精品解析：辽宁省大连市中山区2025-2026学年九年级上学期期中数学卷

九年级阶段质量检测数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 参考公式：抛物线的顶点坐标是 第一部分 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下面各组图形中，不是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是相似图形的识别，根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，依据定义即可解决． 【详解】解：A、两个图形相似，故不符合题意； B、两个图形相似，故不符合题意; C、五角星和六角星不相似，故符合题意； D、所有的圆都相似，故不符合题意， 故选：C． 2. 若把的各边长都扩大3倍，则锐角A的正弦值（ ） A. 扩大9倍 B. 扩大3倍 C. 缩小 D. 无变化 【答案】D 【解析】 【分析】根据的各边长都扩大3倍后，所得的三角形与原三角形相似，即可解答．本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定，根据已知判断所得的三角形与原三角形相似是解题的关键． 【详解】解：∵的各边长都扩大3倍， 所得的三角形与原三角形相似， 的大小没有改变， 锐角A的正弦值无变化 故选：D． 3. 已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】把抛物线化为顶点式，得到对称轴为，当时，函数的最小值为，再分别求出和时的函数值，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴对称轴为，当时，函数的最小值为， 当时，，当时，， ∴当时，函数的最大值为2， 故选：D 【点睛】此题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 4. 如图，，要使，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理对各选项判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 当时，，故A不符合要求； 当时，，故B不符合要求； 当时，，故C不符合要求； 当时，无法证明，故D符合要求； 故选：D． 5. 把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移，根据“上加，下减；左加，右减”确定答案即可． 【详解】将抛物线向右平移1个单位得， 再向下平移2个单位得． 故选：D． 6. 若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，掌握知识点是解题的关键． 通过二次函数的对称轴和开口方向，比较各点与对称轴的距离，从而确定函数值的大小关系． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为，且开口向上， ∴点离对称轴越远，函数值越大． 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∴距离关系为， 故函数值关系为． 故选B． 7. 如图，小丽从点出发，沿坡角为的斜坡向上走了150米到达点，则她沿垂直方向升高了（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．根据可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图所示， 根据题意：，米， 故， 故选：D． 8. 观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的解． 利用表格中的数据得到时，，时，；于是可判断一元二次方程的一个解在与之间，更接近，故可得解． 【详解】解：∵时，，时，； ∴一元二次方程的一个解为，更接近， ∴方程的一个近似解是． 故选：C． 9. 如图所示网格中，线段是由线段位似放大而成，则位似中心是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似中心，连接并延长，则交点即为它们的位似中心，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接并延长，可知交点为， ∴位似中心是， 故选：． 10. 如图，抛物线的对称轴是，下列结论，正确的有（ ） ①；②；③；④． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的系数与图像的关系，二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练判断各个式子的符号．根据函数图像分别判断、、的符号即可判断结论①；利用图像与x轴交点的个数即可判断结论③；由，得，可判断②；利用当时函数值的正负即可判断结论④． 【详解】解：∵抛物线开口方向向下， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴a，b异号，即， ∵函数图像与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故③正确； ∵抛物线对称轴是直线， ∴， ∴，故②正确； 当时，，故④正确； 综上，正确的结论有：②③④，共3个； 故选：B． 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在中，，，则________． 【答案】45 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，根据，，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：45． 12. 若两个相似三角形的相似比为，则这两个三角形面积的比是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴这两个三角形面积的比是． 故答案为：． 13. 如图，同学们在物理课上做“小孔成像”实验．若物距，像距，蜡烛火焰倒立像，则火焰的高度是___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键．由得到，再根据对应边成比例求解即可． 【详解】解：由题意得， ，， ， ， ， 解得：． 故答案为：4． 14. 如图，抛物线与轴相交于点，点，与轴相交于点，点在抛物线上，当轴时，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，利用抛物线的对称性确定抛物线的对称轴是解题的关键． 根据题意得出抛物线对称轴为直线，根据抛物线与轴相交于点，轴，即可得到答案． 【详解】解：抛物线与轴相交于点，点， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴相交于点， ， 轴，点在抛物线上， ， ， 故答案为： ． 15. 在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，．以原点为位似中心，把线段放大，得到线段，点的对应点的坐标是，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查位似图形，根据，可得，从而可得结论． 【详解】解：因为，，所以，所以的坐标是，即． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=.解这个直角三角形. 【答案】，，. 【解析】 【分析】根据题意和题目中的数据，利用勾股定理，可以求得AB的长，根据锐角三角函数可以求得∠A的度数，进而求得∠B的度数，本题得以解决． 【详解】∵，，， ∴，. ∴，. ∴. 答：，，. 【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理和数形结合的思想解答． 17. 如图，点分别在正方形的边上，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，正方形的性质，由正方形的性质得出，．进而得出，再根据相似三角形的判定方法即可得出． 详解】证明， ． 四边形是正方形， ，． ， ， ． 18. 如图，已知二次函数图象经过点和． （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； （2）当时，请根据图象求出的取值范围． 【答案】（1）顶点坐标 （2）或 【解析】 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，利用图象法解不等式，熟练地运用数形结合的方法解题是关键． （1）把和代入，建立方程组求解解析式即可，再把解析式化为顶点式，可得顶点坐标； （2）把代入函数解析式求解的值，再利用函数图象可得时的取值范围． 【小问1详解】 解：二次函数图象经过点和 ， 解得： 抛物线 ∴顶点坐标为：； 【小问2详解】 当时，， ∴ 解得：，， 当时， ∴或． 19. 如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心.请建立恰当的直角坐标系，求水管的长. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，重点是二次函数解析式的求法，正确建立平面直角坐标系是解题的关键． 水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令，求得的值，即可得出答案． 【详解】解∶如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立直角坐标系． 点是图中这段抛物线的顶点， 因此可设这段抛物线对应函数解析式是， 由这段抛物线经过点， 可得 解得， 因此， 当时，， 故水管长为． 20. 一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为后火箭到达处，此时测得仰角为． （1）求点离地面的高度； （2）求火箭从处到处的平均速度．（结果精确到，参考数据： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，含30度角的直角三角形； （1）根据题意可得：，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出的长，即可解答； （2）在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系求出的长，最后进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：在中，， ． 的长为 【小问2详解】 在中，， ． ． 在中，， ． . ． . 火箭从处到处的平均速度约为 21. 根据以下素材，探索并完成任务． 探究汽车刹车性能 “道路千万条，安全第一条”，刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车性能的相关问题（反应时间忽略不计）． 素材1 刹车时间：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止，汽车所行驶的时间， 刹车距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止，汽车所行驶的距离． 素材2 汽车研发中心设计一款新型汽车，某兴趣小组成员记录了模拟汽车在公路上以某一速度匀速行驶时的刹车性能测试数据，具体如下： 刹车后汽车行驶时间（s） 1 2 3 4 刹车后汽车行驶距离（m） 18 32 42 48 素材3 该兴趣小组成员发现： ①刹车后汽车行驶距离（单位：）与行驶时间（单位：）之间具有函数关系（为常数）； ②刹车后汽车行驶距离随行驶时间的增大而增大，当汽车刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 问题解决：请根据以上信息，完成下列任务． 任务一：求关于的函数解析式； 任务二：汽车司机发现正前方处有一个障碍物在路面，立刻刹车，判断该车在不变道的情况下是否会撞到障碍物？请说明理由． 【答案】任务一：；任务二：不会撞到障碍物 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出关于的函数解析式； （2）求出（1）中函数的最大值，与比较，即可解决问题． 【详解】解：任务一：将、代入 得：， 解得： 关于的函数解析式为， 任务二：不会 ∴当时，汽车停下，行驶了， ∵， ∴该车在不变道的情况下不会撞到障碍物． 22. 如图1，在中，点，分别是边，上的点，，交于点． （1）若是等边三角形，，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，，，求的长度； （3）如图3，，，，，，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2）9 （3）20 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的条件证明即可； （2）证明，或，根据相似比建立方程求解； （3）过点、点作的垂线，证明，或过点、点作的垂线，证明，借助相似比建立关系，利用勾股定理求解． 小问1详解】 证明：是等边三角形， ，， ， ； ． 【小问2详解】 方法一：设， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ． ， ，， ， ． 方法二：设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【小问3详解】 过点作于点，过点作于点， ， ， ， ， 在Rt中， 设，， 在Rt中，由勾股定理得， ，（也可由得出）， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ． 方法二：过点作交延长线于点，过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在Rt中，， ， 在Rt中，由勾股定理得， ， ， ， ， ， ，， （可由得出）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， . 【点睛】本题考查了三角形综合，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，三角形的外角的性质，相似三角形的判定和性质，掌握三角形全等与相似的判定定理和性质定理是解题的关键． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，二次函数的图象经过点． （1）求，的值． （2）直线与二次函数，的图象分别交于点，，与直线交于点，当时， ①求证：； ②当时，求的长． （3）二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最大值与最小值的差为，直接写出的值． 【答案】（1） （2）①见解析；②4.5 （3）的值为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，正确地求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）求出的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）①求出直线的解析式，求出的坐标，进而求出，即可得出结果；②证明，设直线交轴于点，根据平行线分线段成比例，得到，进而求出的值，进而求出线段的长即可； （3）分，，，和五种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，则， ． ． 当时，， ． 过点，点， ． 【小问2详解】 ①， ∴设直线的解析式为，把，代入，得， 直线的解析式为． ，，． ， ． ． ②， ， ． ， ． ． 设直线交轴于点， ． ． ． ， ． 【小问3详解】 ， 当时，的最小值是． 当时， ， （舍），（舍）． 当时， 当时， ． （舍），． 当时，， （舍），． 当时， ， ． 当时， ， ． （舍），． 综上所述，的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级阶段质量检测数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 参考公式：抛物线的顶点坐标是 第一部分 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下面各组图形中，不是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若把的各边长都扩大3倍，则锐角A的正弦值（ ） A. 扩大9倍 B. 扩大3倍 C. 缩小 D. 无变化 3. 已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 4. 如图，，要使，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（ ） A. B. C. D. 5. 把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，小丽从点出发，沿坡角为的斜坡向上走了150米到达点，则她沿垂直方向升高了（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（ ） x 1.1 1.2 13 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A. B. C. D. 9. 如图所示网格中，线段由线段位似放大而成，则位似中心是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线的对称轴是，下列结论，正确的有（ ） ①；②；③；④． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在中，，，则________． 12. 若两个相似三角形相似比为，则这两个三角形面积的比是__________． 13. 如图，同学们在物理课上做“小孔成像”实验．若物距，像距，蜡烛火焰倒立像，则火焰的高度是___________． 14. 如图，抛物线与轴相交于点，点，与轴相交于点，点在抛物线上，当轴时，______． 15. 在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，．以原点为位似中心，把线段放大，得到线段，点的对应点的坐标是，则点的坐标是________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=.解这个直角三角形. 17. 如图，点分别在正方形的边上，．求证：． 18. 如图，已知二次函数图象经过点和． （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； （2）当时，请根据图象求出的取值范围． 19. 如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心.请建立恰当的直角坐标系，求水管的长. 20. 一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为后火箭到达处，此时测得仰角为． （1）求点离地面的高度； （2）求火箭从处到处平均速度．（结果精确到，参考数据： 21. 根据以下素材，探索并完成任务． 探究汽车刹车性能 “道路千万条，安全第一条”，刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车性能相关问题（反应时间忽略不计）． 素材1 刹车时间：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止，汽车所行驶的时间， 刹车距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止，汽车所行驶的距离． 素材2 汽车研发中心设计一款新型汽车，某兴趣小组成员记录了模拟汽车在公路上以某一速度匀速行驶时的刹车性能测试数据，具体如下： 刹车后汽车行驶时间（s） 1 2 3 4 刹车后汽车行驶距离（m） 18 32 42 48 素材3 该兴趣小组成员发现： ①刹车后汽车行驶距离（单位：）与行驶时间（单位：）之间具有函数关系（为常数）； ②刹车后汽车行驶距离随行驶时间的增大而增大，当汽车刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 问题解决：请根据以上信息，完成下列任务． 任务一：求关于的函数解析式； 任务二：汽车司机发现正前方处有一个障碍物在路面，立刻刹车，判断该车在不变道的情况下是否会撞到障碍物？请说明理由． 22. 如图1，在中，点，分别是边，上的点，，交于点． （1）若是等边三角形，，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，，，求的长度； （3）如图3，，，，，，求的长度． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，二次函数的图象经过点． （1）求，的值． （2）直线与二次函数，的图象分别交于点，，与直线交于点，当时， ①求证：； ②当时，求的长． （3）二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最大值与最小值的差为，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $