专题20 垂径定理的综合应用（重难点培优讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题20 垂径定理的综合应用 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01垂径定理的判别 题型02根据垂径定理求线段的长度 题型03根据垂径定理求面积 题型04根据垂径定理求坐标 题型05根据垂径定理解决平行弦问题 题型06根据垂径定理解决同心圆问题 题型07利用垂径定理进行网格作图 题型08利用垂径定理求整点的个数 题型09根据垂径定理解决动点问题 题型10 利用垂径定理解决实际问题 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． ③AMBM ⑤ ①CD是直径 ②CDAB 如图， ④ ⇒ 【针对训练】 1．以下命题正确的是（   ） A．任何一条直径都是圆的对称轴 B．周长相等的圆是等圆 C．平分弦的直径垂直于弦 D．直径是圆上任意两点所连的线段 2．如图，是的直径，是弦，，垂足为M，则下列结论中错误的是（   ）    A． B． C． D． 3．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的是（    ） A．AE＝BE B．OE＝DE C． D． 知识点二 垂径定理的推论 3. 垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． ①CD是直径 如图， ②AMBM （AB不是直径） ③CDAB ⑤ ④ ⇒ 由垂径定理以及推论可知，如果一条直线具备①经过圆心（直径）；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中任意两条性质，就具备其他三条性质，简称“知二推三”． 【针对训练】 4．如图，的半径为10，，P是弦上的一个动点（不与A，B重合），符合条件的的值不可能是（    ） A．7.5 B．6.5 C．6 D． 5．如图，将一把宽为的刻度尺（单位：）放在一个圆形茶杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿相交的两个交点的读数恰好是2和10，则茶杯的杯口外沿半径为 ． 6．如图，是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求的长度； (2)求的长度． 典例精析 题型01垂径定理的判别 【典例】有下列四个命题： ①垂直于弦的直径平分这条弦；②平分弦的直径垂直于这条弦；③垂直平分弦的直线经过圆心， ④平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦． 其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式】如图，，，分别交，于点E，F，连接，则下列结论中不一定正确的是（     ）    A． B．， C．为等腰三角形 D．为等边三角形 题型02根据垂径定理求线段的长度 【典例】如图，已知的直径垂直弦于点，连接并延长交于点，且 (1)求证：点是的中点； (2)若，求的长． 【变式】如图，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 题型03根据垂径定理求面积 【典例】如图，为的直径，弦于点，连接，，，为的中点，且， (1)求的长； (2)当时，求的面积． 【变式】如图，为半圆的直径，O为圆心，，延长到A，使得，直线与半圆交于B，C两点，且． (1)求弦的长； (2)求的面积．    题型04根据垂径定理求坐标 【典例】如图，半径为5的经过M，N两点，若已知两点坐标分别为，，则A点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式】如图在平面直角坐标系中点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴，以为直径的经过点O，连接，过点D作于点E，若，，则圆心点D的坐标是________．    题型05根据垂径定理解决平行弦问题 【典例】如图，在中，半径为5，是两条弦，，，于点，于点．点在上运动，则的最小值为_______． 【变式】若弦，是的两条平行弦，的半径为13，，，则，之间的距离为___________ 题型06根据垂径定理解决同心圆问题 【典例】如下图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C和D两点，AB＝10cm，CD＝6cm，则AC长为_____cm． 【变式】将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 题型07利用垂径定理进行网格作图 【典例】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式】如图，在的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，请按要求作图： (1)已知点B在上，作所在圆的圆心O（保留作图痕迹）； (2)作格点（顶点均在格点上），使与互补． 题型08利用垂径定理求整点的个数 【典例】如图，直径为的内有一点，且，则经过点的所有弦中长度为整数的有________条．    【变式】如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN=10，AB=8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是_____，⊙C上的整数点有_______个． 题型09根据垂径定理解决动点问题 【典例】如图，在⊙O中，AD为直径，弦BC⊥AD于点H，连接OB，已知OB＝2cm，∠OBC＝30°，动点E在直径AD上从D向A以1cm/s的速度做匀速运动，运动时间为ts，当∠OBE＝30°时，t的值为_____． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作⊙，⊙与轴交于、，与轴交于点，为⊙上不同于、的任意一点，连接、，过点分别作于，于．设点的横坐标为，．当点在⊙上顺时针从点运动到点的过程中，下列图象中能表示与的函数关系的部分图象是（ ）   A．   B．   C．   D．   题型10 利用垂径定理解决实际问题 【典例】如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽，为16米，拱高为4米． (1)求桥拱的半径； (2)若大雨过后，洪水泛滥到河面宽度为12米时，求水面涨高了多少？ 【变式】“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道尺（1尺10寸），则该圆材的直径为（    ） A．26寸 B．25寸 C．13寸 D．50.5寸 1．的半径为5，弦，则圆心O到弦的距离为（     ） A．2 B．3 C．4 D． 2．⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 3．两个同心圆，大圆的弦与小圆相切于点，则，那么该圆环的面积为（    ） A． B． C． D． 4．已知线段，如图，甲和乙两位同学用自己的方法确定了以为半径，为圆心的圆．对于这两种作图方法，下列说法正确的是（   ） A．甲和乙的方法均正确 B．甲和乙的方法均不正确 C．甲的方法正确，乙的方法不正确 D．甲的方法不正确，乙的方法正确 5．如图，A，B，C，D是上的四个点，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 6．一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），此管件的直径为，测得水的深度为，则水面宽为（     ） A． B． C． D． 7．如图，是的弦，半径于点，且，则的长为_______． 8．如图，是的直径，弦，那么________，________，的周长为________． 9．如图，在半径为的中，，弦于点，则等于_________． 10．如图，是一个酒精灯加热圆底烧瓶的示意图，是烧瓶底部圆形截面，已知，，则截面圆中弦的长为________． 11．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧．如图1，当筒车工作时，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O（O在水面上方）为圆心的圆，已知被水面截得的弦长为6米，点C为运行轨道的最低点，于D，点C到水面的距离是1米，求的半径． 12．如图，在直角坐标系中，点为坐标原点，一条圆弧经过，，三点，则下列说法不正确的是（     ） A．这条圆弧所在圆的圆心为 B．这条圆弧所在圆的半径为 C．原点在这条圆弧所在圆内 D．点在这条圆弧所在圆外 13．如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 14．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．如图，点A，B是上两点，连接，交于点C，垂足为点D，优弧⊥一点E，连接，已知，则的大小为（        ） A． B． C． D． 16．如图，是的直径，为弦，于点，连接，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 17．如图，一圆弧形钢梁的拱高为，跨径为．则这钢梁圆弧的半径长为（     ） A． B． C． D． 18．如图，的两条弦，互相垂直，垂足为，且，已知，，则的半径为________． 19．如图，为的弦，半径于点，连接，若，，则________． 20．在圆柱形油槽内装有一些油，截面半径为，油面宽为，如果再注入一些油后，油面宽变为，则油面上升了______． 21．如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为10米．小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面处测得桥洞高米，则圆弧所在圆的半径的长度为______米． 22．如图，内接于，是的高且经过圆心． (1)求证：； (2)若，的半径为6，求的面积． 23．如图，的半径为，把劣弧沿折叠，使劣弧经过圆心，再把劣弧沿折叠，使劣弧经过的中点，则折痕的长为（     ） A． B． C． D． 24．如图，是的直径，弦垂直平分半径，C为垂足，弦与半径相交于点P，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 25．如图，已知，是中位于圆心上下两侧的两条弦，且，设弦，，关于的函数图象如图所示，当时，则的长为（     ） A． B． C． D． 26．如图，是的直径，弦交于，且，，且，则弦的长为______． 27．如图，是的直径，，是上的点，，平分，交于点，垂足为，则______． 28．如图在平面直角坐标系中，已知的半径为2，弦绕点O旋转一周扫过的区域记为W，若点在区域W内部（包含边界），弦长为m，则m的取值范围是________． 29．在半圆中，点为圆心，线段为直径，、是半圆上两点，是上一点，连接、交于点，且． (1)如图1，连接； ①求证：； ②如图2，连接交弦于点 ，若，，，求的长； (2)如图3，连接、 交于点，线段 上有一点 使得，若，，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20 垂径定理的综合应用 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01垂径定理的判别 题型02根据垂径定理求线段的长度 题型03根据垂径定理求面积 题型04根据垂径定理求坐标 题型05根据垂径定理解决平行弦问题 题型06根据垂径定理解决同心圆问题 题型07利用垂径定理进行网格作图 题型08利用垂径定理求整点的个数 题型09根据垂径定理解决动点问题 题型10 利用垂径定理解决实际问题 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． ③AMBM ⑤ ①CD是直径 ②CDAB 如图， ④ ⇒ 【针对训练】 1．以下命题正确的是（   ） A．任何一条直径都是圆的对称轴 B．周长相等的圆是等圆 C．平分弦的直径垂直于弦 D．直径是圆上任意两点所连的线段 【答案】B 【分析】本题考查了圆的有关概念和性质，垂径定理等相关知识；需要特别注意的是轴对称图形的对称轴是一条直线． 根据圆的有关概念和性质，垂径定理等知识对各个命题进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A、圆的直径是一条线段，而圆的对称轴是一条直线，故此选项说法错误，不符合题意； B、周长相等的圆的半径也相等，故是等圆，故此选项说法正确，符合题意； C、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故此选项说法错误，不符合题意； D、通过圆心并且两端都在圆周上的线段叫做圆的直径，故此选项说法错误，不符合题意． 故选：B． 2．如图，是的直径，是弦，，垂足为M，则下列结论中错误的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧，根据垂径定理即可进行判断，熟练掌握垂径定理的内容是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径，是弦，，垂足为M， ∴，，， 无法判断， 故选：C 3．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的是（    ） A．AE＝BE B．OE＝DE C． D． 【答案】B 【分析】根据垂径定理即可判断． 【详解】解：是的直径，弦于点， ，， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键． 知识点二 垂径定理的推论 3. 垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． ①CD是直径 如图，②AMBM （AB不是直径） ③CDAB ⑤ ④ ⇒ 由垂径定理以及推论可知，如果一条直线具备①经过圆心（直径）；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中任意两条性质，就具备其他三条性质，简称“知二推三”． 【针对训练】 4．如图，的半径为10，，P是弦上的一个动点（不与A，B重合），符合条件的的值不可能是（    ） A．7.5 B．6.5 C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，垂线段最短等知识．取的中点C，分别连接、，由垂径定理及勾股定理可求得的长，根据垂线段最短，则的值介于与之间，由此可求得结果． 【详解】解：如图，取的中点C，分别连接、，则，且， 在中，， ∴ ， 点P线段上（不与重合），则，即 ， ∵， ∴选项D符合题意； 故选：D． 5．如图，将一把宽为的刻度尺（单位：）放在一个圆形茶杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿相交的两个交点的读数恰好是2和10，则茶杯的杯口外沿半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，切线的性质，勾股定理的应用．作于C，的延长线交圆于D，其中点为圆心，为半径，，；设茶杯的杯口外沿半径为，在中，由勾股定理知，进而得出结果． 【详解】解：作于C，的延长线交圆于D，其中点为圆心，为半径， 由题意可知，； ∵ ∴， 设茶杯的杯口外沿半径为 则在中，由勾股定理知 解得 故答案为：． 6．如图，是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求的长度； (2)求的长度． 【答案】(1)4 (2)5 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理得到；由勾股定理求出长． （1）由垂径定理得到； （2）设，得，由勾股定理可得,求出的值即可． 【详解】（1）解：∵直径， ∴； （2）解：∵， ∴ 设， ∵, ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 典例精析 题型01垂径定理的判别 【典例】有下列四个命题： ①垂直于弦的直径平分这条弦； ②平分弦的直径垂直于这条弦； ③垂直平分弦的直线经过圆心， ④平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦． 其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】利用垂径定理及其推理逐一判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①垂直于弦的直径平分这条弦，正确； ②平分弦的直径垂直于这条弦，错误； ③垂直平分弦的直线经过圆心，正确， ④平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，正确， 故选：B． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理及其推理，难度不大． 【变式】如图，，，分别交，于点E，F，连接，则下列结论中不一定正确的是（     ）    A． B．， C．为等腰三角形 D．为等边三角形 【答案】D 【分析】根据，，即可判断出，从而进行判断A． 根据，利用垂径定理的推论，进行判断即可B． 根据垂径定理的推论，得到，从而可得结论，即可判断C、D． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴，A正确 ∵， ∴，，B正确 ∵，，， ∴， ∴为等腰三角形，不一定是等边三角形， ∴C正确，D错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定、等边三角形的判定． 题型02根据垂径定理求线段的长度 【典例】如图，已知的直径垂直弦于点，连接并延长交于点，且 (1)求证：点是的中点； (2)若，求的长． ∵于点， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， 同理：， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴ ∴是的中点． (2) ． 【分析】（1）根据垂径定理得出，证明，得出，同理：，证明是等边三角形，得出，根据直角三角形性质得出，即可证明结论； （2）根据，得出，求出，根据勾股定理求出，即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，含度角直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，证明是等边三角形． 【变式】如图，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】作，构造正方形，再结合勾股定理和垂径定理即可计算． 【详解】如图，作于，于，连接、， 根据垂径定理可知：， 则在中，，，， 同理，在中，， 又 ，是互相垂直的两条弦， 四边形为正方形，其中为对角线， ． 故选：Ｃ． 【点睛】本题主要考查了垂径定理的运用以及正方形的判定与性质，能够利用垂径定理并且正确计算是本题的关键，进而判定正方形并且利用正方形的性质进行解决是核心． 题型03根据垂径定理求面积 【典例】如图，为的直径，弦于点，连接，，，为的中点，且， (1)求的长； (2)当时，求的面积． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题以圆为几何背景，考查了中位线定理、垂径定理、勾股定理等知识点．熟记定理内容是解题关键． （1）由题意可得且，据此即可求解； （2）由“垂径定理”可得，连接，在求出线段的长度即可求解． 【详解】（1）解：∵为的直径， 为的中点，O为的中点， （2） ∵弦于点， 连接， 在中， ． 【变式】如图，为半圆的直径，O为圆心，，延长到A，使得，直线与半圆交于B，C两点，且．    (1)求弦的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于，根据垂径定理得，由得到，则，再根据勾股定理可计算出，进而可求； （2）由（1）可知：，，则，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：过点作于，如图，则，    ∵直径，， ∴，， ∵，则 ∴，则， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）由（1）可知：，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关性质是解决问题的关键． 题型04根据垂径定理求坐标 【典例】如图，半径为5的经过M，N两点，若已知两点坐标分别为，，则A点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理；连接，过作轴交于，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解；掌握定理，构建是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过作轴交于， ，， ，， ，， ， ， ， ； 故选：D． 【变式】如图在平面直角坐标系中点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴，以为直径的经过点O，连接，过点D作于点E，若，，则圆心点D的坐标是________．    【答案】 【分析】本题考查了中位线的性质，坐标与图形性质，垂径定理．先利用圆半径相等得到，即可求出和，再利用垂径定理得到是中位线，即可得到D点坐标． 【详解】∵以为直径的经过点O， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴, ∴是中位线， ∴， ∴， 故答案为：． 题型05根据垂径定理解决平行弦问题 【典例】如图，在中，半径为5，是两条弦，，，于点，于点．点在上运动，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理，轴对称-最短路径问题等知识，作于A点，连接，，首先根据题意得到，得到当点C，P，H 共线时，有最小值，即的长度，然后利用垂径定理得到，，然后利用勾股定理结合线段的和差得到，然后证明出四边形是矩形，得到，，最后利用勾股定理求解即可．解题的关键是根据题意得到当点C，P，H 共线时，有最小值，即的长度． 【详解】作于A点，连接，， ∵，是的直径 ∴点G和点H关于对称 ∴ ∴ ∴当点C，P，H 共线时，有最小值，即的长度， ∵在中，半径为5， ∴ ∵，，，， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴四边形是矩形 ∴， ∴ ∴． 故答案为：． 【变式】若弦，是的两条平行弦，的半径为13，，，则，之间的距离为___________ 【答案】7或17 【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理，解题的关键是分情况画出图形并作出正确的辅助线． 首先根据题意分情况进行讨论分析，然后分别画出相应的图形，再根据垂径定理和勾股定理，计算出圆心到两条弦的距离，最后根据图形即可推出间的距离． 【详解】解：连接，过点O作于点M， ∵， ∴直线，设垂足为点， ， ，， ， ∴在中，， 在中，， ①如下图：当，在圆心的两侧，则它们之间的距离为， ②如下图，如果、在圆心的同侧，则它们之间的距离为， ． 综上所述，，之间的距离为7或17． 故答案为： 7或17． 题型06根据垂径定理解决同心圆问题 【典例】如下图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C和D两点，AB＝10cm，CD＝6cm，则AC长为_____cm． 【答案】2 【分析】根据垂径定理，分别求出AE，CE的长度，则AC＝AE﹣CE可求. 【详解】解：过O作OE⊥AB，垂足为E， 根据垂径定理，AE＝AB＝×10＝5cm， CE＝CD＝×6＝3cm， ∴AC＝AE﹣CE＝5﹣3＝2cm， 故答案为2． 【点睛】本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键. 【变式】将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长. 【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC， ∵OA=OD=4，CD=2， ∴OC=2， ∴AC=， ∴AB=2AC=. 故答案为C. 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键. 题型07利用垂径定理进行网格作图 【典例】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形外接圆的外心、垂径定理、坐标与图形的性质．勾股定理等知识；关键是根据垂径定理得出外接圆的圆心位置． 连接，作的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点的坐标即可． 【详解】解：连接，作的垂直平分线，如图所示： 在的垂直平分线上找到一点， ， 点是过、、三点的圆的圆心， 即的坐标为， 故选：D． 【变式】如图，在的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，请按要求作图： (1)已知点B在上，作所在圆的圆心O（保留作图痕迹）； (2)作格点（顶点均在格点上），使与互补． 【答案】(1) 如图所示，点即为所求；    (2) 如图所示，格点即为所求． 【分析】本题考查了作图应用设计作图，熟记线段垂直平分线的作法是解题的关键． （1）连接、，分别作、的垂直平分线相交于点，则点即为所求； （2）延长交格点，连接、，格点即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 题型08利用垂径定理求整点的个数 【典例】如图，直径为的内有一点，且，则经过点的所有弦中长度为整数的有________条．    【答案】4 【分析】过点的弦有无数条，求出最长的弦和最短的弦，再判断长度为整数的弦的条数即可． 【详解】过点作直径，作弦，    则是过点的最长的弦，是过点的最短的弦， ∴长度为整数的弦长还有9， ∵过点且长度为9的弦有2条， ∴经过点的所有弦中长度为整数的有4条． 故答案是4． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，知道直径是圆中最长的弦，过点与圆垂直的弦是最短的弦是解题的关键． 【变式】如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN=10，AB=8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是_____，⊙C上的整数点有_______个． 【答案】 3 12 【分析】过C作直径UL∥x轴，连接AC，根据垂径定理求出AO=BO=4，根据勾股定理求出OC，再得出答案即可． 【详解】解：过C作直径UL∥x轴， 连接CA，则AC=×10=5， ∵MN过圆心C，MN⊥AB，AB=8， ∴AO=BO=4，∠AOC=90°， 由勾股定理得：CO= =3， ∴ON=5-3=2，OM=5+3=8， 即A（-4，0），B（4，0），M（0，8），N（0，-2）， 同理还有弦QR=AB=8，弦WE=TS=6，且WE、TS、QR都平行于x轴， Q（-4，6），R（4，6），W（-3，7），E（3，7），T（-3，-1），S（3，-1），U（-5，3），L（5，3）， 即共12个点， 故答案为：3；12． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理和坐标与图形的性质，能找出符合条件的所有点是解此题的关键． 题型09根据垂径定理解决动点问题 【典例】如图，在⊙O中，AD为直径，弦BC⊥AD于点H，连接OB，已知OB＝2cm，∠OBC＝30°，动点E在直径AD上从D向A以1cm/s的速度做匀速运动，运动时间为ts，当∠OBE＝30°时，t的值为_____． 【答案】1或4/4或1 【分析】分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，当点与点重合时， ，，， ， ， ， 如图，当点和点重合时，连接， ，， ， ， ， 综上所述：或4， 故答案为：1或4． 【点睛】本题考查了垂径定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是利用分类讨论思想解决问题． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作⊙，⊙与轴交于、，与轴交于点，为⊙上不同于、的任意一点，连接、，过点分别作于，于．设点的横坐标为，．当点在⊙上顺时针从点运动到点的过程中，下列图象中能表示与的函数关系的部分图象是（ ）   A．  B．   C．   D．   【答案】A 【分析】由题意，连接PC、EF，利用勾股定理求出，然后得到AB的长度，由垂径定理可得，点E是AQ中点，点F是BQ的中点，则EF是△QAB的中位线，即为定值，由，即可得到答案. 【详解】解：如图，连接PC，EF，则    ∵点P为（3，0），点C为（0，2）， ∴， ∴半径， ∴； ∵于，于， ∴点E是AQ中点，点F是BQ的中点， ∴EF是△QAB的中位线， ∴为定值； ∵AB为直径，则∠AQB=90°， ∴四边形PFQE是矩形， ∴，为定值； ∴当点在⊙上顺时针从点运动到点的过程中，y的值不变； 故选：A. 【点睛】本题考查了圆的性质，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，以及三角形的中位线定理，正确作出辅助线，根据所学性质进行求解，正确找到是解题的关键. 题型10 利用垂径定理解决实际问题 【典例】如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽，为16米，拱高为4米． (1)求桥拱的半径； (2)若大雨过后，洪水泛滥到河面宽度为12米时，求水面涨高了多少？ 【答案】(1)桥拱的半径是10米； (2)水面涨高了2米． 【分析】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于圆半径的方程． （1）设桥拱的半径是米，由垂径定理求出（米，而米，由勾股定理得到，求出； （2）由垂径定理求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】（1）解：如图，半径，， 设桥拱的半径是米， ， （米， 拱高为4米， 米， ， ， ， 桥拱的半径是10米； （2）解：， （米， （米， （米， （米， 水面涨高了2米． 【变式】“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道尺（1尺10寸），则该圆材的直径为（    ） A．26寸 B．25寸 C．13寸 D．50.5寸 【答案】A 【分析】过点O作，交于点D，交于点E，设的半径为r．在中，，由勾股定理得出方程，解方程即可． 本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：过点O作，交于点D，交于点E， 设的半径为r． 在中，， 由勾股定理得出方程， 解得：， ∴的直径为26寸， 故答案为：26． 1．的半径为5，弦，则圆心O到弦的距离为（     ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】B 【分析】过点O作于点C，根据垂径定理可得，进而根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点O作于点C，如图： 则， 在中，． ∴圆心O到弦的距离为3． 2．⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 【详解】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2． 故选：C． 3．两个同心圆，大圆的弦与小圆相切于点，则，那么该圆环的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接OC、OA，构造出Rt△AOC，求出OA2-OC2的值，再乘以π即为环形的面积． 【详解】解：连接OC、OA，则OC⊥AB， 在Rt△AOC中， OA2-OC2=AC2=（AB）2=9， 所以环形的面积为OA2π-OC2π=9π， 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理以及圆面积的计算公式． 4．已知线段，如图，甲和乙两位同学用自己的方法确定了以为半径，为圆心的圆．对于这两种作图方法，下列说法正确的是（   ） A．甲和乙的方法均正确 B．甲和乙的方法均不正确 C．甲的方法正确，乙的方法不正确 D．甲的方法不正确，乙的方法正确 【答案】A 【分析】判断出都是等边三角形，利用垂径定理和勾股定理分别求出、即可求解． 【详解】解：甲：连接，由作图可知，，垂直平分线线段， ， ， ， 为等边三角形 垂直平分线线段， 平分， ， ， ， ，故甲的作图方式正确； 乙：连接，由作图可知，，垂直平分线线段， ， ， ， 为等边三角形 垂直平分线线段， 平分， ， ， ， ，故乙的作图方式正确． 故选：A． 【点晴】本是考查了作图――应用与设计作图，垂径定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是题解题意． 5．如图，A，B，C，D是上的四个点，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与交于点E，根据圆周角定理得出，根据垂径定理得出，最后根据三角形内角和定理得出结果即可． 【详解】解：设与交于点E，如图所示： ∵，， ∴， ∵，为半径， ∴， ∴， ∴． 6．一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），此管件的直径为，测得水的深度为，则水面宽为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理作答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵此管件的直径为， ∴， ∵水的深度为， ∴， ∴， ∵， ∴． 7．如图，是的弦，半径于点，且，则的长为_______． 【答案】 【分析】利用垂径定理求解即可． 【详解】解：∵是的弦，半径于点， ∴． 8．如图，是的直径，弦，那么________，________，的周长为________． 【答案】 【分析】根据垂径定理得到，，即可求出的周长． 【详解】解：∵是的直径，弦， ∴，， ∴的周长为． 9．如图，在半径为的中，，弦于点，则等于_________． 【答案】5 【分析】根据垂径定理可知的长度，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意，, 由垂径定理可知：， ∵, 由勾股定理可得：． 10．如图，是一个酒精灯加热圆底烧瓶的示意图，是烧瓶底部圆形截面，已知，，则截面圆中弦的长为________． 【答案】8 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，由垂径定理得，再由勾股定理得，即可得出结论． 【详解】解：由题意得：， ∴，， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故答案为：8． 11．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧．如图1，当筒车工作时，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O（O在水面上方）为圆心的圆，已知被水面截得的弦长为6米，点C为运行轨道的最低点，于D，点C到水面的距离是1米，求的半径． 【答案】5米 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 连接，由垂径定理得（米），再根据勾股定理得求解即可． 【详解】解：如图1，连接， 由题意得：，， ∴， ∴（米），， 在中，， ∴， ∴（米）， 即的半径为米． 12．如图，在直角坐标系中，点为坐标原点，一条圆弧经过，，三点，则下列说法不正确的是（     ） A．这条圆弧所在圆的圆心为 B．这条圆弧所在圆的半径为 C．原点在这条圆弧所在圆内 D．点在这条圆弧所在圆外 【答案】D 【分析】根据点与圆的位置关系，确定圆的条件以及勾股定理进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴圆心在直线上， 设其圆心坐标为， 则，即， 由勾股定理得， 解得， ∴这条圆弧所在圆的圆心为，半径为，故选项、正确； ， ∴点在这条圆弧所在圆上，故选项不正确； ， ∴原点在这条圆弧所在圆内，故选项正确． 13．如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理和勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：过点 O作 于点 E，交 于点 F，连接 ， ∵，， ， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， ， 解得：， ， 即的半径为10． 14．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆中的有关性质．利用垂径定理可用同心圆的两个半径和与小圆相切的大圆的弦的一半构造直角三角形，运用勾股定理解题解决本题的关键． 当与小圆相切时有一个公共点，此时可知最小；当经过同心圆的圆心时，弦最大且与小圆相交有两个公共点，此时最大，由此可以确定所以的取值范围． 【详解】解：如图，当与小圆相切时有一个公共点， ∴， ∴， 在中，，， ∴ ， ∴； 当经过同心圆的圆心时，弦最大且与小圆相交有两个公共点， 此时， 所以的取值范围是． 故选：A． 15．如图，点A，B是上两点，连接，交于点C，垂足为点D，优弧⊥一点E，连接，已知，则的大小为（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理及圆周角定理，根据垂径定理可得，由圆周角定理可得即可求解． 【详解】∵交于点C， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 16．如图，是的直径，为弦，于点，连接，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键． 根据垂径定理可得、 ，，无法得到，，据此即可解答． 【详解】解：如图：连接、， ∵是的直径，为弦，于点， ∴，，， ∴，， ∴B选项结论成立，符合题意；A选项结论不成立，不符合题意； 证明缺少条件，即C选项结论不成立，不符合题意， 无法判断，即D选项结论不成立，不符合题意． 故选：B． 17．如图，一圆弧形钢梁的拱高为，跨径为．则这钢梁圆弧的半径长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把拱高与跨径化归到同一个直角三角形里：设圆心为 、半径为 ，则半弦长 、圆心到弦 的距离 ，由勾股定理列方程即可求 ． 【详解】解：如图，设钢梁圆弧所在圆的圆心为 ，半径为 ，则 ，． ∵ 是拱高， 是跨径， ∴ ，，且点 是 的中点， ∴ ． ∵ 、、 三点在同一条直线上， ∴ ． 在 中，， ∴ ． ∴ ． ∴ ，解得 ． ∴ 这钢梁圆弧的半径长为 ． 18．如图，的两条弦，互相垂直，垂足为，且，已知，，则的半径为________． 【答案】 【分析】过点分别作、的垂线、，连接，，证明四边形是正方形，利用垂径定理求出，利用正方形的性质求出，然后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点分别作、的垂线、，连接，． ∵，，， ∴四边形是矩形，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ， 矩形是正方形． ，， ， ， ∴， ∴在正方形中，， ∴在中，． 19．如图，为的弦，半径于点，连接，若，，则________． 【答案】 【分析】根据半径相等求出的长，利用垂径定理得出，在中利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：， ， ， ，， ． 20．在圆柱形油槽内装有一些油，截面半径为，油面宽为，如果再注入一些油后，油面宽变为，则油面上升了______． 【答案】 【分析】过点作于，延长交于，连接、，根据垂径定理可得，，利用勾股定理求出，，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于，延长交于，连接、， 由题意可知，，，，， ∴， ∴，， ∴， ， ∴油面上升了． 21．如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为10米．小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面处测得桥洞高米，则圆弧所在圆的半径的长度为______米． 【答案】 【分析】设圆心为，半径为，过点作于，连接，构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设圆弧所在圆的圆心为，半径为 过点作于点，连接 ，过点作交的延长线于点 ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形 ， ， 设，则 ， 在中，， 即 ， 在中，， 即， ， 解得 ， ， ， 故圆弧所在圆的半径的长度为米． 22．如图，内接于，是的高且经过圆心． (1)求证：； (2)若，的半径为6，求的面积． 【答案】(1)证明：∵是的高， ∴，即． ∴ ； (2)的面积为 【分析】（1）根据垂径定理可得，根据等弧所对的弦相等，即可求解； （2）连接，根据等边三角形的性质求出，再根据含的直角三角形的性质可得，进而通过勾股定理求得，继而得出，根据三角形面积公式进行计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴是等边三角形， 连接，如图： ∵是等边三角形，是高， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，则， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 23．如图，的半径为，把劣弧沿折叠，使劣弧经过圆心，再把劣弧沿折叠，使劣弧经过的中点，则折痕的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据第一次折叠性质得出 的长，根据第二次折叠性质得出且平分，从而求出的弦心距，最后利用勾股定理求的长． 【详解】解：如图 设为的半径，于，则为 中点，， ∵劣弧沿折叠,经过圆心， ∴点与点关于对称， ∴，且 . 如图 ∵劣弧沿折叠，经过的中点， ∴且平分， 设 与 所在直线交于点 F，则． 设为关于的对称点，则为折后弧所在圆的圆心，连接， ∴，， 在中，， 由垂径定理得． 24．如图，是的直径，弦垂直平分半径，C为垂足，弦与半径相交于点P，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理得的长，再根据已知平分得，解直角三角形求解．求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接． ∵直径，， ， ． 平分， ． ， ， ． 在中，． 的半径为． 在中， ， ． ． ， ，， ， ． 25．如图，已知，是中位于圆心上下两侧的两条弦，且，设弦，，关于的函数图象如图所示，当时，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作于，于，则，，，，由，得，进而得到，即可证，得到，即得到，再根据函数图象可知的直径为，即得，设，则，利用勾股定理求出的值即可求解． 【详解】解：作于，于，则，， ∵ ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由函数图象可知，当时，，此时为直径， ∴的直径为， ∴， 在中，设，则， 由勾股定理得，, ∴， ∴． 26．如图，是的直径，弦交于，且，，且，则弦的长为______． 【答案】 【分析】过点O作于点E，连接，根据圆的性质可求出，由垂径定理得到，证明是等腰直角三角形，则可求出，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点O作于点E，连接， ∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 27．如图，是的直径，，是上的点，，平分，交于点，垂足为，则______． 【答案】 【分析】利用圆周角定理求出的度数，结合等腰三角形性质求出，再根据角平分线定义求出，最后利用垂径定理推导，通过角的和差关系求解． 【详解】解： 与分别是中所对的圆周角和圆心角， ， ， ， ， 平分， ， ，是的直径， ， ， ． 28．如图在平面直角坐标系中，已知的半径为2，弦绕点O旋转一周扫过的区域记为W，若点在区域W内部（包含边界），弦长为m，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】设点P坐标为，如图，连接，当为直径时，m最大，最大值为4，当点P为即的中点时，，，，此时即最小，利用勾股定理求得此时的弦的长m的最小值即可求解． 【详解】解：设点P坐标为，如图，连接， 根据题意，当为直径时，m最大，最大值为4， 当点P为即的中点时，，，，此时即最小， 由勾股定理得， ∴弦的长m的最小值为， ∴满足题意的m值的取值范围为． 29．在半圆中，点为圆心，线段为直径，、是半圆上两点，是上一点，连接、交于点，且． (1)如图1，连接； ①求证：； ②如图2，连接交弦于点 ，若，，，求的长； (2)如图3，连接、 交于点，线段 上有一点 使得，若，，求的值． 【答案】(1)①证明：如图，作于，于，连接， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②； (2) 【分析】（1）①作于，于，连接，利用垂径定理结合，得出，证明，得出，再证明，即可求证； ②先证明，得出，可得，则，即可得出，，再求出，即可求解； （2）证明，得出，设，，可得，，求出，连接，交于点，由（1）可得，，得出，证明为的重心，得出，设，在和中，利用勾股定理列式求出，可得，即可求解． 【详解】（1）解：①略； ②∵， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∵，， ∴， 在和中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵，， 设，， 则， ∴， ∴， ∴， 连接，交于点， 由（1）①中可得（图1）， 又∵（①已证）， ∴， ∴， 又∵（①已证）， ∴， ∴， ∵为边的中点，为边的中点， ∴为的重心， ∴， 设，则， ∵在和中，， ∴， 化简得（负值舍）， ∴， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $