专题1空间向量考点题型突破期中备考讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题 1 空间向量考点题型突破 回归教材知识点 一、空间向量的有关概念 1、概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等． 2、几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量  共面向量 平行于同一个平面的向量 二、空间向量的有关定理 1、共线向量定理： 对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． （1）共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作： （2）拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中 2、共面向量定理 如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 （1）空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． （2）拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 3、空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 三、空间向量的数量积 1、空间两个向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记. （2）范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作． (2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． (3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的． （3）拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别） 若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为， (1)向量夹角的范围是0<<><，异面直线的夹角的范围是0<<， (2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，. 2、空间向量的数量积 定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 3、向量的投影 3.1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． 3.2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 5、数量积的运算： （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 四、空间向量的坐标表示及其应用 设，，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 数量积 共线（平行） 垂直 （均非零向量） 模 ，即 夹角 五、直线的方向向量和平面的法向量 1、直线的方向向量 如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 2、平面法向量的概念 如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ． 3、平面的法向量的求法 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为 选向量：选取两不共线向量 列方程组：由列出方程组 解方程组：解方程组 赋非零值：取其中一个为非零值（常取) 得结论：得到平面的一个法向量. 六、空间位置关系的向量表示 设分别是直线的方向向量，分别是平面的法向量． 线线平行 ，使得 注：此处不考虑线线重合的情况．但用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重合 线面平行 注：证明线面平行时，必须说明直线不在平面内； 面面平行 ，使得 注:证明面面平行时，必须说明两个平面不重合． 线线垂直 线面垂直 ，使得 面面垂直 七、向量法求空间角 1、异面直线所成角 设异面直线和所成角为，其方向向量分别为，；则异面直线所成角向量求法： ① ② 2、直线和平面所成角 设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则①； ②. 3、平面与平面所成角（二面角） （1）如图①，，是二面角的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小． （2）如图②③，，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足： ①； ② 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为钝二面角（取负），则； （特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.） 八、向量法求距离 （1）点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，点P到直线l的距离为. （2）两条平行直线之间的距离 求两条平行直线l，m之间的距离，可在其中一条直线l上任取一点P，则两条平行直线间的距离就等于到直线的距离. （3）求点面距 ①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离. 即：点A到平面α的距离 ，其中Q∈α，是平面的一个法向量. （4）线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解 直线与平面 之间的距离：=，其中，是平面 的一个法向量. 两平行平面之间的距离：=，其中，是平面的一个法向量. 考点梳理 【考点题型一】空间向量共线判断 【考点题型二】由空间向量共线求参数或值 【考点题型三】判断空间向量共面 【考点题型四】由空间向量共面求参数 【考点题型五】用基底表示向量 【考点题型六】空间向量数量积运算 【考点题型七】求空间向量数量积的最值 (范围) 【考点题型八】求空间向量模 【考点题型九】求空间向量模的最值 (范围) 【考点题型十】求空间向量夹角 【考点题型十一】空间向量夹角为锐角 (钝角) 【考点题型十二】求投影向量 【考点题型十三】空间向量平行与垂直关系 【考点题型十四】用向量证明空间中线面平行 【考点题型十五】用向量证明空间中面面平行 【考点题型十六】用向量证明空间中线面垂直 【考点题型十七】证明面面垂直 【考点题型一】空间向量共线判断 核心方法: 典例 1. 设空间四点 满足 ，其中 ，则( ) A. 点 一定在直线 上 B. 点 一定不在直线 上 C. 点 不一定在直线 上 D. 以上答案都不对 变式 1. 下列条件中，能说明空间中不重合的三点 、 、 共线的是 ( ) A. B. C. D. 【考点题型二】由空间向量共线求参数或值 核心方法: ① ②已知 典例 2. 已知非零向量 ,且 不共面,若 ,则 ( ) A. -13 B. -5 C. 8 D. 13 变式 1. 设向量 不共面，已知 ，若 三点共线，则 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 变式 2. 设 是空间中两个不共线的向量，已知 ，且 三点共线，则实数 _____. 【考点题型三】判断空间向量共面 核心方法:存在实数 ， 使 典例 3. 若 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是 ( ) A. B. C. D. 变式 1. 在下列条件中，一定能使空间中的四点 共面的是 ( ) A. B. C. D. 变式 2. (多选) 下列命题中是真命题的为 ( ) A. 若 与 共面，则存在实数 ， ，使 B. 若存在实数 ，使向量 ，则 与 ， 共面 C. 若点 四点共面，则存在实数 ， ，使 D. 若存在实数 ，使 ，则点 ， ， ， 四点共面 【考点题型四】由空间向量共面求参数 核心方法:存在实数 使 典例 4. 在四面体 中，空间的一点 满足 ,若 、 、 、 四点共面，则 ( ) A. B. C. D. 变式 1. 已知 三点不共线， 为平面 外任意一点. 若 ，且 、 、 、 四点共面，则 _____. 变式 2. 已知四面体 ，空间的一点 满足 ，若 ， ， ， 共面，则实数 的值为_____. 【考点题型五】用基底表示向量 核心方法:空间向量的加减数乘运算 典例 5. 如图，在平行六面体 中， 为 与 的交点，若 , 则下列向量中与 相等的向量是 ( ) A. B. C. D. 变式 1. 在四面体 中，点 为 的中点，点 在 上，且 ，用向量 ， ， 表示 ，则 ( ) A. B. C. D. 变式 2. 在平行六面体 中， 是 与 的交点，以 为空间的一个基底，则直线 的一个方向向量为 ( ) A. B. C. D. 【考点题型六】空间向量数量积运算 核心方法: ①坐标运算 ②定义法: 典例 6. 在正四面体 中， 为棱 的中点， ，则 ( ) A. B. 3 C. D. 6 变式 1. 已知点 是棱长为 2 的正方体 的底面 上一点，则 的最小值为 ( ) A. B. 0 C. -2 D. -1 变式 2. 若 ，则 _____. 【考点题型七】求空间向量数量积的最值 (范围) 核心方法:①坐标法 (含自主建系法) ②极化恒等式 (1) 平行四边形模型:向量的数量积等于“和对角线长”与“差对角线长”平方差的 ， 即 (如图) ( 2 )三角形模型:向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即 (如图) 典例 7. 如图，在长方体 中， ， ，点 为线段 上一动点，则 . 的最小值为_____. 变式 1 . 已知 均为圆柱 表面上的动点，直线 经过圆柱 的中心 ，圆柱 的底面圆的半径为 5，则 的最大值为_____. 变式 2. 正方体 的棱长为 1 ， 是正方体外接球的直径， 为正方体表面上的动点，则 的取值范围是_____. 【考点题型八】求空间向量模 核心方法: 典例 8. 在正三棱柱 中， 为棱 上的动点， 为线段 上的动点，且 ，则线段 长度的最小值为 ( ) A. 2 B. C. D. 变式 1. 在棱长为 6 的正四面体 中，点 与 满足 ，且 ，则 的值为 ( ) A. B. C. D. 变式 2. 设 ，向量 ， ， 且 ， ，则 _____. 【考点题型九】求空间向量模的最值 (范围) 核心方法:坐标法 典例 9. 如图，在棱长为 1 的正方体 中， ， ， 若 平面 ，则线段 的长度的最小值为_____. 变式 1. 如图所示，三棱锥 中， 平面 ， ， ，点 为棱 的中点， ， 分别为直线 ， 上的动点，则线段 的最小值为 ( ) A. B. C. D. 变式 2. 如图，在棱长为 4 的正方体 中， 为棱 的中点， 是底面 内的一点 (包含边界),且 ,则线段 的长度的取值范围是_____. 【考点题型十】求空间向量夹角 核心方法: 夹角公式 典例 10. 已知空间向量 ,且 ,则 与 的夹角的余弦值为 ( ) A. B. C. D. 变式 1. 若向量 ，且 ，则 的值为_____ 【考点题型十一】空间向量夹角为锐角 (钝角) 核心方法:① 为锐角 且 与 不同向共线 ② 为钝角 且 与 不反向共线 典例 11. 已知向量 ， 的夹角为钝角，则实数 的取值范围为_____. 变式 1. 已知空间向量 与 夹角为钝角，则实数 的取值范围为_____. 变式 2. 若空间向量 与 的夹角为锐角，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【考点题型十二】求投影向量 核心方法: 典例 12. 在空间直角坐标系中,点 ,点 ,点 ,则 在 方向上的投影向量的坐标为_____. 变式 1. 已知点 ,则向量 在向量 上的投影向量的模为_____. 变式 2. ，则 在 方向上的数量投影为_____. 【考点题型十三】空间向量平行与垂直关系 核心方法: ; 典例 13 . 已知 . (1) 若 ，分别求 与 的值；(2) 与 垂直，求 . 变式 1 . 已知 ，向量 ， ， ，且 ， ，则 的值为 ( ) A. -1 B. 1 C. 2 D. 3 变式 2. (多选) 在空间直角坐标系 中，已知 ， ，下列结论正确的有 ( ) A. B. C. 若 ,且 ,则 D. 若 且 ,则 【考点题型十四】用向量证明空间中线面平行 核心方法: 典例 14. 如图,在三棱柱 中,侧棱 平面 ，点 是 的中点. (1) 求证: 平面 ; (2) 求三棱锥 的体积. 变式 1. 如图所示,四棱锥 的底面 是矩形, 底面 . (1)证明:直线 平面 ；(2)求点 到平面 的距离. 【考点题型十五】用向量证明空间中面面平行 核心方法: 典例 15. 如图，在长方体 中， . 求证:平面 平面 变式 1. 如图所示，四边形 为矩形， 平面 分别是 的中点. (1) 求证: 平面 ；(2) 求证:平面 平面 . 【考点题型十六】用向量证明空间中线面垂直 核心方法: 典例 16. 直三棱柱 中, 分别是 的中点. (1) 求 的值; (2) 求证: 平面 . 变式 1. 如图，在直三棱柱 中， ， ，棱 ， 、 分别为 、 的中点. (1)求 的模; (2)求证: 平面 . 【考点题型十七】证明面面垂直 核心方法: 典例 17. 如图,四棱锥 中,底面 为直角梯形， 平面 为 的中点. 求证:平面 平面 . 变式 1. 如图所示，在直三棱柱 中， 分别为棱 的中点. 证明:平面 平面 . 考点闯关 题目 1. (东莞中学松山湖学校期中) 在空间直角坐标系 中,点 关于 平面的对称点为 ( ) A. B. C. D. 题目 2. (翰林高级期中) 已知向量 ,则下列结论正确的是 ( ) A. B. C. D. 题目 3. (东莞五校联考期中) 已知空间向量 ，且 ，则 _____. 题目 4. (翰林高级期中) 已知向量 ， ， ，若 不能构成空间的一个基底，则实数 的值为_____. 题目 5. (东莞中学松山湖学校期中) 已知直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且 ，则 _____. 题目 6. (东莞五校联考期中) 若空间中三个点 ， ， ，则直线 与直线 夹角的余弦值是 ( ) A. B. C. D. 题目 7. (翰林高级期中) (多选) 关于空间向量, 以下说法正确的是 ( ) A. 若空间向量 ,则 在 上的投影向量为 B. 若空间向量 满足 ,则 与 夹角为锐角 C. 若对空间中任意一点 ，有 ，则 四点共面 D. 若直线 的方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，则 题目 8. (东莞中学松山湖学校期中) 如图所示，在正方体 中， 是棱 的中点，点 在棱 上，且 ，若 平面 ，则 ( ) A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1 空间向量考点题型突破 回归教材知识点 一、空间向量的有关概念 1、概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等． 2、几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量  共面向量 平行于同一个平面的向量 二、空间向量的有关定理 1、共线向量定理： 对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． （1）共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作： （2）拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中 2、共面向量定理 如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 （1）空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． （2）拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 3、空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 三、空间向量的数量积 1、空间两个向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记. （2）范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作． (2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． (3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的． （3）拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别） 若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为， (1)向量夹角的范围是0<<><，异面直线的夹角的范围是0<<， (2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，. 2、空间向量的数量积 定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 3、向量的投影 3.1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． 3.2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 5、数量积的运算： （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 四、空间向量的坐标表示及其应用 设，，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 数量积 共线（平行） 垂直 （均非零向量） 模 ，即 夹角 五、直线的方向向量和平面的法向量 1、直线的方向向量 如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 2、平面法向量的概念 如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ． 3、平面的法向量的求法 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为 选向量：选取两不共线向量 列方程组：由列出方程组 解方程组：解方程组 赋非零值：取其中一个为非零值（常取) 得结论：得到平面的一个法向量. 六、空间位置关系的向量表示 设分别是直线的方向向量，分别是平面的法向量． 线线平行 ，使得 注：此处不考虑线线重合的情况．但用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重合 线面平行 注：证明线面平行时，必须说明直线不在平面内； 面面平行 ，使得 注:证明面面平行时，必须说明两个平面不重合． 线线垂直 线面垂直 ，使得 面面垂直 七、向量法求空间角 1、异面直线所成角 设异面直线和所成角为，其方向向量分别为，；则异面直线所成角向量求法： ① ② 2、直线和平面所成角 设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则①； ②. 3、平面与平面所成角（二面角） （1）如图①，，是二面角的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小． （2）如图②③，，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足： ①； ② 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为钝二面角（取负），则； （特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.） 八、向量法求距离 （1）点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，点P到直线l的距离为. （2）两条平行直线之间的距离 求两条平行直线l，m之间的距离，可在其中一条直线l上任取一点P，则两条平行直线间的距离就等于到直线的距离. （3）求点面距 ①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离. 即：点A到平面α的距离 ，其中Q∈α，是平面的一个法向量. （4）线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解 直线与平面 之间的距离：=，其中，是平面 的一个法向量. 两平行平面之间的距离：=，其中，是平面的一个法向量. 考点梳理 【考点题型一】空间向量共线判断 【考点题型二】由空间向量共线求参数或值 【考点题型三】判断空间向量共面 【考点题型四】由空间向量共面求参数 【考点题型五】用基底表示向量 【考点题型六】空间向量数量积运算 【考点题型七】求空间向量数量积的最值 (范围) 【考点题型八】求空间向量模 【考点题型九】求空间向量模的最值 (范围) 【考点题型十】求空间向量夹角 【考点题型十一】空间向量夹角为锐角 (钝角) 【考点题型十二】求投影向量 【考点题型十三】空间向量平行与垂直关系 【考点题型十四】用向量证明空间中线面平行 【考点题型十五】用向量证明空间中面面平行 【考点题型十六】用向量证明空间中线面垂直 【考点题型十七】证明面面垂直 【考点题型一】空间向量共线判断 核心方法: 典例 1. 设空间四点 满足 ，其中 ，则( ) A. 点 一定在直线 上 B. 点 一定不在直线 上 C. 点 不一定在直线 上 D. 以上答案都不对 【答案】 【解析】因为 ，所以 ，而 ， 故 ，所以 ， 所以 ，则点 一定在直线 上，故 正确. 故选: 变式 1. 下列条件中，能说明空间中不重合的三点 、 、 共线的是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】对于空间中的任意向量，都有 ，说法 错误； 若 ，则 ，而 ，据此可知 ，即 两点重合，选项 错误; ,则线段 的长度与线段 的长度相等,不一定有 三点共线,选项 错误; ,则 三点共线,选项 正确; 故选: . 【考点题型二】由空间向量共线求参数或值 核心方法:① ②已知 典例 2. 已知非零向量 ,且 、 、 不共面,若 ,则 ( ) A. -13 B. -5 C. 8 D. 13 【答案】 【解析】因为 ,则存在 ,使得 , 即 , 则 ，解得 ，所以 . 故选: 变式 1. 设向量 不共面，已知 ， ，若 三点共线，则 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】因为 , 所以 , 因为 三点共线,所以存在唯一的 ,使得 , 即 ,即 ,解得: . 故选: . 变式 2. 设 是空间中两个不共线的向量，已知 ，且 三点共线，则实数 _____. 【答案】 -3 【解析】因为 ,已知 , 所以 . 因为 三点共线，所以 与 共线，即存在实数 ，使得 . 已知 ，则 . 根据向量相等的性质，对于 和 前面的系数分别相等，可得 . 由 ,解得 ,又因为 ,所以 . 【考点题型三】判断空间向量共面 核心方法: 存在实数 使 典例 3. 若 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】因为 , 所以 共面; 因为 , 所以 共面; 所以 共面; 假设存在实数 满足 , 所以 ,所以 ,该方程组没有实数解. 所以不存在实数 满足 , 故 不共面. 所以选项 符合题意. 故选: 变式 1. 在下列条件中，一定能使空间中的四点 共面的是( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】 选项: ，所以 错； 选项: ，所以 错； 选项: 原式可整理为 ,所以 正确; 选项: 原式可整理为 ,故 错. 故选: . 变式 2. (多选) 下列命题中是真命题的为 A. 若 与 共面,则存在实数 ,使 B. 若存在实数 ,使向量 ,则 与 共面 C. 若点 四点共面,则存在实数 ,使 D. 若存在实数 ,使 ,则点 四点共面 【答案】 【解析】对于 项，如果 共线，则 只能表示与 共线的向量. 若 与 不共线，则不能表示，故 项错误； 对于 项，根据平面向量基本定理知，若存在实数 ， ，使向量 ，则 与 ， 共面，故 项正确; 对于 项，如果 ， ， 三点共线，则不论 ， 取何值， 只能表示与 共线的向量. 若点 不在 所在的直线上，则无法表示，故 项错误； 对于 项，根据空间向量基本定理，可知若存在实数 ， ，使 ，则 ， ， 共面， 所以点 四点共面，故 项正确. 故选: . 【考点题型四】由空间向量共面求参数 核心方法: 存在实数 使 典例 4. 在四面体 中，空间的一点 满足 ，若 、 、 、 四点共面，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】在四面体 中, 不共面, 而 ,则 ,所以 ,故选: 变式 1. 已知 三点不共线, 为平面 外任意一点. 若 ,且 、 、 、 四点共面，则 _____. 【答案】 【解析】因为 四点共面，则 ,且 , 又 ，即 ， 即 ，所以 ，解得 . 故答案为: 变式 2. 已知四面体 ，空间的一点 满足 ，若 共面，则实数 的值为_____. 【答案】 【解析】由 , 得 , 即 , 又 四点共面,即 共面, 所以存在唯一实数对 ,使 ,所以 ,解得 【考点题型五】用基底表示向量 核心方法: 空间向量的加减数乘运算 典例 5. 如图，在平行六面体 中， 为 与 的交点，若 , 则下列向量中与 相等的向量是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】 故选: . 变式 1. 在四面体 中，点 为 的中点，点 在 上，且 ，用向量 表示 ，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】 如图,由题意得, . 故选: D. 变式 2. 在平行六面体 中, 是 与 的交点,以 为空间的一个基底，则直线 的一个方向向量为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】 ,故选: . 【考点题型六】空间向量数量积运算 核心方法: ①坐标运算 ②定义法: 典例 6. 在正四面体 中， 为棱 的中点， ，则 ( ) A. B. 3 C. D. 6 【答案】 【解析】 因为 为棱 的中点,所以 , 所以 . 故选: . 变式 1. 已知点 是棱长为 2 的正方体 的底面 上一点,则 的最小值为 ( ) A. B. 0 C. -2 D. -1 【答案】 【解析】以点 为原点,以 所在的直线为 轴,以 所在的直线为 轴, 以 所在的直线为 轴,建立空间直角坐标系,如图所示: 则点 ,设点 的坐标为 ,由题意可得 , , 由二次函数的性质可得,当 时, 取得最小值 -2,故选: . 变式 2. 若 ，则 _____. 【答案】 -8 【解析】 ，则 【考点题型七】求空间向量数量积的最值 (范围) 核心方法:①坐标法 (含自主建系法) ②极化恒等式 (1) 平行四边形模型: 向量的数量积等于 “和对角线长” 与 “差对角线长” 平方差的 , 即 (如图) ( 2 )三角形模型:向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即 (如图) 典例 7. 如图，在长方体 中， ，点 为线段 上一动点，则 . 的最小值为_____. 【答案】 1 【解析】依题意以 为坐标原点, 分别为 轴建立空间直角坐标系,如下图所示: 则 ,设 ,所以 , 因此 ,当 时,取得最小值 1 . 变式 1. 已知 均为圆柱 表面上的动点,直线 经过圆柱 的中心 ,圆柱 的底面圆的半径为 5，则 的最大值为_____. 【答案】 144 【解析】因为 , 又因为 为圆柱 的中心,且 均为圆柱 表面上的动点, 则 ,当且仅当 为底面圆周上时,等号成立, 且 ,当且仅当 为过 且与底面平行的圆周上时,等号成立, 可得 ,所以 的最大值 144 . 变式 2. 正方体 的棱长为 是正方体外接球的直径， 为正方体表面上的动点，则 的取值范围是_____. 【答案】 【解析】由题意 等于正方体的体对角线长,设点 为 的中点, 所以 , 则 , 当点 与某个侧面的中心重合时, 最小,且 , 当点 与正方体的顶点重合时, 最大,且 , 由于点 是在正方体表面连续运动,所以 的取值范围是 , 的取值范围是 . 故答案为: 【考点题型八】求空间向量模 核心方法: 典例 8. 在正三棱柱 中, 为棱 上的动点, 为线段 上的动点,且 ,则线段 长度的最小值为 A. 2 B. C. D. 【答案】 【解析】因为正三棱柱 中，有 ，所以 为 的中点，取 中点 ， 连接 ，如图，以 为原点， ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， 因为 是棱 上一动点,设 ,且 , 因为 ,且 , 所以 ,于是令 , 所以 , 又函数 在 上为增函数， 所以当 时， ，即线段 长度的最小值为 . 故选: . 变式 1. 在棱长为 6 的正四面体 中，点 与 满足 ，且 ，则 的值为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】如图: 以 为基底,则 , 所以 . 因为 . 所以 . 所以 . 故选: 变式 2. 设 ,向量 且 ,则 【答案】 3 【解析】因为 ,所以 ,即 ,解得 , 又因为 ,所以存在实数 使得 ,即 ,解得 , 所以 ，所以 ，故答案为: 3 . 【考点题型九】求空间向量模的最值 (范围) 核心方法:坐标法 典例 9. 如图，在棱长为 1 的正方体 中， ， ， 若 平面 ，则线段 的长度的最小值为_____. 【答案】 【解析】如图， 以点 为坐标原点,分别以 所在直线为 轴,建立空间直角坐标系, 则 , 依题意, 所以 . 因为 平面 平面 ,则 , 又 平面 ,故 平面 , 故平面 的法向量可取 , 因为 平面 ,故 ,即 . 则 , 因为 ,故当 时, . 变式 1. 如图所示,三棱锥 中, 平面 , ,点 为棱 的中点, 分别为直线 上的动点,则线段 的最小值为 A. B. C. D. 【答案】 【解析】三棱锥 中，过 作 平面 ，由 ，知 ， 以 为原点，直线 分别为 建立空间直角坐标系，如图， 由 平面 ，得 ，则 ， ， ， ， ， 令 ，则 ，设 ， 于是 ， 当且仅当 时取等号,所以线段 的最小值为 . 故选: 变式 2. 如图，在棱长为 4 的正方体 中， 为棱 的中点， 是底面 内的一点 (包含边界),且 ，则线段 的长度的取值范围是_____. 【答案】 【解析】以 为原点,以 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴,建立空间直角坐标系， 如图所示，则 ， ， 设 ，则 ， ，又 ，所以 ， 即 ,则 . 当 时, ,设 ,所以点 在底面 内的轨迹为一条线段 , 所以 , , 当 时, ,当 时, , 所以线段 的长度的取值范围是 . 故答案为: 【考点题型十】求空间向量夹角 核心方法: 夹角公式 典例 10. 已知空间向量 ,且 ,则 与 的夹角的余弦值为( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】向量 ,则 , 由 ,得 ,解得 , 因此 , 所以 与 的夹角的余弦值 . 故选: 变式 1. 若向量 ，且 ，则 的值为_____ 【答案】 1 【解析】因为向量 ，所以 ， 又 ，所以 ，解得 . 故答案为: 1 . 【考点题型十一】空间向量夹角为锐角 (钝角) 核心方法: ① 为锐角 且 与 不同向共线 ② 为钝角 且 与 不反向共线 典例 11. 已知向量 的夹角为钝角，则实数 的取值范围为_____. 【答案】 【解析】因为向量 的夹角为钝角， 则 ，解得 ， 当 共线时，由 ，即 ，解得 ， 所以当 夹角为钝角时 . 变式 1. 已知空间向量 与 夹角为钝角，则实数 的取值范围为_____. 【答案】 【解析】因为空间向量 与 夹角为钝角， 所以 ，得到 ，即 ， 由 ，得到 ，此时 与 共线反向，夹角为 ，不合题意， 所以实数 的取值范围为 变式 2. 若空间向量 与 的夹角为锐角，则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】由空间向量 与 的夹角为锐角,得 且 与 不共线, 于是 ,解得 ,此时 ,而 ,即 与 不共线, 所以 的取值范围是 . 故选: 【考点题型十二】求投影向量 核心方法: 典例 12. 在空间直角坐标系中,点 ,点 ,点 ,则 在 方向上的投影向量的坐标为_____. 【答案】 【解析】由题, ,所以 , 则 在 方向上的投影向量的坐标为 变式 1. 已知点 ,则向量 在向量 上的投影向量的模为_____. 【答案】 【解析】点 , 故 ,所以 , 所以向量 在向量 上的投影向量的模 . 变式 2. ，则 在 方向上的数量投影为_____. 【答案】 【解析】由题意 , 所以 在 方向上的数量投影为 . 【考点题型十三】空间向量平行与垂直关系 核心方法: 典例 13. 已知 . (1) 若 ,分别求 与 的值; (2) 与 垂直,求 . 【答案】 或 【解析】(1) 因为 ,且 , 设 ,即 , 即 ,解得 ,故 . (2) 因为 与 垂直， 则 ，解得 ， 当 时， ；当 时， . 因此， 或 . 变式 1. 已知 ，向量 ， ， ，且 ， ，则 的值为 ( ) A. -1 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】因为向量 , 由 ,则 ,解得 , 由 ,则 ,解得 ,则 . 故选: . 变式 2. (多选) 在空间直角坐标系 中，已知 ， ，下列结论正确的有 ( ) A. B. C. 若 ,且 ,则 D. 若 且 ，则 【答案】 【解析】由 ,得 , 对于 正确; 对于 错误; 对于 ,由 ,得 ,解得 正确; 对于 ，由 且 ，得 ，无解， 错误. 故选: 【考点题型十四】用向量证明空间中线面平行 核心方法: 典例 14. 如图，在三棱柱 中，侧棱 平面 ，点 是 的中点. (1) 求证: 平面 ; (2) 求三棱锥 的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【解析】(1)解法一: 证明: 连接 与 交于点 ，则 是 的中点，连接 ， 又 是 的中点，则有 ， 平面 平面 ，所以 平面 . 解法二: ，则有 ，又 平面 ， 以 为原点, 的正方向为 轴, 轴, 轴的方向,建立如图所示的空间直角坐标系, 则 , , 设平面 的一个法向量为 ,有 , 令 ,则 ,得 , 于是 ,且 平面 ,故 平面 . (2) 解法一: 取 的中点 ,连接 , 直三棱柱 中, 平面 平面 ,故 , 又 为 的中点,则有 且 . 由 ,则有 , 又 平面 , 所以 平面 平面 . . 解法二: 在 (1) 的基础上, , 设平面 的一个法向量为 , 令 则 ,得 , 于是点 到平面 的距离为 , 于是 . 变式 1. 如图所示，四棱锥 的底面 是矩形， 底面 . (1)证明:直线 平面 ； (2) 求点 到平面 的距离. 【答案】(1) 证明见解析; (2) . 【解析】(1) 由 平面 ，且四边形 为矩形，可建立如图所示空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， 由 ，得 ，解得 ，同理 ， ,显然面 的一个法向量为 , 显然 且 面 ,故 面 (2) 设面 的一个法向量为 ,且 , 由 , 取 ,则 , 所以 为平面 的一个法向量, 又 , 点 到平面 的距离为 . 【考点题型十五】用向量证明空间中面面平行 核心方法: 典例 15. 如图,在长方体 中, . 求证: 平面 平面 . 【答案】证明见解析 【解析】以 为原点, 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则 , 则 . 设平面 的法向量为 , 则 . 取 ,则 , 所以平面 的一个法向量为 . 设平面 的法向量为 , 则 . 取 ,则 , 所以平面 的一个法向量为 . 因为 ,即 , 所以平面 平面 . 变式 1. 如图所示，四边形 为矩形， 平面 分别是 的中点. (1)求证: 平面 ；(2)求证:平面 平面 . 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】(1) 证明:因为 平面 ， 平面 ， 所以 , 因为四边形 为矩形,所以 , 所以 两两垂直， 所以以 为原点，分别以 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设 ， ， . 则 ，因为 ， ， 分别是 的中点， 所以 ， ， ， 所以 . 因为平面 的一个法向量为 ,所以 ,即 . 又因为 平面 ,所以 平面 . ( 2 )因为 ，所以 ，所以 ， 又 平面 ，所以 平面 . 又因为 平面 ， 所以平面 平面 . 【考点题型十六】用向量证明空间中线面垂直 核心方法: 典例 16. 直三棱柱 中, 分别是 的中点. (1) 求 的值; (2) 求证: 平面 . 【答案】 证明见解析 【解析】(1) 直三棱柱 中， 平面 ，又 ， 以点 为坐标原点， 、 、 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意得, , , 所以 ; (2) 求得 . , , ,即 , 又 平面 平面 , 平面 . 变式 1. 如图，在直三棱柱 中， ，棱 、 分别为 、 的中点. (1)求 的模; (2)求证: 平面 . 【答案】(1) (2) 证明见解析 【解析】(1) 因为 平面 , 以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴， 建立如下图所示的空间直角坐标系，则 ， ， 所以 ,则 . (2)依题意得 , 则 , , 则 ,即 , 又因为 平面 ,所以 平面 . 【考点题型十七】证明面面垂直 核心方法: 典例 17. 如图,四棱锥 中,底面 为直角梯形, 平面 为 的中点. 求证: 平面 平面 . 【答案】证明见解析 【解析】以 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系,设 , 则 , 设平面 的一个法向量为 , 则 ,即 , 不妨令 ,则 ,所以 , 设平面 的一个法向量为 , 则 ,即 , 不妨令 ,则 ,所以 , 因为 ,所以 , 所以平面 平面 . 变式 1. 如图所示,在直三棱柱 中, 分别为棱 的中点. 证明: 平面 平面 . 【答案】证明见解析 【解析】如图,以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴,建立空间直角坐标系, 则 , 所以 . 设平面 的法向量为 , 则 ,即 ,令 , 可得平面 的一个法向量 . 设平面 的法向量为 , 则 ,即 ,令 , 可得平面 的一个法向量 . 因为 , 所以 , 所以平面 平面 . 考点闯关 题目 1. (东莞中学松山湖学校期中) 在空间直角坐标系 中,点 关于 平面的对称点为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】 关于平面 的对称点的特征为 坐标不变, 取相反数, 故所求坐标为 . 故选: . 题目 2. (翰林高级期中) 已知向量 ,则下列结论正确的是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】因 , 对于 选项,由 可得: ,易知 的值不存在; 对于 选项,由 可知 不成立; 对于 选项, ; 对于 选项, . 故选: . 题目 3. (东莞五校联考期中) 已知空间向量 ,且 ,则 _____. 【答案】 【解析】因为 ,且 均不是零向量,故存在非零实数 使得 ,此即 . 故 , 所以 . 题目 4. (翰林高级期中) 已知向量 ,若 不能构成空间的一个基底，则实数 的值为_____. 【答案】 5 【解析】因为 不能构成空间的一个基底，所以 共面， 故存在 使得 ，即 ， 故 ，解得 . 所以 的值为 5 . 故答案为:5. 题目 5. (东莞中学松山湖学校期中) 已知直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且 ，则 _____. 【答案】 2 【解析】设直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且 ， 所以 ，即 ，解得 ，故答案为:2 . 题目 6. (东莞五校联考期中) 若空间中三个点 ， ， ，则直线 与直线 夹角的余弦值是( ) A. B. C. D. 【答案】 【解析】因为 ,所以 , 记直线 与直线 的夹角为 , 则 . 故选: 题目 7. (翰林高级期中) (多选) 关于空间向量，以下说法正确的是 ( ) A. 若空间向量 ， ，则 在 上的投影向量为 B. 若空间向量 满足 ，则 与 夹角为锐角 C. 若对空间中任意一点 ，有 ，则 四点共面 D. 若直线 的方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，则 【答案】 【解析】对于 在 上的投影向量为 ，故 正确； 对于 ,当 同向共线时 也成立,但 与 夹角不为锐角,故 错误; 对于 ,在 中 ,故 四点共面,故 正确; 对于 ,由 ,即 ,故 ,故 正确. 故选: . 题目8. (东莞中学松山湖学校期中) 如图所示,在正方体 中, 是棱 的中点,点 在棱 上,且 ,若 平面 ,则 A. B. C. D. 【答案】 【解析】如图所示,以 为原点, 所在直线分别为 轴、 轴、 轴, 建立空间直角坐标系, 设正方体的棱长为 1 , 则 , 可得 , 设 是平面 的法向量,则 , 令 ,则 ,即 , 由 ,且 ,可得 , 又因为 ,则 , 由 平面 ,可得 ,解得 . 故选: . 学科网（北京）股份有限公司 $