精品解析：广东省佛山市南海区桂城街道石石肯初级中学2025-2026学年九年级上学期12月期中数学试题

石肯中学2025-2026学年九年级上学期12月期中数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 1. 已知，则x，y一定满足（　　） A. ， B. ， C. D. 2. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由个大小相同的正方体搭成的几何体，该几何体的俯视图（ ） A. B. C. D. 4. 在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球共40个，除颜色外其他都相同，小王通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.35左右，则布袋中黄球可能有（　　） A. 12个 B. 14个 C. 18个 D. 28个 5. 已知a是方程x2-2x-1=0的一个根，则代数式2a2-4a-1的值为（　　） A. 1 B. C. 或1 D. 2 6. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=4，AE=3，CE=6，那么BD的值是（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 7. 关于x的一元二次方程9x2-6x+k=0有两个不相等的实根，则k的范围是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，等宽的丝带重叠部分一定是（ ） A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 以上都有可能 9. 已知反比例函数y=﹣，下列结论：①图象必经过（﹣2，4）；②图象在二，四象限内；③y随x的增大而增大；④当x＞﹣1时，则y＞8．其中错误的结论有（　　）个 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 10. 函数y=与y=-kx+k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：2cos60°+tan45°=____． 12. 如图，电灯P在横杆的正上方，在灯光下的影子为， ，，，点P到的距离为，则与间的距离是_____． 13. 如图，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（蜡烛到小孔的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．则关于的函数表达式是__________． 14. 如图，现有测试距离为5m的一张视力表，表上一个E的高AB为2cm，要制作测试距离为3m的视力表，其对应位置的E的高CD为____cm． 15. 如图，点P在反比例函数y=（x＜0）的图象上，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点A、B，已知矩形PAOB的面积为8，则k=______． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：． 17. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点都在格点上，其坐标分别为． （1）请以点O为位似中心，画出符合条件的的所有位似图形，使之与的相似比为． （2）内一点，经过如此位似变化后，对应点的坐标是　　． 18. 有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和-2；乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字-1、0和2．小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为x；再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为y，设点A的坐标为（x，y）． （1）请用表格或树状图列出点A所有可能的坐标； （2）求点A在反比例函数y=图象上的概率． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在平行四边形中，连接，点E为上一点． （1）在边的下方求作一点F，使得且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接、、．若，求证：四边形是菱形． 20. 某电子器件厂生产一种电脑显卡，2021年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2022年，2023年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2023年该电脑显卡的出厂价调整为162元/件． （1）这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率． （2）2023年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了尽快减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出2个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？ 21. 如图，点D，E在线段BC上，△ADE是等边三角形，且∠BAC=120° （1）求证：△ABD∽△CAE； （2）若BD=2，CE=8，求BC的长． 五、解答题（三）（本大题2小题，22题13分，23题14分） 22. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为10°． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（参考数据：，，） 23. 如图，直线y=ax+2与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，b）．将线段AB先向右平移1个单位长度、再向上平移t（t＞0）个单位长度，得到对应线段CD，反比例函数（x＞0）的图象恰好经过C、D两点，连接AC、BD． （1）求a和b的值； （2）求反比例函数的表达式及四边形ABDC的面积； （3）点N在x轴正半轴上，点M是反比例函数（x＞0）的图象上的一个点，若△CMN是以CM为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石肯中学2025-2026学年九年级上学期12月期中数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确） 1. 已知，则x，y一定满足（　　） A. ， B. ， C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两内项之积等于两外项之积解答即可． 【详解】解：∵3x=2y， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟记两内项之积等于两外项之积是解题的关键． 2. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题利用了勾股定理和锐角三角函数的定义求解，掌握相关知识是解题的关键．先根据勾股定理求出的长，再根据锐角三角函数的定义解答． 【详解】解：在中，，，， ， ， 则的值为． 故选：A． 3. 如图是由个大小相同的正方体搭成的几何体，该几何体的俯视图（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据俯视图的定义即可判断． 【详解】解：从上往下看得到的平面图形是D， 故选：D． 【点睛】本题考查三视图，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 4. 在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球共40个，除颜色外其他都相同，小王通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.35左右，则布袋中黄球可能有（　　） A. 12个 B. 14个 C. 18个 D. 28个 【答案】B 【解析】 【分析】设需要往盒子里再放入x个黄球， “在大次数的实验中，当某事件发生的频率逐渐稳定下来，在某个常数周围作小幅波动时，摸到黄球的频率稳定在0.35左右，利用公式P=即可求出． 【详解】设布袋中黄球可能为x个，， x=0.35×40=14个， 故选择：B． 【点睛】熟悉某事件发生的概率与频率间的关系：“在大次数的实验中，当某事件发生的频率逐渐稳定下来，在某个常数周围作小幅波动时，我们就说这个常数是该事件发生的概率”是解答本题． 5. 已知a是方程x2-2x-1=0的一个根，则代数式2a2-4a-1的值为（　　） A. 1 B. C. 或1 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】分析：根据一元二次方程的解的定义得到即 原式变形， 整体代入即可． 详解：∵a是方程的一个根， ∴ ∴ 故选A. 点睛：考查了一元二次方程的解，采用了整体代入法，难度适中. 6. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=4，AE=3，CE=6，那么BD的值是（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【详解】∵DE∥BC， ∴， ∵AD=4，AE=3，CE=6， ∴， ∴BD=8， 故选C． 7. 关于x的一元二次方程9x2-6x+k=0有两个不相等的实根，则k的范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣6）2﹣4×9k＞0，然后解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程9x2﹣6x+k=0有两个不相等的实根， ∴△=（﹣6）2﹣4×9k＞0， 解得k＜1． 故选A． 8. 如图，等宽的丝带重叠部分一定是（ ） A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 以上都有可能 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和菱形的判定，正确掌握平行四边形的判定和菱形的判定是解题的关键． 过点A作于点E，于点F，先证明四边形是平行四边形，再证明，然后根据菱形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：如图，过点A作于点E，于点F， 两条丝带宽度相同， ， 根据题意得：，， 四边形是平行四边形， 又， ， 是菱形， 即等宽的丝带重叠部分一定是菱形． 故选：C． 9. 已知反比例函数y=﹣，下列结论：①图象必经过（﹣2，4）；②图象在二，四象限内；③y随x的增大而增大；④当x＞﹣1时，则y＞8．其中错误的结论有（　　）个 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，逐一进行判断即可得答案． 【详解】①当x=﹣2时，y=4，即图象必经过点（﹣2，4）； ②k=﹣8＜0，图象在第二、四象限内； ③k=﹣8＜0，每一象限内，y随x的增大而增大，错误； ④k=﹣8＜0，每一象限内，y随x的增大而增大，若0＞x＞﹣1，﹣y＞8，故④错误， 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 10. 函数y=与y=-kx+k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分k＞0和k＜0两种情况确定正确的选项即可． 【详解】解：当k＞0时，反比例函数的图象位于第一、三象限，一次函数的图象交y轴于正半轴，y随着x的增大而减小，A选项符合，C选项错误； 当k＜0时，反比例函数的图象位于第二、四象限，一次函数的图象交y轴于负半轴，y随着x的增大而增大，B、D均错误； 故选A． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的图象性质：解题的关键是分两种情况确定答案，难度不大． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：2cos60°+tan45°=____． 【答案】2 【解析】 【详解】解：原式=． 故答案为2． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值． 12. 如图，电灯P在横杆的正上方，在灯光下的影子为， ，，，点P到的距离为，则与间的距离是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题关键是熟练掌握相似三角形对应高的比等于相似比． 作于E，交于F，则，利用可判断，利用相似比计算出，然后计算出即可． 【详解】解：作于E，交于F，如图，则， ∵， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴． ∴与间的距离是． 故答案为6． 13. 如图，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（蜡烛到小孔的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．则关于的函数表达式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法求出函数表达式即可； 【小问1详解】 解：由题意设：， 把，代入，得． ∴y关于x的函数表达式为； 故答案为：． 【点睛】此题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 14. 如图，现有测试距离为5m的一张视力表，表上一个E的高AB为2cm，要制作测试距离为3m的视力表，其对应位置的E的高CD为____cm． 【答案】1.2 【解析】 【分析】证明△OCD∽△OAB，然后利用相似比计算出CD即可． 【详解】解：OB=5m，OD=3m，AB=2cm， ∵CD∥AB， ∴△OCD∽△OAB， ∴，即， ∴CD=1.2， 即对应位置的E的高CD为1.2cm． 故答案为1.2． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，利用三角形相似的性质求相应线段的长． 15. 如图，点P在反比例函数y=（x＜0）的图象上，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点A、B，已知矩形PAOB的面积为8，则k=______． 【答案】-8 【解析】 【分析】根据反比例函数k的几何意义可得|k|=-8，再根据图象在二、四象限可确定k＜0，进而得到解析式． 【详解】解：∵S矩形PAOB=8， ∴|k|=8， ∵图象在二、四象限， ∴k＜0， ∴k=-8， 故答案为-8． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据配方法解一元二次方程的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】解： 或， ∴，． 17. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点都在格点上，其坐标分别为． （1）请以点O为位似中心，画出符合条件的的所有位似图形，使之与的相似比为． （2）内一点，经过如此位似变化后，对应点的坐标是　　． 【答案】（1） 或如图： （2）或 【解析】 【分析】本题考查了作位似图形以及位似图形性质，坐标与图形： （1）以点O为位似中心，结合且相似比为，分在轴的同侧或异侧进行作答； （2）根据（1）所做的图，结合相似比为以及两个情况，即可作答． 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据位似图形上对应两点与位似中心的距离之比等于位似比，与的相似比为， 则内一点，经过如此位似变化后，对应点的坐标是 或与的相似比为，则对应点的坐标是 综上则内一点，经过如此位似变化后，对应点的坐标是或 18. 有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和-2；乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字-1、0和2．小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为x；再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为y，设点A的坐标为（x，y）． （1）请用表格或树状图列出点A所有可能的坐标； （2）求点A在反比例函数y=图象上的概率． 【答案】 （1）根据题意，可以画出如下的树状图： 则点A所有可能的坐标有：（1，-1）、（1，0）、（1，2）、（-2，-1）、（-2，0）、（-2，-2）； （2）． 【解析】 【分析】（1）横坐标的可能性有两种，纵标的可能性有3种，则A点的可能性有六种，画出树状图即可； （2）根据点A要在反比例函数y=的图象，则横纵坐标的乘积为2，从而可以选出符合条件的A点，算出概率． 【详解】解：（1）略 （2）在反比例函数y=图象上的坐标有：（1，2）、（-2，-1），       所以点A在反比例函数y=图象上的概率为：． 【点睛】本题考查了概率、反比例函数上点的特征，题目难度不大，解题的关键是对用树状图或者列表法求概率的熟练掌握和对反比例函数点的特征的熟悉． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在平行四边形中，连接，点E为上一点． （1）在边的下方求作一点F，使得且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接、、．若，求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 图形如图所示： ； （2） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）在的下方作，且，连接即可； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 某电子器件厂生产一种电脑显卡，2021年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2022年，2023年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2023年该电脑显卡的出厂价调整为162元/件． （1）这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率． （2）2023年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了尽快减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出2个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？ 【答案】（1）平均下降率为 （2）单价应降低15元 【解析】 【分析】（1）设平均下降率为，依题意得：，求解即可； （2）设单价应降低元，根据每个的销售利润×每天可售出数量得总利润列方程求解． 【小问1详解】 解：设平均下降率为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）. 答：平均下降率为； 【小问2详解】 设单价应降低元， 则每个的销售利润为元，每天可售出个， 依题意得：， 解得：，， ∵为了减少库存，∴， 答：单价应降低15元． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，正确理解增长率问题及销售问题的关系列得方程是解题的关键． 21. 如图，点D，E在线段BC上，△ADE是等边三角形，且∠BAC=120° （1）求证：△ABD∽△CAE； （2）若BD=2，CE=8，求BC的长． 【答案】 （1）证明：∵∠BAC=120°， ∴∠BAD+∠EAC=60°， ∵△ADE是等边三角形， ∴∠ADE=∠AED=60°， ∴∠BAD+∠B=60°，∠ADB=∠AEC=120°， ∴∠B=∠EAC，又∠ADB=∠AEC， ∴ABD∽△CAE； （2）14. 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质、三角形的外角的性质得到∠B=∠EAC，∠ADB=∠AEC，根据相似三角形的判定定理证明结论； （2）根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵△ABD∽△CAE， ∴=，即AD2=BD•CE=16， 解得，AD=4，则DE=4， ∴BC=BD+DE+EC=14． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 五、解答题（三）（本大题2小题，22题13分，23题14分） 22. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为10°． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（参考数据：，，） 【答案】（1）酒精灯与铁架台的水平距离的长度为 （2）线段的长度为 【解析】 【分析】（1）过点作于点，直接利用的余弦即可求出，从而得到的长度； （2）过点作于点，于点，过点作于点，先在中求出，，进而求出，，利用即可解决问题． 【小问1详解】 解：过点作于点， ，， ，， ， ， ， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为； 【小问2详解】 过点作于点，于点，过点作于点， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：线段的长度为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 23. 如图，直线y=ax+2与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，b）．将线段AB先向右平移1个单位长度、再向上平移t（t＞0）个单位长度，得到对应线段CD，反比例函数（x＞0）的图象恰好经过C、D两点，连接AC、BD． （1）求a和b的值； （2）求反比例函数的表达式及四边形ABDC的面积； （3）点N在x轴正半轴上，点M是反比例函数（x＞0）的图象上的一个点，若△CMN是以CM为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点M的坐标． 【答案】（1）a=﹣2，b=2；（2）y=，4；（3）点M的坐标为（4，1）或（+1，﹣1） 【解析】 【分析】（1）利用坐标轴上的点的特点即可得出结论； （2）先表示出点C，D坐标，进而代入反比例函数解析式中求解得出k，再判断出BC⊥AD，最后用对角线积的一半即可求出四边形的面积； （3）分两种情况，构造全等的直角三角形即可得出结论． 【详解】（1）将点A（1，0）代入y=ax+2，得0=a+2，∴a=﹣2，∴直线的解析式为y=﹣2x+2． 将x=0代入上式，得y=2，∴b=2． （2）由（1）知，b=2，∴B（0，2），由平移可得：点C（2，t）、D（1，2+t）． 将点C（2，t）、D（1，2+t）分别代入y=，得 ∴，∴反比例函数的解析式y=，点C（2，2）、点D（1，4）． 如图1，连接BC、AD． ∵B（0，2）、C（2，2），∴BC∥x轴，BC=2． ∵A（1，0）、D（1，4），∴AD⊥x轴，AD=4，∴BC⊥AD，∴S四边形ABD=×BC×AD=×2×4=4． （3）①当∠NCM=90°、CM=CN时，如图2，过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G．过点M作MF⊥直线l于点F，交x轴于点H．过点N作NE⊥直线l于点E． 设点N（m，0）（其中m＞0），则ON=m，CE=2﹣m． ∵∠MCN=90°，∴∠MCF+∠NCE=90°． ∵NE⊥直线l于点E，∴∠ENC+∠NCE=90°，∴∠MCF=∠ENC． ∵∠MFC=∠NEC=90°，CN=CM，∴△NEC≌△CFM， ∴CF=EN=2，FM=CE=2﹣m， ∴FG=CG+CF=2+2=4，∴xM=4． 将x=4代入y=，得y=1，∴点M（4，1）； ②当∠NMC=90°、MC=MN时，如图3，过点C作直线l⊥y轴与点F，则CF=xC=2．过点M作MG⊥x轴于点G，MG交直线l与点E，则MG⊥直线l于点E，EG=yC=2． ∵∠CMN=90°，∴∠CME+∠NMG=90°． ∵ME⊥直线l于点E，∴∠ECM+∠CME=90°，∴∠NMG=∠ECM． 又∵∠CEM=∠NGM=90°，CM=MN，∴△CEM≌△MGN，∴CE=MG，EM=NG． 设CE=MG=a，则yM=a，xM=CF+CE=2+a，∴点M（2+a，a）． 将点M（2+a，a）代入y=，得a=．解得a1=﹣1，a2=﹣﹣1，∴xM=2+a=+1，∴点M（+1，﹣1）． 综合①②可知：点M的坐标为（4，1）或（+1，﹣1）． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查待定系数法，全等三角形的判定和性质，四边形的面积的计算方法，构造出全等三角形是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $