第01讲 空间向量及利用向量法证明平行垂直问题期中复习讲义（5大知识点+8大题型归纳+测试）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第01讲 空间向量及利用向量法证明平行垂直问题 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一：空间向量及其加减运算 3 知识点二：空间向量的数乘运算 3 知识点三：空间向量的数量积运算 4 知识点四：空间向量的坐标运算及应用 5 知识点五：法向量的求解与简单应用 6 03 题型精讲 7 题型一：空间向量的线性运算 7 题型二：空间向量模长、数量积与夹角运算 9 题型三：空间向量坐标运算 13 题型四：空间向量平行垂直的坐标判定 15 题型五：三点共线判定问题 16 题型六：四点共面判定问题 18 题型七：向量法证明空间平行 20 题型八：向量法证明空间垂直 26 04 过关测试 31 知识点一：空间向量及其加减运算 （1）空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或． （2）零向量与单位向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记作．当有向线段的起点与终点重合时，． 模为1的向量称为单位向量． （3）相等向量与相反向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量． 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为． （4）空间向量的加法和减法运算 ①，．如图所示． ②空间向量的加法运算满足交换律及结合律 ， 知识点二：空间向量的数乘运算 （1）数乘运算 实数与空间向量的乘积称为向量的数乘运算．当时，与向量方向相同；当时，向量与向量方向相反．的长度是的长度的倍． （2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 ，． （3）共线向量与平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，平行于，记作． （4）共线向量定理 对空间中任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使． （5）直线的方向向量 如图8-153所示，为经过已知点且平行于已知非零向量的直线．对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使①，其中向量叫做直线的方向向量，在上取，则式①可化为② ①和②都称为空间直线的向量表达式，当，即点是线段的中点时，，此式叫做线段的中点公式． （6）共面向量 如图8-154所示，已知平面与向量，作，如果直线平行于平面或在平面内，则说明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量． （7）共面向量定理 如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使． 推论：①空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任意一点，有，该式称为空间平面的向量表达式． ②已知空间任意一点和不共线的三点，，，满足向量关系式（其中）的点与点，，共面；反之也成立． 知识点三：空间向量的数量积运算 （1）两向量夹角 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作． （2）数量积定义 已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，． （3）空间向量的数量积满足的运算律： ，（交换律）； （分配律）． 知识点四：空间向量的坐标运算及应用 （1）设，，则； ； ； ； ； ． （2）设，，则． 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标． （3）两个向量的夹角及两点间的距离公式． ①已知，，则； ； ； ； ②已知，，则， 或者．其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式． （4）向量在向量上的投影为． 知识点五：法向量的求解与简单应用 （1）平面的法向量： 如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量． 几点注意： ①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有． 第一步：写出平面内两个不平行的向； 第二步：那么平面法向量，满足． （2）判定直线、平面间的位置关系 ①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，． 若∥，即，则； 若，即，则． ②直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且． 若∥，即，则； 若，即，则． （3）平面与平面的位置关系 平面的法向量为，平面的法向量为． 若∥，即，则；若⊥，即，则⊥． 题型一：空间向量的线性运算 【典例1】（26-27高二上·江西·期中）如图，正三棱柱的各棱长都为，、分别为、的中点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】、分别为、的中点，若，，， . 【变式1-1】（25-26高二下·广东·期中）四面体中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，由，得， 由，得， 所以. 【变式1-2】（25-26高二下·广西南宁·期中）在三棱柱中，是的中点，，则用向量，，表示向量应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在三棱柱中，由，得，由点是的中点，得， 所以 . 【变式1-3】（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，空间四边形中，点和点分别在和上，且满足，则下列向量与是共线向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，由，得， 所以， 对于A，假设共线，则，无解，A错误； 对于B，， 所以与共线，B正确； 对于C，假设共线，则，无解，C错误； 对于D，假设共线，则，无解，D错误； 题型二：空间向量模长、数量积与夹角运算 【典例2】（多选题）（25-26高二上·广东汕头·期中）如图，在平行六面体中，，，，为与的交点，若，，，则下列正确的是（   ） A． B．的长为 C． D． 【答案】ACD 【解析】由题意可知，所以A正确； 由题意可知， 所以，所以B错误； 由题可知， 则， 即，则，所以C正确； 由题可知，则， ， 所以，所以D正确； 故选：ACD. 【变式2-1】（多选题）（25-26高二上·广西柳州·期中）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，设，下列选项正确的是（   ） A． B．长为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D． 【答案】ABD 【解析】由题意可知：，，， 对于选项A：因为，故A正确； 对于选项B：因为， 即，所以长为，故B正确； 对于选项C：因为，且， 可得 可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故C错误； 对于选项D：因为， 且， 则， 所以，故D正确； 故选：ABD. 【变式2-2】（多选题）（21-22高二上·山东·阶段检测）如图所示，平行六面体，其中，，，，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．向量与的夹角是45° D．与所成角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】对A，，则 ， 所以，A正确； 对B， ，所以，B正确； 对C，因为，若与的夹角是45°，则与的夹角是45°，即，易知，显然不成立，C错误； 对D，，， ， ， ， 所以，， 于是与所成角的余弦值为，D正确. 故选：ABD. 【变式2-3】（多选题）（25-26高二上·浙江·期中）如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是60°，则下列说法中正确的是（   ）    A． B． C．与所成角的余弦值为 D．在方向上的投影向量是 【答案】AD 【解析】A选项，，，则，A正确； B选项，，B错误； C选项，， ， ，C错误； D选项，在方向上的投影向量为，D正确； 故选：AD. 题型三：空间向量坐标运算 【典例3】（多选题）（25-26高二下·河南许昌·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．是直线的一个方向向量 C． D．若点是点在平面内的射影，则 【答案】AB 【解析】对于A，，，因为， 则，解得，故A正确； 对于B，，，则是直线的一个方向向量，故B正确； 对于C，，则，故C错误； 对于D，易知点在平面内的射影为， 可知，所以，故D错误. 【变式3-1】（多选题）（25-26高二下·江苏盐城·阶段检测）已知向量，，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．不存在实数，使得 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【解析】选项A， 根据空间向量模长公式，若，则， 得，即，故A错误； 选项B， 若存在实数使得，则对应坐标成比例 ， 由解得，此时矛盾，因此不存在这样的，故B正确； 选项C ，若，则，计算得 令，得，故C错误； 选项D， 若，即，得， 此时，符合结论，故D正确. 【变式3-2】（多选题）（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知空间向量则下列说法不正确的是（   ） A． B． C．与夹角余弦值为 D． 【答案】BC 【解析】对于A，因为，故， 故，故A正确. 对于D，， 故即，故D正确. 对于B，，故B错误. 对于C，，,， 故，故C错误. 【变式3-3】（多选题）（25-26高二上·河南开封·期末）已知空间向量，，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为钝角，则 【答案】AB 【解析】对于A，由， 则，即，解得，故正确； 对于B，若，显然与不共线， 若，与共线，则， 解得，故正确； 对于C，因为在上的投影向量为， 所以，即，解得或，故错误； 对于D，若与夹角为钝角，可得，且与不共线， 则，解得，且，即， 所以，故错误， 故选：AB. 题型四：空间向量平行垂直的坐标判定 【典例4】（26-27高二上·福建·期中）已知向量，若，则______． 【答案】/ 【解析】由题意可得，因为， 所以 ，解得， 所以. 【变式4-1】（25-26高二上·陕西西安·期中）已知空间向量，，且，则实数的值为______． 【答案】 【解析】由题意，， 因为，所以，即， 化简可得，所以. 故答案为：. 【变式4-2】（25-26高二上·福建厦门·期中）已知向量，，若与共线，则的值为________． 【答案】 【解析】因为向量与共线， 所以，解得. 故答案为： 【变式4-3】（25-26高二上·四川成都·期中）若向量，夹角为钝角，则m的取值范围为_________. 【答案】 【解析】因为与夹角为钝角，所以与不共线，且， 若与共线，则，解得，故， 由可得，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 题型五：三点共线判定问题 【典例5】（25-26高二上·上海·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则的值为______． 【答案】； 【解析】因为，且三点共线， 所以存在实数，使得， 即，解得． 故答案为：. 【变式5-1】（25-26高二上·北京·期中）已知空间中三点与不重合，则使三点共线一个点的坐标可以是___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】因为 所以，， 当三点共线时，（） 所以，即， 因为与不重合，所以且， 假设，则， 所以使三点共线一个点的坐标可以是. 故答案为：（答案不唯一）. 【变式5-2】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知，，三点共线，则______________. 【答案】26 【解析】由题意，，因为，所以， 所以，，所以. 故答案为： 【变式5-3】（24-25高二上·四川南充·期中）设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且 三点共线，则实数___________． 【答案】 【解析】因为，已知，， 所以. 因为，，三点共线，所以与共线，即存在实数，使得. 已知，，则. 根据向量相等的性质，对于和前面的系数分别相等，可得. 由，解得，又因为，所以. 故答案为：. 题型六：四点共面判定问题 【典例6】（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知四棱锥，底面是平行四边形，为的中点，经过直线的平面与侧棱分别交于点．设，．若，则______． 【答案】/0.6 【解析】 连接交于点，因为底面ABCD是平行四边形， 所以为的中点， 由平行四边形法则可得：， 故， 又，， 得，， 又Q为PA的中点，， 所以， 由题意共面， 所以， 解得. 【变式6-1】（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知是空间的一组基，向量，且四点共面，则__________. 【答案】1 【解析】因为四点共面，所以存在实数m，n，使得， 因为， 所以， 则，解得. 故答案为：1 【变式6-2】（25-26高二上·上海·期末）已知空间中四个点，，若四点共面，则实数为_______. 【答案】/4.5 【解析】因为，， 所以. 若四点共面，则有向量共面， 即存在唯一的有序实数对，使得， 即， 所以，解得，所以实数为. 故答案为： 【变式6-3】（25-26高二上·广东江门·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则________.    【答案】 【解析】由题知，设，则， 又，且 ， 因为，，，四点共面，所以， 即， 又因为，则，即， 所以， 所以， 所以 ， 所以，解得， 故，所以，所以. 故答案为： 题型七：向量法证明空间平行 【典例7】（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知正方体的棱长为 2，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系． (1)写出点，，的坐标； (2)求平面的一个法向量； (3)证明：直线平面． 【解析】（1）根据题意，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 且正方体的棱长为，所以，，. （2）因为，，， 所以，，设平面的法向量为， 所以，得， 令，所以，所以平面的一个法向量为. （3）由（1）可知，，所以， 由（2）可知，平面的法向量为， 所以，所以，因为平面， 所以直线平面. 【变式7-1】（24-25高二上·重庆·期中）已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.          (1)求证：； (2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1） 取的中点，连接， 因为矩形ABCD，，， 所以， 由为CD中点，所以， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 由为的中点，为四边形的中位线，， 所以，又平面，， 所以平面， 由平面，所以. （2） 作平面，以为原点，以所在直线为建立空间直角坐标系， 由（1）得为四边形的中位线，所以， 由得，，， 所以， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设点存在，，， 所以，所以， 由平面得， 所以，解得， 即，所以 所以存在点N，使得平面ADM，. 【变式7-2】（24-25高二上·福建福州·期中）在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）证明：∵面面，面面， ，面， ∴面， ∵面， ∴， 又，，面，面 ∴面. （2）取中点为，连结， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵面面，面面， 两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 易知，，，， 则，，，， 设为面的法向量，令. 则 假设存在点使得面， 设，， 又，，，， 有∴ ∵面，为的法向量， ∴，即，得 综上，存在点，即当时，点即为所求. 【变式7-3】（23-24高二上·福建福州·期中）如图，在长方体中，E，M，N分别是，，的中点，，.    (1)求证：∥平面； (2)试确定直线与平面的交点F的位置，并求的长. 【解析】（1）证明如下： 如图，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以 由题意知是平面的一个法向量， 因为， 所以， 因为平面， ∴∥平面， （2）由已知，得点F在直线上， 因为直线与z轴平行，可设，，.. 又点F在平面内，所以存在实数，，使得， 即，整理得，所以， 解得，所以， 故F是棱上靠近点B的一个三等分点，且. 题型八：向量法证明空间垂直 【典例8】（25-26高二下·江苏南通·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，且 (1)求证： (2)当的值为多少时，平面？请给出证明. 【解析】（1）设，，， 因为底面 是菱形， 所以，且， . 由题知 ，且 ，因此 ， 即，故. （2）当时， 平面 ，证明如下： 设 ，，则 ，， ， ， 因为底面是菱形，所以， 又因为，平面，，所以平面， 因为平面，所以 . 若 平面 ，需满足 ， ，，令 ，即 ， 展开整理： ，代入 ，得 ： ， 由于 ，，因此 ，即 . 此时 且 ，，平面 ， 故 平面 . 【变式8-1】（25-26高二上·山东济宁·期中）棱长为2的正方体中，为的中点，为中点，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【解析】（1）证明：以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 法一：， 设平面的一个法向量为，由， 取，得，所以，故， 又平面，所以平面； 法二：，所以，故， 又平面，平面，所以平面； （2）证明：由（1）知， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 由，得，故平面平面. 【变式8-2】（25-26高二上·江苏无锡·期中）如图，在平行六面体中，，，．    (1)求的长； (2)求证：直线平面． 【解析】（1）以，，为空间向量的基底， 则， 则； （2）证明：由， 所以， 所以，即， 又， 所以， 所以，即， 又，，平面， 所以直线平面. 【变式8-3】（25-26高三上·安徽·期中）如图，在直四棱柱中，，，，，是的中点，是上的一个动点，点在上，且满足． (1)证明：． (2)证明：平面平面． (3)试问：是否存在，，，四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1） 如图，过点作，交于点，以，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，． 又为的中点，点在上，且满足，则 ，，，， , 所以， 所以． （2）由（1）知，， 设为平面的法向量， 则， 令，得平面的一个法向量． ，， 设为平面的法向量， 则， 令，得平面的一个法向量 因为， 所以， 所以平面平面． 即平面平面． （3）假设存在，，，四点共面，即点在平面内，则． 又（，），，，， 所以， ， 解得． 又因为，，三点共线，所以，所以，， 故存在，，，四点共面，且，即． 因为， 所以，即的值为2． 1．（26-27高二上·浙江·期中）如图，在平行六面体中，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 又，，，， ， 。 2．（26-27高二上·北京·期中）已知空间向量，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】因为， 则， 所以. 3．（26-27高二上·北京·期中）已知向量，，且，则（    ） A． B．2 C．4 D．6 【答案】A 【解析】由， 因为，， 所以由. 4．（26-27高二上·北京·期中）已知，，则是（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° 【答案】C 【解析】由题意可得， 因为，故. 5．（26-27高二上·北京·期中）已知向量，，且，那么 （    ） A． B．6 C． D．12 【答案】A 【解析】因为 ，，且， e则存在，满足，即 也即，解得， 则 ，故. 6．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【解析】对于A，因为，所以，，共面； 对于B，因为，所以，，共面； 对于C，因为，所以，，共面； 对于D，假设三个向量共面，则存在实数，使得成立， 由空间向量基本定理得：， 方程组无解，所以，，不共面. 7．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】向量在向量上的投影向量为. 8．（26-27高二上·河北保定·期中）在三棱锥中，．，，若点在棱上，且，是中点，是中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，因是中点，则， 又因是中点，则， 因点在棱上，且， 则， 故. 9．（多选题）（26-27高二上·福建·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ABD 【解析】对于A，假设，，共面，则存在不全为0的实数，使得， 因为为空间的一个基底，所以 ，该方程组无解，假设不成立， 所以，，不共面，能构成空间的一个基底； 对于B，假定向量，，共面，则存在不全为0的实数，使得， 该式显然不成立，所以向量，，不共面，能构成空间的一个基底； 对于C，假设，，共面，则存在不全为0的实数，使得，则 ，解得 ， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底； 对于D，若，，共面，则存在不全为0的实数，使得，则 ，该方程组无解， 所以，，不共面，能构成空间的一个基底． 10．（多选题）（26-27高二上·山东·期中）下列说法正确的是（ ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．直线l的方向向量，平面α的法向量，则 C．已知三向量，，共面，则 D．若，则为钝角 【答案】AC 【解析】选项，对于空间向量，若， 空间中任意两个向量均是共面的，即、均共面， 所以一定共面，故正确； 选项，因为，所以与不平行， 故不成立，故错误； 选项，已知三向量，，共面， 则存在实数，使得， 得， 得 ，解得 ，故正确； 选项，当反向共线时，也有，但此时不是钝角，故错误. 11．（多选题）（25-26高二下·江苏常州·期中）如图，在棱长均为的平行六面体中，底面是正方形，且，设，，，下列选项正确的是（    ）    A． B．长为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为 【答案】ACD 【解析】选项A，，所以，正确. 选项B，， 所以，错误. 选项C，，且， 所以，正确. 选项D，因为，，所以为等腰直角三角形. 取中点，因为，所以该外接球是以为球心，. 对于锥体的体积， 因为投影落在上，所以， 所以到面的距离. 因为， 所以，解得. 所以截面半径， 所以，正确. 12．（26-27高二上·山东·期中）如图所示，在棱长均为的平行六面体中，，点为与的交点，则的长为____. 【答案】 【解析】根据向量加法三角形法则得， 即，即，展开得到， ， 运用数量积公式计算得到. 因为，所以. 13．（26-27高二上·山东·期中）两个非零向量，定义．若，则_____． 【答案】 【解析】因， 则， 由， 因，则， 所以. 14．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图所示，四面体ABCD的体积为V，点M为棱BC的中点，点E为线段DM上靠近D的三等分点，点F为线段AE上靠近A的三等分点，过点F的平面与棱AB，AC，AD分别交于P，Q，R，设四面体APQR的体积为V'，则的最小值为____. 【答案】 【解析】因为点分别为的三等分点， 所以， 又因为为中点，所以， 又，所以， 令，，，显然都为正数， 则， 因为四点共面，所以， 当且仅当时取等号，故， 设点到平面的距离为，则点到平面的距离为， 因为，， 所以， 所以的最小值为. 15．（26-27高二上·北京·期中）已知向量，，，计算下列各式的值． (1)； (2)； (3). 【解析】（1）因为向量，，所以， 故. （2）因为向量，，所以， 故. （3）因为向量，，所以. 16．（26-27高二上·山东·期中）已知，，，，，求： (1)的值； (2)与夹角的余弦值. 【解析】（1）因为，所以，解得，， 所以，， 又，则，即，解得， 于是，则. （2）由（1）得，， 设与的夹角为，所以， 所以与夹角的余弦值为. 17．（25-26高二上·广东湛江·期中）在长方体中，已知，以点为原点，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立如图的空间直角坐标系，点是线段上靠近点的一个三等分点，点，设． (1)求证：； (2)在图中标出点的位置，连接，请用含有，，的表达式表示向量； (3)求的面积． 【解析】（1）证明：由点是线段上靠近点的一个三等分点得， 由题意得， 因此， 而，因此，即； （2）点的位置如图所示，则点为的中点， 连接，由题意得 ， 所以. （3）设，由（1）得， 则， 因此，， 所以的面积 18．（25-26高二上·广东湛江·期中）已知空间中三点． (1)求； (2)求向量在向量上的投影向量的坐标； (3)若点在平面内，求的值． 【解析】（1）由可得， 故； （2）易得，又， 且， 则向量在向量上的投影向量为； （3）因为点在平面上，故存在，使得， 即， 又因，对照可得， 解得．故． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 空间向量及利用向量法证明平行垂直问题 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一：空间向量及其加减运算 3 知识点二：空间向量的数乘运算 3 知识点三：空间向量的数量积运算 4 知识点四：空间向量的坐标运算及应用 5 知识点五：法向量的求解与简单应用 6 03 题型精讲 7 题型一：空间向量的线性运算 7 题型二：空间向量模长、数量积与夹角运算 8 题型三：空间向量坐标运算 10 题型四：空间向量平行垂直的坐标判定 11 题型五：三点共线判定问题 11 题型六：四点共面判定问题 11 题型七：向量法证明空间平行 12 题型八：向量法证明空间垂直 13 04 过关测试 16 知识点一：空间向量及其加减运算 （1）空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或． （2）零向量与单位向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记作．当有向线段的起点与终点重合时，． 模为1的向量称为单位向量． （3）相等向量与相反向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量． 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为． （4）空间向量的加法和减法运算 ①，．如图所示． ②空间向量的加法运算满足交换律及结合律 ， 知识点二：空间向量的数乘运算 （1）数乘运算 实数与空间向量的乘积称为向量的数乘运算．当时，与向量方向相同；当时，向量与向量方向相反．的长度是的长度的倍． （2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 ，． （3）共线向量与平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，平行于，记作． （4）共线向量定理 对空间中任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使． （5）直线的方向向量 如图8-153所示，为经过已知点且平行于已知非零向量的直线．对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使①，其中向量叫做直线的方向向量，在上取，则式①可化为② ①和②都称为空间直线的向量表达式，当，即点是线段的中点时，，此式叫做线段的中点公式． （6）共面向量 如图8-154所示，已知平面与向量，作，如果直线平行于平面或在平面内，则说明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量． （7）共面向量定理 如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使． 推论：①空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任意一点，有，该式称为空间平面的向量表达式． ②已知空间任意一点和不共线的三点，，，满足向量关系式（其中）的点与点，，共面；反之也成立． 知识点三：空间向量的数量积运算 （1）两向量夹角 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作． （2）数量积定义 已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，． （3）空间向量的数量积满足的运算律： ，（交换律）； （分配律）． 知识点四：空间向量的坐标运算及应用 （1）设，，则； ； ； ； ； ． （2）设，，则． 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标． （3）两个向量的夹角及两点间的距离公式． ①已知，，则； ； ； ； ②已知，，则， 或者．其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式． （4）向量在向量上的投影为． 知识点五：法向量的求解与简单应用 （1）平面的法向量： 如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量． 几点注意： ①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有． 第一步：写出平面内两个不平行的向； 第二步：那么平面法向量，满足． （2）判定直线、平面间的位置关系 ①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，． 若∥，即，则； 若，即，则． ②直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且． 若∥，即，则； 若，即，则． （3）平面与平面的位置关系 平面的法向量为，平面的法向量为． 若∥，即，则；若⊥，即，则⊥． 题型一：空间向量的线性运算 【典例1】（26-27高二上·江西·期中）如图，正三棱柱的各棱长都为，、分别为、的中点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二下·广东·期中）四面体中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二下·广西南宁·期中）在三棱柱中，是的中点，，则用向量，，表示向量应为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，空间四边形中，点和点分别在和上，且满足，则下列向量与是共线向量的是（    ） A． B． C． D． 题型二：空间向量模长、数量积与夹角运算 【典例2】（多选题）（25-26高二上·广东汕头·期中）如图，在平行六面体中，，，，为与的交点，若，，，则下列正确的是（   ） A． B．的长为 C． D． 【变式2-1】（多选题）（25-26高二上·广西柳州·期中）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，设，下列选项正确的是（   ） A． B．长为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D． 【变式2-2】（多选题）（21-22高二上·山东·阶段检测）如图所示，平行六面体，其中，，，，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．向量与的夹角是45° D．与所成角的余弦值为 【变式2-3】（多选题）（25-26高二上·浙江·期中）如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是60°，则下列说法中正确的是（   ）    A． B． C．与所成角的余弦值为 D．在方向上的投影向量是 题型三：空间向量坐标运算 【典例3】（多选题）（25-26高二下·河南许昌·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．是直线的一个方向向量 C． D．若点是点在平面内的射影，则 【变式3-1】（多选题）（25-26高二下·江苏盐城·阶段检测）已知向量，，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．不存在实数，使得 C．若，则 D．若，则 【变式3-2】（多选题）（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知空间向量则下列说法不正确的是（   ） A． B． C．与夹角余弦值为 D． 【变式3-3】（多选题）（25-26高二上·河南开封·期末）已知空间向量，，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为钝角，则 题型四：空间向量平行垂直的坐标判定 【典例4】（26-27高二上·福建·期中）已知向量，若，则______． 【变式4-1】（25-26高二上·陕西西安·期中）已知空间向量，，且，则实数的值为______． 【变式4-2】（25-26高二上·福建厦门·期中）已知向量，，若与共线，则的值为________． 【变式4-3】（25-26高二上·四川成都·期中）若向量，夹角为钝角，则m的取值范围为_________. 题型五：三点共线判定问题 【典例5】（25-26高二上·上海·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则的值为______． 【变式5-1】（25-26高二上·北京·期中）已知空间中三点与不重合，则使三点共线一个点的坐标可以是___________． 【变式5-2】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知，，三点共线，则______________. 【变式5-3】（24-25高二上·四川南充·期中）设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且 三点共线，则实数___________． 题型六：四点共面判定问题 【典例6】（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知四棱锥，底面是平行四边形，为的中点，经过直线的平面与侧棱分别交于点．设，．若，则______． 【变式6-1】（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知是空间的一组基，向量，且四点共面，则__________. 【变式6-2】（25-26高二上·上海·期末）已知空间中四个点，，若四点共面，则实数为_______. 【变式6-3】（25-26高二上·广东江门·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则________.    题型七：向量法证明空间平行 【典例7】（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知正方体的棱长为 2，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系． (1)写出点，，的坐标； (2)求平面的一个法向量； (3)证明：直线平面． 【变式7-1】（24-25高二上·重庆·期中）已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.          (1)求证：； (2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【变式7-2】（24-25高二上·福建福州·期中）在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式7-3】（23-24高二上·福建福州·期中）如图，在长方体中，E，M，N分别是，，的中点，，.    (1)求证：∥平面； (2)试确定直线与平面的交点F的位置，并求的长. 题型八：向量法证明空间垂直 【典例8】（25-26高二下·江苏南通·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，且 (1)求证： (2)当的值为多少时，平面？请给出证明. 【变式8-1】（25-26高二上·山东济宁·期中）棱长为2的正方体中，为的中点，为中点，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【变式8-2】（25-26高二上·江苏无锡·期中）如图，在平行六面体中，，，．    (1)求的长； (2)求证：直线平面． 【变式8-3】（25-26高三上·安徽·期中）如图，在直四棱柱中，，，，，是的中点，是上的一个动点，点在上，且满足． (1)证明：． (2)证明：平面平面． (3)试问：是否存在，，，四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 1．（26-27高二上·浙江·期中）如图，在平行六面体中，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·北京·期中）已知空间向量，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．（26-27高二上·北京·期中）已知向量，，且，则（    ） A． B．2 C．4 D．6 4．（26-27高二上·北京·期中）已知，，则是（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° 5．（26-27高二上·北京·期中）已知向量，，且，那么 （    ） A． B．6 C． D．12 6．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 7．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A． B． C． D． 8．（26-27高二上·河北保定·期中）在三棱锥中，．，，若点在棱上，且，是中点，是中点，则等于（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（26-27高二上·福建·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．（多选题）（26-27高二上·山东·期中）下列说法正确的是（ ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．直线l的方向向量，平面α的法向量，则 C．已知三向量，，共面，则 D．若，则为钝角 11．（多选题）（25-26高二下·江苏常州·期中）如图，在棱长均为的平行六面体中，底面是正方形，且，设，，，下列选项正确的是（    ）    A． B．长为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为 12．（26-27高二上·山东·期中）如图所示，在棱长均为的平行六面体中，，点为与的交点，则的长为____. 13．（26-27高二上·山东·期中）两个非零向量，定义．若，则_____． 14．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图所示，四面体ABCD的体积为V，点M为棱BC的中点，点E为线段DM上靠近D的三等分点，点F为线段AE上靠近A的三等分点，过点F的平面与棱AB，AC，AD分别交于P，Q，R，设四面体APQR的体积为V'，则的最小值为____. 15．（26-27高二上·北京·期中）已知向量，，，计算下列各式的值． (1)； (2)； (3). 16．（26-27高二上·山东·期中）已知，，，，，求： (1)的值； (2)与夹角的余弦值. 17．（25-26高二上·广东湛江·期中）在长方体中，已知，以点为原点，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立如图的空间直角坐标系，点是线段上靠近点的一个三等分点，点，设． (1)求证：； (2)在图中标出点的位置，连接，请用含有，，的表达式表示向量； (3)求的面积． 18．（25-26高二上·广东湛江·期中）已知空间中三点． (1)求； (2)求向量在向量上的投影向量的坐标； (3)若点在平面内，求的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $