精品解析：上海市延安中学2026-2027学年高二上学期期中数学试卷

延安中学高二期中数学试卷 2026.11 一．填空题 1. 直线和平面所成的角为，则的取值范围是_________ 【答案】 【解析】 【详解】①直线在平面内或直线与平面平行时，直线与平面所成角； ②当直线是平面的斜线时，斜线与其在平面内射影所成锐角为线面角，即； ③当直线与平面垂直时，规定直线与平面所成角； 综上，的取值范围是. 2. 已知一个球的半径是，则它的表面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据球的表面积公式直接求解即可. 【详解】解：球的半径，则表面积为. 故答案为：. 3. 正方体的12条棱中，与异面的棱有________条． 【答案】6 【解析】 【详解】解：如图所示，在正方体的12条棱中与异面的直线有：、、、、、共条． 4. 边长为6的正方形放置在水平平面上，则其直观图的面积是________． 【答案】 【解析】 【详解】根据斜二测画法的性质有. 5. 正方体中，二面角的大小为________． 【答案】 【解析】 【详解】在正方体中， ，， 又平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 又平面，故， 因此就是二面角的平面角， 设正方体棱长为，在中，， ，所以， 即二面角的大小为. 6. 若一个正方体所有顶点都在一个球面上，则该球与正方体的表面积之比为________． 【答案】## 【解析】 【分析】设正方体的棱长为，其外接球的半径为，求得，结合正方体和球的表面积公式，即可求解. 【详解】设正方体的棱长为，正方体的外接球的半径为，可得，所以， 则正方体的表面积为，外接球的表面积为， 所以该球与正方体的表面积之比为. 7. 若数列的前项和为，且，则________． 【答案】677 【解析】 【详解】 ． 8. 圆柱的底面周长为是底面圆的直径，高，点是母线上一点，且．一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是___________cm． 【答案】5 【解析】 【详解】圆柱的侧面展开图如图： 由圆柱的底面周长为，得，又， 在中，， 所以蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是. 9. 如图，、是圆柱上、下底面圆的直径，四边形是边长为的正方形，是底面圆周上的一点，，则点到平面的距离为________． 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解. 【详解】已知是底面圆的直径，且为底面圆上一点，故为直角三角形，且， 由题意，，则， 因为是圆柱的母线，所以底面， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， ，，， 设平面的一个法向量为，则， 取，则， 所以点到平面的距离为. 10. 在三棱锥中，为正三角形，， ，平面平面，则三棱锥外接球的体积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意证明三棱锥外接球的球心即是正三角形的中心，计算得解. 【详解】如图，取的中点，连接， 因为为正三角形，所以，又平面平面， 平面平面，平面， 所以平面，则， 设为正三角形的中心，则， 因为，所以，又， 所以， 所以，则，即为三棱锥外接球的球心， 因为，所以， 所以三棱锥外接球的半径， 所以三棱锥外接球的体积为. 11. 如图所示，长方体中，，为上的一个动点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将半平面沿翻折到，使得与平面位于同一平面，连接，得到即为的最小值，在中，利用余弦定理，即可求解. 【详解】将半平面沿翻折到，且平面与平面位于同一平面， 截面如图所示，连接，与交于点，此时即为的最小值， 因为，可得， 在直角中，可得， 所以， 则， 可得，所以的最小值为. 12. 如图，若正方体的棱长为2，点是正方体的上底面（含边界）上的一个动点，，分别是棱，的中点，有以下结论： ①在平面上的投影图形的面积为定值； ②平面截该正方体所得的截面图形是等腰梯形； ③的最小值是； ④若保持，则点在上底面内运动路径的长度为． 其中正确的是________．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据正方体的结构特征以及空间中点、线、面的位置关系逐项判断即可. 【详解】对于①，过点向引垂线，交于点，连接， 由正方体的性质可知，在平面上的投影图形为， 当在上底面运动时，的面积保持不变，其面积为，故①正确； 对于②，取的中点，连接，取的中点，连接， 因为分别为的中点，所以，且， 由正方体性质可知，，且，所以，且， 即四边形为平行四边形，所以， 因为分别为中点，所以，即有， 所以四点共面， 所以平面截该正方体所得的截面图形是梯形， 因为，， ，故梯形不是等腰梯形，故②不正确； 对于③，延长使得，则由对称性可知：， 所以， 当三点共线时，取到最小值， 因为， 所以，即的最小值是，故③正确； 对于④，取中点，连接，由正方体性质可知，， 因为，， 所以由可得， 所以点在上底面内运动路径是在正方形内以为圆心，2为半径的一段圆弧， 如图，由，可得，同理 所以圆弧的长度为，故④正确； 二．选择题 13. 下列命题正确的是（ ） A. 过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行 B. 过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面垂直 C. 过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直 D. 过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行 【答案】C 【解析】 【详解】过平面外一点，有无数条直线与该平面平行，这些直线都在过该点且与已知平面平行的平面内， 并非只有一条，故A错误； 过平面外一点，有无数个平面与该平面垂直，只需平面过该点且经过已知平面的一条垂线， 绕垂线旋转可得到无数个满足条件的平面，故B错误； 过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直，这是线面垂直的唯一性定理： 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，故C正确； 过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行， 只需平面包含过该点且与已知直线平行的直线，绕该平行线旋转可得到无数个满足条件的平面， 故D错误． 14. 对于三棱锥 ，“、、所在直线两两垂直且与平面所成角相等”是“三棱锥是以为顶点的正三棱锥”的（ ）条件． A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 【答案】A 【解析】 【分析】通过两两垂直+线面角相等可推出正三棱锥，反之推不出，因此为充分非必要. 【详解】①充分性推导：若、、两两垂直，可得在底面的射影为的垂心， 又、、与平面所成角相等，可得，其在平面上的投影，即为外心， 故为正三角形，满足以为顶点的正三棱锥定义，充分性成立. ②必要性推导：若三棱锥是以为顶点的正三棱锥，仅满足、底面为正三角形， 无法推出、、两两垂直，必要性不成立，故为充分非必要条件. 15. 如图，二面角等于，，是棱上两点，，分别在半平面，内，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】如图，分别在平面内构造矩形、，连接， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以，又平行且相等，所以四边形为矩形， 因为二面角等于，，，所以， 因为，，所以在中， 因为，则 16. 已知正方体，P为中点，对于下列两个命题：（1）过点P有且只有一条直线与直线AB，都相交；（2）过点P有且只有一条直线与直线AB，都成45°角．则以下判断正确的是（ ） A. （1）为真命题；（2）为真命题 B. （1）为真命题；（2）为假命题 C. （1）为假命题；（2）为真命题 D. （1）为假命题；（2）为假命题 【答案】B 【解析】 【分析】作出过与两直线相交的直线判断①；通过平移直线，，结合异面直线所成角的概念判断②． 【详解】解：直线与 是两条互相垂直的异面直线，点不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示： 取的中点，则，且，设与交于，则点、、、、共面， 直线必与 相交于某点，则过点有且只有一条直线与、都相交，故①为真命题； 分别平移，，使与均经过，则有两条互相垂直的直线与，，都成角，故②为假命题． ①为真命题，②为假命题． 故选：B 三．解答题 17. 已知正四棱柱中，，． （1）求正四棱柱的表面积； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）18 （2） 【解析】 【分析】（1）分别求出正四棱柱的底面积和侧面积即可计算表面积； （2）根据，将异面直线与所成角转化为与所成角，再利用余弦定理即可求解． 【小问1详解】 正四棱柱的上下底面均为边长为1的正方形，单个底面面积， 四个侧面均为长为、宽为的矩形，单个侧面面积， 因此正四棱柱的表面积． 【小问2详解】 连结，， 因为且，所以四边形是平行四边形，故， 因此异面直线与所成的角就是或其补角， 由于，， 在中，由余弦定理得， 因此异面直线与所成角的余弦值为． 18. 已知等差数列的公差为正数,与的等差中项为,且. 求的通项公式； 从中依次取出第项,第项,第项,， 第项,按照原来的顺序组成一个新数列,判断是不是数列中的项？并说明理由. 【答案】； 结合可知，，，，. 令，即，符合题意，即. 所以是数列中的项. 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，由题意可知与的等差中项为，利用等差数列的定义列出式子求出公差为，，进而列出的通项公式； 写出，将代入验证即可. 【详解】解：设等差数列的公差为，根据等差中项的性质可得与的等差中项为， 所以，又因为，即. 所以，，因为公差为正数,所以. 则，则. 的通项公式. 略 【点睛】本题考查等差数列的定义，通项公式的求法，考查推理能力，属于基础题. 19. 如图所示，圆锥的底面半径为2，为圆周上的定点，动点在圆周上逆时针旋转，设，是母线中点．已知当时，与底面所成角为． （1）求圆锥侧面积； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，则即为与底面所成角，利用求得，进而求得圆锥的侧面积； （2）先证明平面，即可得到，进而可得是等边三角形，由此即可求得的值． 【小问1详解】 取的中点，连结， 故，，而平面，故平面， 所以即为与底面所成角，即， 又，故， 故，，， 因此圆锥的侧面积． 【小问2详解】 由于平面，平面，所以， 又因为，平面，， 所以平面，而平面，故， 又因为为的中点，所以， 因此是等边三角形，故． 20. 如图，在四棱锥 中，底面为矩形，平面，二面角的平面角为，为中点，为中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）若，求实数的值，使得直线与平面所成角为． 【答案】（1）详见证明；（2）详见证明；（3）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系, 写出坐标，证明与平面的法向量垂直即可； （2）求出平面与平面的法向量，证明平面与平面的法向量垂直即可； （3）根据直线与平面所成角为建立出关于的方程，从而求出的值. 【详解】解：（1）因为平面， 所以， 又因为底面为矩形， 所以， 因为， 平面， 所以平面， 所以， 因为，且二面角的平面角为， 所以， 故，设，， 因为底面为矩形，平面， 故，， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ，， 显然平面的法向量为， 因为， 所以， 因为平面， 所以平面； （2）由（1）得，，，， 设平面的法向量为， 故有即 令，则， 同理，可得平面的法向量为， 因为， 所以， 所以平面平面； （3）因为， 所以，即， 故， 因为直线与平面所成角为， 所以， 即， 化简，解得 因为， 所以. 【点睛】本题考查了利用空间向量证明立体几何中线面的平行问题、面面垂直、线面角的问题，解题的前提是要能建立出空间坐标系，正确写出各个点的坐标，理清向量间的夹角与线面角的关系是解题的关键，还考查了学生的计算能力. 21. 已知数列满足，且. （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的前项和； （3）若数列的前项和为，且，求满足等式成立的所有正整数与的值. 【答案】（1） 因为，所以， 因为， 所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的定义可证得结论成立； （2）求出数列的通项公式，利用分组求和法可求得； （3）求出数列的通项公式，利用等比数列的求和公式可求出，由已知等式化简得出，对的取值进行讨论，求出对应的的值，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，所以， 所以 . 【小问3详解】 因为， 又，所以， 所以， 由可得， 变形可得， 整理可得，等式两边同时乘以得， 即， 当时，则有，可得，这样的正整数不存在； 当时，则有，可得，这样的正整数不存在； 当时，则有，即，解得，符合题意； 当时，，而，等式不成立. 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延安中学高二期中数学试卷 2026.11 一．填空题 1. 直线和平面所成的角为，则的取值范围是_________ 2. 已知一个球的半径是，则它的表面积是_____． 3. 正方体的12条棱中，与异面的棱有________条． 4. 边长为6的正方形放置在水平平面上，则其直观图的面积是________． 5. 正方体中，二面角的大小为________． 6. 若一个正方体所有顶点都在一个球面上，则该球与正方体的表面积之比为________． 7. 若数列的前项和为，且，则________． 8. 圆柱的底面周长为是底面圆的直径，高，点是母线上一点，且．一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是___________cm． 9. 如图，、是圆柱上、下底面圆的直径，四边形是边长为的正方形，是底面圆周上的一点，，则点到平面的距离为________． 10. 在三棱锥中，为正三角形，， ，平面平面，则三棱锥外接球的体积为_____． 11. 如图所示，长方体中，，为上的一个动点，则的最小值为________． 12. 如图，若正方体的棱长为2，点是正方体的上底面（含边界）上的一个动点，，分别是棱，的中点，有以下结论： ①在平面上的投影图形的面积为定值； ②平面截该正方体所得的截面图形是等腰梯形； ③的最小值是； ④若保持，则点在上底面内运动路径的长度为． 其中正确的是________．（填写所有正确结论的序号） 二．选择题 13. 下列命题正确的是（ ） A. 过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行 B. 过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面垂直 C. 过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直 D. 过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行 14. 对于三棱锥 ，“、、所在直线两两垂直且与平面所成角相等”是“三棱锥是以为顶点的正三棱锥”的（ ）条件． A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 15. 如图，二面角等于，，是棱上两点，，分别在半平面，内，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 4 16. 已知正方体，P为中点，对于下列两个命题：（1）过点P有且只有一条直线与直线AB，都相交；（2）过点P有且只有一条直线与直线AB，都成45°角．则以下判断正确的是（ ） A. （1）为真命题；（2）为真命题 B. （1）为真命题；（2）为假命题 C. （1）为假命题；（2）为真命题 D. （1）为假命题；（2）为假命题 三．解答题 17. 已知正四棱柱中，，． （1）求正四棱柱的表面积； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 18. 已知等差数列的公差为正数,与的等差中项为,且. 求的通项公式； 从中依次取出第项,第项,第项,， 第项,按照原来的顺序组成一个新数列,判断是不是数列中的项？并说明理由. 19. 如图所示，圆锥的底面半径为2，为圆周上的定点，动点在圆周上逆时针旋转，设，是母线中点．已知当时，与底面所成角为． （1）求圆锥侧面积； （2）当时，求的值． 20. 如图，在四棱锥 中，底面为矩形，平面，二面角的平面角为，为中点，为中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）若，求实数的值，使得直线与平面所成角为． 21. 已知数列满足，且. （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的前项和； （3）若数列的前项和为，且，求满足等式成立的所有正整数与的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $