精品解析：辽宁大连市第九中学2026-2027学年度第一学期期中质量检测 九年级数学

九中教育集团2026-2027学年度九年级期中测试 （本试卷共23 道题 试卷满分120分 考试时间120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共 10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B选项是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； C选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意. 2. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将各选项函数解析式化为最简形式，再结合二次函数的定义判断． 【详解】解：A选项，的最高次数为1，是一次函数，不符合题意； B选项，化简，得，是整式且二次项系数不为0，符合二次函数定义； C选项，化简，得，是一次函数，不符合题意； D选项，不是整式函数，不符合题意． 3. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象位于第二、四象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，结合点的坐标验证、图象象限分布、函数增减性逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 当时，， ∴A错误； ∵ ， ∴ 反比例函数图象位于第一、三象限， ∴B错误； ∵ ，当 时，函数图象在第三象限， ∴ 随的增大而减小， ∴正确； ∵ ，当时，函数图象在第一象限， ∴ 随的增大而减小，不是增大， ∴错误． 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个相等的实数根且两根同号 C. 有两个不相等的实数根且两根异号 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】先将方程整理为一元二次方程一般形式，通过根的判别式判断根的个数，再根据两根之积判断两根符号，即可得出结论． 【详解】解：将原方程整理为一般形式得 因此方程有两个不相等的实数根 设方程的两根为， 因此方程的两根异号 因此方程有两个不相等的实数根且两根异号． 5. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，准确掌握平移方法是解题的关键．根据函数图象平移的方法：左加右减，上加下减，可得答案． 【详解】解：抛物线向左平移个单位可得，再向下平移个单位可得， 故选：B． 6. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，．将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点A作轴于点E，过点D作轴于点F，由点A的坐标和三线合一定理得到的长，由旋转的性质得到的长和，据此求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于点E，过点D作轴于点F， ∵顶点的坐标为，， ∴ ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为． 7. 近视镜镜片的焦距（单位：米）是镜片的度数（单位：度）的函数，下表记录了一组数据： （单位：度） 100 250 400 500 （单位：米） 在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用．根据表格数据可得近视镜镜片的焦距y(单位:米)与度数x(单位:度)成反比例，依此即可求解． 【详解】解：根据表格数据可得，， 所以近视镜镜片的焦距(单位：米)与度数x(单位:度)成反比例， 所以y关于x的函数关系式是：， 故选：B． 8. 习总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．我校为响应全民阅读活动，校园图书角面向师生全天开放．据统计，开学第一周的图书借阅500人次，第三周的图书借阅845人次，若借阅人次的周平均增长率为x，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】明确第一周到第三周共经历2次增长，结合增长率关系列方程. 【详解】解：∵第一周借阅人次为500，周平均增长率为x， ∴第二周借阅人次为，第三周借阅人次为. ∵第三周借阅人次为845， ∴可列方程. 9. 根据下列表格中的二次函数（，a，b，c为常数）的自变量x与函数y的对应值，判断的一个解x的取值范围为（ ） x y 1.34 2.25 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵当时，，当时，． ∴的一个解的取值范围是． 10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，故本选项符合题意； B、由抛物线可知，由直线可知，故本选项不符合题意； C、由抛物线可知，由直线可知，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，得，由直线可知，，故本选项不符合题意． 二．填空题（共5小题） 11. 若，是一元二次方程的两个根，则的值是______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵ ，是一元二次方程的两个根， ∴ 由根与系数的关系可得，， ∴． 12. 如图，将绕顶点逆时针旋转得到，点对应点，点对应点，点刚好落在边上，，则_________． 【答案】##47度 【解析】 【分析】根据旋转性质得到、、，结合三角形内角和和等腰三角形性质得到度数，再利用外角性质得到度数． 【详解】解：∵绕顶点逆时针旋转得到，点对应点，点对应点， ∴，，， ∴， ∵， ∴． 13. 如图，轴交反比例函数的图象于点，交轴于点，连接，，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的几何意义求解即可． 【详解】解：∵轴交反比例函数的图象于点，交轴于点，， ， ， ∵反比例函数图象在第二象限， ， ， 14. 如图，是的直径，弦于E，若，则的长为__________． 【答案】13 【解析】 【分析】利用垂径定理求出的长，设半径为，表示出的长，在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：∵是的直径，，， ∴， 设，则， ∵， ∴． 在中， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 15. 已知二次函数，当时，y的最大值为9，则k的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先根据二次函数的顶点式可得在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，则可得当时，取得最大值，由此即可得． 【详解】解：将二次函数化成顶点式为，对称轴为直线， ∴抛物线开口向上，在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∵离二次函数的对称轴比离二次函数的对称轴更远， ∴当时，取得最大值，最大值为， 又∵当时，的最大值为9， ∴， 解得， 故答案为：1． 三．解答题（共8小题） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程． （1）用配方法解方程即可； （2）用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：， ∴， ∴或， ∴，． 17. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形． （1）若和关于原点成中心对称，画出； （2）将 绕着点A顺时针旋转，画出旋转后得到的，求点C旋转到的过程中所经过的路径长（结果保留）． 【答案】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：画图略； 由图可知，， ∵旋转90度， ∴点C旋转到的过程中所经过的路径长为. 18. 学校食堂一次性购买了大米． （1）这些大米能够使用的天数m与食堂平均每天的用米量n（单位：）有怎样的函数关系？ （2）如果食堂平均每天使用大米，那么至少多少天后，食堂需再购买大米？ 【答案】（1） 与成反比例函数关系，函数关系式为（） （2） 至少12天 【解析】 【分析】（1）根据总大米质量=每天用米量×使用天数，推导与的函数关系； （2）结合每天用米量的取值范围，利用反比例函数的增减性求使用天数的最小值． 【小问1详解】 解： （1）由题意得，总大米质量为，  ， 整理得（）， ∴ 是的反比例函数； 【小问2详解】 解：∵ ， 且中，当时，随的增大而减小， ∴ 当时，取得最小值， （天） 答：至少12天后，食堂需再购买大米． 19. 东北足球超级联赛（东北超）大连赛区，一名大连球员在球门正前方12米的A处射门，球的飞行路线是抛物线．当足球水平向前飞行8米时到达最高点，最高点距离地面4米．以球门底部O为原点建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）东北超比赛球门高为2.44米，通过计算判断这脚射门能不能进球门（忽略其他因素）． 【答案】（1） （2）球不能射进球门． 【解析】 【分析】（1）由题意可得过，顶点坐标为，再用待定系数法即可求解； （2）求出当时，的值，再与2.44比较即可． 【小问1详解】 解：∵（米）， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线， 把点代入得：， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴球不能射进球门． 20. 某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖7件（每件单价不能高于70元），每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每个月的销售利润为y元． （1）若上涨5元，每个月可卖出_______件，则每个月的销售利润为______元； （2）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 【答案】（1）175，3500 （2）（且为整数） （3）当售价定为每件57或58元，每个月的利润最大，最大的月利润是3542元 【解析】 【分析】本题考查一元二次函数的实际应用： （1）根据题意直接求解即可； （2）根据题意每件商品的售价上涨x元，则每件利润为元，销量减少为件，从而可求出总利润y，根据每件单价不能高于70元可求x的范围； （3）根据二次函数图像的性质即可求出最大利润及此时的销售定价． 【小问1详解】 解：若上涨5元，每个月可卖出（件）， 每个月的销售利润为（元）， 故答案为：175，3500； 【小问2详解】 解：由题意得：， 由知， 又为正整数， 故（且为整数）； 【小问3详解】 解：二次函数图像的对称轴为， ， ∴二次函数图像开口向下， 根据二次函数图像的对称性可知，当或时，二次函数取到最大值， ∴当售价定为每件57或58元，每个月的利润最大，最大的月利润是3542元． 21. 如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于D． （1）求BC的长． （2）连接AD和BD，判断△ABD的形状，说明理由．并求BD的长． （3）求CD的长． 【答案】（1）BC＝8；（2）△ABD为等腰直角三角形．理由见解析；BD＝5；（3）CD＝7． 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，然后利用勾股定理可计算出BC； （2）根据圆周角定理得到∠ADB=90°，再根据角平分线定义得∠ACD=∠BCD，则AD=BD，于是可判断△ABD为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质得到BD=. （3）根据已知条件可证△BCH为等腰直角三角形，即可得CH的长度，后根据勾股定理可得DH 长度，即可求得CD长度. 【详解】（1）∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△ACB中，AB＝10，AC＝6， ∴BC＝＝8； （2）△ABD为等腰直角三角形．理由如下： ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ACB的平分线交⊙O于D， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴AD＝BD， ∴△ABD为等腰直角三角形， ∴BD＝ AB＝5； （3）作BH⊥CD于H，如图， ∵∠BCH＝45°， ∴△BCH为等腰直角三角形， ∴BH＝CH＝BC＝4， 在Rt△BDH中，DH＝， ∴CD＝CH+DH＝4． 【点睛】此题考查等腰直角三角形及圆周角定理的结合运用，解题关键在于掌握等腰直角三角形及圆周角的相关性质. 22. 在中，，点E是的中点，连接，点 F是上的一点，连接． （1）如图1，若，，求线段的长度； （2）如图2，若点F是的中点，过点C作于点Q，交于点D，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，过点G作交的延长线于点H，交的延长线于点P，用等式表示线段与的数量关系并证明； （3）如图3，以为斜边在下方作等腰，，连接并延长至点T，使得，在直线上方取一点 M，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段 ，连接，若，，请直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）解：，理由如下： 过点作交于点，交于点， ∵， ∴ ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理进行求解即可； （2）过点作交于点，交于点，证明，则，证明，则，即可证明结论成立； （3）将绕点B逆时针旋转得到，连接，证明，则，当三点共线时，最短，为的长度，证明，过点作于点，在下方作等腰直角三角形，过点作于点D，证明为等腰直角三角形，证明点在线段上运动，当时，取得最小值，进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，，点E是的中点， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接， ∴，， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 当三点共线时，最短，为的长度， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 如图，过点作于点，在下方作等腰直角三角形，过点作于点D， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵在上运动，且以为斜边在下方作等腰，， ∴当F与E重合时，K与Q重合，当F与B重合时，K与重合， ∴点在线段上运动， 当时，取得最小值， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 根据面积法可得，， ∴的最小值为． 23. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，函数 的图象记为，顶点为点．将向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到图象，点的对应点为点，图象与合起来得到的图象记为． （1）填表： 图象 对应的函数解析式 点的坐标 （ ， ） （ ， ） （2）观察图象，解答下列问题： 直接写出当在什么范围内取值时，随的增大而增大； 当时，，求的取值范围． （3）如图，点为上一点；横坐标为；点为上一点，横坐标为；点为上一点，横坐标为．过点作轴的平行线，点关于直线的对称点为点，过点作轴的平行线．图象上，两点之间的部分（含，两点）的最高点和最低点到直线的距离分别为，． 请你判断点，是否为平移前后的一组对应点，不需要说明理由； 当时，直接写出的值． 【答案】（1）填表如下， 图象 对应的函数解析式 点的坐标 （2）或；； （3）是；或． 【解析】 【分析】通过二次函数的平移即可求解； 观察函数图象即可求解； 求出当时或，然后结合图象即可求出的取值范围； 求出点，所以点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的点为，然后通过计算求出点，从而求解； 分情形一，当时，即；情形二，当时，即；情形三，当时，即；情形四，当时，即，四种情况求解即可． 【小问1详解】 解：由可知当时，， ∴顶点， ∵将向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到图象，点的对应点为点， ∴， ∴， 填表略； 【小问2详解】 解：由图象可知，当或时，随的增大而增大； 当时，，解得（舍去），， ∴当时，，的取值范围为； 【小问3详解】 解：是， 由，， ∵点为上一点，横坐标为， ∴点， ∴点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的点为， ∵点为上一点，横坐标为； ∴点，即， ∴点，是平移前后的一组对应点； ∵点为上一点，横坐标为， ∴， ∴点， ∵点关于直线的对称点为点，， ∴，即， ∴， 由当时，，解得（舍去），， 情形一，当时，即，如图，最高点为，最低点为， ∴，， ∵， ∴，整理得， 解得（舍去），（舍去）； 情形二，当时，即，如图，最高点为，最低点为， ∴，， ∵， ∴，整理得， 解得（舍去），（舍去）； 情形三，当时，即，如图，最高点为，最低点为原点， ∴，， ∵， ∴，整理得， 解得（舍去），； 情形四，当时，即，如图，最高点为，最低点为， ∴，， ∵， ∴，整理得， 解得，（舍去）； 综上可知，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九中教育集团2026-2027学年度九年级期中测试 （本试卷共23 道题 试卷满分120分 考试时间120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共 10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象位于第二、四象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，随的增大而增大 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个相等的实数根且两根同号 C. 有两个不相等的实数根且两根异号 D. 没有实数根 5. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，．将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 近视镜镜片的焦距（单位：米）是镜片的度数（单位：度）的函数，下表记录了一组数据： （单位：度） 100 250 400 500 （单位：米） 在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是（ ） A. B. C. D. 8. 习总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．我校为响应全民阅读活动，校园图书角面向师生全天开放．据统计，开学第一周的图书借阅500人次，第三周的图书借阅845人次，若借阅人次的周平均增长率为x，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 根据下列表格中的二次函数（，a，b，c为常数）的自变量x与函数y的对应值，判断的一个解x的取值范围为（ ） x y 1.34 2.25 A. B. C. D. 10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（     ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题） 11. 若，是一元二次方程的两个根，则的值是______________． 12. 如图，将绕顶点逆时针旋转得到，点对应点，点对应点，点刚好落在边上，，则_________． 13. 如图，轴交反比例函数的图象于点，交轴于点，连接，，则的值是______． 14. 如图，是的直径，弦于E，若，则的长为__________． 15. 已知二次函数，当时，y的最大值为9，则k的值为________． 三．解答题（共8小题） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形． （1）若和关于原点成中心对称，画出； （2）将 绕着点A顺时针旋转，画出旋转后得到的，求点C旋转到的过程中所经过的路径长（结果保留）． 18. 学校食堂一次性购买了大米． （1）这些大米能够使用的天数m与食堂平均每天的用米量n（单位：）有怎样的函数关系？ （2）如果食堂平均每天使用大米，那么至少多少天后，食堂需再购买大米？ 19. 东北足球超级联赛（东北超）大连赛区，一名大连球员在球门正前方12米的A处射门，球的飞行路线是抛物线．当足球水平向前飞行8米时到达最高点，最高点距离地面4米．以球门底部O为原点建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）东北超比赛球门高为2.44米，通过计算判断这脚射门能不能进球门（忽略其他因素）． 20. 某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖7件（每件单价不能高于70元），每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每个月的销售利润为y元． （1）若上涨5元，每个月可卖出_______件，则每个月的销售利润为______元； （2）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 21. 如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于D． （1）求BC的长． （2）连接AD和BD，判断△ABD的形状，说明理由．并求BD的长． （3）求CD的长． 22. 在中，，点E是的中点，连接，点 F是上的一点，连接． （1）如图1，若，，求线段的长度； （2）如图2，若点F是的中点，过点C作于点Q，交于点D，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，过点G作交的延长线于点H，交的延长线于点P，用等式表示线段与的数量关系并证明； （3）如图3，以为斜边在下方作等腰，，连接并延长至点T，使得，在直线上方取一点 M，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段 ，连接，若，，请直接写出的最小值． 23. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，函数 的图象记为，顶点为点．将向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到图象，点的对应点为点，图象与合起来得到的图象记为． （1）填表： 图象 对应的函数解析式 点的坐标 （ ， ） （ ， ） （2）观察图象，解答下列问题： 直接写出当在什么范围内取值时，随的增大而增大； 当时，，求的取值范围． （3）如图，点为上一点；横坐标为；点为上一点，横坐标为；点为上一点，横坐标为．过点作轴的平行线，点关于直线的对称点为点，过点作轴的平行线．图象上，两点之间的部分（含，两点）的最高点和最低点到直线的距离分别为，． 请你判断点，是否为平移前后的一组对应点，不需要说明理由； 当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $