29.2.2 圆心角 讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

 29.2.2  圆心角 解析版  29.2.2　圆心角 题型分类讲义 解析版 目　录 　　题型 1　圆心角的概念与圆心角、弧、弦的关系 2 　　题型 2　弧的度数与圆心角的换算 4 　　题型 3　弦长与弧长的大小比较 6 　　题型 4　圆心角相关的证明与动点最值 9 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 13 　题型 1　　圆心角的概念与圆心角、弧、弦的关系 知识梳理 顶点在圆心的角叫圆心角；在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，其余两组量也分别相等 圆心角的界定只有两条：顶点在圆心、两边与圆相交。图上顶点落在圆周上的角是圆周角，不是圆心角，辨析题里常拿这两种角混着出。 三组量的定理有一个不能省的前提：在同圆或等圆中。离开这个前提，"圆心角相等则弦相等"是错的——半径不同时，同样的圆心角对应的弦长并不相同。写证明时要先交代"在 中"。 用它推结论的固定写法是：由一组量相等，得另外两组量相等。证等弧就先去证弦相等或圆心角相等；证弦相等就先证弧相等或圆心角相等，三条路走哪条，看题目已经给了什么。 易错　①把圆周角当圆心角；　②证三组量关系时不交代"同圆或等圆"；　③认为"圆心角相等则弧相等"在任何两个圆里都成立；　④证明时只写结论，不写依据。 要点　同圆或等圆是前提，一组量相等推另外两组；证弧相等就从弦或圆心角入手。 1． 下面图形中的角是圆心角的是  （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　根据圆心角的定义逐个判断即可． 解：A．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； B．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； D．是圆心角，故本选项符合题意；故选：D． 2． 下列说法正确的是  （  ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等 C．在同圆中，相等的弦所对的弧相等 D．相等的弦所对的弧相等 　思路分析　　在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，所对的圆心角相等；相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对的圆心角也相等，依此判断即可． 解：A、错误．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，本选项不符合题意． B、正确． C、错误．弦所对的弧有两个，不一定相等，本选项不符合题意． D、错误．相等的弦所对的弧不一定相等．故选：B． 3． 如图，AB，CD是的两条弦． （1）如果那么      ，      ． （2）如果那么      ，      ． （3）如果那么      ，      ． 　思路分析　　本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间，如果有一组量相等，那么，它们所对应的其它量也相等．再将文字语言转化成符号语言即可． 解：（1）如果那么 故答案为： （2）如果那么 故答案为： （3）如果那么． 故答案为：． 4． 如图，A，B，C，D是上的点，求证：． 　思路分析　　由点A，B，C，D为圆上的点且可得在同一个圆中，由圆心角相等可得两圆心角所对的两条弧相等，且两圆心角所对的两条弦相等，即可证明． 　答案　　证明：A，B，C，D是上的点， 又 ​ 即 ​ ​． 　题型 2　　弧的度数与圆心角的换算 知识梳理 弧的度数就是它所对圆心角的度数；半圆为 整圆为 弧的度数不需要另算，它就是所对圆心角的度数。题目说"弧 的度数为 "，翻译过来就是""，直接拿来用。 直径是最好用的 ： 是直径，就意味着弧 是半圆、度数为 也意味着 三点共线、很多题的突破口就在这一句。 遇到"三等分""中点"这类条件，先把整段弧的度数分好，再逐段相加。一条直径把圆分成两份 三等分后每份 中点则各 （对半圆而言）。 易错　①把弧的度数当成弧长；　②半圆当整圆算成 　③等分时用整圆的 去除，而那段弧其实只是半圆；　④弧的度数相加时把重叠部分算了两遍。 要点　弧的度数就是圆心角的度数；直径给的是 不是 1． 如图，弦平行于直径连接则弧所对的圆心角的度数为  （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题主要考查了圆的相关性质，平行线的基本性质，根据平行得出（内错角相等）即可求出答案． 解：连接 ​弦平行于直径 ​ 又则 ​ ​ ​．故选：A． 2． 如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为弧中点，若弧的度数为则的度数为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查圆心角、弧、弦的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．由的度数为得到由邻补角的性质求出由圆心角、弧、弦的关系得到． 解：的度数为 ​ ​ ​为中点， ​．故选：D． 3． 如图，是的直径，点E，D，C在上，已知那么的度数为      ． 　思路分析　　先根据弧相等得出再根据是的直径得出即可得出结论． 解： ​ ​是的直径， ​ ​ 即的度数为． 4． 如图，在中，是直径，是的三等分点，求的度数． 　思路分析　　先求出再根据同圆中相等的弧对应的圆心角相等得出即可求出的度数． 解：是的直径， ​ ​ ​ ​是的三等分点， ​ ​． 　题型 3　　弦长与弧长的大小比较 知识梳理 弧长与圆心角成正比，弦长与圆心角不成正比：弧加倍时，弦长小于原来的两倍（弦是两点间的线段，弧比线段长） 最容易错的一处：由"弧 是弧 的两倍"推不出""。弧是弯的、弦是直的，两条小弧各自拉直后拼起来，比一条大弧的弦要长，所以 这类比较题画个图就能看明白，但结论要写清理由。 反过来，弧相等则弦相等是成立的（同圆或等圆中），因为对应的圆心角相同，两个等腰三角形的腰和顶角都一样。 几个要背的数值：弦长等于半径时，圆心角是 （此时弦与两条半径构成等边三角形）；弦长等于 时圆心角是 弦长等于 时是 易错　①把弧的倍数关系直接搬到弦上；　②弦长与半径混淆， 记成 　③不同圆的弧长直接比较；　④比较题只给结论，不说明"弧比弦长"。 要点　弧加倍，弦不足两倍；弦等于半径对应 1． 如图，在中，若则与的大小关系为 （  ） A． B． C． D．无法确定 　思路分析　　取的中点根据圆心角、弧、弦的关系得到再利用三角形三边的关系得即可得解． 解：如图，取的中点则 ​ ​ ​ ​ ​ ​即． 2． 如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB、弧CD、弧EF，如果那么AB+CD与EF的大小关系是  （  ） A．AB+CD=EF B． C． D．大小关系不确定 如图，在弧EF上取点M，使在中，故选C． 3． 在圆中，与半径相等的弦所对的圆心角的度数为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　画出符合题意的几何图形，证明是等边三角形即可得到此弦所对圆心角的度数． 解：如图， ​=AB， ​是等边三角形， ​．故选：C． 4． 已知的直径为10，是的弦，那么在中弦所对的圆心角度数为      ． 　思路分析　　本题考查了圆心角，等边三角形的判定与性质， 连接证明为等边三角形得到即可，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 解：如图，连接 ​直径为 ​ 而 ​ ​为等边三角形， ​ 即弦所对的圆心角是．故答案为：． 　题型 4　　圆心角相关的证明与动点最值 知识梳理 证等弧：先证弦相等或圆心角相等；动点最值：作对称点，用"两点之间线段最短" 证明题的路子很固定：要证弧相等，就去证弦相等或圆心角相等。题里已经有等弦的，直接得等弧；只有等角的，先由等腰三角形或全等把角凑齐。 动点最值的关键是"把折线拉直"：求 最小，作 关于动点所在直线的对称点 则 取等时 在 与直线的交点上。圆上的动点关于直径的对称点仍在圆上，这个性质常被用来把点搬位置。 等分弧、等腰、垂直这些条件往往要联合用：先由垂径定理得到等弧，再由三组量定理转成等弦或等角，两步接起来，题就通了。 易错　①证等弧时漏写"在同圆中"；　②作对称点时选错了对称轴；　③最值题只写答案，不交代取等的条件；　④把垂径定理得到的等弧与三组量定理混着用，依据写串。 要点　证等弧走"弦或角"，求最值走"对称 + 拉直"。 1． 如图，为的弦，半径分别交于点且．求证：． 　思路分析　　连接根据等边对等角根据圆心角定理得出可以证明根据全等三角形的对应边相等，可得到． 　答案　　证明：如解图，连接 ​ ​． ​ ​． 在和中， ​ ​ ​． 2． 如图，圆心角． （1）判断和的数量关系，并说明理由； （2）若求的度数． 　思路分析　　（1）根据条件和即可求解； （2）根据第（1）问的结论和即可求解． （1）解： ​ ​ （2）解： ​ ​ 3． 如图，是的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧的中点，点P是直径上一动点．若则周长的最小值是      ． 　思路分析　　本题考查了轴对称的性质，圆心角与弧，勾股定理，作点A关于的对称点连接交于点P，连接．根据轴对称的性质得到进而可知根据勾股定理求出可知进而可求周长的最小值，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 解：如图，作点A关于的对称点连接交于点P，连接． ​点A与关于对称，点A是半圆上的一个三等分点， ​ ​点B是劣弧的中点， ​ ​ ​ ​ ​． ​． ​周长的最小值故答案为：3． 4． 小明在完成作业“如图1，是以点为圆心的的三等分点，弦分别交于点求证：”的基础上，做了如下尝试如图2“把改为其他不变”，证明成功后，大胆猜想：“如图3，是以点为圆心的的三等分点，弦分别交于点求证：”．请写出小明“尝试”和“猜想”的证明过程． 　思路分析　　尝试：当时，先根据弧的三等分性质得到等弧，进而推出等弦再通过等腰三角形内角计算，证明得出同理证明最终得到 猜想：同理，对的情况，通过计算等腰三角形的内角，证明得出同理结合等弧对等弦的性质完成证明． （1）尝试：证明：如图，连接 ​是的三等分点， ​ ​． ​ ​． ​ ​ ​． 在中， ​ ​． 同理可证 结合 ​． （2）猜想：证明：如图，连接 ​是的三等分点， ​ ​． ​ ​． ​ ​ ​． 在中， ​ ​． 同理可证 结合 ​． A 组　基础题 必做｜圆心角识别、三组量判断与弧度换算 1． 如图，是的直径，若则的大小为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握定理以及推论是解题的关键．根据在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对应的圆心角相等，解答即可． 解： ​ ​ ​故选：D． 2． 下列说法中，正确的是 （  ） A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等 　思路分析　　根据圆心角，弦，弧之间的关系判断，注意条件． 解：A中，在同圆或等圆中，等弦所对应的弧可以相等也可以构成新圆，其他情况不一定成立； B中，等弧所对的圆心角、弦均相等，故正确； C中，在同圆或等圆中，圆心角相等，所对应的弦相等，其他情况不一定成立，例如同心圆； D中，在同圆或等圆中，弦相等，所对的圆心角可以相等也可以相加为其他情况不一定成立；故选B． 3． 如图，A，B，C，D是上的点，若则的度数为 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　先求出再根据得出进而求出． 解： ​ ​ ​ ​． 4． 如图，以为圆心的三等分连下列结论错误的是 （  ） A． B．若则 C． D． 　思路分析　　本题考查了圆周角性质，圆心角、弧、弦的关系，垂径定理．根据圆心角、弧、弦的关系得到弧相等，再利用等边三角形的性质得到再利用垂径定理得到弧相等进而得到平行线，据此逐一判断即可． 解：由题意得 ​ ​故D选项的结论错误； ​ ​故选项的结论正确； 如图，连接 ​ ​是等边三角形， ​ ​故选项的结论正确； 作半径如图， ​ ​ ​ ​故选项的结论正确；故选：D． 5． 在同圆或等圆中，若的长度等于的长度，则下列说法正确的个数是 （  ） ①和是等弧； ②所对的圆心角等于所对的圆心角； ③所对的弦的长度等于所对的弦的长度． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 　思路分析　　以同圆或等圆中弧长相等判定是等弧为基础，结合弧、圆心角、弦的对应关系判断． 解：在同圆或等圆中，与长度相等， ​和是等弧，①正确； ​等弧所对的圆心角相等， ​所对的圆心角等于所对的圆心角，②正确； ​同圆或等圆中，等弧所对的弦相等， ​所对的弦长等于所对的弦长，③正确； 故正确的说法有个． 6． 下列语句正确的有 （  ） ①圆心角相等，所对的弧也相等； ②圆心角相等，所对的弦也相等； ③长度相等的两条弦所对的弧是等弧； ④等弧所对的圆心角相等． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 　思路分析　　本题考查圆的基本性质，需在同圆或等圆中讨论圆心角、弧、弦的关系．语句①、②未指定同圆或等圆，故不一定成立；语句③忽略优弧和劣弧的区别，故错误；语句④符合等弧的定义和性质，故正确． 解： 圆心角相等需在同圆或等圆中才保证所对弧相等，①未指定条件， ①错误； ​ 圆心角相等需在同圆或等圆中才保证所对弦相等，②未指定条件， ②错误； ​ 长度相等的弦所对弧可能有优弧和劣弧之分，不一定相等， ③错误； ​ 等弧定义是在同圆或等圆中能重合的弧，故所对圆心角相等， ④正确． 综上，只有④正确，故选：D． 7． 如图，下列各角是圆心角的是 （  ） A． B． C． D． 解：A、不是圆心角，不符合题意； B、不是圆心角，不符合题意； C、是圆心角，符合题意； D、不是圆心角，不符合题意． 8． 如图，均为上的点，且则下列说法不正确的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了圆心角，弦，弧之间的关系．由A、B、C、D是⊙O上的点，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等作答即可． 解： ​故A选项说法正确，不符合题意； ​即故B选项说法正确，不符合题意； ​ ​即 ​故C选项说法正确，不符合题意； 不能证明故D选项说法错误，符合题意；故选：D． 9． 如图，在中，若则的长为      ． 　思路分析　　根据在同一个圆中，相等的弧所对的弦相等求解即可． 解： ​ ​． 10． 如图，O为圆心，那么所对的圆心角是      ，所对的圆心角是      ． 　思路分析　　圆心角的顶点在圆心、两边是半径，看弧的两端与圆心连线即可． 解： 所对的是 所对的是 ．故答案为：． 11． 如图，在中，已知则弦所对的圆心角的度数是      ． 　思路分析　　本题考查了圆心角，圆的性质，等腰三角形的性质，解题的关键掌握相关知识．由可得再根据三角形的内角和定理求出即可求解． 解： ​ ​ 即弦所对的圆心角的度数是故答案为：． 12． 如图，是的直径，点依次在上，连接．若则图中与相等的弧是      ． 　思路分析　　此题考查等边对等角，三角形外角的性质、弧和圆心角之间的关系等知识．证明即可得到答案． 解： ​ ​ ​ ​与相等的弧是故答案为： 13． 如图，已知是的两条直径，弦的度数为则的度数为      ． 　思路分析　　本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆心角和弧的度数的关系等知识，熟练掌握圆心角和弧的度数的关系是解题的关键． 连接由求得根据得到即可得到的度数． 解：如图所示，连接 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​的度数为故答案为：． 14． 如图，A、B、C是上的三点，点B是劣弧的中点，则的度数等于      ． 　思路分析　　本题考查圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键。 由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出再由圆心角、弧、弦的关系求出即可求解． 解： ​ ​ ​点B是劣弧的中点， ​ ​ ​．故答案为： 15． 如图，已知的半径等于是直径，是上的两点，且求四边形的周长． 　思路分析　　结合已知条件，根据等弧对等角和平角定义推出利用半径相等和一个角是的等腰三角形，分别推出为等边三角形，从而推出进而求出四边形的周长． 解：连接如图所示， ​, ​． ​是直径， ​ ​． ​ ​是等边三角形， ​． 同理可得 ​ ​ ​四边形ABCD的周长为． B 组　提升题 必做｜圆内计算、比例与基本证明 1． 如图，为的直径，点C是弧的中点．过点C作于点G，交于点D，若则的半径长是  （  ） A．4 B．5.5 C． D． 　思路分析　　本题考查了垂径定理，弧、圆心角、弦之间的关系，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据垂径定理和点C是弧的中点得出从而得出再利用勾股定理进行求解即可． 解：连接如图，设的半径为r， ​ ​ ​点C是弧的中点， ​ ​ ​ ​ 在中， ​ ​解得 即的半径为．故选：C． 2． 如图，点A,B,C是上的点，．若的半径为2，则四边形的面积为 （  ） A． B． C． D．2 　思路分析　　本题考查了垂径定理，特殊角的三角函数，等腰三角形的三线合一性质，连接过点O作于点D，连接利用垂径定理，勾股定理，三线合一性质计算即可． 解：连接过点O作于点D， ​的半径为2， ​ ​ ​ ​ 连接 ​ ​于点D， ​ ​点O，点D，点B三点共线， ​ ​ ​四边形的面积为故选A． 3． 如图，已知是的直径，半径D是的中点，若过点D的弦平行于则下列结论正确的是 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了垂径定理，等边三角形的判定性质及圆周角定理．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．据此逐一判断即可． 解：如图，连接 ​ ​ ​D是的中点， ​ ​四边形是菱形， ​ ​是等边三角形， 即 ​ ​ ​故选项B正确，选项A错误； ​故选项C错误； ​是的直径， ​ ​故选项D错误；故选：B． 4． 如图，是的直径，若则 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题主要考查了圆心角和圆周角的关系，圆周角和弧的关系等知识点． 先根据等弧所对的圆周角相等得到再求解即可得到答案． 解： ​ ​ ​ ​ ​ ​故选：C． 5． 如图，在中，以为圆心，为半径画分别交于点若则的度数为  （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解决问题的关键．连接先根据等腰三角形的性质得出由可得则根据三角形外角的性质得然后根据三角形内角和定理计算出的度数，即可求解． 解：如图，连接 由题意得， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​的度数为．故选：B． 6． 如图，在中弦直径且分别交于点．下列四个结论：①②③④其中正确的有 （  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 　思路分析　　本题考查了垂径定理，能熟记垂径定理是解此题的关键，求出根据垂径定理求出求出再得出选项即可． 解： ​ ​过圆心 ​ ​ ​ 根据已知条件不能推出 即正确的有①②③，共3个，故选：C． 7． 如图，内接于是的直径．若的度数为则等于 （  ） A． B． C． D． 　思路分析　　本题考查了圆心角定理，等腰三角形的判定及性质等；由弧的度数得由等腰三角形的判定及性质得即可求解． 解：连接 ​的度数为 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​故选：B． 8． 如图，将半径为2，圆心角为的扇形OAB绕点A逆时针旋转一个角度，使点O的对应点D落在弧上．点B的对应点为C．连接BC．则BC的长度是  （  ） A．4 B． C．2 D．3 　思路分析　　如图，连接OD，BD．首先证明O，D，C共线，进而利用三角函数解答即可． 如图，连接OD，BD． 由题意：=AD， ​是等边三角形， ​ ​AOB=120 ​ADC=180 ​O，D，C共线， ​ ​是等边三角形， ​ ​ ​ ​ ​故选：C． 9． 如图，某城市新建了一座圆形观景台，台边设置了四个观景位．已知观景台边缘观景位与之间的直线距离为24，观景位与之间的直线距离为13，则这座圆形观景台的半径是      ． 　思路分析　　本题考查了勾股定理，垂径定理的实际应用．由题意可得过圆心作交于交于连接设半径由垂径定理得到结合得到即可求出再根据列方程求解即可． 解：由题意可得 过圆心作交于交于连接设半径 ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ 解得故答案为：． 10． 如图所示，在⊙O中，C、D分别是OA、OB的中点，M、N在⊙O上．下列结论： ① ② ③四边形MCDN是正方形， ④MN=AB， 所有正确结论的序号是      ． 　思路分析　　连接OM、ON，如图，利用=ON，则则利用可判断通过证明和四边形CDNM为矩形可对①③④矩形判断． 解：连接OM、ON，如图， ​ ​ ​C、D分别是OA、OB的中点， ​ON， ​ ​ ​ ​所以②正确； ​为等边三角形， ​ ​ ​四边形CDNM为矩形， ​所以①正确；③错误； ​AB， ​④正确．故答案为：①②④ 11． 如图，在正方形纸片ABCD中，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的直径为则圆柱上M，N两点间的距离是      cm． 解：根据题意可得弧MN的长等于圆周长， ​MON=120 作于点M， 由等腰三角形的性质可得 又即可求得PM=, 由垂径定理可得MN=． 12． 如图，为等边三角形，以为直径的分别交于点．求证： ． 　思路分析　　先利用等边三角形的性质和判定，再利用相等的圆心角所对的弧相等，即可得到结论． 证明：如图，连接． ​为等边三角形， ​． 又 ​和都是等边三角形， ​ ​ ​ ​． 13． 如图，都是圆中的弦，连接且．求证：． 　答案　　证明： ​, ​即 ​． 14． 已知：如图，A，B，C，D是⊙O上的点，且求证：． 　思路分析　　由可得弧AB=弧CD，则可得弧AC=弧BD，从而证得结论． 　答案　　解： ​弧AB=弧CD ​弧AC=弧BD ​． 15． 如图，是的两条直径，为的两条弦，且．求证：． 　思路分析　　先证明出从而可得再证明出即可得证． 　答案　　证明：是的两条直径， ​ ​ ​ ​为的两条弦，且 ​ ​． 16． 如图，正方形内接于M为的中点,连接．求证：． 　思路分析　　正方形中，,故,可证得相应的． 　答案　　证明：正方形中，, ​, ​M为的中点, ​． ​． ​． ​． 17． 如图，在中，弦与半径垂直于点D，连接．点E为的中点，连接． （1）若求的长； （2）若求的度数． 　思路分析　　（1）根据垂径定理得到则然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到的长； 2.利用等腰三角形的性质和三角形的内角和计算出然后利用得到． （1）解： ​ ​ ​点E为的中点， ​ （2）解： ​ ​ ​ ​点E为的中点， ​ ​． 18． 如图，是的直径，点C、D在上，且点C、D在的异侧，连接．若的度数是且求的度数． 　思路分析　　本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，平行线性质，等边对等角， 利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到则利用平行线的性质得然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出从而得到的度数． 解：的度数 ​． ​ ​． ​ ​ ​ ​的度数为． C 组　拓展题 选做｜动点最值、旋转与阅读探究 1． 计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图： 当任务完成的百分比为时，线段的长度记为．下列描述正确的是 （  ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 　思路分析　　根据弧、弦、圆心角的关系，即可求解． 解：A、当时，可能大于故本选项不符合题意； B、当时，可能大于故本选项不符合题意； C、当时，故本选项符合题意； D、当时，不一定等于故本选项不符合题意；故选：C 2． 如图，手机在处理任务时，常以圆形进度条显示任务完成的百分比．当任务完成时，线段的长度记为当时，甲认为对应线段的长度满足乙认为满足则下列说法正确的是 （  ） A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确 　思路分析　　根据圆的性质，分析弦长随进度的变化规律，分和两种情况讨论即可判断甲、乙观点的正误 ． 解：设圆的半径为线段为圆的一条弦， 当时，进度越大，圆心角越大，弦长越长， 此时若则甲的观点在此范围内成立； 当时，进度越大，弦所对的劣弧圆心角越小，弦长越短， 此时若则乙的观点在此范围内成立； 例如取此时但甲、乙的观点均不成立； 则甲、乙的结果合在一起也不正确． 3． 如图，是的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧的中点，P点为直线上的一个动点，当时，的最小值为      ． 　思路分析　　作点B关于的对称点连接交于点P，此时有最小值，连接根据圆的性质和轴对称的性质，得出再利用勾股定理求出的长，即可得到的最小值． 解：如图，作点B关于的对称点连接交于点P，此时有最小值， 连接 ​点A是半圆上的三等分点， ​ ​B是弧的中点， ​ 由轴对称的性质可知， ​ ​ ​ 由勾股定理得： ​ 故答案为：． 4． 如图，都是的弦，则与相等吗？为什么？ 　思路分析　　根据等角对等边得出证明根据全等三角形的性质即可得出结论． 　答案　　​与相等， 理由如下： ​ ​ 又 ​ ​． 5． 如图所示的齿轮有20个齿，相邻两齿之间的间隔相等．相邻两齿与圆心连线的夹角为多少度？如果让这样的齿轮旋转1周，那么在旋转过程中有多少次和原图形重合？ 　思路分析　　由一个圆的圆心角为 ，可得相邻两齿间的圆心角的度数，根据旋转角为即可解答； 解：齿轮有20个齿，相邻两齿之间的间隔相等， ​此图形可以看成正二十边形， ​相邻两齿与圆心连线的夹角． 如果让这样的齿轮旋转1周，那么在旋转过程中有20次和原图形重合． 6． 如图，以的顶点A为圆心，为半径作分别交于E、F两点，交的延长线于点G． （1）求证： （2）若的度数为求的度数． 　思路分析　　（1）连接由平行四边形的性质可得从而得出由等边对等角得出从而得出即可得证； （2）先求出再由等边对等角结合三角形内角和定理得出最后再由平行四边形的性质即可得解． （1）证明：如图，连接 ​四边形为平行四边形， ​ ​ ​ ​ ​ ​ （2）解：为的直径， ​的度数为 ​的度数为 ​的度数为 ​ ​ ​ ​四边形为平行四边形， ​ ​． 7． 某科技公司设计出一款圆形智能手表，其表盘的平面示意图如图所示，表盘的轮廓看作圆，表盘内有两条平行的触控灯带（的两条弦），分别位于圆心O的上下两侧．过表盘中心O有一条线段且交于点E，交于点G，交于点F． （1）求证： （2）若求的半径． 　思路分析　　（1）连接证明即可； （2）连接设的半径为利用垂径定理，勾股定理求解即可． （1）证明：如图（1），连接． ​ ​ ​ ​． （2）解：如图（2），连接设的半径为． ​ ​ ​． ​ ​． 在中， ​ 解得 故的半径为． 8． 已知：如图，是上的点，． （1）求证： （2）求的长． 　思路分析　　本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系定理； （1）先证明即可得到结论； （2）由证明即可． （1）证明： ​ 即． ​． （2）解： ​． 9． 已知：如图，在中，．求证：． 　思路分析　　要证明可以利用同圆或等圆中相等的圆心角所对的弦和弧相等，或同圆或等圆中等弧所对的圆心角和弦相等的性质，结合弧与角的和差关系推导． 　答案　　证明： 方法一： ​ ​ 即 ​． 方法二： ​ ​ ​． 10． 已知：如图，为的直径，为的弦，垂足为．求证：． 　思路分析　　利用垂径定理推出两段弧相等，再依据同圆中等弧对等弦，证得线段相等． 　答案　　证明：为的直径，且 ​ ​． 11． 某校有一块圆形劳动教育实践基地，现在其内部规划一个四边形区域植鲜花．如图，数学兴趣小组已经确立了三点的位置，．已知点在劣弧上，且 （1）尺规作图：请在上确定点的位置，并连接 （2）已知求鲜花种植区域四边形的面积（请用含的式子表达） 　思路分析　　（1）根据题意作即可求解； （2）过点分别作的垂线，垂足分别为证明进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得根据四边形的面积即可求解． （1） （2）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为 由（1）可得 ​ ​ 在中， ​ ​ ​ 在中， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​四边形的面积 ​ 12． 课本再现 如图1，A，B是上的两点，C是的中点． （1）求证：四边形是菱形． 拓展延伸 （2）如图2，将线段绕圆心O逆时针旋转得到线段交于点E，连接若求的长． 　思路分析　　（1）连接证明是等边三角形，则同理得到即可得出结论； （2）连接求出则平分得到则由勾股定理求出由勾股定理求出答案即可． （1）证明：连接 ​C是的中点， ​ ​ ​是等边三角形， ​同理 ​ ​四边形是菱形； （2）连接 ​是等边三角形， ​ ​将线段绕圆心O逆时针旋转得到线段 ​ ​ ​平分 ​ ​ ​ ​ ​． 13． 在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”． 定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度．如图①，在中垂足为垂足为和都是弦心距． 实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题： 如图②，是的平分线上一点，以点为圆心的圆与角的两边分别交于． （1）求证： （2）若角的顶点在圆上或圆内，上述结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明． 　思路分析　　该题考查了角平分线的性质定理和圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系． （1）如图②过点作于点于点根据角平分线的性质定理得出再根据“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”即可证明 （2）同（1）的作图方法分为如图③，当点在上时，和如图④，当点在内时，根据角平分线的性质定理得出再根据“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”即可证明 （1）证明：如图②过点作于点于点 又平分 ​ ​ （2）解：结论仍然成立． 理由如下：如图③，当点在上时，由（1）知． ​ 如图④，当点在内时，由（1）知． ​． 14． 已知多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成，一圆过A、D、E三点，求该圆半径的长． 　思路分析　　作垂足为F，并延长交DE于H点．根据其轴对称性，则圆心必定在AH上．设其圆心是O，连接OD，OE．根据等边三角形的性质和正方形的性质，可以求得AH，DH的长，设圆的半径是r．在直角三角形BOH中，根据勾股定理列方程求解． 如图， 作垂足为F，并延长交DE于H点． ​为等边三角形， ​AF垂直平分BC， ​四边形BDEC为正方形， ​AH垂直平分正方形的边DE． 又DE是圆的弦，AH必过圆心，记圆心为O点，并设⊙O的半径为r． 在Rt中， ​． ​ｒ． 在Rt中，． ​．解得ｒ=2． ​该圆的半径长为2． 15． 如图，是的直径，都是的弦，且求与的度数． 　思路分析　　由根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等得到而是的直径，所以． 解： ​ 而是的直径， ​ ​ ​． 本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.2.2  圆心角 学生版  29.2.2　圆心角 题型分类讲义 学生版 目　录 　　题型 1　圆心角的概念与圆心角、弧、弦的关系 2 　　题型 2　弧的度数与圆心角的换算 3 　　题型 3　弦长与弧长的大小比较 4 　　题型 4　圆心角相关的证明与动点最值 6 　　分层练习　A 基础 · B 提升 · C 拓展 8 　题型 1　　圆心角的概念与圆心角、弧、弦的关系 知识梳理 顶点在圆心的角叫圆心角；在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，其余两组量也分别相等 圆心角的界定只有两条：顶点在圆心、两边与圆相交。图上顶点落在圆周上的角是圆周角，不是圆心角，辨析题里常拿这两种角混着出。 三组量的定理有一个不能省的前提：在同圆或等圆中。离开这个前提，"圆心角相等则弦相等"是错的——半径不同时，同样的圆心角对应的弦长并不相同。写证明时要先交代"在 中"。 用它推结论的固定写法是：由一组量相等，得另外两组量相等。证等弧就先去证弦相等或圆心角相等；证弦相等就先证弧相等或圆心角相等，三条路走哪条，看题目已经给了什么。 易错　①把圆周角当圆心角；　②证三组量关系时不交代"同圆或等圆"；　③认为"圆心角相等则弧相等"在任何两个圆里都成立；　④证明时只写结论，不写依据。 要点　同圆或等圆是前提，一组量相等推另外两组；证弧相等就从弦或圆心角入手。 1． 下面图形中的角是圆心角的是  （  ） A． B． C． D． 2． 下列说法正确的是  （  ） A．相等的圆心角所对的弧相等 B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等 C．在同圆中，相等的弦所对的弧相等 D．相等的弦所对的弧相等 3． 如图，AB，CD是的两条弦． （1）如果那么      ，      ． （2）如果那么      ，      ． （3）如果那么      ，      ． 　 4． 如图，A，B，C，D是上的点，求证：． 　 　 　 　题型 2　　弧的度数与圆心角的换算 知识梳理 弧的度数就是它所对圆心角的度数；半圆为 整圆为 弧的度数不需要另算，它就是所对圆心角的度数。题目说"弧 的度数为 "，翻译过来就是""，直接拿来用。 直径是最好用的 ： 是直径，就意味着弧 是半圆、度数为 也意味着 三点共线、很多题的突破口就在这一句。 遇到"三等分""中点"这类条件，先把整段弧的度数分好，再逐段相加。一条直径把圆分成两份 三等分后每份 中点则各 （对半圆而言）。 易错　①把弧的度数当成弧长；　②半圆当整圆算成 　③等分时用整圆的 去除，而那段弧其实只是半圆；　④弧的度数相加时把重叠部分算了两遍。 要点　弧的度数就是圆心角的度数；直径给的是 不是 1． 如图，弦平行于直径连接则弧所对的圆心角的度数为  （  ） A． B． C． D． 2． 如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为弧中点，若弧的度数为则的度数为 （  ） A． B． C． D． 3． 如图，是的直径，点E，D，C在上，已知那么的度数为      ． 　 4． 如图，在中，是直径，是的三等分点，求的度数． 　 　 　 　题型 3　　弦长与弧长的大小比较 知识梳理 弧长与圆心角成正比，弦长与圆心角不成正比：弧加倍时，弦长小于原来的两倍（弦是两点间的线段，弧比线段长） 最容易错的一处：由"弧 是弧 的两倍"推不出""。弧是弯的、弦是直的，两条小弧各自拉直后拼起来，比一条大弧的弦要长，所以 这类比较题画个图就能看明白，但结论要写清理由。 反过来，弧相等则弦相等是成立的（同圆或等圆中），因为对应的圆心角相同，两个等腰三角形的腰和顶角都一样。 几个要背的数值：弦长等于半径时，圆心角是 （此时弦与两条半径构成等边三角形）；弦长等于 时圆心角是 弦长等于 时是 易错　①把弧的倍数关系直接搬到弦上；　②弦长与半径混淆， 记成 　③不同圆的弧长直接比较；　④比较题只给结论，不说明"弧比弦长"。 要点　弧加倍，弦不足两倍；弦等于半径对应 1． 如图，在中，若则与的大小关系为 （  ） A． B． C． D．无法确定 2． 如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB、弧CD、弧EF，如果那么AB+CD与EF的大小关系是  （  ） A．AB+CD=EF B． C． D．大小关系不确定 3． 在圆中，与半径相等的弦所对的圆心角的度数为 （  ） A． B． C． D． 4． 已知的直径为10，是的弦，那么在中弦所对的圆心角度数为      ． 　 　题型 4　　圆心角相关的证明与动点最值 知识梳理 证等弧：先证弦相等或圆心角相等；动点最值：作对称点，用"两点之间线段最短" 证明题的路子很固定：要证弧相等，就去证弦相等或圆心角相等。题里已经有等弦的，直接得等弧；只有等角的，先由等腰三角形或全等把角凑齐。 动点最值的关键是"把折线拉直"：求 最小，作 关于动点所在直线的对称点 则 取等时 在 与直线的交点上。圆上的动点关于直径的对称点仍在圆上，这个性质常被用来把点搬位置。 等分弧、等腰、垂直这些条件往往要联合用：先由垂径定理得到等弧，再由三组量定理转成等弦或等角，两步接起来，题就通了。 易错　①证等弧时漏写"在同圆中"；　②作对称点时选错了对称轴；　③最值题只写答案，不交代取等的条件；　④把垂径定理得到的等弧与三组量定理混着用，依据写串。 要点　证等弧走"弦或角"，求最值走"对称 + 拉直"。 1． 如图，为的弦，半径分别交于点且．求证：． 　 　 　 2． 如图，圆心角． （1）判断和的数量关系，并说明理由； （2）若求的度数． 　 　 　 　 　 3． 如图，是的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧的中点，点P是直径上一动点．若则周长的最小值是      ． 　 4． 小明在完成作业“如图1，是以点为圆心的的三等分点，弦分别交于点求证：”的基础上，做了如下尝试如图2“把改为其他不变”，证明成功后，大胆猜想：“如图3，是以点为圆心的的三等分点，弦分别交于点求证：”．请写出小明“尝试”和“猜想”的证明过程． 　 　 　 A 组　基础题 必做｜圆心角识别、三组量判断与弧度换算 1． 如图，是的直径，若则的大小为 （  ） A． B． C． D． 2． 下列说法中，正确的是 （  ） A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等 3． 如图，A，B，C，D是上的点，若则的度数为 （  ） A． B． C． D． 4． 如图，以为圆心的三等分连下列结论错误的是 （  ） A． B．若则 C． D． 5． 在同圆或等圆中，若的长度等于的长度，则下列说法正确的个数是 （  ） ①和是等弧； ②所对的圆心角等于所对的圆心角； ③所对的弦的长度等于所对的弦的长度． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6． 下列语句正确的有 （  ） ①圆心角相等，所对的弧也相等； ②圆心角相等，所对的弦也相等； ③长度相等的两条弦所对的弧是等弧； ④等弧所对的圆心角相等． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7． 如图，下列各角是圆心角的是 （  ） A． B． C． D． 8． 如图，均为上的点，且则下列说法不正确的是 （  ） A． B． C． D． 9． 如图，在中，若则的长为      ． 　 10． 如图，O为圆心，那么所对的圆心角是      ，所对的圆心角是      ． 　 11． 如图，在中，已知则弦所对的圆心角的度数是      ． 　 12． 如图，是的直径，点依次在上，连接．若则图中与相等的弧是      ． 　 13． 如图，已知是的两条直径，弦的度数为则的度数为      ． 　 14． 如图，A、B、C是上的三点，点B是劣弧的中点，则的度数等于      ． 　 15． 如图，已知的半径等于是直径，是上的两点，且求四边形的周长． 　 　 　 B 组　提升题 必做｜圆内计算、比例与基本证明 1． 如图，为的直径，点C是弧的中点．过点C作于点G，交于点D，若则的半径长是  （  ） A．4 B．5.5 C． D． 2． 如图，点A,B,C是上的点，．若的半径为2，则四边形的面积为 （  ） A． B． C． D．2 3． 如图，已知是的直径，半径D是的中点，若过点D的弦平行于则下列结论正确的是 （  ） A． B． C． D． 4． 如图，是的直径，若则 （  ） A． B． C． D． 5． 如图，在中，以为圆心，为半径画分别交于点若则的度数为  （  ） A． B． C． D． 6． 如图，在中弦直径且分别交于点．下列四个结论：①②③④其中正确的有 （  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7． 如图，内接于是的直径．若的度数为则等于 （  ） A． B． C． D． 8． 如图，将半径为2，圆心角为的扇形OAB绕点A逆时针旋转一个角度，使点O的对应点D落在弧上．点B的对应点为C．连接BC．则BC的长度是  （  ） A．4 B． C．2 D．3 9． 如图，某城市新建了一座圆形观景台，台边设置了四个观景位．已知观景台边缘观景位与之间的直线距离为24，观景位与之间的直线距离为13，则这座圆形观景台的半径是      ． 　 10． 如图所示，在⊙O中，C、D分别是OA、OB的中点，M、N在⊙O上．下列结论： ① ② ③四边形MCDN是正方形， ④MN=AB， 所有正确结论的序号是      ． 　 11． 如图，在正方形纸片ABCD中，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的直径为则圆柱上M，N两点间的距离是      cm． 　 12． 如图，为等边三角形，以为直径的分别交于点．求证： ． 　 　 　 13． 如图，都是圆中的弦，连接且．求证：． 　 　 　 14． 已知：如图，A，B，C，D是⊙O上的点，且求证：． 　 　 　 15． 如图，是的两条直径，为的两条弦，且．求证：． 　 　 　 16． 如图，正方形内接于M为的中点,连接．求证：． 　 　 　 17． 如图，在中，弦与半径垂直于点D，连接．点E为的中点，连接． （1）若求的长； （2）若求的度数． 　 　 　 　 　 18． 如图，是的直径，点C、D在上，且点C、D在的异侧，连接．若的度数是且求的度数． 　 　 　 C 组　拓展题 选做｜动点最值、旋转与阅读探究 1． 计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图： 当任务完成的百分比为时，线段的长度记为．下列描述正确的是 （  ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 2． 如图，手机在处理任务时，常以圆形进度条显示任务完成的百分比．当任务完成时，线段的长度记为当时，甲认为对应线段的长度满足乙认为满足则下列说法正确的是 （  ） A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确 3． 如图，是的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧的中点，P点为直线上的一个动点，当时，的最小值为      ． 　 4． 如图，都是的弦，则与相等吗？为什么？ 　 　 　 5． 如图所示的齿轮有20个齿，相邻两齿之间的间隔相等．相邻两齿与圆心连线的夹角为多少度？如果让这样的齿轮旋转1周，那么在旋转过程中有多少次和原图形重合？ 　 　 　 6． 如图，以的顶点A为圆心，为半径作分别交于E、F两点，交的延长线于点G． （1）求证： （2）若的度数为求的度数． 　 　 　 　 　 7． 某科技公司设计出一款圆形智能手表，其表盘的平面示意图如图所示，表盘的轮廓看作圆，表盘内有两条平行的触控灯带（的两条弦），分别位于圆心O的上下两侧．过表盘中心O有一条线段且交于点E，交于点G，交于点F． （1）求证： （2）若求的半径． 　 　 　 　 　 8． 已知：如图，是上的点，． （1）求证： （2）求的长． 　 　 　 　 　 9． 已知：如图，在中，．求证：． 　 　 　 10． 已知：如图，为的直径，为的弦，垂足为．求证：． 　 　 　 11． 某校有一块圆形劳动教育实践基地，现在其内部规划一个四边形区域植鲜花．如图，数学兴趣小组已经确立了三点的位置，．已知点在劣弧上，且 （1）尺规作图：请在上确定点的位置，并连接 （2）已知求鲜花种植区域四边形的面积（请用含的式子表达） 　 　 　 　 　 12． 课本再现 如图1，A，B是上的两点，C是的中点． （1）求证：四边形是菱形． 拓展延伸 （2）如图2，将线段绕圆心O逆时针旋转得到线段交于点E，连接若求的长． 　 　 　 　 　 13． 在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”． 定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度．如图①，在中垂足为垂足为和都是弦心距． 实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题： 如图②，是的平分线上一点，以点为圆心的圆与角的两边分别交于． （1）求证： （2）若角的顶点在圆上或圆内，上述结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明． 　 　 　 　 　 14． 已知多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成，一圆过A、D、E三点，求该圆半径的长． 　 　 　 15． 如图，是的直径，都是的弦，且求与的度数． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $