精品解析：北京市首都师范大学附属中学顺义实验学校2026-2027学年上学期八年级期中阶段反馈数学试题

首师大顺义实验学校2026—2027学年第一学期 初二年级期中考试数学试卷 考试须知：本试卷共28题，满分100分，考试时间120分钟． 第一部分 选择题（每题2分，共16分） 1. 如果分式有意义，那么x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故选：C． 2. 3的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义直接得出即可． 【详解】∵ ∴3的算术平方根是 故选：B 【点睛】本题主要考查了算术平方根的定义，如果一个非负数的平方等于，那么这个非负数叫做的算术平方根． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 带根号的数一定是无理数 B. 的平方根是 C. 是3的立方根 D. 8的立方根是 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数，平方根，立方根的定义解答即可. 本题考查了无理数，平方根，立方根，熟练掌握定义是解题的关键. 【详解】解：A. 带根号的数不一定是无理数，错误，不符合题意； B. 没有平方根，错误，不符合题意； C. 是3的立方根，正确，符合题意； D. 8的立方根是，错误，不符合题意； 故选：C. 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查立方根、二次根式的乘法运算、完全平方公式及算术平方根的性质，需根据相应法则逐一计算各选项判断正误． 【详解】解：∵， ∴，故A错误． ∵， ∴B正确． ∵， ∴C错误． ∵ ∴D错误． 故选：B． 5. 若将分式中的，都扩大倍，则分式的值（ ） A. 不改变 B. 缩小为原来的 C. 缩小为原来的 D. 扩大为原来的倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】由题意得：， ∴若将分式中的，都扩大倍，则分式的值不变， 故选：A． 6. 下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按分式的基本性质，逐项约分化简，即可判断出正确答案． 【详解】解：，故A选项变形错误，不合题意； 的分子、分母中不含公因式，不能化简，故B选项变形错误，不合题意； ，故C选项变形错误，不合题意； ，故D选项变形正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查分式的变形，掌握分式的基本性质、平方差公式、完全平方公式是解题的关键． 7. 在学校组织的秋季登山活动中，某班分成甲、乙两个小组同时开始攀登一座高的山．乙组的攀登速度是甲组的1.2倍，乙组到达顶峰所用时间比甲组少．如果设甲组的攀登速度为，那么下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设甲组的攀登速度为x m/min，则乙组的攀登速度为1.2 xm/min，根据时间=路程÷速度，结合乙组到达顶峰所用时间比甲组少15 min，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】设甲组的攀登速度为x m/min，则乙组的攀登速度为1.2m/min， 依题意得： 故选：B. 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键. 8. 我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例： 指数运算 21=2 22=4 23=8 … 31=3 32=9 33=27 … 新运算 log22=1 log24=2 log28=3 … log33=1 log39=2 log327=3 … 根据上表规律，某同学写出了三个式子： ①log216=4，②log525=5，③log2=﹣1．其中正确的是 A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】【方法1】特殊值法． 指数运算 新运算 根据题意，将需要的特殊情况补全，如上表，则发现①③是正确的，选B． 【方法2】不完全归纳法 根据题目中的表格内容，发现底数、指数、幂之间的关系可以归纳如下： 指数运算 新运算 用得到的规律比较上述三个式子，易得①③是正确的，选B． 第二部分 填空题（每题2分，共16分） 9. 如果有意义，那么x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键在于掌握二次根式中的被开方数是非负数． 根据二次根式有意义的条件可得，进而求出的取值范围即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴． 故答案为：． 10. 9的平方根是_________． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据平方根的定义解答即可． 【详解】解：∵（±3）2=9， ∴9的平方根是±3． 故答案为±3． 【点睛】本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 11. 若分式的值为零，则x的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得． 12. 比较大小：__________（用“”或“=”或“”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得，根据得，解答即可． 本题考查了无理数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较是解题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴． 故答案为：． 13. 与是同类二次根式，则可能是_______(不与2相同) 【答案】8 【解析】 【分析】根据同类二次根式的概念进行解答即可. 【详解】∵与是同类二次根式， ∴a可能是8()， 故答案为：8. 【点睛】本题考查了同类二次根式，解答本题的关键是掌握要判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要判断这两个二次根式是否是最简二次根式，若不是最简二次根式，要化简后再判断. 14. 在实数范围内分解因式：a3-7a=________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用提取公因式法和公式法分解因式即可． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查因式分解，掌握提取公因式法和平方差公式是关键． 15. 已知a，b是有理数，且满足．那么____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，乘方运算，根据偶数次幂的非负性、算术平方根的非负性求出a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 16. 我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如都是根分式，已知两个根分式与，则下列说法： ①根分式中的取值范围为：； ②存在实数，使得； ③存在实数，使得是一个整数； 上述说法中正确的是____________． 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】本题考查定义新概念，二次根式的性质，二次根式和分式有意义的条件，分式的加法运算等，对于①，根据二次根式和分式的性质判断即可；对于②，将，代入，再求出分式方程的解，判断即可；对于③，将，代入再整理，讨论得出答案．理解新定义是解题的关键． 【详解】解：①根据题意可知且， 解得：，故结论①正确； ②∵，，， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴不存在实数，使得，故结论②错误； ③∵，， ∴． ∵是一个整数， ∴， 解得：或， 当时，，故不符合题意， ∴，故结论③正确． 故答案为：①③． 第三部分 解答题（共12小题，共68分） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）先进行乘方运算，再进行乘法运算即可； （）根据同分母分式的减法法则先进行减法运算，再化简即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先对分子分母进行因式分解，同时把除法运算转化为乘法运算，再约分即可求解． 【详解】解：原式 ． 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先进行括号内的减法运算，再进行除法运算即可求解． 【详解】解：原式 ． 20. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先将化简为，化简为，化简为，计算得到，再合并同类二次根式，减去抵消，剩下． 【详解】解：原式 ． 21. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 根据二次根式混合运算法则，结合平方差公式和完全平方公式，进行计算即可． 【详解】解： ． 22. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，二次根式的加减． 先化简二次根式、计算零指数幂、绝对值，再算加减即可． 【详解】解： 23. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据解分式方程的步骤解答即可； （）根据解分式方程的步骤解答即可． 【小问1详解】 解：方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，最简公分母， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 解：方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，最简公分母， ∴是原方程的解． 24. 先化简， ，再从1，2，3三个数中选一个合适的数作为x的值，代入求值． 【答案】原式=x－2；当x=3时，原式=1． 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x=3代入计算即可求出值． 【详解】解：原式=•=•=x﹣2， 当x=3时，原式=3﹣2=1． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件． 25. 人工智能在现代农业领域有重要应用，其中智能灌溉系统可通过传感器精准控制水肥输送．某智慧农业产业园有两种智能水肥输送装置，型装置比型装置每小时多输送混合水肥．型装置输送混合水肥所用时间与型装置输送混合水肥所用时间相等．那么两种智能水肥输送装置每小时分别输送多少混合水肥？ 【答案】型智能水肥输送装置每小时输送混合水肥，型智能水肥输送装置每小时输送混合水肥 【解析】 【分析】设型装置每小时输送混合水肥，则型装置每小时输送混合水肥，根据题意列出方程解答即可． 【详解】解：设型装置每小时输送混合水肥，则型装置每小时输送混合水肥， 根据题意，得，  解得，  经检验，是原方程的解且符合实际意义， ∴，  答：型装置每小时输送混合水肥，型装置每小时输送混合水肥． 26. 我们知道是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题： （1）化简： ， ； （2）若，则x的取值范围为 ； （3）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质； （1）根据化简即可； （2）根据可知，解不等式即可； （3）先根据数轴判断出，，再根据二次根式和绝对值的性质化简． 【小问1详解】 解：，， 故答案为：2，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由数轴得：， ∴，， ∴． 27. 小云同学在解决两个代数式比大小时想起课上讲过可以利用作差法进行比较，但她记不清了，于是通过豆包进行询问，如下： 豆包内容：由生成作差法比大小，作差法比大小是通过计算两个数（或代数式）的差值，再与比较，从而判断两者大小的方法，核心逻辑是“差值定大小”．具体步骤可分为步： ．作差：计算两个比较对象的差值，即设比较对象为和，计算． ．变形：对差值进行化简、因式分解或配方等，方便判断其与的关系（若差值为常数，此步可省略）． ．判断：根据差值与的大小关系，得出结论：若，则；若，则；若，则． 比如比较“”和“”，作差得，因此；比较“”和“”，作差得，因此． 通过学习，小云同学尝试利用作差法解决下面三个问题： （1）__________； （2）时，__________； （3）第个问题，作差后并不能直接判断差的正负，小云试着寻找新的方法，由于每个数都有根号，而且是减法，能不能去掉根号或者转化为加法呢？聪明的小云联想到分母有理化，创造了“分子有理化”． 以此为例，． 请结合小云的思考完成第个问题，并写出比较的过程：与 【答案】（1） （2） （3），比较过程如下： 对两个式子分别进行分子有理化： ， ， ， ， 即． 【解析】 【分析】（）作差后将差转化为完全平方式，利用平方的非负性判断差与的大小关系即可； （）作差后通分化简，结合的条件判断差与的大小关系即可； （）对两个含根号的差式分子有理化，将差转化为分子为的正分数，通过比较分母大小判断原式的大小即可． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴，， ∴， ∴， 即； 【小问3详解】 略 28. 我们规定用表示一个数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”．例如：的“衍生数对”为． （1）数对的“衍生数对”是__________． （2）若数对与的“衍生数对”相同，则的值为__________． （3）若数对的“衍生数对”是，则的值为__________；的值为__________． （4）若数对的“衍生数对”是，当时比较和的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）； （4）解：，理由如下： ∵数对的“衍生数对”是， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（）根据定义解答即可； （）根据定义解答即可； （）根据定义解答即可； （）根据定义得，，再利用作差法求出，根据二次根式的性质判断结果为正数即可求解． 【小问1详解】 解：根据定义，得，， ∴数对的“衍生数对”是； 【小问2详解】 解：∵数对与的“衍生数对”相同， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：∵数对的“衍生数对”是， ∴，， ∴，； 【小问4详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 首师大顺义实验学校2026—2027学年第一学期 初二年级期中考试数学试卷 考试须知：本试卷共28题，满分100分，考试时间120分钟． 第一部分 选择题（每题2分，共16分） 1. 如果分式有意义，那么x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 3的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 9 3. 下列说法正确的是（ ） A. 带根号的数一定是无理数 B. 的平方根是 C. 是3的立方根 D. 8的立方根是 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 若将分式中的，都扩大倍，则分式的值（ ） A. 不改变 B. 缩小为原来的 C. 缩小为原来的 D. 扩大为原来的倍 6. 下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在学校组织的秋季登山活动中，某班分成甲、乙两个小组同时开始攀登一座高的山．乙组的攀登速度是甲组的1.2倍，乙组到达顶峰所用时间比甲组少．如果设甲组的攀登速度为，那么下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例： 指数运算 21=2 22=4 23=8 … 31=3 32=9 33=27 … 新运算 log22=1 log24=2 log28=3 … log33=1 log39=2 log327=3 … 根据上表规律，某同学写出了三个式子： ①log216=4，②log525=5，③log2=﹣1．其中正确的是 A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 第二部分 填空题（每题2分，共16分） 9. 如果有意义，那么x的取值范围是____________． 10. 9的平方根是_________． 11. 若分式的值为零，则x的值是______． 12. 比较大小：__________（用“”或“=”或“”连接）． 13. 与是同类二次根式，则可能是_______(不与2相同) 14. 在实数范围内分解因式：a3-7a=________． 15. 已知a，b是有理数，且满足．那么____． 16. 我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如都是根分式，已知两个根分式与，则下列说法： ①根分式中的取值范围为：； ②存在实数，使得； ③存在实数，使得是一个整数； 上述说法中正确的是____________． 第三部分 解答题（共12小题，共68分） 17. 计算： （1）； （2） 18. 计算： 19. 计算： 20. 计算： 21. 计算：． 22. 计算：． 23. 解分式方程： （1）； （2）． 24. 先化简， ，再从1，2，3三个数中选一个合适的数作为x的值，代入求值． 25. 人工智能在现代农业领域有重要应用，其中智能灌溉系统可通过传感器精准控制水肥输送．某智慧农业产业园有两种智能水肥输送装置，型装置比型装置每小时多输送混合水肥．型装置输送混合水肥所用时间与型装置输送混合水肥所用时间相等．那么两种智能水肥输送装置每小时分别输送多少混合水肥？ 26. 我们知道是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题： （1）化简： ， ； （2）若，则x的取值范围为 ； （3）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简． 27. 小云同学在解决两个代数式比大小时想起课上讲过可以利用作差法进行比较，但她记不清了，于是通过豆包进行询问，如下： 豆包内容：由生成作差法比大小，作差法比大小是通过计算两个数（或代数式）的差值，再与比较，从而判断两者大小的方法，核心逻辑是“差值定大小”．具体步骤可分为步： ．作差：计算两个比较对象的差值，即设比较对象为和，计算． ．变形：对差值进行化简、因式分解或配方等，方便判断其与的关系（若差值为常数，此步可省略）． ．判断：根据差值与的大小关系，得出结论：若，则；若，则；若，则． 比如比较“”和“”，作差得，因此；比较“”和“”，作差得，因此． 通过学习，小云同学尝试利用作差法解决下面三个问题： （1）__________； （2）时，__________； （3）第个问题，作差后并不能直接判断差的正负，小云试着寻找新的方法，由于每个数都有根号，而且是减法，能不能去掉根号或者转化为加法呢？聪明的小云联想到分母有理化，创造了“分子有理化”． 以此为例，． 请结合小云的思考完成第个问题，并写出比较的过程：与 28. 我们规定用表示一个数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”．例如：的“衍生数对”为． （1）数对的“衍生数对”是__________． （2）若数对与的“衍生数对”相同，则的值为__________． （3）若数对的“衍生数对”是，则的值为__________；的值为__________． （4）若数对的“衍生数对”是，当时比较和的大小关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $