3.2.1函数的单调性与最值 9类必考点复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数的单调性与最值 人教A版 · 必修第一册 · 期中复习培优 一、知识清单 （一）单调性的定义 设函数 的定义域为 ，区间 。若对任意 ，当 时都有 ，则 在 上单调递增；若都有 ，则 在 上单调递减。 单调性是区间性质：、 必须在同一区间内任意取，不能用几个特殊值代替；写法上多个单调区间用“和”或逗号隔开，不能写成并集。 （二）判定单调性的五种方法 1. 定义法（作差法）：取值、作差、变形、定号、下结论。变形要彻底，化成几个因式之积，每个因式的符号都能判断。 2. 图象法：图象上升对应递增，下降对应递减；分段函数分段看，注意分段点是否连续。 3. 运算性质：公共区间上，增函数加增函数为增函数，减函数加减函数为减函数； 递增则 递减； 且递增则 递减。 4. 复合函数（同增异减）：设 ，，内外层单调性相同则复合函数递增，相反则递减；使用前必须先求内层 的取值情况。 5. 分段讨论法：逐段判断单调性，再检验分段点两侧能否“接上”，两段都同向且衔接成立时整体才单调。 （三）函数的最值 设 ，。若存在 ，使对任意 都有 ，则 为最大值；若都有 ，则为最小值。最值点必须在定义域内，函数值必须真正取到。 求最值的常用路径：闭区间上先用单调性，端点即最值；二次函数配方看对称轴与区间位置；对勾函数用基本不等式并检验等号能否取到；分段函数逐段求值域再取并集。 （四）常用结论 1. 奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反。 2. 中， 时单调性不变， 时单调性反转。 3. 对勾函数 在 上递减、在 上递增，负半轴与正半轴对称。 （五）四条高频易错 第一，证明单调性时只代几个数比较大小，或作差后变形不彻底，符号判断不出来。 第二，复合函数只看外层，忘记内层函数的定义域与取值，把单调区间写到定义域之外。 第三，分段函数只保证各段单调，漏掉分段点处的衔接条件。 第四，把两个单调区间用并集符号连接，或把“在某区间上递增”误读为“在整个定义域上递增”。 二、九大核心考点 考点1　用定义证明函数的单调性 核心要点：取值、作差、变形、定号、结论五步齐全；差的变形要化成“正因式乘以正因式”，符号才看得清。 【典例1】 证明 在 上单调递增。 【典例2】 证明 在 上单调递减。 【变式1】 证明 在 上单调递减。 【变式2】 证明 在 上单调递增。 考点2　由图象读单调区间 核心要点：先把含绝对值、分段的解析式还原成图象，再按“上升为增、下降为减”写区间；区间端点归属以图象上该点是否被画到为准。 【典例1】 已知 ，写出它的单调区间。 【典例2】 已知 ，写出它的单调区间。 【变式1】 求 的单调区间。 【变式2】 已知 ，写出它的单调区间。 考点3　复合函数的单调性（同增异减） 核心要点：先解定义域，再拆成内层 与外层 ；内外层同向则复合递增，反向则复合递减，结论只能写在定义域内的子区间上。 【典例1】 求 的单调区间。 【典例2】 求 的单调递减区间。 【变式1】 求 的单调递减区间。 【变式2】 求 的单调区间。 考点4　分段函数的单调性（含参数） 核心要点：三件事都要查——各段自身单调、参数的符号范围、分段点处“左值不大于右值（递增）”或“左值不小于右值（递减）”；第三条最易漏。 【典例1】 已知 在 上单调递减，求 的取值范围。 【典例2】 已知 在 上单调递增，求 的取值范围。 【变式1】 已知 在 上单调递增，求 的取值范围。 【变式2】 已知 在 上单调递减，求 的取值范围。 考点5　利用单调性比较大小 核心要点：先把自变量化到同一个单调区间（偶函数取绝对值、奇函数取相反数），再比较自变量大小推出函数值大小；含参数时把不等式化为关于参数的不等式。 【典例1】 已知 是偶函数，且在 上单调递增，比较 、、 的大小。 【典例2】 已知 是奇函数，且在 上单调递增，若 ，求 的取值范围。 【变式1】 已知 是偶函数，且在 上单调递减，比较 、、 的大小。 【变式2】 已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增，若 ，求 的取值范围。 考点6　利用单调性解抽象不等式 核心要点：三步走——先写两个自变量的定义域条件，再按单调性脱去 ，最后取交集；递减函数脱符号后不等号要反转。 【典例1】 已知 的定义域为 ，且在定义域上单调递增，解不等式 。 【典例2】 已知 是偶函数，且在 上单调递减，解不等式 。 【变式1】 已知 的定义域为 ，且在定义域上单调递增，解不等式 。 【变式2】 已知 是定义在 上的奇函数，且在定义域上单调递增，若 ，求 的取值范围。 考点7　求函数的最值（闭区间与对勾型） 核心要点：闭区间上先定单调性，最值在端点；二次函数配方看对称轴是否落在区间内；对勾函数先用基本不等式，取不到等号时改用单调性比较端点。 【典例1】 求 ， 的最大值与最小值。 【典例2】 求 ， 的最大值与最小值。 【变式1】 求 ， 的最大值与最小值。 【变式2】 求 ， 的最大值与最小值。 考点8　已知最值求参数 核心要点：先写出最值关于参数的表达式（分对称轴在区间左、内、右三种情形），再与已知最值列方程；每种情形解出的参数都要回代检验是否落在该情形的范围内。 【典例1】 已知 ， 的最小值为 ，求 。 【典例2】 已知 ， 的最大值为 ，求 。 【变式1】 已知 ， 的最小值为 ，求 。 【变式2】 已知 ， 的最大值为 ，求 。 考点9　单调性与奇偶性综合 核心要点：奇偶性负责把自变量搬到同一侧，单调性负责脱去 ；先把 化为 （奇函数）或 与 （偶函数），再解不等式。 【典例1】 已知 是奇函数，且在 上单调递增，解不等式 。 【典例2】 已知 是偶函数，且在 上单调递增，，求不等式 的解集。 【变式1】 已知 是奇函数，且在 上单调递减，若 ，求 的取值范围。 【变式2】 已知 是偶函数，且在 上单调递减，解不等式 。 三、强化训练 【强化训练1】 用定义证明 在 上单调递减。 【强化训练2】 求 的单调递增区间。 【强化训练3】 已知 在 上单调递增，求 的取值范围。 【强化训练4】 已知 是偶函数，且在 上单调递减，比较 、、 的大小。 【强化训练5】 已知 的定义域为 ，且在定义域上单调递增，解不等式 。 【强化训练6】 求 ， 的最大值与最小值。 【强化训练7】 已知 ， 的最小值为 ，求 。 【强化训练8】 已知 是奇函数，在 上单调递增，，求不等式 的解集。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数的单调性与最值 （9 类必考点 · 教师版） 人教A版 · 必修第一册 · 期中复习培优 一、知识清单 （一）单调性的定义 设函数 的定义域为 ，区间 。若对任意 ，当 时都有 ，则 在 上单调递增；若都有 ，则 在 上单调递减。 单调性是区间性质：、 必须在同一区间内任意取，不能用几个特殊值代替；写法上多个单调区间用“和”或逗号隔开，不能写成并集。 （二）判定单调性的五种方法 1. 定义法（作差法）：取值、作差、变形、定号、下结论。变形要彻底，化成几个因式之积，每个因式的符号都能判断。 2. 图象法：图象上升对应递增，下降对应递减；分段函数分段看，注意分段点是否连续。 3. 运算性质：公共区间上，增函数加增函数为增函数，减函数加减函数为减函数； 递增则 递减； 且递增则 递减。 4. 复合函数（同增异减）：设 ，，内外层单调性相同则复合函数递增，相反则递减；使用前必须先求内层 的取值情况。 5. 分段讨论法：逐段判断单调性，再检验分段点两侧能否“接上”，两段都同向且衔接成立时整体才单调。 （三）函数的最值 设 ，。若存在 ，使对任意 都有 ，则 为最大值；若都有 ，则为最小值。最值点必须在定义域内，函数值必须真正取到。 求最值的常用路径：闭区间上先用单调性，端点即最值；二次函数配方看对称轴与区间位置；对勾函数用基本不等式并检验等号能否取到；分段函数逐段求值域再取并集。 （四）常用结论 1. 奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反。 2. 中， 时单调性不变， 时单调性反转。 3. 对勾函数 在 上递减、在 上递增，负半轴与正半轴对称。 （五）四条高频易错 第一，证明单调性时只代几个数比较大小，或作差后变形不彻底，符号判断不出来。 第二，复合函数只看外层，忘记内层函数的定义域与取值，把单调区间写到定义域之外。 第三，分段函数只保证各段单调，漏掉分段点处的衔接条件。 第四，把两个单调区间用并集符号连接，或把“在某区间上递增”误读为“在整个定义域上递增”。 二、九大核心考点 考点1　用定义证明函数的单调性 核心要点：取值、作差、变形、定号、结论五步齐全；差的变形要化成“正因式乘以正因式”，符号才看得清。 【典例1】 证明 在 上单调递增。 证明：任取 ，则 。 由 、 得 ，，故差为正，即 。 所以 在 上单调递增。 点拨：作差后提取公因式 是关键；若先配方成 ，也可直接用“对称轴右侧递增”说明，但证明题要求按定义写全。 【典例2】 证明 在 上单调递减。 证明：任取 ，则 。 由 得 ，，，故差为正，即 。 所以 在 上单调递减。 点拨：分式作差只需通分，分母的符号由“”保证；这一步不写清楚，等于没有证明。 【变式1】 证明 在 上单调递减。 证明：任取 ，则 。 由 ，且 （、 不同时为零），故差为正。 所以 在 上单调递减。 点拨：立方差的因式 恒正，需要配方说明，不能只写“显然大于零”。 【变式2】 证明 在 上单调递增。 证明：任取 ，则 。 由 得 ，，故 ，差为正。 所以 在 上单调递增。 点拨：两项分别处理后合并成一个因式，是这类“一次项加反比例项”的标准变形。 考点2　由图象读单调区间 核心要点：先把含绝对值、分段的解析式还原成图象，再按“上升为增、下降为减”写区间；区间端点归属以图象上该点是否被画到为准。 【典例1】 已知 ，写出它的单调区间。 解：，图象是以 为折点的“V”形。 在 上下降，在 上上升。 所以单调递减区间为 ，单调递增区间为 。 点拨：折点属于哪一段要看定义中是否取等，本题两段合成整个实数轴，折点归入递增区间即可。 【典例2】 已知 ，写出它的单调区间。 解：第一段为一次函数，斜率 ，在 上递增，值域为 。 第二段 开口向下、对称轴为 ，在 上递减。 所以单调递增区间为 ，单调递减区间为 。 点拨：分段点 处 ，恰是第二段的“最高点”，但它属于第一段，因此递增区间含 、递减区间不含 。 【变式1】 求 的单调区间。 解：当 时 ，开口向下，顶点在 ；当 时 ，开口向上。 按图象读：在 上上升，在 上下降；在 上下降，在 上上升。 所以单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 和 。 点拨：绝对值把抛物线“翻折”，单调区间由两段变四段；写成“”是典型错误。 【变式2】 已知 ，写出它的单调区间。 解：第一段斜率 ，在 上递增；第二段斜率 ，在 上递减。 分段点处 ，而 ，两段正好接上，图象先升到 再下降。 所以单调递增区间为 ，单调递减区间为 。 点拨：衔接连续只影响图象好不好看，不影响“区间分开写”的结论；本题若取 ，则整体既不增也不减，只能在两段内分别谈单调。 考点3　复合函数的单调性（同增异减） 核心要点：先解定义域，再拆成内层 与外层 ；内外层同向则复合递增，反向则复合递减，结论只能写在定义域内的子区间上。 【典例1】 求 的单调区间。 解：由 得 或 ，定义域为 。 内层 在 上递减，在 上递增；外层 递增，与内层同向。 所以单调递增区间为 ，单调递减区间为 。 点拨：外层是根号，随 增大而增大，所以复合后的单调性与内层完全一致；定义域是两段，必须分开叙述。 【典例2】 求 的单调递减区间。 解：分母不为零，定义域为 。 内层 ，在 上递减，在 上递增。 外层 在 与 上都递减，故复合后与内层反向。 内层递增的区间是 与 ，这两段上复合后递减。 所以单调递减区间为 和 。 点拨： 是分母的零点，必须从区间中剔出去； 在 处取最小值 ， 是单调性改变的分界。 【变式1】 求 的单调递减区间。 解：由 得 ，定义域为 。 内层 在 上递增，在 上递减；外层递增。 所以单调递减区间为 （递增区间为 ）。 点拨：题目只问递减区间时也要先算定义域，否则容易把 当作答案。 【变式2】 求 的单调区间。 解：定义域为 ，即 。 内层 在 上递减，在 上递增；外层 递减，复合后反向。 所以单调递增区间为 ，单调递减区间为 。 点拨：两个单调区间不能在 处合并，因为该点不在定义域内，两侧都被“截断”。 考点4　分段函数的单调性（含参数） 核心要点：三件事都要查——各段自身单调、参数的符号范围、分段点处“左值不大于右值（递增）”或“左值不小于右值（递减）”；第三条最易漏。 【典例1】 已知 在 上单调递减，求 的取值范围。 解：第一段为一次函数，递减需 ，即 ；第二段斜率为 ，本身递减。 衔接条件：分段点左侧的极限值要不小于右侧函数值，即 。 解得 。与 取交集得 。 所以 的取值范围是 。 点拨：两条限制一个管“斜率”，一个管“高低”，只查斜率会得到 这个偏大的范围。 【典例2】 已知 在 上单调递增，求 的取值范围。 解：第一段开口向上，在 上递减、在 上递增，要在 上递增需 。 第二段递增需 ，即 。 衔接条件： 不大于右段在 的极限值 ，即 ，解得 。 三者取交集得 。 所以 的取值范围是 。 点拨：本题衔接条件比顶点条件更“紧”，最终由 决定答案；三个条件都要列全再取交集。 【变式1】 已知 在 上单调递增，求 的取值范围。 解：第一段开口向上，在 上递减，要在 上递增需 ，即 。 第二段递增需 ，即 。 衔接条件： 不大于右段极限值 ，恒成立。 所以 的取值范围是 。 点拨：衔接条件两边恰好相等时取等号即可，此时图象在分段点处连续，单调性不受影响。 【变式2】 已知 在 上单调递减，求 的取值范围。 解：第一段递减需 ，即 。 第二段开口向下，在 上递减，需 （使其在 上递减）。 衔接条件：，解得 。 取交集得 。 所以 的取值范围是 。 点拨：开口向下时顶点给最大值，只有顶点在 及其左侧，右段才在整个 上递减。 考点5　利用单调性比较大小 核心要点：先把自变量化到同一个单调区间（偶函数取绝对值、奇函数取相反数），再比较自变量大小推出函数值大小；含参数时把不等式化为关于参数的不等式。 【典例1】 已知 是偶函数，且在 上单调递增，比较 、、 的大小。 解：由偶函数得 ，，三个自变量都化到 上。 因为 且 在该区间递增，所以 。 即 。 点拨：偶函数的用法是把负自变量换成它的绝对值，再去用正半轴的单调性。 【典例2】 已知 是奇函数，且在 上单调递增，若 ，求 的取值范围。 解：由 在 上递增， 等价于 。 解得 。 所以 的取值范围是 。 点拨：定义域为 时不必追加定义域条件；若定义域是有限区间，两个自变量都必须落进去。 【变式1】 已知 是偶函数，且在 上单调递减，比较 、、 的大小。 解：偶函数在 上递减，则在 上递增。 由偶性 ，，三个自变量化为 、、。 因为 且递增，所以 ，即 。 点拨：已知负半轴单调性时，先判断正半轴的单调性（偶函数反向），否则比较方向会整体搞反。 【变式2】 已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增，若 ，求 的取值范围。 解：奇函数在 上的单调性与 相同，故 在 上单调递增。 由递增得 ，即 。 由定义域得 （即 ）且 ，合并得 。 取交集得 。 所以 的取值范围是 。 点拨：奇函数只在“两个对称区间内单调性相同”，要先说明“在 上递增”，才能直接脱去 。 考点6　利用单调性解抽象不等式 核心要点：三步走——先写两个自变量的定义域条件，再按单调性脱去 ，最后取交集；递减函数脱符号后不等号要反转。 【典例1】 已知 的定义域为 ，且在定义域上单调递增，解不等式 。 解：由递增得 ，即 ，。 由定义域得 （即 ）且 （即 ）。 取交集得 。 所以解集为 。 点拨：定义域条件是两条，缺一条就会把 的部分错误地算进答案。 【典例2】 已知 是偶函数，且在 上单调递减，解不等式 。 解：偶函数 + 正半轴递减，自变量离原点越远函数值越小，故原不等式等价于 。 解得 。 所以解集为 。 点拨：递减时“ 大”对应“离原点近”，所以不等号方向写成 ；若改为递增，则要写 。 【变式1】 已知 的定义域为 ，且在定义域上单调递增，解不等式 。 解：由递增得 ，即 。 由定义域得 （即 ）且 （即 ）。 取交集得 。 所以解集为 。 点拨：本题 时两个自变量相等，不等式取不到等号，所以 不在解集内。 【变式2】 已知 是定义在 上的奇函数，且在定义域上单调递增，若 ，求 的取值范围。 解：移项得 。 由递增得 ，即 。 由定义域得 （即 ）且 。 取交集得 。 所以 的取值范围是 。 点拨： 这一步依赖奇函数；若函数是偶函数， 无法合并，需要改用 比较。 考点7　求函数的最值（闭区间与对勾型） 核心要点：闭区间上先定单调性，最值在端点；二次函数配方看对称轴是否落在区间内；对勾函数先用基本不等式，取不到等号时改用单调性比较端点。 【典例1】 求 ， 的最大值与最小值。 解：配方得 ，对称轴 落在区间内，故最小值 。 端点值：，，比较得最大值 。 所以最大值为 ，最小值为 。 点拨：对称轴在区间内时最小值必在顶点，最大值在离对称轴较远的端点，比较一次即可。 【典例2】 求 ， 的最大值与最小值。 解： 时 ，等号在 时成立，且 ，故最小值 。 端点值：，，比较得最大值 。 所以最大值为 ，最小值为 。 点拨：对勾函数在区间上先减后增，最小值由基本不等式给出，最大值必须比较两端点。 【变式1】 求 ， 的最大值与最小值。 解：配方得 ，开口向下，对称轴 在区间内，故最大值 。 端点值：，，比较得最小值 。 所以最大值为 ，最小值为 。 点拨：开口向下时顶点给最大值，最小值在距对称轴较远的端点取得，另一端只提供参考值。 【变式2】 求 ， 的最大值与最小值。 解： 时 ，等号在 即 时成立，该点在区间内，故最小值 。 端点值：，，比较得最大值 。 所以最大值为 ，最小值为 。 点拨：等号点 必须落在 内才可用基本不等式；若区间改为 ，最小值就要改用端点值。 考点8　已知最值求参数 核心要点：先写出最值关于参数的表达式（分对称轴在区间左、内、右三种情形），再与已知最值列方程；每种情形解出的参数都要回代检验是否落在该情形的范围内。 【典例1】 已知 ， 的最小值为 ，求 。 解：，对称轴 。 当 时， 在 上递增，最小值 ，与 不符。 当 时，最小值 ，解得 ，（负值舍去），符合 。 当 时， 递减，最小值 ，解得 ，不在 内，舍去。 所以 。 点拨：分类之后必须回代检验参数是否落在本类范围内，否则会把“越界解”混进答案。 【典例2】 已知 ， 的最大值为 ，求 。 解：，开口向下，顶点给最大值。 当 即 时， 在 上递减，最大值 ，解得 ，不在 内，舍去。 当 即 时，最大值 ，解得 ，，符合 。 当 即 时， 递增，最大值 ，解得 ，不在 内，舍去。 所以 。 点拨：顶点在区间内时最大值只与顶点有关，与端点无关；此时方程 有两个解，还要用范围筛掉一个。 【变式1】 已知 ， 的最小值为 ，求 。 解：，对称轴 。 当 即 时，最小值 ，解得 ，符合。 当 即 时，最小值 ，无实数解。 当 即 时，最小值 ，解得 ，不在 内，舍去。 所以 。 点拨：第二类方程无解要明确写“无实数解”，不能跳过；这是分类讨论题完整性的表现。 【变式2】 已知 ， 的最大值为 ，求 。 解： 是一次函数，最值必在端点，且最大值随 的正负而落在不同端点。 当 时递增，最大值 ，解得 。 当 时递减，最大值 ，解得 。 当 时 ，最大值不为 ，舍去。 所以 或 。 点拨：含参一次函数的最值必须按斜率正负分两类，本题两个答案都成立，不能只答一个。 考点9　单调性与奇偶性综合 核心要点：奇偶性负责把自变量搬到同一侧，单调性负责脱去 ；先把 化为 （奇函数）或 与 （偶函数），再解不等式。 【典例1】 已知 是奇函数，且在 上单调递增，解不等式 。 解：移项得 。 由奇函数在对称区间单调性相同， 在 上也递增，且 ，故 在 上递增。 由递增得 ，即 。 所以解集为 。 点拨： 是奇函数的核心用法；若漏写“在 上递增”这一步，脱符号就没有依据。 【典例2】 已知 是偶函数，且在 上单调递增，，求不等式 的解集。 解：偶函数在 上递增，则在 上递减，且 。 故 时 ， 时 。 当 时需 ，即 ；当 时需 ，即 。 所以解集为 。 点拨： 要按 的正负分两类讨论，再与 的符号配合；只解 会漏掉一半答案。 【变式1】 已知 是奇函数，且在 上单调递减，若 ，求 的取值范围。 解：移项得 。 由递减得 ，即 ，。 所以 的取值范围是 。 点拨：递减函数脱符号后不等号反转，这是本题唯一考点，写反即全错。 【变式2】 已知 是偶函数，且在 上单调递减，解不等式 。 解：由偶性得 ，原不等式等价于 。 解得 。 所以解集为 。 点拨：等号保留，所以用 ；若把题目改为“”，自变量要满足 ，两端点改为开。 三、强化训练 【强化训练1】 用定义证明 在 上单调递减。 证明：任取 ，，故 。 所以 在 上单调递减。 【强化训练2】 求 的单调递增区间。 解：由 得 。 内层 在 上递增，外层递增。 所以单调递增区间为 。 【强化训练3】 已知 在 上单调递增，求 的取值范围。 解：第一段递增需 ，即 ；第二段 在 上递增。 衔接条件：，解得 。 取交集得 ，即 。 【强化训练4】 已知 是偶函数，且在 上单调递减，比较 、、 的大小。 解：由偶性 ，。 因为 且递减，所以 。 即 。 【强化训练5】 已知 的定义域为 ，且在定义域上单调递增，解不等式 。 解：由递增得 ，即 。 由定义域得 （即 ）且 （即 ）。 取交集得 ，解集为 。 【强化训练6】 求 ， 的最大值与最小值。 解： 时 ，等号在 时成立，且 ，故最小值 。 端点值：，，比较得最大值 。 所以最大值为 ，最小值为 。 【强化训练7】 已知 ， 的最小值为 ，求 。 解：。当 时最小值 ，令 得 （不在该范围，舍去）。 当 时最小值 ，解得 ，两者都在范围内。 当 时最小值 ，令 得 ，不在该范围，舍去。 所以 或 。 【强化训练8】 已知 是奇函数，在 上单调递增，，求不等式 的解集。 解：奇函数在负半轴单调性与正半轴相同，且 ，故 在 上递增， 时 ， 时 。 当 时需 ，即 ；当 时需 ，但 时 ，无解。 所以解集为 。 1 学科网（北京）股份有限公司 $