湖北荆门市龙泉中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

龙泉中学2025～2026学年第一学期 高一年级期中考试 数　学　试　题 命题人：周正超　马淑敏　　审题人：桂振兴　张娜 本试卷共四页，全卷满分150分，考试用时120分钟。 祝考试顺利 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的。 1．命题 ， 的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 2．下列各组函数表示同一函数的是（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 3．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 4．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 5．已知函数 ，则 （　　） A． B． C． D． 6．已知函数 ，则函数 的图象关于原点 对称的图象大致是（　　） A． B． C． D． 7．已知函数 为定义在 上的偶函数，在 上单调递减，并且 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．已知函数 ，且 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．下列命题中是真命题的为（　　） A．“”是“”的充要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“ 或 ”是“”的充要条件 D．“集合 ”是“”的充分不必要条件 10．下列说法正确的是（　　） A．函数 且 的图象恒过定点 B．关于 的不等式 的解集为 ，若 且 ，则实数 的取值范围为 或 C．已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值是 D．若 ，，且 ， 恒成立，则实数 的取值范围为 11．若存在函数 ， 使得函数 满足 ，则称 是“ 变量函数”。已知函数 ，，，若 是“ 变量函数”，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． 的最小值为 D．若 恒成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数 的单调递减区间为______． 13．已知幂函数 的图象关于 轴对称，且在 上是减函数，实数 满足 ，则 的取值范围是______． 14．定义 ，其中 表示 ， 中较大的数。设 ，，，函数 ，若 ，则实数 的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知集合 ，。 （1）若 ，求 和 ； （2）若 ，求实数 的取值范围。 16．（15分）已知函数 。 （1）若 的解集为 ，求 ， 的值； （2）若 ，求不等式 的解集。 17．（15分）已知函数 对任意的实数 ， 都有 ，且当 时，有 。 （1）求证： 在 上为增函数； （2）若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围。 18．（17分）当前机器人产业蓬勃发展，正极大改变着人类生产和生活方式，为经济社会发展注入强劲动能。在2022年，工业和信息化部等十七部门印发了《“机器人+”应用行动实施方案》，《方案》指出，到2025年，制造业机器人密度较2020年应实现翻番，服务机器人、特种机器人行业应用深度和广度应显著提升，机器人促进经济社会高质量发展的能力应明显增强。某动力电池生产企业为提高产能，拟投入6300万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后的前 年，生产及设备维护成本共 万元，每年电池销售收入为6700万元。设使用该批智能机器人后，前 年的总盈利额为 万元。 （1）写出 关于 的函数关系式，并指出 的取值范围； （2）使用若干年后，对该批智能机器人的处理方案有两种。 方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以4900万元的价格处理。问哪种方案更合理？并说明理由。 19．（17分）已知函数 ，。 （1）若函数 是奇函数，求实数 的值； （2）当 时，若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围； （3）当 时，，求函数 的最小值。 高一数学　第 4 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙泉中学2025～2026学年第一学期高一年级期中考试 数学试题参考答案与评分标准 一、单选题（每小题 5 分，共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C A B B A D A 二、多选题（每小题 6 分，共 18 分） 题号 9 10 11 答案 BD BCD ACD 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） （12） （13） （14） 四、解答题（共 77 分） 15．（13 分）解：（1）当 时，，所以 ； 3 分 或 ，所以 ； 6 分 （2）当 ，即 时，， 成立； 8 分 当 时，，由 得 或 ； 10 分 解得 ； 11 分 综上， 的取值范围为 ． 13 分 16．（15 分）解：（1）由题意知 ，且 ， 是方程 的两根； 3 分 由根与系数的关系得 ，； 6 分 解得 ，； 8 分 （2）当 时，； 10 分 当 时，解集为 ； 11 分 当 时，解集为 ； 12 分 当 时，解集为 ； 13 分 当 时，解集为 ； 14 分 当 时，解集为 ． 15 分 17．（15 分）解：（1）证明：令 得 ； 2 分 任取 ，则 ，故 ； 5 分 由 得 ； 8 分 所以 ，即 在 上为增函数； 10 分 （2）由 得 ，即 ； 11 分 所以 对任意 恒成立； 12 分 令 ，则 恒成立； 13 分 因为 在 上单调递增，最小值为 ； 14 分 所以 ，即 的取值范围为 ． 15 分 18．（17 分）解：（1）由题意得 ，即 ，； 4 分 （2）方案一：，当 时 取得最大值 ； 7 分 此时总收益为 （万元）； 9 分 方案二：平均盈利额 ； 12 分 当且仅当 ，即 时取等号，此时 ，总收益为 （万元）； 15 分 因为 ，所以方案二更合理． 17 分 19．（17 分）解：（1）因为 是奇函数，所以 ，即 ，解得 ； 3 分 检验： 时 ，符合题意； 4 分 （2）当 时，，由 得 ； 6 分 令 ，则 ； 9 分 所以 ，即 的取值范围为 ； 11 分 （3），令 ； 13 分 则 ； 14 分 所以 17 分 高一数学（参考答案）　第 2 页（共 3 页） 学科网（北京）股份有限公司 $