精品解析：江苏省苏州市姑苏区苏州中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

江苏省苏州中学2025-2026学年度第一学期期中考试 高三数学 本试卷仅供内部教学使用，谢绝任何个人或公众号转载、发布、传播、牟利，违者追究法律责任. 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.所有答案均写在答题纸上. 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算法则和模长公式求解. 【详解】，，， 故选：B. 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】将分子上的1用，然后分子分母同除以，化为只含的式子，再代值计算即可. 【详解】因为， 所以 . 故选：A 3. 已知，则“”是“”成立的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由题意上式等价于，设，求导，可得在区间上单调递增，可知，再结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】因为，因为，所以，上式等价于， 设，则， 当时，有， 所以在区间上单调递增，所以等价于， 故“”是“”成立的充要条件. 故选：A. 4. 设全集为自然数集，．那么集合可以表示成（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集、并集、补集的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】集合是所有偶数的集合，是所有4的倍数的集合. A选项，由于，所以A选项错误. B选项，由于，所以B选项错误. C选项，由于，所以，所以C选项正确. D选项，由于，所以D选项错误. 故选：C 5. 已知向量，若在上的投影向量是，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的定义可求得，再利用二次函数的性质求解的最小值. 【详解】∵向量，∴， ∴在上的投影向量是，∴， ∴， ∴当时，取最小值. 故选：D. 6. 若函数且在上为减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】要使函数在上为减函数，须满足分段函数在各段上单调递减，结合端点处需要满足的条件，列出不等式组，求解即可. 【详解】当时，单调递减须满足，解得， 当时，单调递减须满足， 且； 所以要使函数在上为减函数，须满足 ，即，解得， 所以的取值范围是. 故选：C 7. 一个锐角三角形的三边长成等差数列，则该三角形的最小内角余弦值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可设三角形的三边长为，不妨设，由此结合三角形为锐角三角形可求出之间的关系，即可得，结合换元法求解，即可求得答案. 【详解】由题意可设三角形的三边长为，不妨设， 由于三边长成等差数列，故， 由于三角形中，需满足，（恒成立）， 结合，则，得； 又三角形为锐角三角形，需满足， 即，即， 即，结合，可得； 又 令，则，故， 由于在时单调递增，故在上单调递增， 故当时，取最小值， 当时，， 故该三角形的最小内角余弦值的取值范围是. 故选：D 8. 已知函数，若曲线在处的切线交轴于点，在处的切线交轴于点，依此类推，曲线在处的切线交轴于点，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出函数在处的切线，即可求出，再求出曲线在处的切线方程，从而得到，即可求出，则，利用裂项相消法计算可得. 【详解】由，得， 所以，， 则函数在处的切线方程为， 令，解得，即， 同理可得曲线在处的切线方程为， 令0，解得，即， 所以， 即数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，则， 所以 ． 故选：D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有错选的得0分． 9. 已知i为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. 若复数满足，则 B. 若，则 C. 若复数，满足，则或 D. 若复数z满足，，则最大值为3 【答案】CD 【解析】 【分析】利用复数的概念、几何意义、运算法则一一判定选项即可. 【详解】对于A，显然若，，则， 但，故A错误； 对于B，举例，则满足，但是复数不能直接比较大小，即不成立，故B错误； 对于C，由，得，即，因此或，或，C正确； 对于D，设， 则，则最大值为3，故D正确. 故选：CD 10. （多选题）已知函数，则（ ） A. 的图象为中心对称图形 B. 有且仅有1个零点 C. 若，则实数的取值范围为 D. 若，则实数的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】令，则，进而根据为奇函数，并结合图象平移即可判断A；利用导数研究函数的单调性，进而根据零点存在性定理判断B；根据函数的单调性并结合得，进而解不等式即可判断C；将问题转化为，进而根据的奇偶性与单调性求解即可判断D. 【详解】令，则， 因为，所以， 所以为奇函数，图象关于点对称， ， 因为，当且仅当时等号成立，所以， 因为，所以 所以函数在上单调递减， 对于A，因为图象为函数图象向上平移3个单位得到， 所以的图象关于点对称，即的图象为中心对称图形，故A正确； 对于B，因为图象可由函数的图象向上平移3个单位得到， 则函数在上单调递减， 又，，有且仅有1个零点，故正确； 对于C，因为，所以， 因函数在上单调递减，则得，即，解得：， 所以，当，实数的取值范围为，故C正确； 对于D，由得， 因为为奇函数，所以， 因函数在上单调递减，则，解得，故D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于构造函数，得，进而利用结合单调性，奇偶性依次讨论各选项即可. 11. 以下命题正确的有（ ） A. 若是的重心，则有 B. 若成立，则是的内心 C. 若，则 D. 若是的外心，，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量知识，结合三角函数图像与性质逐项判断即可 【详解】如图所示，是内一点，延长，交于点， 因为， ， 所以， 所以， 所以， 对于A，如图所示，分别为的中点，连接， 因为是的重心，所以， 所以， 同理可得，所以， 所以，故A正确； 对于B，设点到的距离分别为， 则， 因为， 则，即， 又，所以，所以点是的内心，故B正确； 对于C，因为， 所以，， 所以， 化简得， 又不共线， 所以，即， 所以，故C错误； 对于D，因为是的外心，， 所以，，. 因为，则，化简得． 由题意知不同时为正，记，， 则， 因为，所以，即， 所以，故D正确． 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，与的夹角是钝角，那么实数m的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据与的夹角为钝角可得且与不共线，分别求解不等式即得. 【详解】由于与的夹角是钝角，则且与不共线 由，可得， 由与共线，可得，即. 故实数m的取值范围是且. 故答案为：且. 13. 已知为等比数列前项和，若，则______. 【答案】91 【解析】 【分析】利用等比数列的定义与性质计算即可. 【详解】设该数列公比为，由可知， 所以，可得， 而. 故答案为：91 14. 已知函数的零点分别为，则____． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由题意可得，所以的一个零点为0，令，求出的零点，即为零点，代入计算即可得答案． 【详解】令，则有，即，所以有． 令，则， 令，则有，即有，， 因为，所以，则，即有， 则有，即当时，， 所以共有3个零点，分别为， 所以． 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且依次成等比数列. （1）求的通项公式； （2）对于任意，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式结合等比中项计算求解； （2）先把转化为，再根据的单调性得出最大项，最后得出参数范围. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由已知可得， 因为，解得， 又， 得， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，则， 由可得， 令， ， 当时，， 当时，， 则数列的最大项为， 故， 即实数的取值范围为. 16. 如图，平面凸四边形中，，且是边长为2的等边三角形． （1）若，求； （2）若线段（不含端点）上存在动点，满足，求长度的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中先用余弦定理求，再用正弦定理求. （2）设，找出的函数关系，观察法求函数值域即可. 【小问1详解】 由题意知． 在中，由余弦定理可得． 由正弦定理得，解得． 【小问2详解】 如图： 设， 在中，由余弦定理得 ， 由知． 由题意得关于的方程在时有解， 等价于关于的方程在时有解， 由知，，即长度的取值范围为． 17. 设计一个帐篷，它下部的形状是正四棱柱，上部的形状是正四棱锥，且该帐篷外接于球（如图所示）． （1）若正四棱柱是棱长为的正方体，求该帐篷的顶点到底面中心的距离； （2）若该帐篷外接球的半径，设，该帐篷的体积为，则当为何值时，体积取得最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用外接球的球心为正方体的中心，可得，即可求出结果； （2）根据条件得到，令，得到，再利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，即可求解. 【小问1详解】 设外接球的半径为，因为正四棱柱是棱长为的正方体， 易知外接球的球心为正方体的中心，所以，而， 得到． 【小问2详解】 ， ， ． ， 令， 由，得到， 在上递增，在递减． 时，体积取得最大值． 18. 已知函数，. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）设，，求的单调区间； （3）若对于任意的都成立，求的最大值. 【答案】（1） （2） 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）由题设可得，求导，分，，三种情况讨论求解即可； （3）设，，转化问题为，利用导数分析函数的单调性，可得对于任意的都成立，令，，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【小问1详解】 当时，，得， 则，， 所以在处的切线方程为. 【小问2详解】 由， 则， 令，得或， 当，即时，， 则函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当，即时，令，得，令，得或， 则函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当，即时，令，得，令，得或， 则函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 综上所述，当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【小问3详解】 由，，， 则，即，而，， 设，，则， 而， 所以函数在上单调递增， 则对于任意的都成立，即对于任意的都成立， 令，，则， 令，得，令，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 故，则， 所以的最大值为. 19. 已知数列的前n项和为，且，其中． （1）求数列的通项公式． （2）设数列满足为的前n项和，求证：． （3）已知正整数且，对有恒成立，正整数的最大值为8，求m和d的值． 【答案】（1） （2） ，得 ． ， 设， 则 故， 注意到，所以， 特别地，从而1）， 所以． （3） 【解析】 【分析】（1）由题可得，利用建立递推关系；化简得；由题目条件推出奇数项和偶数项的通项；统一得到； （2）根据，解出；写出，化为对数乘积形式；构造；证明递增且，从而得证； （3）利用数列通项公式和前项和公式，将不等式右边化简为仅含和的表达式，然后将左边视为等比数列求和，通过分析不等式左右两边，列出关于和的指数方程，最后通过因式分解与枚举正整数解，确定满足条件的和的值. 【小问1详解】 已知，， 因为，当然，所以． 由于，且，故． 于是， 所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）得， 则，取等， ， 对恒成立可得：， 正整数的最大值为8，因此给定时取等号， 即，整理得， 当时，得，因为，枚举可得． 综上所述，存在正整数， 使得成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省苏州中学2025-2026学年度第一学期期中考试 高三数学 本试卷仅供内部教学使用，谢绝任何个人或公众号转载、发布、传播、牟利，违者追究法律责任. 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.所有答案均写在答题纸上. 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 已知，则“”是“”成立的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设全集为自然数集，．那么集合可以表示成（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，若在上的投影向量是，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数且在上为减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 一个锐角三角形的三边长成等差数列，则该三角形的最小内角余弦值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若曲线在处的切线交轴于点，在处的切线交轴于点，依此类推，曲线在处的切线交轴于点，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有错选的得0分． 9. 已知i为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. 若复数满足，则 B. 若，则 C. 若复数，满足，则或 D. 若复数z满足，，则最大值为3 10. （多选题）已知函数，则（ ） A. 的图象为中心对称图形 B. 有且仅有1个零点 C. 若，则实数的取值范围为 D. 若，则实数的取值范围为 11. 以下命题正确的有（ ） A. 若是的重心，则有 B. 若成立，则是的内心 C. 若，则 D. 若是的外心，，，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，与的夹角是钝角，那么实数m的取值范围是________． 13. 已知为等比数列前项和，若，则______. 14. 已知函数的零点分别为，则____． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且依次成等比数列. （1）求的通项公式； （2）对于任意，求实数的取值范围. 16. 如图，平面凸四边形中，，且是边长为2的等边三角形． （1）若，求； （2）若线段（不含端点）上存在动点，满足，求长度的取值范围． 17. 设计一个帐篷，它下部的形状是正四棱柱，上部的形状是正四棱锥，且该帐篷外接于球（如图所示）． （1）若正四棱柱是棱长为的正方体，求该帐篷的顶点到底面中心的距离； （2）若该帐篷外接球的半径，设，该帐篷的体积为，则当为何值时，体积取得最大值． 18. 已知函数，. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）设，，求的单调区间； （3）若对于任意的都成立，求的最大值. 19. 已知数列的前n项和为，且，其中． （1）求数列的通项公式． （2）设数列满足为的前n项和，求证：． （3）已知正整数且，对有恒成立，正整数的最大值为8，求m和d的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $