 在区间 上单调递增 B. 的图象关于点 中心对称 C. 在区间 上的值域为 D. 将 的图象向左平移 个单位长度，得到 的图象 【考查知识点】正弦型函数的单调性、对称中心、值域与图象平移 【答案】ABC 【解析】 当 时，，故 递增，A 正确。 ，故关于点 对称，B 正确。 当 时，，，C 正确。 向左平移 得 ，D 错误。故选 ABC。 9-3. 已知函数 （）的图象关于直线 对称，则 A. B. 在区间 上单调递增 C. 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到 D. 当 是奇函数时， 的最小正值为 【考查知识点】由对称轴反求初相；单调性、图象变换与奇偶性 【答案】ACD 【解析】 由对称轴得 ，即 ；结合 得 ，A 正确。 当 时，， 递减，故 递减，B 错误。 向左平移 得 ，C 正确。 为奇函数需 ，即 ，最小正值为 ，D 正确。故选 ACD。 【母题 10】 已知过原点 的直线与函数 的图象交于 ， 两点，分别过点 ， 作 轴的平行线与函数 的图象交于 ， 两点，则 A. B. 直线 过点 C. 当点 的横坐标为 时， D. 当 时，点 的横坐标为 【考查知识点】对数函数的性质；两条对数曲线纵坐标的定比关系；直线的斜率与垂直条件 【答案】BCD 【解析】 设直线 （），，，， 且 。由 两边取以 为底的对数得 。 于是 ，，直线 的方程为 ，过原点，B 正确； 斜率为 ， 斜率为 ，二者不平行，A 错误。 当 时 ，得 ，此时 满足 ，即 或 ， 对应点 ，故 。于是 ，，，C 正确。 当 时，因 与 轴平行，故 必水平，即 ，得 ；又 ，故 ，由 得 ，D 正确。 故选 BCD。 10-1. 已知过原点 的直线与函数 的图象交于 ， 两点，分别过点 ， 作 轴的平行线与函数 的图象交于 ， 两点，则 A. B. 直线 过点 C. 当点 的横坐标为 时， D. 当 时，点 的横坐标为 【考查知识点】两条对数曲线纵坐标的定比关系；斜率的比较 【答案】BCD 【解析】 设直线 ，，。由 得 ，故 ，，直线 过原点，B 正确；两直线斜率 与 不等，A 错误。 当 时 ，得 ，此时 满足 ，得 （ 对应点 ）。于是 ，，，C 正确。 时 水平， 得 ；又 ，故 ，解得 ，D 正确。故选 BCD。 10-2. 已知过原点 的直线与函数 的图象交于 ， 两点（ 在 左侧），分别过点 ， 作 轴的平行线与函数 的图象交于 ， 两点。若直线 的斜率为 ，则 A. B. C. 四边形 的面积为 D. 直线 的斜率为 【考查知识点】对数方程的具体求解；梯形面积；斜率的定比关系 【答案】ABC 【解析】 由 得 ，即 ，解得 或 ，故 ，，A 正确。 由 得 ，，故 ，B 正确。 四边形 的两条平行边 ， 均竖直，长分别为 与 ，高为 ，面积 ，C 正确。 ，是 斜率的 倍，D 错误。故选 ABC。 10-3. 已知过原点 的直线与函数 的图象交于 ， 两点（ 在 左侧），分别过点 ， 作 轴的平行线与函数 的图象交于 ， 两点，则 A. 直线 与 平行 B. 当 时，点 的横坐标为 C. 当 时，四边形 的面积为 D. 直线 的斜率为直线 斜率的 倍 【考查知识点】对数函数图象的定比性质；垂直条件的转化；梯形面积 【答案】BCD 【解析】 设 ，，由 得 ，，故 ，A 错误、D 正确。 时 水平， 得 ；结合 得 ，B 正确。 此时 ，故 ，，，，于是 ，，两平行边间距为 ，四边形 的面积 ，C 正确。故选 BCD。 【母题 11】 已知正四面体 的棱长为 ，平面 内的点 满足 ．设点 到侧棱 ，， 的距离分别为 ，，，则 A. 平面 B. 该正四面体外接球的表面积为 C. 满足 的点 有且仅有 个 D. 【考查知识点】正四面体的结构特征；外接球；点到直线距离的转化与对称性求和 【答案】BCD 【解析】 设 为正三角形 的中心，则 平面 ，，。由 得 ，即 在平面 内以 为圆心、 为半径的圆上。因 ， 不垂直于平面 ，A 错误。 设外接球球心为 ，由对称性 在直线 上，设半径为 ，由 得 ，解得 ，表面积 ，B 正确。 设 在 上的投影为 ，由余弦定理 ，故 ，即 只由 决定，同理 ， 只由 ， 决定。于是 ，即 在 的垂直平分线上，该直线过圆心 ，与圆恰有 个交点，C 正确。 记 ，则 ，三个顶点对应的角相差 ，其余弦之和为 、余弦平方之和为 ，故 ，。又 ，得 ，故 ，D 正确。 故选 BCD。 11-1. 已知正四面体 的棱长为 ，平面 内的点 满足 ．设点 到侧棱 ，， 的距离分别为 ，，，则 A. 该正四面体外接球的表面积为 B. 平面 C. 满足 的点 有且仅有 个 D. 【考查知识点】正四面体的高与外接球；点到侧棱距离的对称求和 【答案】ACD 【解析】 ，，由 得 ，故 不垂直于平面 ，B 错误； 的轨迹是以 为圆心、 为半径的圆。 外接球半径 ，表面积 ，A 正确。 ， 分别只由 ， 决定，故 等价于 在 的垂直平分线上，该直线过 ，与圆恰有 个交点，C 正确。 记 ，，由 ， 得 ，。又 ，，故 ，，D 正确。故选 ACD。 11-2. 已知正四面体 的棱长为 ， 为平面 内一点，，， 分别是 到侧棱 ，， 的距离，若 ，则 A. 为正三角形 的中心 B. C. D. 该正四面体外接球的半径为 【考查知识点】点到直线距离与顶点距离的等价转化；正四面体的高 【答案】ABC 【解析】 由余弦定理，，， 分别只由 ，， 决定，故 ，即 是正三角形 的外心（也就是中心 ），A 正确。 此时 ，B 正确。 即 到 的距离，由 得 ，故 ，C 正确。 外接球半径 ，D 错误。故选 ABC。 11-3. 已知正四面体 的棱长为 ，平面 内的点 到侧棱 ，， 的距离分别为 ，，，且 ，则 A. 到正三角形 中心 的距离为 B. C. 满足条件的点 的轨迹是一个圆，其面积为 D. 存在点 使 平面 【考查知识点】点到侧棱距离平方和的公式；逆向求轨迹 【答案】ABC 【解析】 设 ，。由 及 ， 得 ，。 又 ，代入 化简得 。 由 得 ，即 ，A 正确；，B 正确；轨迹是以 为圆心、 为半径的圆，面积 ，C 正确。 若 平面 ，则 与 重合，，与 矛盾，D 错误。故选 ABC。 三、填空题变式：母题 12~14 各配 3 个变式（共 9 道变式，每小题 5 分）。母题题干加粗，仅作对照。 【母题 12】 的二项展开式中的常数项为________ 【考查知识点】二项展开式的通项；由指数为零求常数项 【答案】 【解析】 通项 。 令 得 ，故常数项为 。 12-1. 的二项展开式中的常数项为________ 【考查知识点】二项展开式的通项；常数项的求法 【答案】 【解析】 通项 。 令 得 ，故常数项为 。 12-2. 的二项展开式中 的系数为________ 【考查知识点】二项展开式的通项；指定次幂项的系数 【答案】 【解析】 通项 。 令 得 ，故 的系数为 。 12-3. 已知 （）的二项展开式中的常数项为 ，则 ________ 【考查知识点】由常数项反求参数 【答案】 【解析】 通项中 的指数为 ，令其为 得 ，故常数项为 。 由 且 得 。 【母题 13】 若圆 在点 处的切线也是曲线 的切线，则 ________ 【考查知识点】圆的切线方程；导数的几何意义；公切线条件 【答案】 【解析】 圆心 ，切点 ，，故切线斜率为 ，切线方程为 。 设它与 相切于横坐标为 的点，由 得 ，即 ，切点为 。 切点在切线上，故 。 13-1. 若圆 在点 处的切线也是曲线 的切线，则 ________ 【考查知识点】圆的切线；对数曲线的切线斜率 【答案】 【解析】 圆心 ，切点 ，，故切线斜率为 ，切线方程为 。设它与 相切于 ，由 得 。 切点纵坐标 ，而切线上对应纵坐标为 ，故 。 13-2. 若圆 在点 处的切线也是曲线 的切线，则 ________ 【考查知识点】圆的切线；公切线中切点的确定 【答案】 【解析】 圆心 ，切点 ，，故切线斜率为 ，切线方程为 。 由 得 ，切点为 ，代入切线得 。 13-3. 已知直线 的斜率为 ，且 既是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 ________ 【考查知识点】两条曲线的公切线；导数的几何意义 【答案】 【解析】 对 ，由 得切点 ，故 。 对 ，由 得切点横坐标为 ，切点 。 切点在 上，故 。 【母题 14】 已知正八面体 的棱长为 ．设点 到 的各顶点的距离相等，直线 经过 的一个顶点及点 ，将 绕着 旋转 得到几何体 ，则 与 重合部分的体积为________ 【考查知识点】正八面体的结构；旋转体的公共部分；正方形旋转的重叠面积 【答案】 【解析】 正八面体可看作以边长为 的正方形 为公共底面、以 ， 为锥顶的两个全等正四棱锥的拼接， 是正方形中心， 就是直线 。由 得每个棱锥的高 。 绕 旋转 时 ， 不动，只有底面正方形转到 ；由共顶、共轴可知重合部分正是以两个正方形的公共部分为底面、高均为 的两个棱锥。 两个同中心、同边长、相差 的正方形之交为正八边形：原正方形每条边被截去一个直角边长为 的等腰直角三角形，公共底面积 。 故 。 14-1. 已知正八面体 的棱长为 ．设点 到 的各顶点的距离相等，直线 经过 的一个顶点及点 ，将 绕着 旋转 得到几何体 ，则 与 重合部分的体积为________ 【考查知识点】旋转重合体积的相似比 【答案】 【解析】 棱长为 的正八面体与母题中的正八面体相似，相似比为 ，体积比为 。 母题中棱长为 时重合部分体积为 ，故所求体积为 。 也可直接算：底面对角线长为 ，边长 ，每个棱锥高 ，公共底面积 ，故 。 14-2. 已知正八面体 的棱长为 ．设点 到 的各顶点的距离相等，直线 经过 的一个顶点及点 ，将 绕着 旋转 得到几何体 ，则 与 重合部分的体积与 的体积之比为________ 【考查知识点】正八面体体积；重叠体积之比 【答案】 【解析】 可看作两个正四棱锥的拼接，底面积为 ，高为 ，故 。 重合部分体积 ，两锥同高，体积之比等于底面积之比。 故比值为 。 14-3. 已知正八面体 的棱长为 ．设点 到 的各顶点的距离相等，直线 经过 的一个顶点及点 ，将 绕着 旋转 得到几何体 ，则 与 重合部分的体积为________ 【考查知识点】一般旋转角下的重叠面积；等腰直角三角形的截角计算 【答案】 【解析】 与母题同理，重合部分是以两个正方形公共部分为底面、高均为 的两个棱锥，只需算公共底面积。 设旋转角为 ，原正方形每个角被截去等腰直角三角形，其直角边长 。当 时 ，。 公共底面积 ，故 。 四、解答题变式：母题 15~19 各配 3 个变式（共 15 道变式，共 77 分）。母题题干加粗，仅作对照。 【母题 15】 （13 分） 记 的内角 ，， 的对边分别为 ，，．已知 ，，． （1）求 ，； （2）求 ． 【考查知识点】正弦定理；余弦定理；二倍角公式与两角差的余弦公式 【答案】（1），；（2） 【解析】 （1）由正弦定理及 得 。再由余弦定理 ，代入 ，， 得 ，故 ，。 （2）由正弦定理 ；由余弦定理 （ 为锐角，取正值）。 于是 ，。 又 。 15-1. （13 分） 记 的内角 ，， 的对边分别为 ，，．已知 ，，． （1）求 ，； （2）求 ． 【考查知识点】正弦定理；余弦定理；二倍角公式 【答案】（1），；（2） 【解析】 （1）由正弦定理得 ，代入余弦定理 ，故 ，。 （2）由余弦定理 ，故 。 于是 ，。 15-2. （13 分） 记 的内角 ，， 的对边分别为 ，，．已知 ，，． （1）求 ； （2）求 ． 【考查知识点】余弦定理求第三边；余弦定理求角 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）由余弦定理 ，即 ，由 得 。 （2）由余弦定理 。 15-3. （13 分） 记 的内角 ，， 的对边分别为 ，，．已知 ，，． （1）求 及 ； （2）求 ． 【考查知识点】余弦定理；正弦定理；二倍角公式与两角和的余弦（正弦）公式 【答案】（1），；（2） 【解析】 （1），故 ；。 （2）由正弦定理 ，故 ，。 于是 。 【母题 16】 （15 分） 一个不透明的盒子中装有 个红球和 个白球，这些球除颜色外完全相同．先从盒中一次随机摸出 个球（不放回），若这 个球的颜色相同，则再从盒中随机摸出 个球，摸球结束；若这 个球的颜色不同，则不再摸球，摸球结束．用随机变量 表示摸出的红球个数． （1）求先摸出的 个球的颜色不同的概率； （2）求 的概率分布及数学期望 ． 【考查知识点】古典概型；分步概率的乘法与加法；离散型随机变量的分布列与数学期望 【答案】（1）；（2），，， 【解析】 （1）从 个球中任取 个共有 种取法，颜色不同有 种，故所求概率为 。 （2）先摸出两白（概率 ）后再摸：余下 红 白，摸白则 ，摸红则 ，故 ，此路径中 的概率为 。 先摸出两红（概率 ）后再摸，余下全为白球，故 。先摸出异色时恰含 个红球，概率为 ，故 。 检验 。故 。 16-1. （15 分） 一个不透明的盒子中装有 个红球和 个白球，这些球除颜色外完全相同．先从盒中一次随机摸出 个球（不放回），若这 个球的颜色相同，则再从盒中随机摸出 个球，摸球结束；若这 个球的颜色不同，则不再摸球，摸球结束．用随机变量 表示摸出的红球个数． （1）求先摸出的 个球的颜色不同的概率； （2）求 的概率分布及数学期望 ． 【考查知识点】古典概型；分步概率；分布列与期望 【答案】（1）；（2），，，， 【解析】 （1）共有 种取法，异色有 种，概率为 。 （2） 可取 ，，，。先摸出两白（概率 ）后，余下 红 白，再摸必为红球，故 且 ，此路径贡献 。 先摸出两红（概率 ）后余 红 白：摸白得 ，概率 ；摸红得 ，概率 。 异色时 ，概率 ，故 。检验各项和为 。。 16-2. （15 分） 一个不透明的盒子中装有 个红球和 个白球，这些球除颜色外完全相同．先从盒中一次随机摸出 个球（不放回），若这 个球的颜色相同，则再从盒中随机摸出 个球，摸球结束；若这 个球的颜色不同，则不再摸球，摸球结束．用随机变量 表示摸出的红球个数． （1）求先摸出的 个球的颜色不同的概率； （2）求 的概率分布及数学期望 ． 【考查知识点】古典概型；两阶段摸球的分步概率；期望 【答案】（1）；（2），，，， 【解析】 （1）共有 种取法，异色有 种，概率为 。 （2）先摸出两白概率 ，此时余 红 白：摸白得 ，概率 ；摸红得 ，概率 。 先摸出两红概率也是 ，此时余 红 白：摸白得 ，概率 ；摸红得 ，概率 。 异色时 ，概率 ，故 。各项和为 。。 16-3. （15 分） 一个不透明的盒子中装有 个红球和 个白球，这些球除颜色外完全相同．先从盒中一次随机摸出 个球（不放回），若这 个球的颜色相同，则再从盒中随机摸出 个球，摸球结束；若这 个球的颜色不同，则不再摸球，摸球结束．用随机变量 表示摸出的红球个数． （1）求先摸出的 个球的颜色相同的概率； （2）求 的概率分布及数学期望 ； （3）求在 的条件下，先摸出的 个球颜色相同的概率． 【考查知识点】分步概率；分布列与期望；条件概率 【答案】（1）；（2），，，；（3） 【解析】 （1）共有 种取法，同色只有“两红”“两白”各 种，故概率为 。 （2） 只能来自先摸出两红（概率 ），之后再摸余下的白球，故 。 若先摸出两白（概率 ），余下全为红球，必摸到红球，故 ；若异色（概率 ），。因此 ，。 检验 ，故 。 （3）先摸两球同色且 的情形只有“两白后摸红”，概率为 ，故所求条件概率为 。 【母题 17】 （15 分） 设抛物线 的焦点为 ，过点 作 的两条切线，切点分别为 ，． （1）求直线 截 所得的弦长； （2）证明：． 【考查知识点】抛物线的焦点与切线方程；直线截抛物线的弦长；用向量数量积比较角的大小 【答案】（1）；（2）证明见解析，且 【解析】 （1），直线 的斜率为 ，方程为 。代入 得 。 设两交点纵坐标为 ，，则 ，，，故弦长为 。 （2）抛物线在点 处的切线为 。把 代入得 ，即 ，故 或 ，切点 ，。 又 ，，，则 ，。两角都在 内且余弦值相等，故 。 17-1. （15 分） 设抛物线 的焦点为 ，过点 作 的两条切线，切点分别为 ，． （1）求直线 截 所得的弦长； （2）证明：． 【考查知识点】抛物线切线的替换法则；弦长公式；向量法比较角 【答案】（1）；（2）证明见解析，且 【解析】 （1），，直线为 ，代入 得 。 ，故弦长为 。 （2）由 得 或 ，切点 ，。，，。 ，，故 。 17-2. （15 分） 设抛物线 的焦点为 ，过点 作 的两条切线，切点分别为 ，． （1）求两条切线的方程及切点 ， 的坐标； （2）证明：． 【考查知识点】抛物线的切线方程；切点坐标；向量数量积比较角 【答案】（1），，切点 ，；（2）证明见解析，且 【解析】 （1）设切点 ，切线为 。代入 得 ，即 ，故 或 。 切点为 ，，切线分别为 与 ，即 与 。 （2），，，则 ，。 两角都在 内且余弦值相等，故 。 17-3. （15 分） 设抛物线 的焦点为 ，过点 作 的两条切线 ，（， 为切点），且 ． （1）求点 的轨迹方程； （2）求 的最小值，并求此时点 的坐标． 【考查知识点】抛物线的切线方程；两切线垂直的条件；弦长的最值 【答案】（1）（即 的准线）；（2） 的最小值为 ，此时 【解析】 （1）设 ，两切点纵坐标为 ，，由切线过 得 ，故 ，。 切线斜率分别为 ，，由 得 ，即 ，故 ，。即 的轨迹为直线 。 （2），其中 ，。 故 ，即 ，当且仅当 时取等。故最小值为 ，此时 ，，。 【母题 18】 （17 分） 已知数列 的各项均为正整数，，，，（）．记数列 的前 项和为 ． （1）若 ，直接写出数列 的前 项的所有可能情况； （2）若 ，求 ； （3）若 ，证明：． 【考查知识点】递推数列的差分周期性；奇偶项分别成等差数列；与二次式比较证明不等式 【答案】（1），，，；（2）；（3）证明见解析 【解析】 记 。由 得 ，即 ，故 以 为周期。由 且各项为正整数得 ，且 ，。 （1），故 ，即 ；又 。故前 项为 ，，，。 （2），下标为偶数，故 ，得 。 （3） 时 ，此时 ，故奇数项、偶数项都成公差为 的等差数列，且 ，。 当 时，，故 ，由 得 。 当 时，，于是 ，。 综上，对一切 都有 。 18-1. （17 分） 已知数列 的各项均为正整数，，，，（）．记数列 的前 项和为 ． （1）若 ，直接写出数列 的前 项的所有可能情况； （2）若 ，求 ． 【考查知识点】差分以 2 为周期；奇偶项分别成等差数列 【答案】（1），；（2） 【解析】 同母题可得 ，，，且 。 （1），故 ，即 ；又 。故前 项为 ，。 （2），故 。 18-2. （17 分） 已知数列 的各项均为正整数，，，，，（）．记数列 的前 项和为 ． （1）求 ， 及 ，； （2）证明：． 【考查知识点】奇偶项分别成等差数列；分组求和；与二次式作差比较 【答案】（1），，，；（2）证明见解析 【解析】 由 得 ，而 ，，故 ，即奇数项、偶数项都成公差为 的等差数列。 （1），。于是 ，。 （2）当 时，，且 ，故 。 当 时，，且 ，故 。 综上，对一切 都有 （， 时取到等号 ）。 18-3. （17 分） 已知数列 的各项均为正整数，，，，（），且 ．记数列 的前 项和为 ． （1）求 及奇数项、偶数项的通项公式； （2）证明：． 【考查知识点】差分周期性（跨链的差不能直接用）；分组求和；与二次式作差比较 【答案】（1），，；（2）证明见解析 【解析】 （1）由条件得 ，。又 ，故 ，即 。 于是奇数项、偶数项的公差均为 ，，。 （2），。 当 时，，，故 。 当 时，，，故 。综上结论成立。 【母题 19】 （17 分） 已知函数 的定义域为 ．若存在区间 和 ，使得 在区间 单调递增，在区间 单调递减，则称 为 F 函数， 为 F 点， 为 的一个 F 区间． （1）判断 是否为 F 函数？若是，写出它的一个 F 点；若不是，说明理由； （2）若 （）是 F 函数，且 是它的一个 F 区间，求 的取值范围； （3）设 （）是 F 函数， 是它的一个 F 区间，且 存在最大值，记该最大值为 ． （ⅰ）当 时，求 的 F 点及 ； （ⅱ）当 时，若 在 F 区间 内的 F 点为 ，求 ． 【考查知识点】新定义（F 函数）的理解与转化；导数与单调性；分段函数极值点与区间端点；含参分类讨论 【答案】（1）是，一个 F 点为 ；（2）；（3）（ⅰ）F 点为 ，；（ⅱ）（ 且 ） 【解析】 （1）取 ，，，则 在 上单调递增，在 上单调递减，且 。故它是 F 函数，一个 F 点为 （一般地 ，）。 （2）设 ，则 ，故 在 上递增、在 上递减，唯一 F 点为 。 是 F 区间需 ，故 。 （3）由 知：当 或 时 ；当 时 。两支在 ， 处取值相同，故 在 上连续。记 ，，它们分别是外侧两段与中间段的导函数。 （ⅰ） 时 ，，故 在 上递减、 上递增、 上递减、 上递增。极大值点只有 ，即 F 点为 ；要使 在 上递增、 上递减，需 ，，故 。 （ⅱ） 是分段点，左、右两侧导数在 处的值分别为 与 。 为 F 点需左邻域递增、右邻域递减，即 且 ，得 ；而 时 在 上为正， 在 右侧递增，不合，故 。 若 ，则 恒成立， 在 上单调递减， 无上界，与“ 存在最大值”矛盾，故 且 。此时 是从 向右遇到的第一个 的零点， 是从 向左遇到的最后一个 的零点，由求根公式 ，。 故 （，）。令 ，由 ， 得 ，与（ⅰ）衔接。 19-1. （17 分） 已知函数 的定义域为 ．若存在区间 和 ，使得 在区间 单调递增，在区间 单调递减，则称 为 F 函数， 为 F 点． （1）判断 是否为 F 函数？若是，写出它的一个 F 点； （2）若 （）是 F 函数，且 是它的一个 F 区间，求 的取值范围； （3）判断 是否为 F 函数，并求它的所有 F 点． 【考查知识点】新定义的理解；余弦函数的单调区间；导数定极值点 【答案】（1）是，一个 F 点为 ；（2）；（3）是 F 函数，F 点只有 【解析】 （1）取 ，，， 在 上递增、在 上递减，故是 F 函数，一个 F 点为 。 （2）， 在 上递增、 上递减，唯一 F 点为 ，由 得 。 （3）， 在 上递增，在 与 上递减。故 是极大值点，为 F 点； 是极小值点，不是 F 点。取 知 是 F 函数，F 点只有 。 19-2. （17 分） 已知函数 的定义域为 ．若存在区间 和 ，使得 在区间 单调递增，在区间 单调递减，则称 为 F 函数， 为 F 点． （1）判断 是否为 F 函数？若是，写出它的一个 F 点； （2）若 （）是 F 函数，且 是它的一个 F 区间，求 的取值范围； （3）设 ，求 的 F 点，并求它的 F 区间长度的最大值 ． 【考查知识点】新定义的理解；含绝对值函数的分段求导；极值点与区间端点 【答案】（1）是，一个 F 点为 ；（2）；（3）F 点为 ， 【解析】 （1）取 ，，， 在 上递增、 上递减，故是 F 函数，一个 F 点为 。 （2）， 在 上递增、在 上递减，唯一 F 点为 ，由 得 。 （3）当 或 时 ，；当 时 ，。 故 在 上递减、 上递增、 上递减、 上递增；极大值点只有 ，故 F 点为 （， 均为极小值点）。 要使 在 上递增、 上递减，需 ，，故 。 19-3. （17 分） 已知函数 的定义域为 ．若存在区间 和 ，使得 在区间 单调递增，在区间 单调递减，则称 为 F 函数， 为 F 点， 为它的一个 F 区间． （1）判断 是否为 F 函数，并求它的所有 F 点； （2）若 （）的 F 点为 ，求 ，并判断 是否为它的一个 F 区间； （3）设 ，求 的 F 点，并求它的 F 区间长度的最大值 ． 【考查知识点】新定义的理解；逆求参数；含绝对值函数的分段求导与区间端点 【答案】（1）是 F 函数，F 点只有 ；（2）， 是它的 F 区间；（3）F 点为 ， 【解析】 （1），故 在 上递增、 上递减、 上递增。极大值点为 ，即 F 点为 （ 为极小值点）；取 知它是 F 函数。 （2）对 ，，它在 上递增、 上递减，故唯一 F 点为 。由 得 。此时该函数在 上递增、 上递减，在 上先增后减，故 是它的 F 区间。 （3）当 或 时 ，；当 时 ，。 故 在 上递减、 上递增、 上递减、 上递增；极大值点只有 ，故 F 点为 （， 均为极小值点）。 要使 在 上递增、 上递减，需 ，，故 。 学科网（北京）股份有限公司 $