期中复习专题02 空间向量在立体几何中的应用【知识清单+10大考点+强化训练】讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题02 空间向量在立体几何中的应用 知识点1：空间中点和直线的向量表示 1．点的位置向量 在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量． 2．空间直线的向量表示式 设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上任意一点， (1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝t． (2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，即＝＋t． (3)性质：空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定． 【注意】(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合． (2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个． 知识点2：空间中平面的向量表示 1．如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb． 2．如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y．我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式．空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 3．如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}． 【注意】(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量． (2)一个平面的法向量有无数多个，它们相互平行． 确定平面的法向量 按如下步骤求平面的法向量： (1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量． (3)列方程组：由列出方程组，并求解． (4)赋非零值：取x，y，z其中一个为非零值(常取±1)． (5)得结论：得到平面的一个法向量． 知识点3：两直线平行的判定方法 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2． 【注意】利用向量证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 知识点5：直线和平面平行的判定方法 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0． 【注意】(1)证明线面平行的关键是看直线的方向向量与平面的法向量是否垂直． (2)特别强调直线在平面外． 知识点6：平面和平面平行的判定方法 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2． 【注意】证明面面平行时，必须说明两个平面不重合． 知识点7：两直线垂直的判定方法 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0． 【注意】(1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量相互垂直． (2)基向量法证明两直线垂直即证两直线的方向向量相互垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0． 知识点8：直线和平面垂直的判定方法 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn． 【注意】证明直线与平面垂直时，直线l的方向向量必须与平面α内两条相交直线的方向向量都垂直才可． 知识点9：平面和平面垂直的判定方法 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0． 【注意】利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径： 一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直． 知识点10：点到直线的距离 设直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是l外一点，＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，点P到直线l的距离PQ＝． 【注意】点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题． 知识点11：点P到平面α的距离 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度．因此PQ＝＝＝． 【注意】(1)实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度． (2)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解． (3)如果两个平面α，β互相平行，可在其中一个平面α内任取一点P，将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解． 知识点12：利用向量方法求两条异面直线所成的角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝＝． 【注意】两异面直线所成角的范围是，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 知识点13：利用向量方法求直线与平面所成的角 直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝＝． 【注意】(1)求直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决． (2)线面角的范围为． (3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角． 知识点14：利用向量方法求两个平面的夹角 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)若平面α，β的法向量分别是n1和n2，设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝． 【注意】(1)求两平面的夹角问题可转化为两平面法向量的夹角问题． (2)两平面的夹角的范围是，二面角的范围是[0，π]． (3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念． 考点一 方向向量与法向量 考点二 空间中直线、平面的平行 考点三 空间中直线、平面的垂直 考点四 异面直线夹角的问题 考点五 线面角的问题 考点六 二面（面面）角的问题 考点七 点到平面距离的问题 考点八 点到直线距离的问题 考点九 异面直线距离的问题 考点十 立体几何中探究性问题 考点一 方向向量与法向量 1．（26-27高二上·广西来宾·阶段检测）如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，，分别在棱，上，且，，已知过与平面平行的平面为，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 3．（26-27高二上·河南新乡·阶段检测）点，直线AB的一个单位方向向量为（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高二上·辽宁营口·阶段检测）某公司欲借助一次镜面反射将激光信号送入建筑背面的通信盲区．在空间直角坐标系中，镜面的一个法向量为，入射激光的方向向量为．已知镜面反射时，方向向量在镜面平面内的分量保持不变，在法向量上的分量反向，则反射激光的方向向量可以是（    ） A． B． C． D． 考点二 空间中直线、平面的平行 5．（26-27高二上·北京西城·阶段检测）已知是直线的方向向量，是平面的法向量．若直线，则（     ） A． B． C． D． 6．（26-27高二上·河南周口·阶段检测）若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则的值是（    ） A． B． C．3 D．9 7．（26-27高二上·黑龙江·开学考试）已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·黑龙江·期末）已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（    ） A． B． C． D． 考点三 空间中直线、平面的垂直 9．（26-27高二上·贵州黔南·阶段检测）已知平面 过原点 ，它的一个法向量为 ；直线 过点 ，方向向量为 ，则 与 的位置关系是（　　） A． B． C． D．相交但不垂直 10．（26-27高二上·贵州黔南·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中． (1)建立适当的空间直角坐标系，写出点 的坐标，并求直线的一个方向向量； (2)证明：平面． 11．（26-27高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知平面内两向量，，若为平面的法向量且，则，的值分别为（      ） A． B． C．1,2 D． 12．（26-27高二上·天津河北·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．两条不重合的直线、的方向向量分别是、，则 B．直线的方向向量，平面的法向量，则 C．直线、的方向向量分别为、，若，则 D．两个不同的平面、的法向量分别是、，则 考点四 异面直线夹角的问题 13．（25-26高二上·广东深圳·期中）如图，长方体中，，，、、分别是，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 ______ 14．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，设，， (1)用向量，，表示与； (2)求证：平面； (3)求异面直线与夹角的余弦． 15．（26-27高二上·四川绵阳·阶段检测）如图，在三棱锥中，，，，分别是，的中点，且，则线段的长度为（     ）    A．4 B．5 C．6 D．7 16．（25-26高二下·四川南充·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则AD的长度为______． 考点五 线面角的问题 17．（2026·北京朝阳·模拟预测）如图，在三棱柱中，，侧面为正方形，侧面底面，，为的中点，点在上，且平面． (1)求证：点为的中点； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 18．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，E为的中点． (1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 19．（26-27高二上·广东汕尾·阶段检测）如图，已知为正三角形，且与菱形所在的平面互相垂直，，，M是的中点. (1)求证：； (2)在线段上是否存在点P，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 20．（26-27高二上·北京朝阳·阶段检测）如图，正方形的边长为，、分别为、的中点．在五棱锥中，为棱上一点，平面与棱、分别交于点、． (1)求证：； (2)若底面，且，直线与平面所成角为． （i）确定点的位置，并说明理由； （ii）求线段的长． 考点六 二面（面面）角的问题 21．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）如图，三棱柱的所有棱长均相等，平面平面，是的中点，. (1)证明：平面； (2)，P为线段上一点.若二面角的余弦值为，求的长. 22．（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面，为正三角形，E为的中点，，，． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 23．（26-27高二上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，． (1)证明：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 24．（26-27高二上·广东·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，平面平面． (1)求证：； (2)线段上是否存在点，使平面与平面所成角大小为？若存在，找出点的位置；若不存在，请说明理由． 考点七 点到平面距离的问题 25．（26-27高二上·贵州黔西南·阶段检测）如图，平面，，，，，为的中点，为上一点，若，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 26．（26-27高二上·广东江门·阶段检测）如图，在长方体中，，点在上，且． (1)求证：平面 (2)求直线与平面所成角的正弦值 (3)求点到平面的距离． 27．（26-27高二上·山东淄博·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，、分别为，的中点，则直线到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 28．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 考点八 点到直线距离的问题 29．（26-27高二上·四川资阳·阶段检测）如图，三棱柱的所有棱长都是，平面，分别为的中点， (1)求证：平面； (2)求点到直线的距离； (3)求点到平面的距离. 30．（26-27高二上·广东广州·阶段检测）如图所示，在几何体中，四边形为直角梯形，，，底面，，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与直线所成角的余弦值； (3)求点D到直线的距离． 31．（26-27高二上·北京平谷·阶段检测）正方体的棱长为2，点是棱的中点，点是正方形内部或边界上一点，若点满足，则点到直线距离的最大值为（    ）    A． B． C． D． 32．（26-27高一上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在棱长为4的正方体中，，分别为线段，的中点，为线段上离近的四等分点． (1)求证：； (2)求点到直线的距离； (3)求平面与平面所成角的余弦值． 考点九 异面直线距离的问题 33．（26-27高二上·辽宁沈阳·阶段检测）（多选）如图，在棱长均为2的正三棱柱中，为的中点，则（    ） A． B．异面直线与所成角的余弦值为 C．若，分别为，上的点，则的最小值为 D．若点在底面上，且平面，则点的轨迹长度为 34．（26-27高三上·广西来宾·阶段检测）已知，，，，则异面直线与之间的距离是_____． 35．（26-27高三上·河南·开学考试）如图，在正方体中，为棱的中点. (1)求直线与所成角的余弦值； (2)当时，求异面直线与间的距离. 36．（2026高三·全国·专题练习）一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直．如果公共边，则异面直线与的距离是（   ） A． B．a C． D． 考点十 立体几何中探究性问题 37．（26-27高二上·天津河北·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，是的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由． 38．（25-26高一下·四川成都·阶段检测）如图，在四棱锥中 ，，，平面，  ，为的中点． (1)设平面与平面的交线为直线，求证：； (2)求证：平面； (3)平面内是否存在一点，使平面？   若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 39．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，，底面为直角梯形，其中，，． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求锐二面角的余弦值； (3)线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 40．（26-27高二上·安徽淮南·阶段检测）（多选）如图，长方形，的长，宽，且它们所在的平面互相垂直，点，分别在长方形对角线，上移动，且和的长度保持相等．记（），是线段上一点，则（    ） A．当时，的长为 B．长度的最小值为 C．三棱锥与三棱锥的体积相等 D．存在，使得直线与所成角的正弦值为 1．（26-27高二上·河南新乡·阶段检测）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则下列说法正确的是（    ） A．直线平面 B．直线平面或 C．直线l与平面所成角为 D．直线l与平面的垂线平行 2．（26-27高二上·陕西汉中·阶段检测）已知空间中三点，，，则下列结论正确的是（ ） A．与是共线向量 B．与共线的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 3．（26-27高二上·浙江台州·阶段检测）如图，正方体的棱长为1，动点M在线段上，动点P在平面上，且平面，则线段长度的取值范围为（     ） A． B． C． D． 4．（26-27高二上·上海黄浦·阶段检测）如图所示，正方体的棱长为2，L、M、N分别为棱AB、、AD的中点，线段上有两个动点E、F，且，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C．平面 D．的面积与的面积相等 5．（2026·广西南宁·一模）如图，已知正方形是圆柱的轴截面，底面圆上的中点为，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6．（26-27高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知正方体的外接球表面积为，M是棱CD的中点，将过点M且以为法向量的平面记为平面，则点A到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 7．（26-27高二上·河南·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，点在上，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 8．（26-27高二上·辽宁本溪·阶段检测）如图，已知矩形，将沿对角线翻折至，使二面角大小为，则与平面所成角的正切值为（   ） A． B． C． D． 9．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）（多选）已知，是两个不同的平面，直线的一个方向向量为，且，则下列结论正确的是（     ） A．是的一个法向量 B．是的一个单位法向量 C．若是的一个法向量，则 D．若直线，则是的一个方向向量 10．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）（多选）如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，，，是中点，下列命题正确的是（） A． B． C．二面角的余弦值为 D．三棱锥的体积为 11．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）（多选）如图，平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD 是边长为1的菱形，且 CA₁⊥平面C₁BD， 则（    ） A．BD⊥CC₁ B．BD₁与AC所成角的余弦值为 C． D．平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积为 12．（26-27高二上·青海西宁·阶段检测）已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则__________. 13．（26-27高三上·湖北·阶段检测）如图，在长方体中，，，，点E，F分别在，上，且，，则平面与平面夹角的余弦值为__________．    14．（26-27高二上·北京朝阳·阶段检测）菱形的边长为，，为的中点（如图1），将沿直线翻折至处（如图2），连接，，若四棱锥的体积为，点为的中点，则到平面的距离为______． 15．（25-26高一下·四川成都·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，E为棱上一点，且. (1)求证：平面； (2)求点E到平面的距离； (3)在棱上是否存在点Q（不与C，P重合），使得直线与平面所成角的正弦值为，若不存在，说明理由，若存在，求出的值. 16．（26-27高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，.是的中点，是的中点. (1)求证平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 空间向量在立体几何中的应用 知识点1：空间中点和直线的向量表示 1．点的位置向量 在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量． 2．空间直线的向量表示式 设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上任意一点， (1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝t． (2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，即＝＋t． (3)性质：空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定． 【注意】(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合． (2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个． 知识点2：空间中平面的向量表示 1．如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb． 2．如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y．我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式．空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 3．如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}． 【注意】(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量． (2)一个平面的法向量有无数多个，它们相互平行． 确定平面的法向量 按如下步骤求平面的法向量： (1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量． (3)列方程组：由列出方程组，并求解． (4)赋非零值：取x，y，z其中一个为非零值(常取±1)． (5)得结论：得到平面的一个法向量． 知识点3：两直线平行的判定方法 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2． 【注意】利用向量证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 知识点5：直线和平面平行的判定方法 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0． 【注意】(1)证明线面平行的关键是看直线的方向向量与平面的法向量是否垂直． (2)特别强调直线在平面外． 知识点6：平面和平面平行的判定方法 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2． 【注意】证明面面平行时，必须说明两个平面不重合． 知识点7：两直线垂直的判定方法 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0． 【注意】(1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量相互垂直． (2)基向量法证明两直线垂直即证两直线的方向向量相互垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0． 知识点8：直线和平面垂直的判定方法 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn． 【注意】证明直线与平面垂直时，直线l的方向向量必须与平面α内两条相交直线的方向向量都垂直才可． 知识点9：平面和平面垂直的判定方法 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0． 【注意】利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径： 一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直． 知识点10：点到直线的距离 设直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是l外一点，＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，点P到直线l的距离PQ＝． 【注意】点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题． 知识点11：点P到平面α的距离 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度．因此PQ＝＝＝． 【注意】(1)实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度． (2)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解． (3)如果两个平面α，β互相平行，可在其中一个平面α内任取一点P，将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解． 知识点12：利用向量方法求两条异面直线所成的角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝＝． 【注意】两异面直线所成角的范围是，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 知识点13：利用向量方法求直线与平面所成的角 直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝＝． 【注意】(1)求直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决． (2)线面角的范围为． (3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角． 知识点14：利用向量方法求两个平面的夹角 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)若平面α，β的法向量分别是n1和n2，设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝． 【注意】(1)求两平面的夹角问题可转化为两平面法向量的夹角问题． (2)两平面的夹角的范围是，二面角的范围是[0，π]． (3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念． 考点一 方向向量与法向量 考点二 空间中直线、平面的平行 考点三 空间中直线、平面的垂直 考点四 异面直线夹角的问题 考点五 线面角的问题 考点六 二面（面面）角的问题 考点七 点到平面距离的问题 考点八 点到直线距离的问题 考点九 异面直线距离的问题 考点十 立体几何中探究性问题 考点一 方向向量与法向量 1．（26-27高二上·广西来宾·阶段检测）如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，，分别在棱，上，且，，已知过与平面平行的平面为，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂直于一个平面的直线也垂直于这个平面的平行平面可知，求出平面的法向量，即可得到平面的法向量． 【详解】由题意可知，设棱长为3，可得， 因为，，则，； 则，； 设为平面的法向量， 则，则，解得； 令可得； 因为平面与平面平行，故也是平面的法向量． 2．（25-26高二上·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 【答案】(1) (2)方向向量，法向量为 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为底面为矩形，所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为； （2）直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为， 由，得，令，则. 所以平面的一个法向量为. 3．（26-27高二上·河南新乡·阶段检测）点，直线AB的一个单位方向向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，而是与直线平行的非零向量，且模长为1， 所以是直线的一个单位方向向量． 4．（26-27高二上·辽宁营口·阶段检测）某公司欲借助一次镜面反射将激光信号送入建筑背面的通信盲区．在空间直角坐标系中，镜面的一个法向量为，入射激光的方向向量为．已知镜面反射时，方向向量在镜面平面内的分量保持不变，在法向量上的分量反向，则反射激光的方向向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】反射时，方向向量在镜面内的分量不变，在法向量方向的分量反向，得到关系式求解即可。 【详解】设入射方向向量，镜面法向量， 由于方向向量在镜面平面内的分量保持不变，在法向量上的分量反向， 则反射向量为， 方向向量可成比例放缩取. 考点二 空间中直线、平面的平行 5．（26-27高二上·北京西城·阶段检测）已知是直线的方向向量，是平面的法向量．若直线，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线平面，则直线的方向向量与平面的法向量平行， 所以存在实数，使得，即，所以， 解得，所以 6．（26-27高二上·河南周口·阶段检测）若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则的值是（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】A 【详解】因为平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，所以， 所以，解得：,，所以 7．（26-27高二上·黑龙江·开学考试）已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量共线列方程，然后解方程即可. 【详解】因为，所以，解得，， 所以. 8．（25-26高一下·黑龙江·期末）已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面与直线平行得出平面法向量与直线的方向向量互相垂直，建立方程求解参数即可. 【详解】根据题意可得，所以，即. 考点三 空间中直线、平面的垂直 9．（26-27高二上·贵州黔南·阶段检测）已知平面 过原点 ，它的一个法向量为 ；直线 过点 ，方向向量为 ，则 与 的位置关系是（　　） A． B． C． D．相交但不垂直 【答案】B 【分析】先利用法向量与方向向量垂直，得到或.再根据点在平面外，进一步得到. 【详解】因为，，所以. 所以或. 又因为由点法式，平面方程为， 即，不满足平面方程，故在平面外， 所以. 10．（26-27高二上·贵州黔南·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中． (1)建立适当的空间直角坐标系，写出点 的坐标，并求直线的一个方向向量； (2)证明：平面． 【答案】(1)， (2)因为， 所以， 则， 因为平面，所以平面 【详解】（1）以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则直线的一个方向向量； （2）略 11．（26-27高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知平面内两向量，，若为平面的法向量且，则，的值分别为（      ） A． B． C．1,2 D． 【答案】A 【详解】，， . 为平面的法向量，且，在平面内， ，即，解得. 12．（26-27高二上·天津河北·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．两条不重合的直线、的方向向量分别是、，则 B．直线的方向向量，平面的法向量，则 C．直线、的方向向量分别为、，若，则 D．两个不同的平面、的法向量分别是、，则 【答案】D 【分析】对于选项A，根据空间直线方向向量的平行的判定规则判断； 对于选项B，根据空间直线方向向量、平面法向量的平行的判定规则判断； 对于选项C：根据空间直线方向向量垂直的判定规则判断； 对于选项D：根据平面法向量判断面面的位置关系. 【详解】对于选项A：两条不重合直线平行的充要条件为其方向向量共线. 已知 ，， 不存在实数满足（若，则对应第三分量应为2，与的第三分量1矛盾）， 故与不共线，与不平行，A错误. 对于选项B：若直线的方向向量与平面的法向量平行，则直线与平面垂直. 已知， 即，故，B错误. 对于选项C：两条直线垂直的充要条件为其方向向量的数量积为0. 由得， 代入坐标计算：， 即，解得，C错误. 对于选项D：两个不同平面垂直的充要条件为其法向量的数量积为0. 计算， 故，即，D正确. 考点四 异面直线夹角的问题 13．（25-26高二上·广东深圳·期中）如图，长方体中，，，、、分别是，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 ______ 【答案】0 【详解】 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 14．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，设，， (1)用向量，，表示与； (2)求证：平面； (3)求异面直线与夹角的余弦． 【答案】(1)， (2)由于四边形为菱形，则，即， 所以，，同理可得， 由题意可得，， 所以，， 所以，同理可证， 因为，因此，平面 (3) 【分析】（1）使用空间向量的线性运算求解； （2）使用向量证明线线垂直，通过线面垂直判定定理求解； （3）使用空间向量的模长公式和夹角公式求解. 【详解】（1） （2）略 （3）由（1）得 所以，异面直线与夹角的余弦为 15．（26-27高二上·四川绵阳·阶段检测）如图，在三棱锥中，，，，分别是，的中点，且，则线段的长度为（     ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】设，利用等腰三角形性质求出和，通过向量分解及垂直关系计算 ，向量结合夹角公式列方程求解即可. 【详解】设， 因为是 的中点，，所以， 在 中，， 所以 ， 同理，因为是的中点，，所以， 在中，， 所以，    连接，因为，所以， 故， 又为中点，所以， 因为，所以，故， 又为中点，所以， 因为， 所以， ，且，平面， 所以平面， 因为平面，所以，即， 将和进行分解：，， 以 ， 在中，， 由题意知， 即， 化简得， 解得， 因为，所以，即. 16．（25-26高二下·四川南充·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则AD的长度为______． 【答案】4 【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线向量公式列方程求解即可. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系如图，    设，因为， 所以， ， 设异面直线与所成角为， 则， 解得，即. 考点五 线面角的问题 17．（2026·北京朝阳·模拟预测）如图，在三棱柱中，，侧面为正方形，侧面底面，，为的中点，点在上，且平面． (1)求证：点为的中点； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：连接，因为平面， 平面，平面平面， 所以， 因为为的中点， 所以点为的中点． (2) 【分析】（1）连接，由线面平行的性质定理求解； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由线面角的正弦公式求出答案． 【详解】（1）略 （2）侧面为正方形，所以，侧面底面且交于， 平面所以平面． 又因为，所以． 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴， 建立空间直角坐标系，侧面为正方形，， 故，，，，，， ， 设平面的法向量为， 则， 令得，，故， 设直线与平面所成角的大小为， 则． 18．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，E为的中点． (1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法分别求解异面直线夹角的余弦值 （2）结合（1），利用空间向量求解直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）因为平面，底面为矩形，所以两两垂直. 如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 由题意可知，且为的中点， 则， 所以. 设异面直线与所成的角为， 则. 所以异面直线与所成的角的余弦值为. （2）由（1）知. 设平面的法向量为， 则，即.，令，则， 所以平面的一个法向量为. 又， 设直线与平面所成的角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19．（26-27高二上·广东汕尾·阶段检测）如图，已知为正三角形，且与菱形所在的平面互相垂直，，，M是的中点. (1)求证：； (2)在线段上是否存在点P，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明：由为正三角形，M是的中点，得， 由平面平面，平面平面，且平面， 得平面，又平面，所以. (2)点存在，. 【分析】（1）通过面面垂直的性质定理，证明平面，可证得； （2）假设存在点P，设，由已知线面角的正弦值，利用向量法求出. 【详解】（1）略 （2）由（1）知平面，在菱形中，，则为正三角形， 由M是的中点，得，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 假设在线段上存在点P，使得直线与平面所成角的正弦值为， 设，由，则，可得， 设平面的法向量，由，， 则有，令，则，得， 则，解得. 所以点存在，且. 20．（26-27高二上·北京朝阳·阶段检测）如图，正方形的边长为，、分别为、的中点．在五棱锥中，为棱上一点，平面与棱、分别交于点、． (1)求证：； (2)若底面，且，直线与平面所成角为． （i）确定点的位置，并说明理由； （ii）求线段的长． 【答案】(1)证明：在正方形中，， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面，则. (2)（i）当满足时，有直线与平面所成角为， 因为平面，四边形为正方形， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 则，，， 设，，则，， 设平面的一个法向量为， 则有，即，令，则， 则平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 化简得，解得或（舍去）， 故当满足时，有直线与平面所成角为． （ii） 【分析】（1）先由线面平行的判定定理证明平面，再由性质定理得到； （2）（i）建立如图所示坐标系，求出平面的一个法向量，代入空间线面角的向量公式求解即可； （ii）设点的坐标为，由向量共线可设可得到，再根据求出，计算模长即可. 【详解】（1）略 （2）（i）略 （ii）设点的坐标为， 因为点在棱上，所以可设，即， 所以，解得，所以，， 因为是平面的一个法向量， 因为平面，所以，即，解得， 故，则，即线段的长为. 考点六 二面（面面）角的问题 21．（26-27高二上·广东东莞·阶段检测）如图，三棱柱的所有棱长均相等，平面平面，是的中点，. (1)证明：平面； (2)，P为线段上一点.若二面角的余弦值为，求的长. 【答案】(1)连接，交于点，连接，如图所示. 三棱柱的所有棱长均相等，四边形是菱形； ，是的中点； 是的中点，. ，，平面. 平面，平面. (2)1 【分析】（1）连接交于点，连结，利用棱柱性质及线面平行的判定定理完成证明； （2）结合平面平面，是等边三角形，，证明，，两两垂直，以此为基础建立空间直角坐标系，设参数表示向量，分别求出平面和平面的一个法向量，根据二面角的余弦值公式列方程，求解参数后计算的长度. 【详解】（1）略 （2）三棱柱的所有棱长均相等，是等边三角形； 是的中点，. ，，，，； 在中，，，得，即. 平面平面，平面平面， 平面. 以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图. 则，，，，； ，， 平面，平面的一个法向量为. 为线段上一点，设. 四边形是菱形，，. . 设平面的一个法向量为， 则，即，得. 令，则，，得. 设二面角的夹角为，则，解得. ，. ，即为的中点，即. 的长为. 22．（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面，为正三角形，E为的中点，，，． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) 取的中点F，连接，， 又E为的中点，则，， 因为，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以 ， 又平面，平面，所以平面． (2) 【分析】（1）取的中点F，利用中位线和题目条件可证四边形是平行四边形，即可证明，进而利用线面平行的判定定理证明即可. （2）建系，求出各个点的坐标，进而求出平面与平面的法向量的坐标，利用面面角的余弦值计算公式即可求解. 【详解】（1）略. （2）因为， 故以A为原点，，所在直线分别为x，y轴，作平面， 建立如图所示的空间直角坐标系，因为平面平面，所以z轴在平面内， 则，，，，． 所以，， ，． 设平面PAB的法向量为， 则，可取． 设平面PCD的法向量为， 则，可取， 则． 故平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为． 23．（26-27高二上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，． (1)证明：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)设中点，连接，，如图， ，，，所以， 因为，所以有，则， 因为，为中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． (2)在棱上存在点，使得平面与平面的夹角为， 为上靠近的三等分点，证明如下： 由（1）得平面，因为，平面， 则，，过作的平行线，则以为原点， 过且垂直于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系， 由题意得，则，，， 因，，则，故， 则，，， 设，由题可知， ， 设平面法向量为，则， 令，则，，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，， 因为平面与平面的夹角为， 所以， 化简得，即，又，则， 所以为上靠近的三等分点． 【分析】（1）取中点，利用面面垂直证平面，再利用线面垂直的定义证；再结合直角梯形的性质和勾股定理的逆定理证明，根据线面垂直的判定定理得到平面，最后根据面面垂直的判定定理可得结论. （2）建立空间直角坐标系，设出点M的坐标，分别求出两个平面的法向量，利用平面夹角的向量公式列式求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 24．（26-27高二上·广东·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，平面平面． (1)求证：； (2)线段上是否存在点，使平面与平面所成角大小为？若存在，找出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：在平面中，过作于． ∵平面平面，平面平面，平面， 平面． 平面， ． ， ，， ， ，即． ，平面，， 平面． 平面． ． (2)存在，点为靠近点的三等分点 【分析】（1）先通过底面角度关系证明，再结合面面垂直的性质定理，证明 平面，从而由线面垂直推出线线垂直;（2）法 1（向量法）：建立空间直角坐标系，用参数表示点的位置，分别求出两个平面的法向量，根据二面角的余弦值列方程求解参数，确定点的位置;法 2（几何法）：用等体积法求出点到平面的距离，构造二面角的平面角，结合余弦定理建立关于参数的方程，求解得到点的位置。 【详解】（1）略 （2）法1：以为原点，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系． 由（1）得：，， ，，，，． 取中点，连接，，则，． ，， ，． 平面，平面， ． ，平面，且， 平面． ， ，． 设， 则， 设平面的法向量为， 则有，即， 取，，则，则． 易知为平面的其中一个法向量． 设平面与平面的夹角为， 则， 解得（舍去）或， ∴存在这样的点，此时点为靠近点的三等分点． 法2：同法1可得平面，． 平面， ， ． 同样设，（） ，， ， ， 过作平面于，过作于， 则为平面与平面的夹角． 由体积相等得：， ，， ，，① ，② ∴由①②得：（舍去）或， ∴存在这样的点，此时点为靠近点的三等分点． 考点七 点到平面距离的问题 25．（26-27高二上·贵州黔西南·阶段检测）如图，平面，，，，，为的中点，为上一点，若，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间直角坐标系得到平面的法向量和平面外的点与平面内一点连线的方向向量，利用向量计算点到平面的距离． 【详解】平面，且，故以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系； ，，且，； 为的中点，，故，； 则，，； 设为平面的法向量，则 ，即，解得， 令，可得； 设点到平面的距离为， 则，故点到平面的距离为． 26．（26-27高二上·广东江门·阶段检测）如图，在长方体中，，点在上，且． (1)求证：平面 (2)求直线与平面所成角的正弦值 (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明：在长方体中，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 所以，得，则，而不在直线上， 因此，又平面，平面， 所以平面. (2) (3) 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，再利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解. （3）利用向量法求得点到平面的距离. 【详解】（1）略 （2）由（1）得， 设平面的法向量为， 则，，令，得，. 因为，，所以 因此， 所以直线与平面所成角的正弦值. （3）由（1）得，由（2）平面的法向量， 所以到平面的距离为. 27．（26-27高二上·山东淄博·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，、分别为，的中点，则直线到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证，推出平面，把直线到平面距离转化为点到平面的距离，再建立空间直角坐标系，求出相关点与向量，解方程组得到平面的法向量，最后代入点到平面距离公式算出结果． 【详解】如图，连接， 因为在直三棱柱中，、分别为，的中点， 所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以． 又平面，平面， 所以平面， 则点到平面的距离即为直线到平面的距离． 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系． 因为，、分别为，的中点， 所以， 则， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则， 所以平面的法向量为， 又， 所以点到平面的距离为， 则直线到平面的距离为． 28．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而面面距离转化为点面距离，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到面的距离公式进行求解. 【详解】连接，因为，，，分别为棱，，，的中点． 则，又平面平面， 所以平面， 连接，则． 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 所以平面与平面间的距离为点到平面的距离. 以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量，，， 则有，令得， 故，其中， 则点到平面的距离为. 考点八 点到直线距离的问题 29．（26-27高二上·四川资阳·阶段检测）如图，三棱柱的所有棱长都是，平面，分别为的中点， (1)求证：平面； (2)求点到直线的距离； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)平面，平面，平面平面； 为等边三角形，为中点，， 又平面平面，平面，平面， 取中点，连接，则，平面， 则以为坐标原点，为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，，， ，，， ，，， ，平面，平面. (2) (3) 【分析】（1）由等腰三角形三线合一性质可知，由面面垂直的判定与性质可证得平面，取中点，可知平面，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用向量数量积坐标运算可证得，，由线面垂直的判定可证得结论； （2）根据点到直线距离的向量法直接求解即可； （3）根据点到平面距离的向量求法直接求解即可. 【详解】（1）略 （2）由题意得，，， 所以点到直线的距离为； （3）由（1）知：平面的一个法向量为； 又，， 点到平面的距离. 30．（26-27高二上·广东广州·阶段检测）如图所示，在几何体中，四边形为直角梯形，，，底面，，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与直线所成角的余弦值； (3)求点D到直线的距离． 【答案】(1)证明：以为原点，、、的方向分别为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 由、、、、及、， 得，，，，，． 由、得， 即与平面平行， 又不在平面内，故平面． (2)； (3)． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面. （2）利用向量法求得直线与直线所成角的余弦值. （3）利用向量法求得点D到直线的距离． 【详解】（1）略 （2）由、得， ，，故， 即与所成角的余弦值为． （3）由、得，，， 则在上的投影长为， 故点到直线的距离． 31．（26-27高二上·北京平谷·阶段检测）正方体的棱长为2，点是棱的中点，点是正方形内部或边界上一点，若点满足，则点到直线距离的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量根据垂直关系确定的轨迹，再计算最值即可. 【详解】    如图所示，建立空间直角坐标系，易知， 设，则， 因为，所以，即， 可知， 所以到直线距离为 ， 所以当时，点到直线的距离取得最大值为. 32．（26-27高一上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在棱长为4的正方体中，，分别为线段，的中点，为线段上离近的四等分点． (1)求证：； (2)求点到直线的距离； (3)求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 如图所示已知正方体棱长为4，则，，，， 所以，， 因，所以． (2) (3)． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出两直线方向向量，通过向量点积为0证明两向量垂直，从而证线线垂直； （2）建立坐标系得到相关向量，利用点到空间直线的距离公式代入向量运算求解距离； （3）求出两个平面的法向量，利用二面角与法向量夹角的关系，代入向量夹角公式算出二面角的余弦值． 【详解】（1）略 （2）由题可得，，，，， 则与同方向的单位向量为， 设点到的距离为，则， 即点Ｆ到直线的距离为． （3）根据正方体性质，可知平面的法向量可取， 因, 设平面的法向量为， 则，即，故可取， 设平面与平面所成角为， 故， 即平面与平面所成角的余弦值为． 考点九 异面直线距离的问题 33．（26-27高二上·辽宁沈阳·阶段检测）（多选）如图，在棱长均为2的正三棱柱中，为的中点，则（    ） A． B．异面直线与所成角的余弦值为 C．若，分别为，上的点，则的最小值为 D．若点在底面上，且平面，则点的轨迹长度为 【答案】ACD 【详解】如图所示，取中点，连接，以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 因为正三棱柱的棱长均为2，所以， 所以，可知，即，所以A正确； 可知，所以， 设异面直线与所成的角为，则，所以B错误； 因为在上，设，可知， 在上，设，即， 解得，所以， 则，当时，取得最小值， 即，得，解得， 此时，此时，所以C正确； 如图所示，连接，因为是的中点，所以， 可知平面，平面，所以平面， 同理平面，因为，所以平面平面， 因为点在底面上，所以当在线段上时，满足平面， 所以点的轨迹长度为，所以D正确； 34．（26-27高三上·广西来宾·阶段检测）已知，，，，则异面直线与之间的距离是_____． 【答案】/ 【分析】先求异面直线与公垂线的方向向量，再求在上投影的绝对值即可. 【详解】因为，， 设异面直线与公垂线的方向向量， 则，令，可得. 又，所以在上投影的绝对值为：. 即异面直线与之间的距离是. 35．（26-27高三上·河南·开学考试）如图，在正方体中，为棱的中点. (1)求直线与所成角的余弦值； (2)当时，求异面直线与间的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可建立空间直角坐标系，将异面直线所成角转化为对应方向向量夹角的余弦值（取绝对值）求解. （2）可利用向量法，求出两异面直线的公垂线方向向量，再取两直线上任意两点连线在公垂线方向上的投影长度即为异面直线距离. 【详解】（1）以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 不妨设，则，，，，，. 记直线与所成的角为，则. （2）记为与公垂线段的方向向量， 则 即可取， 而， 记直线与间的距离为，则. 36．（2026高三·全国·专题练习）一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直．如果公共边，则异面直线与的距离是（   ） A． B．a C． D． 【答案】C 【分析】利用面面垂直的性质建立空间直角坐标系，通过异面直线方向向量的公垂线方向向量与两直线上点连线的投影计算距离. 【详解】∵ 平面平面，平面平面，平面，， ∴ 以为坐标原点，分别以的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，在平面内以过且垂直于的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系. 由，为等腰直角三角形，，可得各点坐标： . ∴ 直线的方向向量，简化为. 直线的方向向量，简化为. 设异面直线与的公垂线的方向向量为， 则，即. 令，则，得，其模长. 取直线上一点，直线上一点，得向量. ∴ 异面直线与的距离. 【点睛】方法归纳：利用空间向量求异面直线距离的步骤：1. 建立合适的空间直角坐标系，写出对应点坐标；2. 求出两条异面直线的方向向量；3. 求出与两个方向向量都垂直的公垂线方向向量；4. 取两直线上任意两点的连线向量，计算该向量在公垂线方向向量上的投影的绝对值，即为异面直线的距离. 考点十 立体几何中探究性问题 37．（26-27高二上·天津河北·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，是的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明：连接，交于点，连接，点是的中点，点是的中点， 所以，平面，平面，所以平面. (2) (3)存在，的长为或 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积公式求解二面角. （3）假设在棱上存在一点使得，且，即可求出，利用向量的夹角公式列出关于的方程求解即可. 【详解】（1）略. （2）以为坐标原点，以，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，所以，. 设平面的法向量， 则，令，则，， 所以平面的法向量， 平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 所以， 即平面与平面夹角的正弦值为. （3）由题，，，， 则，， 假设存在这样的点，设， 则， 由（2）知平面的法向量， 设直线与平面的夹角为， 则， 整理得，所以，解得或， 当时，；当时，， 故存在一点满足条件，线段的长为或. 38．（25-26高一下·四川成都·阶段检测）如图，在四棱锥中 ，，，平面，  ，为的中点． (1)设平面与平面的交线为直线，求证：； (2)求证：平面； (3)平面内是否存在一点，使平面？   若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)如下图：取的中点为，连接. 因为为的中点，所以且. 因为，，所以，又因为，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面，又因为平面平面，所以. (2)因为平面，，所以两两互相垂直，如图，分别以所在方向为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为，则，令得，. ，所以，所以平面. (3)存在，即（是的中点）的中点. 【分析】（1）先用线面平行的判定定理证明线面平行，再用线面平行的性质定理证明线线平行； （2）建立空间直角坐标系，求出直线方向向量和平面法向量即可证明线面垂直； （3）用向量法假设存在并且求出具体的点. 【详解】（1）略. （2）略. （3）平面内存在点，即（是的中点）的中点，使平面. 证明过程如下： 设平面内一点，由（2）可知，， 设平面的一个法向量为，则，令得， 若平面，则，即，解得， 所以平面内存在点，使平面. 39．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，，底面为直角梯形，其中，，． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求锐二面角的余弦值； (3)线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）依题意可得侧面，建立空间直角坐标系，利用求解； （2）因为侧面，所以平面的一个法向量为，求出平面的一个法向量为， 利用求解； （3）设，求出，利用点到平面的距离公式求解. 【详解】（1）因为侧面底面，侧面底面，， 底面，所以侧面， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系， 因为，所以、、、， 因为侧棱，，所以，所以， 所以，故， 所以，，， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为. （2）因为侧面，所以平面的一个法向量为， ，，设平面的一个法向量为， 则，即，令，可得. ，故锐二面角的余弦值为. （3）若存在，设，，则， 平面的一个法向量为，， 点到平面的距离为，， 解得，此时，即. 40．（26-27高二上·安徽淮南·阶段检测）（多选）如图，长方形，的长，宽，且它们所在的平面互相垂直，点，分别在长方形对角线，上移动，且和的长度保持相等．记（），是线段上一点，则（    ） A．当时，的长为 B．长度的最小值为 C．三棱锥与三棱锥的体积相等 D．存在，使得直线与所成角的正弦值为 【答案】AC 【分析】建立空间直角坐标系求出坐标，代入已知条件算出向量，直接求向量模长，判断选项A；写出长度关于的表达式，转化为二次函数求最小值，判断选项B；利用等体积法转换顶点，分析到平面距离相等，结合同底判断三棱锥体积相等，判断选项C；求出两直线方向向量，利用线线角的正弦公式列方程，通过一元二次方程判别式判断解是否存在，判断选项D． 【详解】已知长方形，的长，宽，且它们所在的平面互相垂直， 以为坐标原点建立下图所示空间直角坐标系， 则， ， ，，故， ，，则，； 选项A：时，，， 故A正确； 选项B：， 二次函数开口向上，对称轴为， 故最小值， ，故B错误； 选项C：，平面中，即， 点横坐标为，点横坐标为， 则上所有点P横坐标都是，故到平面的距离都是， 同底且高相等，故，故C正确； 选项D：， 设夹角为，则 ，， ， 化简整理得，即， ，方程无实根，不存在这样的，故D错误． 1．（26-27高二上·河南新乡·阶段检测）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则下列说法正确的是（    ） A．直线平面 B．直线平面或 C．直线l与平面所成角为 D．直线l与平面的垂线平行 【答案】B 【详解】因为直线的方向向量为，平面的法向量为，且， 所以直线平面或. 2．（26-27高二上·陕西汉中·阶段检测）已知空间中三点，，，则下列结论正确的是（ ） A．与是共线向量 B．与共线的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 【答案】C 【分析】由空间向量的坐标运算即可判断AB；由空间向量夹角坐标公式，计算即可判断C，由平面法向量的计算公式，计算即可判断D. 【详解】对于A，， 因为，则与不共线，故A错误； 对于B，与共线的单位向量为，故B错误； 对于C，，所以， 所以与夹角的余弦值是，故C正确； 对于D，设为平面的法向量， 则，取，则， 所以，平面的一个法向量是，故D错误. 3．（26-27高二上·浙江台州·阶段检测）如图，正方体的棱长为1，动点M在线段上，动点P在平面上，且平面，则线段长度的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意建立对应的空间直角坐标系，设，，，再根据空间向量垂直的坐标表示得到，从而得到，进而根据二次函数的性质即可求出其取值范围． 【详解】以D为坐标原点，以，，所在的直线为轴，轴，轴建立如下空间直角坐标系， 依题意设，，， 则，，，， 则，，， 因为平面，则，解得， 则，所以， 又函数，是开口向上，且对称轴为的二次函数， 又，则其在时取最小值，且最小值为；在，或时取最大值，且最大值为， 所以线段长度的取值范围为． 4．（26-27高二上·上海黄浦·阶段检测）如图所示，正方体的棱长为2，L、M、N分别为棱AB、、AD的中点，线段上有两个动点E、F，且，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C．平面 D．的面积与的面积相等 【答案】B 【分析】A选项，计算和，判断两者关系，即可得到和关系； B选项，计算和，判断两者关系，即可得到和关系； C选项，计算平面法向量，分析和法向量是否垂直； D选项，分析E、F到距离是否相等. 【详解】 如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，； A选项，，，因为动点E、F在上，所以， 因为与不平行，所以和不平行，所以A选项错误； B选项，，因为，，所以， ，所以，则，所以B选项正确； C选项，，，设平面的法向量为， 则，即：，令，得，，即：， ，因为，所以与平面LMN不平行，所以C选项错误； D选项，不妨设动点在上，且，计算可得，则， ，， 所以点到距离为， 则， 所以是关于的函数，当两个动点E、F在线段上移动时， 若点确定，则点确定，但是无法保证两者到的距离相等，所以无法保证面积相等，所以D选项错误. 5．（2026·广西南宁·一模）如图，已知正方形是圆柱的轴截面，底面圆上的中点为，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正方形边长为，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出两条异面直线的方向向量，利用向量夹角公式计算向量夹角余弦，再取绝对值得到异面直线所成角的余弦值． 【详解】 设正方形边长为，建立空间直角坐标系，底面圆心为原点，在轴，， 因为是的中点，所以， ，， 所以， 因为异面直线所成角的范围为， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 6．（26-27高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知正方体的外接球表面积为，M是棱CD的中点，将过点M且以为法向量的平面记为平面，则点A到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出正方体棱长，建立空间直角坐标系，再用点到平面的距离公式计算即可. 【详解】设正方体外接球半径为，由外接球表面积公式，解得， 正方体的体对角线长等于外接球直径，设正方体棱长为，则，得， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 得，，，中点，故， 又平面α的法向量是， 所以点到平面α的距离为 . 7．（26-27高二上·河南·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，点在上，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点与向量坐标，利用方程组求出平面的法向量，再由向量关系确定点坐标得到坐标，用点到平面的向量距离公式求解. 【详解】如图，以点为原点，AB，AD，AP所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，所以. 设，平面PBD的法向量为，则所以 令，则，所以是平面的一个法向量. 又，所以，解得， 即，则， 所以点到平面PBD的距离为. 8．（26-27高二上·辽宁本溪·阶段检测）如图，已知矩形，将沿对角线翻折至，使二面角大小为，则与平面所成角的正切值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法一：建立空间直角坐标系，用向量的方法求线面角的正弦值，进而可得正切值；解法二：设在平面上的射影为，通过线段的计算判断为中点，进而为与平面所成的角，再由等腰直角三角形可得所求角的正切值. 【详解】解法一：分别作直角和直角的高线和， 因为矩形中，，所以. 再由等面积法：，得. 由勾股定理得，所以. 如图，以为原点，平面为平面，方向为轴正方向建立空间直角坐标系, 因为轴，所以平面，所以就是二面角的平面角，所以. 所以，，平面的法向量取， 设与平面所成的角为（）， 则， 因为，所以. 因此与平面所成角的正切值为. 解法二： 分别作直角和直角的高线和， 因为矩形中，，所以. 再由等面积法：，得. 由勾股定理得，所以 ，且，， 所以 ， 所以. 设在平面上的射影为，则平面， 因为平面，所以. 又因为，，且，平面， 所以平面，而平面，所以， 因此为二面角的平面角，所以， 所以，且，即为的中点，所以为中点. 因此为与平面所成的角， 在中，，所以 因此为等腰直角三角形，所以. 因此与平面所成角的正切值为. 9．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）（多选）已知，是两个不同的平面，直线的一个方向向量为，且，则下列结论正确的是（     ） A．是的一个法向量 B．是的一个单位法向量 C．若是的一个法向量，则 D．若直线，则是的一个方向向量 【答案】AB 【分析】由直线 垂直平面 ，确定直线 的方向向量 即为平面 的法向量；选项 A、B，先根据与平面法向量共线的向量仍是该平面的法向量，再结合向量模长判断是否为单位法向量；选项C，利用两平面平行的充要条件是法向量共线，检验两个法向量之间是否存在数乘关系；选项D，通过向量点积判断该向量与平面法向量垂直，得到向量平行于平面，同时辨析概念，向量平行于平面并不代表平面内任意直线都以该向量作为方向向量. 【详解】，是的方向向量， 为平面的一个法向量， ， 选项 A：，与 共线， 是平面的一个法向量， 正确； 选项 B：，与 共线， ，模长为 1， 是 的一个单位法向量， 正确； 选项 C：若 是 的一个法向量，则，即两法向量共线， 假设，即：， ，方程组无解，与不共线，故 与 不平行， 错误； 选项 D：若直线，则是的一个方向向量， ， ∴，说明 平面 ， 但平面 内有无数条方向不同的直线，不能说任意 都以为方向向量， 错误. 10．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）（多选）如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，，，是中点，下列命题正确的是（） A． B． C．二面角的余弦值为 D．三棱锥的体积为 【答案】ACD 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，设，，结合已知条件求得，再依次讨论各选项即可求得答案; 【详解】由题意，，因为为等腰直角三角形且， 所以，又，， 以为原点，的方向分别为轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则， 设，由，， 由，得， 由，得， 由，得， 所以， 选项A：，，， 所以，故选项A正确； 选项B：是中点，则，， ，，故选项B错误； 选项C：平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，，， 由，取，则，， 所以， 由图可知，二面角为钝角，（在底面的投影与位于直线()的异侧），所以其余弦值为负， 所以其余弦值为，故选项C正确； 选项D：三棱锥的高，底面面积， 体积，故选项D正确. 11．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）（多选）如图，平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD 是边长为1的菱形，且 CA₁⊥平面C₁BD， 则（    ） A．BD⊥CC₁ B．BD₁与AC所成角的余弦值为 C． D．平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积为 【答案】ABD 【分析】先证线面垂直，再由线面垂直得到线线垂直，可判断A选项，以为基底，表示出和，利用向量法可求得与所成角的余弦值，可判断B选项，用基底表示出，再根据可求得，可以判断C选项，先求出，再求出平行六面体的高，再根据体积公式计算的体积. 【详解】 连接，平面，, 又为菱形，， 平面，且，平面， 又平面，，A选项正确. 记，由题意，，，， ，， 平面，，， 整理得，得，可得, ，， ， ， 记与所成角为，则，B选项正确. ，，C选项错误. 易知在平面上的射影在上， 设平行六面体的体积为，高为， ，， ，D选项正确. 12．（26-27高二上·青海西宁·阶段检测）已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则__________. 【答案】 【详解】平面的一个法向量，平面的一个法向量， 若，则， 所以，解得， 所以． 13．（26-27高三上·湖北·阶段检测）如图，在长方体中，，，，点E，F分别在，上，且，，则平面与平面夹角的余弦值为__________．    【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求面与面的夹角余弦值. 【详解】以A为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系， 则， 平面的一个法向量， 设平面的法向量为， ， 则有 令，则，所以. 则， 即平面与平面夹角的余弦值为.    14．（26-27高二上·北京朝阳·阶段检测）菱形的边长为，，为的中点（如图1），将沿直线翻折至处（如图2），连接，，若四棱锥的体积为，点为的中点，则到平面的距离为______． 【答案】 【分析】先利用菱形与翻折几何性质，结合四棱锥体积得到平面，建立空间直角坐标系；求出平面的法向量，再用空间向量点到平面距离公式计算到平面的距离. 【详解】连接，因为四边形为菱形，且，所以为等边三角形， 因为 E为AB的中点，所以，所以， 因为，平面，所以 平面， 因为菱形的边长为4，所以， 所以直角梯形的面积为， 设四棱锥的高为，则，得， 所以，所以平面， 所以以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 所以，， 设平面的法向量为，则， 取得，， 所以F到平面的距离为. 15．（25-26高一下·四川成都·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，E为棱上一点，且. (1)求证：平面； (2)求点E到平面的距离； (3)在棱上是否存在点Q（不与C，P重合），使得直线与平面所成角的正弦值为，若不存在，说明理由，若存在，求出的值. 【答案】(1)如下图，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，由题意可知，，，，，因为，所以，可得. 则，，，，， ，，平面， 平面. (2)2. (3)在棱上存在点Q使得直线与平面所成角的正弦值为，. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，得出，，的坐标，可计算出，，则可知，，进而根据线面垂直的判定定理可证明出平面. （2）计算出的坐标，求出平面的一个法向量，直接利用点面距离公式计算即可求出点E到平面的距离. （3）设，写出Q点坐标，得到向量，由（1）已知是平面的法向量，利用线面角公式列方程进而解出，再检验是否符合题意即可. 【详解】（1）略. （2）由（1）可得，，， 设平面的一个法向量，， 令，可得，，. . 所以点E到平面的距离为2. （3）设，，由（1）知，则 ，. 因为，可得， 因为，则. 由（1）知是平面的一个法向量，直线与平面所成角满足： ， 已知， ， ， 则有， 平方可得，，， 解得（舍去，与C重合）或. 所以在棱上存在点Q使得直线与平面所成角的正弦值为，. 16．（26-27高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，.是的中点，是的中点. (1)求证平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1) 因为 平面 ABCD，，所以以 为原点，分别以 、、 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向，建立空间直角坐标系. 由 ，，且 ，得各点坐标： 由 为 的中点， 为 的中点，得     因为     故 与这两个向量共面；又 平面 ， 因此 平面 . (2) (3) 【分析】(1)由 底面且 ，三条棱两两垂直，适合建系；把待证直线的方向向量表示为平面内两个不共线向量的线性组合，由共面条件证线面平行； (2)分别求两平面的法向量，用法向量夹角公式求二面角的余弦； (3)用“平面内一点与该点连成的向量在法向量上的投影绝对值”求点到平面的距离. 【详解】（1）略 （2）设平面 的法向量为 ，由 ，， 即： ，取 则 设平面 的法向量为 .在该平面内取 ，， 即： ，取 则 设两平面所成二面角为 ，则 （3）平面 过点 ，其法向量为 ，又 ，故点 到平面 的距离 【点睛】三线两两垂直时建系是通法：线面平行看“方向向量能否被平面内两向量线性表示”，二面角与线面角、点面距离都归结为法向量的夹角与投影. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $