精品解析：广东省佛山市南海区大沥镇2026～2027学年度九年级数学阶段供题训练

26-27上大沥镇初中供题训练 九年级数学试题 说明：1．全卷共4页，满分120分．考试用时位120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的学校、班级、姓名和座位号． 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项式符合题目的要求） 1. 如果都不为零，且，那么下列比例正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比例的基本性质，熟练掌握比例的内项之积等于外项之积是解题的关键，将选项按比例性质转化为等积式，和已知条件对比即可得到正确结果. 【详解】解：都不为零，且已知. 根据比例的内项之积等于外项之积，对各选项变形： A选项变形得，不符合已知条件； B选项变形得，不符合已知条件； C选项变形得，符合已知条件； D选项变形得，不符合已知条件． 故选C． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 四条边相等的四边形是正方形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 有一组对边相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】需注意各特殊四边形判定定理的适用前提，逐一验证选项． 【详解】解：A、四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，错误； B、 对角线相等的平行四边形是矩形，仅对角线相等的四边形无法判定为矩形，错误； C、 平行四边形的对边相等，有一组邻边相等的平行四边形才是菱形，错误； D、 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，符合菱形判定条件． 3. 方程的两根是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴ 或， 解得 或． 4. 如图，已知正方形对角线上有一点，连接，平分，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为四边形是正方形，所以先根据正方形对角线的性质，得到、、的度数，因为平分，所以根据角平分线的定义，计算出的度数，因为，所以代入对应角度即可得到结果． 【详解】在正方形中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 5. 如图是一张横格数学作业纸，纸中的横线都平行，且相邻两条横线间的距离都相等．直线和作业纸的横格交于点、、．若线段，则线段的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵纸中的横线都平行，且相邻两条横线间的距离都相等， ∴， ∵线段， ∴． 6. 用配方法解方程时，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：， 移项得， 配方得， 即． 7. 神奇的自然界处处蕴含着数学知识，动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其上一圈螺纹的直径与相邻下一圈螺纹直径的比约为黄金比．若上一圈螺纹的直径为a，则相邻下一圈螺纹的直径约为（ ） A. B. 2a C. D. 4a-1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查黄金比例，掌握知识点是解题的关键． 设相邻下一圈螺纹的直径为x，根据黄金比例，列方程求解即可． 【详解】解：设相邻下一圈螺纹的直径为x， 根据题意得： ． 故选：C． 8. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为15米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块50平方米的长方形菜地作为实践基地，如图所示．设长方形的一边长为米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设长方形的一边长为米，则长方形的另一边长为，再根据长方形面积公式列出方程即可． 【详解】解：设长方形的一边长为米，则长方形的另一边长为米， 由题意得，， 故选：D． 9. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点、、、都在格点上，连接、交于点，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 10. 将四边形按如图所示的折纸方法展开后，下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据折叠性质得出，得出，证明，即可得出结论． 【详解】解：由折叠得：， ，故A、B都一定正确； ， ， ， ， ，故C一定正确； 无法得出，故D不一定正确． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，据此列等式和不等式求解的值． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且， 由，得， 由，得， ∴． 12. 若两个相似三角形对应高的比为，则这两个相似三角形的相似比为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用相似三角形对应高的比等于相似比的性质求解即可． 【详解】解：∵相似三角形对应高的比等于相似比，已知两个相似三角形对应高的比为， ∴这两个相似三角形的相似比为． 13. 如图，在中，，点为的中点，某同学用刻度尺测量长度时，点，对应的刻度分别为，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质即可得答案． 【详解】解：∵点，对应的刻度分别为，， ∴， ∵点为的中点，， ∴． 14. 一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），若共要比赛90场，则共有___________支队参加比赛． 【答案】10 【解析】 【分析】设共有支队参加比赛，根据双循环赛制的场次关系列出一元二次方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果． 【详解】解：设共有支队参加比赛， ∵双循环赛制每两队之间赛两场，总比赛场次为， 根据题意列出方程， ， 整理得， 解方程得或， ∵参赛队伍的数量为正整数， ∴舍去不符合题意的， ∴共有10支队参加比赛． 15. 如图，在边长为的等边中，点为中点，点，分别在，边上，若连接，，且．设，，则关于的方程根的个数情况为_________（填序号） ①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根；④无法判断 【答案】② 【解析】 【分析】根据等边三角形性质及平角定义推出，证得，利用相似比得出，结合一元二次方程根的判别式即可判断． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴； ∵点E为中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 在方程中，， ∴方程有两个相等的实数根． 三．解答题一（共3小题，每小题7分，共21分） 16. 已知是方程的一个根． （1）求p的值； （2）求方程另一个根． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本方法，是解题的关键． （1）先将代入方程，求出p的值即可； （2）将p的值代入方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵是方程的一个根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：把代入方程得：， 解得，， ∴另一个根为． 17. 已知，是方程的两个根． （1）填空： ， ． （2）求：的值． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）由方程的根可得，，代入后即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵，是方程的两个根， ∴，． 【小问2详解】 解：∵，是方程的两个根， ∴，，， ∴，， ∴ ． 18. 如图，在矩形中，E是边的中点，连接交对角线于点F，若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，根据矩形的性质，证明，列出比例式，进行求解即可． 【详解】解：在矩形中，． 在中，． ∵E为的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 四．解答题二（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，已知菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1） 如图，∵四边形为菱形， ∴；而，， ∴， ∴四边形是矩形． （2）14 【解析】 【分析】（1）首先根据菱形的性质得到，然后利用平行线的性质得到，然后证明即可； （2）首先根据菱形的性质得到，然后利用勾股定理得到，进而求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形为菱形， ∴，，， 由勾股定理得： ，而， ∴， ∴四边形的周长． 【点睛】此题考查了矩形的判定，菱形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 20. 一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至月初，《给阿嬷的情书》票房已超亿元． （1）已知月日至月日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为万，第三天日票房为万，那么这三天日票房的平均增长率是多少？ （2）随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为元时，每天约有名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少人，经涨价后发现每天营收增加了元，则扛标旗单价上涨了多少元？ 【答案】（1）这三天票房的平均增长率为； （2）扛标旗单价上涨了2元或5元． 【解析】 【分析】（1）设这三天票房的平均增长率为，根据题意列方程解答即可； （2）设单价上涨了元，根据题意列方程解答即可． 【小问1详解】 解：设这三天票房的平均增长率为 解得：， （舍去） 答：这三天票房的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设单价上涨了元， 解得：， 答：扛标旗单价上涨了2元或5元． 21. 【定义新运算】对于非零实数、，定义运算“”，满足． （1）计算： ； 【探究新运算】 （2）关于x的方程有两个相等的实数根，求k的值； 【应用新运算】 （3）如图，在菱形中，点在上，，若、、，求的值． 【答案】（1） （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）根据题意直接计算即可； （2）根据题意得出一元二次方程，然后利用根的判别式建立不等式求解即可； （3）根据菱形的性质得出 ，确定，再由相似三角形的判定和性质得出，，确定，代入求解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 ，即 ， 由题意，得 ， ； 【小问3详解】 ∵在菱形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 五．解答题三（共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 【答案】（1）的值为；（2）；（3）直角三角形的面积为4或16或12或． 【解析】 【分析】（1）根据，，．证明，，继而得到，即，再证明，得到． （2）连接，延长交于点Q，根据(1)得，得到，根据中线得到，继而得到，结合，得到即，得到，再证明，得证矩形，再利用勾股定理，三角形相似的判定和性质计算即可． （3）运用分类思想解答即可． 【详解】（1）∵，，． ∴， ∴，， ∴即， ∵ ∴， ∴． （2）连接，延长交于点Q，根据（1）得， ∴， ∵是中线 ∴， ∴， ∵， ∴即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． （3）如图，当与重合时，此时，此时是直角三角形， 故； 如图，当在的延长线上时，此时，此时是直角三角形， 故； 如图，当时，此时是直角三角形， 过点A作于点Q， ∵， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故； 如图，当时，此时是直角三角形，过点A作于点Q，交于点N， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 故． 综上，直角三角形的面积为4或16或12或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理的判定和应用，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理是解题的关键． 23. 如图1，在边长为1的正方形中，E是边上的动点（不与点A，D重合）．将沿翻折，得到．过点F作，，垂足分别为M，N． （1）如图2，若，求的值； （2）如图3，若E为中点，则的长为_______，的长为_______； （3）求点E运动过程中的最大值． 【答案】（1）1 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据翻折可得，根据角平分线定理可得平分，可得，进而可得，即可求出的值； （2）根据翻折可得，计算直角三角形斜边上的高，根据等面积法计算即可，再证得四边形为矩形，，得到，即可解出的长； （3）如图，延长交于，连接，证明，得到，设，，表示出，，，然后代入求出，然后表示出后利用二次函数的性质求解． 【小问1详解】 解：∵，，且， ∴平分， ∴， ∵沿翻折得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：延长交于， ∵正方形的边长为1，且E为中点， ∴，，，， ∵沿翻折得到， ∴， ∴，，， 在中，， ∵， ∴ ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：如图，延长交于，连接 由翻转得，点A，M，F三点共线， ∴ 由（2）得， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 设， ∴，， ∴ ∴ 整理得， ∴ ∵ ∴当时，取得最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 26-27上大沥镇初中供题训练 九年级数学试题 说明：1．全卷共4页，满分120分．考试用时位120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的学校、班级、姓名和座位号． 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项式符合题目的要求） 1. 如果都不为零，且，那么下列比例正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 四条边相等的四边形是正方形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 有一组对边相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 3. 方程的两根是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 4. 如图，已知正方形对角线上有一点，连接，平分，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一张横格数学作业纸，纸中的横线都平行，且相邻两条横线间的距离都相等．直线和作业纸的横格交于点、、．若线段，则线段的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 用配方法解方程时，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 神奇的自然界处处蕴含着数学知识，动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其上一圈螺纹的直径与相邻下一圈螺纹直径的比约为黄金比．若上一圈螺纹的直径为a，则相邻下一圈螺纹的直径约为（ ） A. B. 2a C. D. 4a-1 8. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为15米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块50平方米的长方形菜地作为实践基地，如图所示．设长方形的一边长为米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点、、、都在格点上，连接、交于点，那么的值是（ ） A. B. C. D. 10. 将四边形按如图所示的折纸方法展开后，下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值为______． 12. 若两个相似三角形对应高的比为，则这两个相似三角形的相似比为______． 13. 如图，在中，，点为的中点，某同学用刻度尺测量长度时，点，对应的刻度分别为，，则的长为________． 14. 一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），若共要比赛90场，则共有___________支队参加比赛． 15. 如图，在边长为的等边中，点为中点，点，分别在，边上，若连接，，且．设，，则关于的方程根的个数情况为_________（填序号） ①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根；④无法判断 三．解答题一（共3小题，每小题7分，共21分） 16. 已知是方程的一个根． （1）求p的值； （2）求方程另一个根． 17. 已知，是方程的两个根． （1）填空： ， ． （2）求：的值． 18. 如图，在矩形中，E是边的中点，连接交对角线于点F，若，求的长． 四．解答题二（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，已知菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的周长． 20. 一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至月初，《给阿嬷的情书》票房已超亿元． （1）已知月日至月日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为万，第三天日票房为万，那么这三天日票房的平均增长率是多少？ （2）随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为元时，每天约有名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少人，经涨价后发现每天营收增加了元，则扛标旗单价上涨了多少元？ 21. 【定义新运算】对于非零实数、，定义运算“”，满足． （1）计算： ； 【探究新运算】 （2）关于x的方程有两个相等的实数根，求k的值； 【应用新运算】 （3）如图，在菱形中，点在上，，若、、，求的值． 五．解答题三（共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 23. 如图1，在边长为1的正方形中，E是边上的动点（不与点A，D重合）．将沿翻折，得到．过点F作，，垂足分别为M，N． （1）如图2，若，求的值； （2）如图3，若E为中点，则的长为_______，的长为_______； （3）求点E运动过程中的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $