湖南衡阳市衡阳县第四中学2026-2027学年高二上学期11月期中数学试题

衡阳县四中2026年下学期期中考试 高二数学试题卷 （考试时间120分钟，总分150分） 一、单选题（每题5分，共40分） 1.已知集合 A = {x | x² − 3x + 2 = 0}，B = {1, 2, 3}，则 A ∩ B =（　） A. {1, 2}　　B. {2, 3}　　C. {1, 3}　　D. ∅ 2.函数 f(x) = 的定义域是（　） A. (1, +∞)　　B. [1, +∞)　　C. (0, +∞)　　D. [0, +∞) 3.复数 z = 3 − 4i 的模 |z| =（　） A. 7　　B. 5　　C. 25　　D. 4.已知向量 a = (2, −1)，b = (1, 2)，则 a · b =（　） A. -5　　B. 3　　C. 5　　D. 0 5.空间向量 a = (0, 3, 4) 的模|a| =（　） A. 5　　B. 7　　C. 12　　D. 25 6.已知空间向量 a = (2, −1, 3)，b = (1, 2, −1)，则 a + 2b =（　） A. (4, 3, 1)　　B. (3, 0, 2)　　C. (5, −3, 5)　　D. (2, −3, 4) 7.直线 x + 2y − 3 = 0 与圆 (x − 1)² + (y + 1)² = 5 的位置关系是（　） A. 相离　　B. 相切　　C. 相交　　D. 不确定 8.直线 l₁: ax + 2y − 1 = 0 与 l₂: x + (a − 1)y + 2 = 0 垂直， 则 a =（　） A. 2　　B. 　　C. −2　　D. 二、多选题（每题6分，共18分，部分选对得部分分） 9.下列函数中，在 (0, +∞) 上单调递增的是（　） A. y = 2x　　B. y = 2ˣ　　C. y = x²　　D. y = 10.关于平面向量 a = (1, 1)，b = (0, 1)，正确的有（　） A. a + b = (1, 2)　　B. a · b = 1　　C. |a| = 　　D. a ⊥ b 11.圆 C: x² + y² − 2x + 4y − 4 = 0，则（　） A. 圆心为 (1, −2)　　B. 半径为 3　　C. 点 (0, 0) 在圆外 D. 直线 y = 0 被圆截得的弦长为 三、填空题（每题5分，共15分） 12.函数 f(x) = 2ˣ − 8 的零点为 ______________。 13.已知 a = (1, 2)，b = (3, −1)，则 |2a − b| = ______________。 14.圆 x² + y² − 4x + 2y − 4 = 0 上的点到直线 x − y + 7 = 0 的距离的最大值为 ______________。 四、解答题（共77分） 15.（12分）已知向量 a = (1, 2, −1)，b = (2, 1, 3)。 （1）求 a + b； （2）求 a · b； （3）求 |b|。 16.（12分）已知直线 l 过点 P(2, −1)，且与直线 y = 2x + 3 平行。 （1）求直线 l 的方程（化为一般式）； （2）求直线 l 与 x 轴、y 轴的交点坐标。 17.（13分）在 △ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 a = 3， b = ，A = 60°。 （1）求角 B 的大小； （2）求边 c 的长度； （3）求 △ABC 的面积。 18.（13分）已知直线 l: 3x − 4y + 5 = 0 和圆 C: x² + y² = 9。 （1）求圆心到直线 l 的距离； （2）判断直线与圆的位置关系； （3）若相交，求弦长；若不相交，说明理由。 19.（14分）如图，在直三棱柱 ABC−中，CA = CB = 2，= 4，∠ACB = 90°。 （1）请建立适当的空间直角坐标系，并写出 A, B, C₁, A₁的坐标； （2）求平面的一个法向量； （3）求直线与平面所成角的正弦值。 20.（13分）已知圆 C 过点 A(0, 0)，B(4, 0)，且圆心在直线 x + y − 3 = 0 上。 （1）求圆 C 的标准方程； （2）过点 Q(0, 4) 作圆 C 的切线，求切线方程； （3）若过点 Q 的直线被圆 C 截得的弦长为，求该直线的方程。 学科网（北京）股份有限公司 $ 一、单选题 1. A　　2. A　　3. B　　4. D　　5. A　　6. A　　7. C　　8. B 二、多选题 9. ABC　　10. ABC　　11. ABD 三、填空题 12. 3　　13. √26　　14. 5√2 + 3 四、解答题 15.【12分】 （1）a + b = (3, 3, 2)； （2）a · b = 2 + 2 − 3 = 1； （3）。 16.【12分】 （1）k = 2，由 y + 1 = 2(x − 2)，得 2x − y − 5 = 0； （2）与 x 轴交点 (5/2, 0)，与 y 轴交点 (0, −5)。 17.【13分】 （1）由正弦定理 得 解得 。因为 b < a，所以 B < A = 60°，故 B = 30°； （2）C = 180° − A − B = 180° − 60° − 30° = 90°，△ABC 为直角三角形，由勾股定理； （3）。 18.【13分】 （1）； （2）d = 1 < r = 3，直线与圆相交； （3）弦长 。 19.【14分】 （1）A(2, 0, 0)，B(0, 2, 0)，C₁(0, 0, 4)，A₁(2, 0, 4)； （2）。设平面 的法向量，由 ，得 ，取 得 ； （3），设线面角为 θ，则 20.【13分】 （1）设圆心C: ，由 得 ，圆心 (2, 1)，，方程为 ； （2）设切线，即，由解得 k = 1/2 或 k = −2， 　　切线为 ； （3）弦长 2√3，则圆心到直线距离， 　　解得，直线为 或 。 学科网（北京）股份有限公司 $