3.2.2 奇偶性 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

年级

高一年级

学科

数学

教师

课题

3.2.2 奇偶性（人教A版必修第一册 第三章 3.2 函数的基本性质）

教学目标

数学抽象

经历从剪纸、建筑等生活中的对称现象到函数图象对称特征的抽象过程，通过观察 、 的图象并用符号语言概括出偶函数的定义，经历由特殊到一般的归纳过程，发展数学抽象素养。

直观想象

借助描点作图直观感知函数图象的对称性，理解奇偶性的几何意义，能依据图象判断函数的奇偶性，并能利用对称性由一侧图象想象另一侧图象，体会数形结合的思想。

逻辑推理

能用定义判断函数的奇偶性，规范书写“一看定义域、二验关系式”的判断步骤；能依据奇偶性由函数在对称区间一侧的解析式求出另一侧的解析式，发展逻辑推理素养。

数学运算

在求函数值、验证 与 是否成立、利用单调性比较函数值大小等运算中，提升数学运算素养。

教学重难点

重点：偶函数、奇函数定义的形成过程与运用定义判断函数的奇偶性；奇函数、偶函数的图象特征。

难点：对定义中“∀x∈I，都有 -x∈I”的理解；判断奇偶性时先考察定义域是否关于原点对称；利用奇偶性求对称区间上的解析式。

教学过程

教师活动

学生活动

一、导入新课（情境激疑，约5分钟）

教师：展示中国剪纸“双喜”图样与天坛祈年殿的照片，提问：这两幅图有什么共同特征？

教师：把剪纸沿中线对折，两侧完全重合——这是生活中的轴对称。追问：如果把图形放到平面直角坐标系中，“对称”能用怎样的数量关系来刻画？

教师：数学里也有大量“对称”的例子。请同学们用描点法画出函数 的图象（取 x=±1，±2，±3），观察图象的特征。

学生观察生活实例，回顾轴对称与中心对称；动手列表、描点、连线，发现图象关于 y 轴对称，并尝试用

， 等数量关系描述这种对称性。

二、新课讲授

（一）观察与归纳——偶函数

教师：引导学生列表、描点，在同一直角坐标系中画出 与 的图象。

　　x：　　-3　　-2　　-1　　0　　1　　2　　3

：　9　　4　　1　　0　　1　　4　　9

：　-1　　0　　1　　2　　1　　0　　-1

学生动手列表、描点、连线，观察并交流两个图象的共同特征。

学生把 x=±1，±2，±3 逐对代入计算，发现互为相反数的自变量对应的函数值相等。

学生类比单调性定义的生成过程，尝试用 概括“图象关于 y 轴对称”的特征，并完整表述偶函

图1　 与 的图象

教师：提出问题链：①这两个图象有什么共同特征？②当自变量取 x 与 -x 这一对相反数时，对应的函数值有什么关系？③能否借用上一节研究单调性的经验，用符号语言精确刻画“图象关于 y 轴对称”？

预设：两个图象都关于 y 轴对称；；一般地，对定义域内任意 x 都有

。

偶函数的定义：一般地，设函数 的定义域为 I，如果 ，都有 ，且 ，那么称函数 为偶函数。

追问：定义中为什么要强调“∀x∈I，都有 -x∈I”？（预设：x 与 -x 必须同时在定义域内，即定义域关于原点对称，否则 f(-x) 无意义。）

数的定义。

学生讨论“定义域关于原点对称”这一前提的必要性。

（二）类比探究——奇函数

教师：类比研究偶函数的路径（作图—观察—归纳—定义），请各小组研究 与 （x≠0）的图象与性质，并派代表展示。

图2　 与 的图象

预设：两个图象都关于原点对称；；一般地，对定义域内任意 x 都有

。

奇函数的定义：一般地，设函数 的定义域为 I，如果 ，都

学生小组合作，类比偶函数的研究方法自主完成作图、观察、归纳，派代表上台展示并讲解。

学生发现两个图象都关于原点对称，归纳出 ，并独立表述奇函数的定义。

学生讨论得出“奇函数若在原点处有定义，则函数值必为 0”的推论。