专题14 反比例函数综合计算（重难点培优讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题14 反比例函数综合计算 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 反比例函数图象的对称性的应用 题型02 反比例函数概念、图象和性质的综合运用 题型03 两种函数图象的共存问题 题型04 反比例函数与一次函数图象交点解方程或不等式 题型05 反比例函数与一次函数的综合运用 题型06 反比例函数图像与几何变换问题 题型07 反比例函数与几何图形的面积问题 题型08 与反比例函数图象和性质有关的阅读理解题 题型09 反比例函数中的存在性问题 题型10 反比例函数中的规律问题 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一 反比例函数的图象与性质 反比例函数  的图象是双曲线，由两支曲线组成，关于原点中心对称，关于直线 、 轴对称． 函数表达式 函数图象 函数图象由两支曲线组成，称为双曲线 图象的对称性 函数图象的两支曲线关于原点成中心对称 图象所在的象限 一、三 二、四 函数的变化趋势 在每一个象限内，y随x的增大而减小 在每一个象限内，y随x的增大而增大 【要点提示】增减性必须强调在每一象限内，不能说整个定义域内y随x增大而增大或减小． 【针对训练】 1. 关于反比例函数下列说法不正确的是（ ） A．图象位于第一、三象限 B．当时，随的增大而增大 C．图象与坐标轴无交点 D．若点在该函数图象上，则点也在该函数图象上 2. 在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，过点作轴，分别交反比例函数，的图像于点，．则下列说法错误的是（ ） A．若点A的横坐标为2，则点C的纵坐标为 B．若，则 C．若，则的图像关于轴对称 D．当时， 知识点二 反比例函数的对称性与求点的坐标 【针对训练】 3．双曲线与直线相交于A、B两点，点坐标为，则点坐标为_____． 4．若双曲线与直线相交于点A，B，且点A的坐标为，则点B的坐标为______． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，，以为对角线作矩形，则矩形的面积为_____． 知识点三 反比例函数的几何意义 设点  是反比例函数 图象上任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线： 1.围成的矩形面积： 2.围成的直角三角形面积： 3.核心结论：同一反比例函数图象上，任意一点对应的矩形、三角形面积为定值，与点的位置无关． 值与矩形面积的关系 值与三角形面积的关系 文字语言 以为例：如图，过双曲线上任意一点作轴于点，轴于点 以为例：如图，过双曲线上任意一点作轴于点，连接 图示 的几何意义 【注意】因为中有正、负之分，所以上述两个面积结论中的不能写成 【针对训练】 6．如图，在平面直角坐标系中，矩形的面积为2，其中A、B两点在坐标轴上，点C在反比例函数上，则k的值是（     ） A． B． C．2 D．4 7．如图，已知反比例函数的图像经过点，连接.将线段绕点逆时针旋转，当点的对应点落在轴上时，的面积是（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 知识点四 一次函数与反比例函数交点综合题 从图像可以看出，在①，③部分，反比例函数图像在一次函数图像上方，所以的解集为或 ；在②，④部分，反比例函数图像在一次函数图像下方，所以的解集为或. 1. 求交点坐标 联立函数方程组 ，消元得到一元二次方程，求解后代入解析式求出对应。 2. 正反比例函数交点规律 正比例函数与反比例函数：同号，有2个交点且关于原点对称；异号，无交点。 3. 利用图象解函数不等式 如求解，技巧：找到两个函数交点横坐标，从上至下对比图象位置，必须分两段讨论，切记。 【针对训练】 8. （2026·四川宜宾·中考真题）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，并与反比例函数的图象交于横坐标为的点，过点作轴于点已知． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若是点关于轴的对称点，、分别是轴和线段上的动点，求周长的最小值． 9. （2026·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与函数的图象交于点． (1)求，的值； (2)将线段绕点逆时针旋转到，连接，将沿直线平移，当点的对应点恰好落在函数的图象上时，求点的坐标． 典例精析 题型01反比例函数图象的对称性的应用 【典例】如图，正方形的中心在平面直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点是正方形与反比例函数图象的一个交点．已知图中阴影部分的面积等于32，则k的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式】反比例函数过，点与点关于直线对称，抛物线经过A、B两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若抛物线的对称轴为，求抛物线的表达式； (3)若抛物线在的部分与反比例函数无公共点，求a的取值范围（）． 题型02反比例函数概念、图象和性质的综合运用 【典例】反比函数的图象如图所示． （1）求m的值； （2）当x＞﹣1时，y的取值范围是　 　； （3）当直线y2＝﹣x与双曲线交于A、B两点（A在B的左边）时，结合图象，求出在什么范围时y2＞y1？    【变式】已知是的反比例函数，且函数图象过点． (1)求与的函数关系式； (2)当取何值时，． 题型03两种函数图象的共存问题 【典例】如图，函数与（其中），同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A．B． C． D． 【变式】函数和在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型04利用反比例函数与一次函数图象的交点解方程或不等式 【典例】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于、两点，点的横坐标为． (1)求的值； (2)关于的不等式的解集为 ； (3)若点在轴上，且的面积为，直接写出点的坐标． 【变式】如图，已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点重合）的一点． (1)若点的坐标为； ①求的值； ②观察图象，当时，直接写出不等式的解集． (2)若将点分别向上或向右平移相同距离均可落在反比例函数的图象上，请直接写出的值． 题型05反比例函数与一次函数的综合运用 【典例】如图，反比例函数与一次函数的图像相交于和两点． 1)直接写出：点坐标________；反比例函数解析式________，直线的函数解析式________． (2)如图，直线与反比例函数交于另一点，若轴上有一点，使的面积为，求点的坐标． (3)请结合图像回答，时，的取值范围________． (4)在轴上有一点，若满足最小，则点的坐标为________．若满足最大，则点的坐标为________． 【变式】直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 题型06反比例函数图像与几何变换问题 【典例】小明打算参考学习正比例函数、反比例函数的经验，探究函数的图象与性质，他探究的步骤如下： x … 1 2 4 … … a 3 1 0 b … (1)刻画图象 ①列表：如表是x，y的几组对应值，其中 ， ； ②描点：如图所示； ③连线：请用平滑的曲线顺次连接． (2)认识性质 观察图象，完成下列问题： ①当时，y随x的增大而 ； ②函数的图象的对称中心是 ．（填写点的坐标） ③函数的图象可以由反比例函数的图象经过平移得到，请结合图象直接写出如何平移； (3)类比探究 看了小明的研究过程，小杰推测，函数的图象经平移也可以得到函数的图象．你认同小杰的推测吗？如果认同，请直接写出如何平移；如果不认同，请说明理由． 【变式】如图，把双曲线绕着原点逆时针旋转与轴交于点， （1）若点B（0，2），则______； （2）若点A（3，5）在旋转后的曲线上，则______． 题型07反比例函数与几何图形的面积问题 【典例】如图，平行四边形的顶点在轴的负半轴上，顶点，，都在反比例函数的图象上，且边经过原点，若平行四边形的面积为，则__________． 【变式】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据函数图象直接写出不等式的解集． 题型08与反比例函数图象和性质有关的阅读理解题 【典例】阅读材料： 在学习反比例函数的性质时，通过图像直观感受到反比例函数的图像关于原点对 称．小明利用代数方法进行了推导． 证明：在反比例函数的图像上任取一点，则点A关于原点的对称点B的坐标为． ∵， ∴点B也在反比例函数的图像上． ∵点A是反比例函数上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数的图像上， ∴反比例函数的图像关于原点对称． 问题解决： 下面我们来研究一个新函数． (1)函数的图像关于 对称，请证明该结论； (2)已知点在函数的图像上，且，则x的取值范围是 ． (3)已知函数，若当x的范围分别为，时，函数的图像在函数的图像的上方，求n的范围． 【变式】阅读与思考在一次数学探究活动中，某学习小组成员通过测量计算等方式，在平面直角坐标系中标记出了一些特殊的点，、，，，，…这些点总是满足某种数学规律． 【规律探究】（1）若平面直角坐标系中的点满足上述规律，请直接写出x与y之间的关系：______． 【感知定义】（2）该小组成员将满足上述关系的点称为“邂逅点”．请判断，，中，点______是“邂逅点”（填“A”或“B”或“C”）； 【综合应用】（3）运用“邂逅点”的定义，解决下列的问题： ①若点是反比例函数图象上的“邂逅点”，求k的值； ②已知的图象上有两个“邂逅点”，求证：这两个“邂逅点”的横坐标互为相反数． 题型09反比例函数中的存在性问题 【典例】如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于， 两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点 的右侧，连接，，△的面积为5． (1)求点 ， 的坐标及反比例函数的解析式； (2)求点的坐标； (3)探究在 轴上是否存在点，在平面内存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式】如图，直线与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B． (1)求k的值及点B的坐标； (2)当x ______ 时，； (3)在x轴上是否存在点C，使得为等腰三角形，且？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 题型10反比例函数中的规律问题 【典例】在反比例函数的图象上，有一系列点，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2．现分别过点，作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为，则________，________________________（用含n的代数式表示）． 【变式】观察下列等式：，，，…，运用你发现的规律解决以下问题：如图，直线，，，…，（且n为整数）与反比例函数的图象分别交于点，，，…，，则______． 1．已知，则函数和图象大致是（     ）． A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B．1 C．2 D．6 3．如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 4．如果反比例函数（为常数，且）的图象分布在第二、四象限，那么的值为（     ） A． B． C． D． 5．反比例函数，点三点都在该反比例函数的图象上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 6．关于反比例函数，下列说法错误的是（     ） A．图象位于第二、四象限 B．y随x的增大而增大 C．图象与坐标轴不相交 D．当时， 7．已知和两点在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是_____． 8．在平面直角坐标系中，点P是反比例函数图象上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，则四边形的面积为______． 9．如图，点是反比例函数图象上一点，过点分别作轴、轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积是4，则的值为______． 10．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边在轴上，的中点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求的值及点的坐标； (2)将线段沿轴向左平移一定的距离，使得点的对应点落在轴上，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求平移的距离． 11．已知，在双曲线上，且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 12．在函数（m是常数）的图象上有三点、、，已知，则下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 13．如图，正方形的边长为，其中它的中心与原点重合，轴，轴，反比例函数与的图像均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 14．如图A是函数的图象上一点．过点A作轴于点C．交函数 的图象于点B，P是y轴的正半轴上一点，连接．若的面积为2，则k的值为（     ） A．4 B．6 C． D．12 15．如图，点和点分别在反比例函数（）和（）两个图象上，轴且交轴于，若，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 16．设x0是关于x的方程的正数解，若，则实数k的取值范围为____． 17．如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是____________． 18．如图，一次函数和的图象与反比例函数的图象在第一象限分别交于、两点，已知面积为10，则的值为__________． 19．如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点是线段上一动点，过点作轴的平行线交反比例函数（）的图象于点．若，求点的坐标． 20．如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（） A． B． C． D． 21．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，均在反比例函数的图象上，则的值为（     ）． A． B． C． D． 22．如图，D为矩形（边分别在x，y轴的正半轴上）对角线上的点，且．经过点D的反比例函数的图象分别与相交于点E，F，连接．若的面积是12，则的面积为（     ） A．12 B．13 C． D． 23．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰直角的直角边和斜边交于点，点在轴负半轴上，连接，若，且的面积为6，则___________． 24．如图，点A坐标为，点B坐标为，点M是正方形的中心，且点D，M均在反比例函数图象的同一分支上，则a的值为______． 25．如图，的边在轴上，若过点的反比例函数，的图象还经过边上的中点，且，则_________． 26．如图，一次函数的图象与反比例函数的图像交于第二、四象限内的，两点，与轴正半轴交于点，过点作轴，垂足为点，的面积为，点的横坐标为，． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)直线交轴于点，过点作直线轴，如果直线上存在点，使，请直接写出点的坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 反比例函数综合计算 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 反比例函数图象的对称性的应用 题型02 反比例函数概念、图象和性质的综合运用 题型03 两种函数图象的共存问题 题型04 反比例函数与一次函数图象交点解方程或不等式 题型05 反比例函数与一次函数的综合运用 题型06 反比例函数图像与几何变换问题 题型07 反比例函数与几何图形的面积问题 题型08 与反比例函数图象和性质有关的阅读理解题 题型09 反比例函数中的存在性问题 题型10 反比例函数中的规律问题 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一 反比例函数的图象与性质 反比例函数  的图象是双曲线，由两支曲线组成，关于原点中心对称，关于直线 、 轴对称． 函数表达式 函数图象 函数图象由两支曲线组成，称为双曲线 图象的对称性 函数图象的两支曲线关于原点成中心对称 图象所在的象限 一、三 二、四 函数的变化趋势 在每一个象限内，y随x的增大而减小 在每一个象限内，y随x的增大而增大 【要点提示】增减性必须强调在每一象限内，不能说整个定义域内y随x增大而增大或减小． 【针对训练】 1. 关于反比例函数下列说法不正确的是（ ） A．图象位于第一、三象限 B．当时，随的增大而增大 C．图象与坐标轴无交点 D．若点在该函数图象上，则点也在该函数图象上 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，解题关键是掌握反比例函数图象的性质并熟练运用． 根据反比例函数图象的性质判断即可． 【详解】解：反比例函数，， 图象位于第一、三象限， A选项是正确的，不符合题意； 根据反比例函数的图象可知，图象与坐标轴无交点， C选项是正确的，不符合题意； 对于B：当时，， 增大，减小， 随的增大而减小，故B是错误的，符合题意； 对于D：若点在图象上，则，代入点，有， ，成立，故D是正确的，不符合题意． 故选：B． 2. 在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，过点作轴，分别交反比例函数，的图像于点，．则下列说法错误的是（ ） A．若点A的横坐标为2，则点C的纵坐标为 B．若，则 C．若，则的图像关于轴对称 D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质及点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图像与性质． 根据反比例函数的图像与性质逐项判断即可． 【详解】解：A．将代入得， ∴点C的坐标为， 故A正确； B．由题意可知， ， ， ， ， 故B错误； C．若，则， ∴的图象关于x轴对称，故C正确； D．当时，， ∵反比例函数的函数值随的增大而增大， ∴当时，，故D正确． 故选：B． 知识点二 反比例函数的对称性与求点的坐标 【针对训练】 3．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）双曲线与直线相交于A、B两点，点坐标为，则点坐标为_____． 【答案】 【详解】解：双曲线与直线 相交于两点，由于正比例函数图像过原点，且双曲线关于原点中心对称，因此交点A和B关于原点对称， 已知B点坐标为，根据关于原点对称的点的坐标特征，横纵坐标均互为相反数，故A点坐标为． 故答案为：． 4．（2026·安徽阜阳·三模）若双曲线与直线相交于点A，B，且点A的坐标为，则点B的坐标为______． 【答案】 【详解】解：解：将代入得，则点A的坐标为， ∵点A和点B关于原点对称， ∴点B坐标为． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，，以为对角线作矩形，则矩形的面积为_____． 【答案】8 【分析】本题考查了反比例函数的对称性，反比例函数k的几何意义，矩形的性质等，熟知反比例函数的对称性是解题的关键．设，则，然后根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：设， ∵直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，， ∴， ∴矩形的面积为， 故答案为：8． 知识点三 反比例函数的几何意义 设点  是反比例函数 图象上任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线： 1.围成的矩形面积： 2.围成的直角三角形面积： 3.核心结论：同一反比例函数图象上，任意一点对应的矩形、三角形面积为定值，与点的位置无关． 值与矩形面积的关系 值与三角形面积的关系 文字语言 以为例：如图，过双曲线上任意一点作轴于点，轴于点 以为例：如图，过双曲线上任意一点作轴于点，连接 图示 的几何意义 【注意】因为中有正、负之分，所以上述两个面积结论中的不能写成 【针对训练】 6．（2026·广西梧州·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的面积为2，其中A、B两点在坐标轴上，点C在反比例函数上，则k的值是（     ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】解：矩形的面积为2，其中A、B两点在坐标轴上，点C在反比例函数上， ∴， ∵反比例函数的图象位于第二象限， ∴， ∴． 7．（2026·山西忻州·模拟预测）如图，已知反比例函数的图像经过点，连接.将线段绕点逆时针旋转，当点的对应点落在轴上时，的面积是（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【详解】解：由旋转的性质可得， 如图，过点作轴于点， ，， ， 反比例函数的图象经过点， ， ． 知识点四 一次函数与反比例函数交点综合题 从图像可以看出，在①，③部分，反比例函数图像在一次函数图像上方，所以的解集为或 ；在②，④部分，反比例函数图像在一次函数图像下方，所以的解集为或. 1. 求交点坐标 联立函数方程组 ，消元得到一元二次方程，求解后代入解析式求出对应。 2. 正反比例函数交点规律 正比例函数与反比例函数：同号，有2个交点且关于原点对称；异号，无交点。 3. 利用图象解函数不等式 如求解，技巧：找到两个函数交点横坐标，从上至下对比图象位置，必须分两段讨论，切记。 【针对训练】 8. （2026·四川宜宾·中考真题）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，并与反比例函数的图象交于横坐标为的点，过点作轴于点已知． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若是点关于轴的对称点，、分别是轴和线段上的动点，求周长的最小值． 【详解】（1）解：由题意得，将代入，则， ∴ ∵轴 ∴，， 对于一次函数，当时，，解得 ∴ ∴， ∵轴 ∴ ∴， 解得，（舍去） ∴一次函数表达式为， ∴， 将点代入，则， ∴反比例函数表达式为； （2）解：对于直线，当时，，解得；当时， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵是点关于轴的对称点， ∴， ∴ 过点作直线的对称点，连接， ∴， ∴， ∴当点共线时，的周长取得最小值，即为， ∵ ∴， ∴的周长最小值为． 9. （2026·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与函数的图象交于点． (1)求，的值； (2)将线段绕点逆时针旋转到，连接，将沿直线平移，当点的对应点恰好落在函数的图象上时，求点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入中，得， 解得， ∴， 将代入中，得； （2）由（1）知， 令得；令得， ∴， ∴， 过点D作轴于点E， 由旋转得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵直线的解析式为，平移后， ∴设直线解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴直线解析式为， 令， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 典例精析 题型01反比例函数图象的对称性的应用 【典例】如图，正方形的中心在平面直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点是正方形与反比例函数图象的一个交点．已知图中阴影部分的面积等于32，则k的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】首先求出，然后由对称性得到，求出，然后将代入求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形，且正方形的中心在平面直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，， ∴ ∵正方形和反比例函数图象都关于原点对称 ∴图中阴影部分的面积等于正方形的面积 ∴ ∴ 将代入得， ∴． 【变式】反比例函数过，点与点关于直线对称，抛物线经过A、B两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若抛物线的对称轴为，求抛物线的表达式； (3)若抛物线在的部分与反比例函数无公共点，求a的取值范围（）． 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】本题考查二次函数与反比例函数图象综合问题； （1）将点代入反比例函数的解析式即可求出的值． （2）求出点的坐标，然后将与的坐标代入即可，结合抛物线的对称轴为，求出抛物线的解析式即可求出，与的值． （3）令和代入反比例函数中求出相应的点坐标，然后将两点的坐标代入中求出的值，根据函数图象求得的范围． 【详解】（1）解：∵反比例函数过， ∴， ∴； （2）∵点与点关于直线对称， ∴． ∵抛物线过点和，抛物线的对称轴为， ∴ ∴ ∴ （3）解：∵抛物线过点 ∴ 解得： ∴ 反比例函数的解析式： 令时，，即 令时，，即 当过点时，， 当过点时，， ∴抛物线在的部分与反比例函数无公共点，此时的范围：且． 题型02反比例函数概念、图象和性质的综合运用 【典例】反比函数的图象如图所示． （1）求m的值； （2）当x＞﹣1时，y的取值范围是　 　； （3）当直线y2＝﹣x与双曲线交于A、B两点（A在B的左边）时，结合图象，求出在什么范围时y2＞y1？    【答案】（1）-2；（2）y＞1或y＜0；（3）x＜﹣1或0＜x＜1 【分析】（1）根据反比例函数的定义以及性质，即可得到m的值； （2）直接根据反比例函数的图象进行解答即可． （3）解析式联立求得A、B的坐标，然后根据A、B的坐标，然后观察函数图象求解． 【详解】解：（1）反比函数在二四象限， 且， 解得； （2）由（1）可知反比例函数为， 由反比例函数的图象可知，当时，函数图象在直线的上方， 当时，， 当时，函数图象在第四象限， ， 当时，y的取值范围是或． 故答案为或； （3）联立解析式得方程组解得或， ，， 由图象可知：当或时． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合思想解本题的关键． 【变式】已知是的反比例函数，且函数图象过点． (1)求与的函数关系式； (2)当取何值时，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设该反比例函数的表达式为：，将点A代入表达式即可求解； （2）将代入（1）所求表达式即可求解； 【详解】（1）解：设该反比例函数的表达式为：； 将代入得， ，解得： ∴． （2）将代入中， ，解得：． 【点睛】本题主要考查反比例函数，掌握反比例函数相关知识并正确计算是解题的关键． 题型03两种函数图象的共存问题 【典例】如图，函数与（其中），同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质可确定反比例函数a的范围，再利用二次函数的性质确定二次函数中字母a的范围，看a的范围是否统一． 【详解】解：A、反比例函数图象在第一、三象限，则，二次函数的图象开口向上，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； B、二次函数的图象开口向下，则，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； C、反比例函数图象在第二、四象限，，二次函数的图象开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； D、反比例函数图象在第二、四象限，，二次函数的图象开口向上，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后一致，故此选项符合题意． 【变式】函数和在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象及反比例函数图象的综合判断，根据二次函数图象和性质得到的取值范围，再判断反比例函数的图象，即可得到答案． 【详解】解：A. 由的图象可知，，，则，得到，的图象应该分别在二、四象限，故选项错误，不符合题意； B.由可知，图象必过原点，选项中的二次数图象不经过原点，故选项错误，不合题意； C. 由的图象可知，，，则，得到，的图象分别在一、三象限，故选项正确，符合题意； D. 由的图象可知，，，则，得到，则的图象应该分别在一、三象限，但选项中的反比例函数图象分别位于二、四象限，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 题型04利用反比例函数与一次函数图象的交点解方程或不等式 【典例】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于、两点，点的横坐标为． (1)求的值； (2)关于的不等式的解集为 ； (3)若点在轴上，且的面积为，直接写出点的坐标． 【答案】(1)的值为 (2)或 (3)或 【分析】（1）先求出点的坐标，再代入反比例函数的解析式，即可求解； （2）联立方程，求出点的横坐标，再结合图象，求出直线在双曲线上方时对应的自变量的取值范围即可； （3）直线交轴于点，先求出，设，则，根据，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：点在一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象上， 当时，， ， ； （2）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点， ，整理得，解得，， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 则由图可知，不等式的解集为或； （3）解：如图，直线交轴于点， 当时，， 则， 设，则， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， ，则或， 解得或， 则或． 【变式】如图，已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点重合）的一点． (1)若点的坐标为； ①求的值； ②观察图象，当时，直接写出不等式的解集． (2)若将点分别向上或向右平移相同距离均可落在反比例函数的图象上，请直接写出的值． 【答案】(1)①；② (2)1 【分析】（1）①把点代入反比例函数，求出n的值，得到点A的坐标，再将点A的坐标代入正比例函数即可求解； ②由图象可得，不等式的解集为正比例函数的图象在反比例函数的图象上方对应的自变量x的取值，即可解答； （2）设点B的坐标为，向上平移b个单位长度得到，向右平移b个单位长度得到，把，代入反比例函数，即可求解． 【详解】（1）解：①∵反比例函数的图象过点， ∴， 解得， ∴点A的坐标为， ∵正比例函数的图象过点， ∴， 解得． ②∵反比例函数与正比例函数交于点， ∴由图象可得，当时，不等式的解集为． （2）解：∵点是线段上（不与点重合）的一点， ∴设点B的坐标为，向上平移b个单位长度得到，向右平移b个单位长度得到， ∵点分别向上或向右平移相同距离均可落在反比例函数的图象上， 即，在反比例函数的图象上， ∴，， ∴． 题型05反比例函数与一次函数的综合运用 【典例】如图，反比例函数与一次函数的图像相交于和两点． (1)直接写出：点坐标________；反比例函数解析式________，直线的函数解析式________． (2)如图，直线与反比例函数交于另一点，若轴上有一点，使的面积为，求点的坐标． (3)请结合图像回答，时，的取值范围________． (4)在轴上有一点，若满足最小，则点的坐标为________．若满足最大，则点的坐标为________． 【答案】(1)，， (2)或 (3)或 (4)， 【分析】（1）根据点求出反比例函数表达式，从而确定点坐标，利用待定系数法求出一次函数表达式，设直线表达式，根据求出表达式，再根据一次函数和反比例函数交点求出点． （2）设点，对的面积进行分割，根据面积公式进行求解即可． （3）观察函数图象，即反比例函数图象在一次函数图象上方即可． （4）求出点关于轴对称点,当点、、三点共线时最小，，当、、三点共线时最大，最大值即为． 【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象相交于和两点， ∴点代入反比例函数中得， ， ∴， ∴． ∵点， ∴， ∴点， ∵直线表达式经过点和点， ∴代入得， 解得，， ∴直线表达式． 设直线表达式为经过点和点， ∴代入中得， 解得， ∴设直线表达式为， ∴， ∵反比例函数和一次函数交于点和点， ∴即， 解得， ∵点， ∴点横坐标，代入， 解得， ∴点． （2）解：由（1）知点，设点，如图， 观察图形可知， ∴， ∵ ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点或． （3）反比例函数与一次函数的图像相交于点和点两点， 结合函数图象可知，当或时，． （4）解：作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，如图， ∵， ∴， ∴当点、、三点共线时最小，即满足最小， 设直线表达式为， ∵点，点代入表达式得， 解得，， ∴直线表达式， ∵点为直线和轴交点， ∴，即， 解得， ∴点． ∵， ∴当、、三点共线时，最大，即为， ∵， 当时，即，解得， ∴若满足最大，则点的坐标为． 【变式】直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在；E点的坐标为或或 【分析】（1）把点A的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式中，即可求解； （2）设，由可得，由点D在反比例函数的图象上，把其坐标代入解析式中即可求解； （3）设；分两种情况：当点C为直角顶点时；当点O为直角顶点时，利用全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， 解得， 将代入，得，即， （2）解：：， ， 设， ， ， ∴， ， ∵点D在双曲线上， ， 解得，（舍去）， ； （3）解：存在． 设， ①当C为直角顶点时，过点C作x轴的垂线，垂足为N，过点E作，垂足为M，则， ， ， ， ， ， 又∵等腰直角三角形中，， ， ，， ； ②当O为直角顶点时，过点C作轴，垂足为N，过点E作轴，垂足为M，同理可得， ，， ， ，解得，， 此时，， 综上所述：满足条件的E点的坐标为或或． 题型06反比例函数图像与几何变换问题 【典例】小明打算参考学习正比例函数、反比例函数的经验，探究函数的图象与性质，他探究的步骤如下： x … 1 2 4 … … a 3 1 0 b … (1)刻画图象 ①列表：如表是x，y的几组对应值，其中 ， ； ②描点：如图所示； ③连线：请用平滑的曲线顺次连接． (2)认识性质 观察图象，完成下列问题： ①当时，y随x的增大而 ； ②函数的图象的对称中心是 ．（填写点的坐标） ③函数的图象可以由反比例函数的图象经过平移得到，请结合图象直接写出如何平移； (3)类比探究 看了小明的研究过程，小杰推测，函数的图象经平移也可以得到函数的图象．你认同小杰的推测吗？如果认同，请直接写出如何平移；如果不认同，请说明理由． 【答案】(1)①；②见解析；③见解析 (2)①减小；②；③函数的图象可以由反比例函数的图象向下平移一个单位得到 (3)认同小杰的推测，函数的图象向左平移5个单位也可以得到函数的图象 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质及反比例函数的图象，熟知反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）①将x的值代入进行计算即可． ②③根据①中表格中的数据，描点，连线即可． （2）观察函数图象即可解决问题． （3）利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】（1）解：①当时，， 当时，． 故答案为：； ②③描点、连线，如图所示， （2）解：观察图形可知， ①当时，y随x的增大而减小； 故答案为：减小； ②函数的图象的对称中心是； 故答案为：； ③函数的图象可以由反比例函数的图象向下平移一个单位得到； （3）解：认同小杰的推测， 函数的图象向左平移5个单位也可以得到函数的图象． 【变式】如图，把双曲线绕着原点逆时针旋转与轴交于点， （1）若点B（0，2），则______； （2）若点A（3，5）在旋转后的曲线上，则______． 【答案】 2 8 【分析】（1）根据旋转的性质，求出点的对应点坐标，求出值即可； （2）根据旋转的性质，求出点的对应点坐标，求出值即可； 【详解】解：（1）设点绕着原点逆时针旋转后的对应点为点（0，2）， 则：，， 过点作轴，交轴于点， 则：为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2； （2）设点绕着原点逆时针旋转后的对应点为点A（3，5）， 则：，， 过点作， 则：， ∴， ∴， ∴， 整理，得：， 解得：或（不合题意，舍掉）， 把代入，得：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：8． 【点睛】本题考查反比例函数，以及旋转的性质．熟练掌握旋转的性质，确定点的坐标，是解题的关键． 题型07反比例函数与几何图形的面积问题 【典例】如图，平行四边形的顶点在轴的负半轴上，顶点，，都在反比例函数的图象上，且边经过原点，若平行四边形的面积为，则__________． 【答案】6 【分析】设，根据反比例函数的中心对称性可得，利用平行四边形性质表示出点的坐标，代入反比例函数解析式得到的关系，再结合建立关于的方程求解． 【详解】解：设，其中 ， 边经过原点，且在反比例函数图象上 ， 点与点关于原点对称 ， ，且为中点 ． 四边形是平行四边形， ∴， 设，其中， ∴， ∴， ∴，， ． 点在反比例函数图象上， ， ， ， ，即 ． 连接， 四边形是平行四边形 ， 点到的距离等于平行四边形边上的高，设为， 又 将代入上式得 ． 【变式】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据函数图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； (2)８； (3)或． 【分析】（1）运用待定系数法先求出反比例函数的解析式，再求得点的坐标，然后把点的坐标代入即可得到一次函数的表达式； （2）先确定点的坐标，再根据进行计算即可； （3）根据点的坐标结合图像可得不等式的解集． 【详解】（1）解：把点代入反比例函数，可得， 解得 ， ∴反比例函数为，点的坐标为 ∵反比例函数的图象经过B点， ∴，解得 ∴点的坐标为， 把，代入得 解得 ∴一次函数为； （2）解：在直线中，令，则， ∴，即， ∴； （3）要满足不等式，即一次函数图象在反比例函数图象上方，如图所示，所以的解集是或． 题型08与反比例函数图象和性质有关的阅读理解题 【典例】阅读材料： 在学习反比例函数的性质时，通过图像直观感受到反比例函数的图像关于原点对 称．小明利用代数方法进行了推导． 证明：在反比例函数的图像上任取一点，则点A关于原点的对称点B的坐标为． ∵， ∴点B也在反比例函数的图像上． ∵点A是反比例函数上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数的图像上， ∴反比例函数的图像关于原点对称． 问题解决： 下面我们来研究一个新函数． (1)函数的图像关于 对称，请证明该结论； (2)已知点在函数的图像上，且，则x的取值范围是 ． (3)已知函数，若当x的范围分别为，时，函数的图像在函数的图像的上方，求n的范围． 【答案】(1) 解：函数的图像关于y轴对称，证明如下： 在的图像上任取一点，则点A关于y轴的对称点B坐标为． 把代入中得，，即点B在的图像上， ∵点A是函数上的任意一点，它关于y轴对称的点都在函数的图像上， ∴函数的图像关于y轴对称； (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，关于y轴对称的点的坐标特点： （1）在的图像上任取一点，则点A关于y轴的对称点B坐标为，再仿照题意证明点B在函数的图像上即可； （2）根据题意可得，解不等式即可得到答案； （3）分别求出点和点在函数的图象上，再求出直线经过这两个点时n的值，最后结合函数图象即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵点在函数的图像上，且， ∴， ∴， ∴或； （3）解：把代入中，得，则点在函数的图象上， 再把代入中，得． Ⅱ：把代入中，得，则点在函数的图象上， 再把代入中，得． ∴由下图函数图像可知，当或时，函数的图像在函数的图像的上方时，或． 【变式】阅读与思考在一次数学探究活动中，某学习小组成员通过测量计算等方式，在平面直角坐标系中标记出了一些特殊的点，、，，，，…这些点总是满足某种数学规律． 【规律探究】（1）若平面直角坐标系中的点满足上述规律，请直接写出x与y之间的关系：______． 【感知定义】（2）该小组成员将满足上述关系的点称为“邂逅点”．请判断，，中，点______是“邂逅点”（填“A”或“B”或“C”）； 【综合应用】（3）运用“邂逅点”的定义，解决下列的问题： ①若点是反比例函数图象上的“邂逅点”，求k的值； ②已知的图象上有两个“邂逅点”，求证：这两个“邂逅点”的横坐标互为相反数． 【答案】（1）； （2）A； （3）① ②证明：由题意知，“邂逅点”所在直线为， 设两个“邂逅点”的横坐标分别为，， 联立，得 ， 则， ∴两个“邂逅点”的横坐标互为相反数． 【分析】本题考查一次函数与二次函数的综合应用，解题关键是先确定“邂逅点”满足的这一关系，再结合函数性质与方程根与系数关系求解． （1）观察已知点坐标，计算的值，发现均为，直接得与关系：． （2）根据“邂逅点”满足，分别代入、、三点坐标验证，即可解答． （3）综合应用①由“邂逅点”定义，满足，解得，即．将代入反比例函数，得，解得答案．②联立“邂逅点”直线与抛物线，消去得．设方程两根（即“邂逅点”横坐标）为、，根据韦达定理，，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵点，，，， 分别验证：， ， ， ， ∵与的关系为． 故答案为：； （2）根据“邂逅点”满足： 对于：，满足，是“邂逅点”． 对于：，不满足，不是“邂逅点”． 对于：，不满足，不是“邂逅点”． 故点A是“邂逅点”． 故答案为：A； （3）①∵P是“邂逅点”， ∴， ∴， 将代入中，得 ， 即k的值为． ②略 题型09反比例函数中的存在性问题 【典例】如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于， 两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点 的右侧，连接，，△的面积为5． (1)求点 ， 的坐标及反比例函数的解析式； (2)求点的坐标； (3)探究在 轴上是否存在点，在平面内存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，反比例函数解析式为 (2) (3)点坐标为或或或, 【分析】（1）先求出点m值，可得点A坐标，进而可得反比例函数解析式，根据对称性可得B坐标； （2）过作轴，设，表示出的长，用面积公式代入计算，可得答案； （3）先求出的长，分情况讨论计算即可． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得， 正比例函数表达式为， ， 反比例函数解析式为， 点 、 关于原点对称， ； 综上，，，反比例函数解析式为； （2）过作轴，交于点， 设， ， ， ， ， 解得或（舍去）， ； （3）， ． 当为菱形的边时，有如下三种情况： ①如图，点在点左侧， 此时轴，且， ； ②如图，此点在点右侧， 此时轴，且， ； ③如图，、为对角线， 此时点与点关于 轴对称，则； 当为菱形的对角线时，有如下一种情况： 过作轴于点， 设，则，， 在△中，， 解得， ， ,； 综上，点坐标为或或或,． 【变式】如图，直线与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B． (1)求k的值及点B的坐标； (2)当x ______ 时，； (3)在x轴上是否存在点C，使得为等腰三角形，且？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点B的坐标为 (2) (3)点C的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求出，再把代入中，可得，即可求出点坐标； （2）根据函数图象的交点和位置进行解答即可； （3）设点C的坐标为，表示出，，，为等腰三角形，且，据此列方程并解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：把点代入反比例函数，得， 把代入中，可得， 故，点坐标是 （2）解：由图象可知，当时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴当时，； （3）解：设点C的坐标为， 则，，． ∵为等腰三角形，且， ∴，即， 解得：或（此时，则不合题意，舍去）， ∴点C的坐标为． 故在x轴上存在点C，使得为等腰三角形，且，点C的坐标为．​ 题型10反比例函数中的规律问题 【典例】在反比例函数的图象上，有一系列点，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2．现分别过点，作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为，则________，________________________（用含n的代数式表示）． 【答案】 【分析】由已知条件每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，再根据点、、、、、在反比例函数上，求出各点坐标，再由面积公式求出的表达式，即 ，根据，得出即可． 【详解】解：∵点、、、、、在反比例函数图象上，且的横坐标为， ∴， ∵以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为， ∴、、、、， ∴， ， ， … ， ∵， ∴ ． 【变式】观察下列等式：，，，…，运用你发现的规律解决以下问题：如图，直线，，，…，（且n为整数）与反比例函数的图象分别交于点，，，…，，则______． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数的应用，先分别求解，，，，，…，，再代入计算即可． 【详解】解：∵直线，，，…，（且n为整数）与反比例函数的图象分别交于点，，，…，， ∴，，，，，…，， ∴ ． 故答案为： 1．已知，则函数和图象大致是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了反比例函数和一次函数的图象与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据分析两个函数图象所在象限， 即可选出答案 ． 【详解】解：∵ ， 的图象在一、 三象限， 在一、 二、 四象限， 故选：A． 2．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B．1 C．2 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质.由题意可得：k的取值应该满足，进而可得答案. 【详解】解：由题意可得：k的取值应该满足：，即， 所以k的值可能是6； 故选：D. 3．如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图像的对称性求解即可． 【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，， ∴A，B两点关于原点对称， ∵点A的坐标是， 点B的坐标为． 4．如果反比例函数（为常数，且）的图象分布在第二、四象限，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象性质，根据反比例函数中的符号与图象所在象限的对应关系即可得出结果. 【详解】解：∵ 反比例函数 的图象分布在第二、四象限 ， ∴ 根据反比例函数的图象性质可得 ． 5．反比例函数，点三点都在该反比例函数的图象上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵反比例函数， ∴图象位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，且第二象限内点的纵坐标为正，第四象限内点的纵坐标为负， ∵点、的横坐标均小于0，在第二象限，且， ∴， ∵点的横坐标大于0，在第四象限， ∴， ∴． 6．关于反比例函数，下列说法错误的是（     ） A．图象位于第二、四象限 B．y随x的增大而增大 C．图象与坐标轴不相交 D．当时， 【答案】B 【分析】从反比例函数的值符号入手，结合其图象与性质判断各选项，注意增减性的适用范围． 【详解】解：∵反比例函数的解析式为， ∴， ∴该函数的图象位于第二、四象限，每个象限内随的增大而增大，图象与坐标轴不相交， 故A、C正确，B错误； 当时，图象在第二象限，，故D正确． 7．已知和两点在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】首先判断出反比例函数在第一象限中y随x的增大而减小，然后根据得到，进而求解即可． 【详解】解：∵反比例函数中 ∴反比例函数在第一象限中y随x的增大而减小 ∵， ∴ ∴． 8．在平面直角坐标系中，点P是反比例函数图象上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，则四边形的面积为______． 【答案】6 【分析】根据反比例函数系数的几何意义即可求出四边形的面积． 【详解】解：因为点是反比例函数图象上的一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、， 所以矩形的面积． 9．如图，点是反比例函数图象上一点，过点分别作轴、轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积是4，则的值为______． 【答案】 【分析】利用点P在第二象限及矩形面积等于的性质确定k值． 【详解】解：设点P的坐标为， 图中矩形面积是4， ， 图象在第二象限， ， ． 10．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边在轴上，的中点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求的值及点的坐标； (2)将线段沿轴向左平移一定的距离，使得点的对应点落在轴上，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求平移的距离． 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）将代入即可求解；然后根据中点得到，再结合点的坐标求解点的坐标即可； （2）由题意可设平移后的，将点代入即可求解，得到点的坐标，再由点的坐标即可求解平移的距离． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 由题意得，轴， ∵， ∴， ∵的中点的坐标为， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得，反比例函数解析式为， 由题意可设平移后的， 将点代入，则， 解得， ∴， ∵， ∴平移的距离为． 11．已知，在双曲线上，且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的增减性和一元一次不等式的解法．由点，点的横坐标特点及已知条件可以判断两点分别位于第二、四象限，从而根据反比例函数的增减性推出比例系数小于，求得的取值范围． 【详解】解：点的横坐标为，点的横坐标为， ，在y轴的两侧， 又，点，点在上， 点，点分别位于第二、四象限， 根据反比例函数的增减性，的比例系数小于，即， 解得． 12．在函数（m是常数）的图象上有三点、、，已知，则下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，再结合自变量的取值范围，利用函数的增减性与象限特征比较函数值大小． 【详解】解：∵， ∴， ∴函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大． ∵， ∴点，在第二象限的图象上， ∴． ∵， ∴点在第四象限的图象上， ∴， ∴． 13．如图，正方形的边长为，其中它的中心与原点重合，轴，轴，反比例函数与的图像均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据两反比例函数的解析式确定出两函数图像之间的关系，再根据正方形的中心与原点重合，可知图中四个小正方形全等，即反比例函数的图像与两坐标轴所围成的图形全等，故阴影部分的面积即为两个小正方形即大正方形面积的一半． 【详解】解：对于反比例函数与，由两函数的解析式可知，两函数的图像关于x轴对称， ∵正方形的中心与原点重合， ∴四个小正方形全等， ∴反比例函数的图像与两坐标轴所围成的图形全等， ∴阴影部分的面积. 14．如图A是函数的图象上一点．过点A作轴于点C．交函数 的图象于点B，P是y轴的正半轴上一点，连接．若的面积为2，则k的值为（     ） A．4 B．6 C． D．12 【答案】C 【分析】设，则，继而确定，根据的面积为2，解答即可． 【详解】解：∵点是图像上任一点，过点A作轴于点C．交函数 的图象与点B， 设，则， ， 的面积为2， ， 解得． 15．如图，点和点分别在反比例函数（）和（）两个图象上，轴且交轴于，若，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】解：轴 点和点的纵坐标相同， ，即， ，，， ，， ， ，即， ， ． 16．设x0是关于x的方程的正数解，若，则实数k的取值范围为____． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数和反比例函数交点问题． 根据题意求出时，，时，，根据图象利用数形结合即可得到答案． 【详解】解：把代入得到， 解得， 把代入得到， 解得， 方程的解可以理解为函数的图象和函数的图象交点的横坐标，由图象可知， ∴ 故答案为： 17．如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是____________． 【答案】或 【分析】找出一次函数图象在反比例函数图象的下方部分即可． 【详解】解：直线与双曲线交于点和点， 由函数图象可得，不等式的解集是或． 18．如图，一次函数和的图象与反比例函数的图象在第一象限分别交于、两点，已知面积为10，则的值为__________． 【答案】8 【分析】设的图象与x轴的交点为C，连接，求得点C的坐标，即可求得，利用三角形面积求得A的纵坐标，代入求得横坐标，然后利用待定系数法求得k即可． 【详解】解：设的图象与x轴的交点为C，连接， 令，则， ， ， ∵直线与直线平行， ， ， 把代入，求得， ， ∵反比例函数的图象过点A， ． 19．如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点是线段上一动点，过点作轴的平行线交反比例函数（）的图象于点．若，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 ； (2)点的坐标为． 【分析】（1）因为点A在一次函数图象上，所以将A点横坐标代入一次函数表达式可求出a的值，得到A点坐标．因为A点在反比例函数图象上，所以将A点坐标代入反比例函数表达式可求出k的值，得到反比例函数表达式． （2）设点P的纵坐标为m，因为P在线段上，所以用一次函数表达式可表示出P点的横坐标．因为平行于x轴，所以Q点纵坐标与P点相同，代入反比例函数表达式可表示出Q点的横坐标．因为长度为2，且Q在P右侧，所以用Q点横坐标减去P点横坐标等于2列方程，求解得到m的值，进而得到P点坐标． 【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上, 将代入一次函数解析式： ， ∴点的坐标为。 又∵点在反比例函数的图象上， 将代入得： ， 解得， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：∵一次函数与轴交点，满足， 代入得， 解得， 即． 设点的纵坐标为， ∵在线段上， 将代入， 得， ∴的坐标为． ∵轴， ∴点的纵坐标也为； 又在反比例函数上， 将代入，得， ∴的坐标为． 由图可知在右侧，为水平线段， 长度等于两点横坐标之差： 整理方程得：， 解得，或（舍去）． 将代入的坐标表达式， 得到正确的点P的坐标为． 20．如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作于点E，设点，则点，根据是等腰三角形，可得，从而得到点C的坐标为，点D的纵坐标为，进而得到，再由，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点E，设与y轴交于点F， 设点，则点， ∴，， ∵是等腰三角形， ∴， ∴． ∵底边轴， ∴点C的坐标为， ∵轴， ∴点D的横坐标为， ∴点D的纵坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得：． 21．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，均在反比例函数的图象上，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作轴于点，过作于点，通过证明，得到，，根据点均在反比例函数的图象上，得到点，，代入，解得，代入即可得到答案． 【详解】解：过作轴于点，过作于点，则， 四边形是正方形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， 正方形的顶点，均在反比例函数的图象上， ， ， ， 解得（负值不合题意，已舍去）， ． 22．如图，D为矩形（边分别在x，y轴的正半轴上）对角线上的点，且．经过点D的反比例函数的图象分别与相交于点E，F，连接．若的面积是12，则的面积为（     ） A．12 B．13 C． D． 【答案】D 【分析】设点A坐标为，点C坐标为，则点B坐标为，得到点D，E，F的坐标，然后求出和的长，然后根据三角形面积公式求出的值，再根据解答即可． 【详解】解：设点A坐标为，点C坐标为，则点B坐标为． ∵， ∴点D坐标可表示为， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵点E，F在反比例函数的图象上， ∴点F坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， 解得， ∴ ． 23．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰直角的直角边和斜边交于点，点在轴负半轴上，连接，若，且的面积为6，则___________． 【答案】 【分析】过点作，连接，根据等腰直角三角形的性质及得出为中点，从而得到，设点，利用中点性质表示出点和点的坐标，进而表示出和，最后根据面积和差关系列方程求解 ． 【详解】解：过点作，交轴于点，连接， 等腰直角，， ， 则点是的中点 ， ， 设点， ， ， 点是的中点，， 点 ， 轴，点在轴负半轴上 ， 点 ， ， ， ， 点在上，且在反比例函数图象上， 点的横坐标为，纵坐标为 ， ， ， ， ， 解得． 24．如图，点A坐标为，点B坐标为，点M是正方形的中心，且点D，M均在反比例函数图象的同一分支上，则a的值为______． 【答案】6 【分析】由题意可得，；如图：过D作y轴，则 ，再结合正方形的性质可证明可得，进而得到，再根据中点坐标求得点M的坐标为，然后根据均在反比例函数图象的同一分支上得到求解即可． 【详解】解：∵点A坐标为，点， ∴，， 如图：过D作y轴，则 ，， ∵正方形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是正方形的中心， ∴点M的坐标为， ∵点均在反比例函数图象的同一分支上， ∴故横、纵坐标的乘积相等， ∴， 解得：，， ∵在轴正半轴，，舍去， ． 25．如图，的边在轴上，若过点的反比例函数，的图象还经过边上的中点，且，则_________． 【答案】 【分析】过点、分别作，，垂足为、，根据平行四边形的性质结合已知条件可得，根据反比例函数的的几何意义可得，进而可得，设点，则 ，进而根据面积关系列出方程，解方程求得的值，即可求解． 【详解】解：过点、分别作，，垂足为、， 是的中点， ， 四边形是平行四边形，， ， 点、在反比例函数的图象上， ， ， ， 设点，则 ， 即，，，， ， 解得． 26．如图，一次函数的图象与反比例函数的图像交于第二、四象限内的，两点，与轴正半轴交于点，过点作轴，垂足为点，的面积为，点的横坐标为，． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)直线交轴于点，过点作直线轴，如果直线上存在点，使，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数的表达式为 (2)点的坐标或 【分析】（1）根据，得到，则反比例函数解析式为；再求出和，代入计算即可； （2）先求出，再设，则，，，由，得到，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，轴，的面积为，点在第二象限， ∴， 解得， ∴反比例函数解析式为； ∵点的横坐标为，且在上， ∴， ∴， ∵， ∴， 把，代入得， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：直线交轴于点，则， ∵过点作直线轴，直线上存在点， ∴设，则，，， ∵， ∴， ∴， 整理得 解得， ∴点的坐标或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $