精品解析：天津市河东区（三片）2026-2027学年八年级上学期期中考试数学试卷

2026-2027八年级期中考试数学试卷 一、选择题（共36分，每小题3分） 1. 下面的图形是以数学家名字命名的，其中是轴对称图形的是（ ） A. 斐波那契螺旋线 B. 笛卡尔心形线 C. 赵爽弦图 D. 阿基米德曲线 2. 如图所示是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高 B. 角平分线、高、中线 C. 高、中线、角平分线 D. 角平分线、中线、高 3. 如图，是的外角，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ） A. 高线 B. 角平分线 C. 垂直平分线 D. 中线 5. 如图所示，点O是内一点，平分，于点D，连接，若，，则的面积是（　　） A. 20 B. 30 C. 50 D. 100 6. 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（ ） A. 35° B. 45° C. 55° D. 60° 7. 如图，在中，，，，，则（ ） A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 4 8. 在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，在等边三角形，边上的高， 是 上的一个动点，是边 的中点，在点运动的过程中，的最小值是 （ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 10. 如图，将纸片沿折叠，则、和这三个角有什么数量关系（ ） A. B. C. D. 11. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助“三等分角仪”能三等分任一角，如图，它由两根有槽的棒，组成，两根棒在处相连并可绕转动，端点固定，、可在槽中滑动，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，，按以下步骤操作： （1）以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点G、H；分别以点G、H为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F；作射线． （2）分别以A，B为圆心，大于长为半径画弧，交于点M，N；作直线交射线于点D． （3）过点D作的垂线交于点E． 若，．则的值为（ ） A. 6 B. 6.5 C. 7 D. 7.5 二、填空题（共18分，每小题3分） 13. 的三边为a，b，c， 若，则是________三角形； 若，则是________三角形． 14. 学了全等三角形的判定后，嘉嘉编了这样一个题目：“如图，，，，求证：”．老师说他的已知条件给多了，那么可以去掉的一个已知条件是________． 15. 如图，在等边中，点D，E分别是边，上的点，，则________． 16. 在平面直角坐标系中，如图摆放，，．若点，，则点的坐标为________． 17. 在中，，为边上的中线，为边上的高，，相交于点．若，，则的面积是___________． 18. 如图，已知和都是等腰直角三角形，，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③；④平分；⑤，其中结论正确的序号是______． 三、解答题（共46分） 19. 按要求解题： （1）已知等腰三角形的两边长a，b，求周长． 若，，则周长为__________； 若，，则周长为________． （2）已知等腰三角形一个角，求另两个角． 若等腰三角形一个角为，则另两个角度数为_______； 若等腰三角形一个角为，则另两个角度数为_______． 20. 如图，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的． （2）直接写出、两点的坐标． （3）已知点D为x轴上的一点，若为等腰三角形，则满足条件的D点有________个． 21. 如图，在中，，垂足为点D，，垂足为点E，且．求证：． 22. 如图，在中，，，垂直平分，求的度数． 23. 如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D 为 BC 的中点，DE⊥AC 于点 E，AE＝8，求 CE 的长． 24. 如图1，且，轴于点B，轴于点D． （1）若A点的坐标是，则C点的坐标是______； （2）如图2，连接交于点P，求证：P为中点； （3）在（2）的条件下，若M、N分别是上的动点，已知，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027八年级期中考试数学试卷 一、选择题（共36分，每小题3分） 1. 下面的图形是以数学家名字命名的，其中是轴对称图形的是（ ） A. 斐波那契螺旋线 B. 笛卡尔心形线 C. 赵爽弦图 D. 阿基米德曲线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟悉掌握轴对称图形的特征是解题的关键． 根据轴对称图形的特征逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故A错误； B．是轴对称图形，故B正确； C．不是轴对称图形，故C错误； D．不是轴对称图形，故D错误． 故选：B． 2. 如图所示是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高 B. 角平分线、高、中线 C. 高、中线、角平分线 D. 角平分线、中线、高 【答案】B 【解析】 【分析】角平分线是指将角的两边重合折叠，折痕即为角平分线；高是指将顶点向对边折叠，使折痕与对边垂直，折痕即为高；中线是指将底边的两个端点重合折叠，折痕经过顶点，则折痕与底边的交点为中点，连接顶点与该点的线段即为中线． 【详解】解：观察图①的折纸方式，是将的两边和重合折叠，折痕为． 根据角平分线的定义，折痕平分了， 即 ． 所以，是的角平分线． 观察图②的折纸方式，是将顶点向底边折叠，折痕为． 从图中可以看出，折痕与底边垂直(即)，所以，是的高． 观察图③的折纸方式，是将点折叠到点的位置，图中标注，折痕经过点交于点．这意味着点和点关于折痕对称，即，点是的中点． 根据三角形中线的定义，连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线． 所以，是的中线． 综上所述，依次是的角平分线、高、中线． 3. 如图，是的外角，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 由是的外角，利用三角形的外角性质，即可求出最终结果． 【详解】解：∵是的外角，，， ∴， 故选：B； 4. 观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ） A. 高线 B. 角平分线 C. 垂直平分线 D. 中线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，根据作图痕迹判断出线段是的高即可． 【详解】解：由作图可知，故线段是的高． 故选：A． 5. 如图所示，点O是内一点，平分，于点D，连接，若，，则的面积是（　　） A. 20 B. 30 C. 50 D. 100 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的性质求出，最后用三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：过O作于点E， ∵平分，， ∴， ∴的面积， 故选：C． 【点睛】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得到． 6. 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（ ） A. 35° B. 45° C. 55° D. 60° 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质可直接得到AD平分∠BAC，AD⊥BC，结合图形，利用各角之间的关系及三角形内角和定理即可得． 【详解】解：∵△ABC为等腰三角形， ∴AD平分∠BAC，AD⊥BC， ∴，， ∴， 故选C． 【点睛】题目主要考查等腰三角形三线合一的性质，三角形内角和定理，理解题意，找准各角之间的数量关系是解题关键． 7. 如图，在中，，，，，则（ ） A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质．根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据角所对的直角边等于斜边的一半求出，再求出，然后求出，从而得到，根据等角对等边可得，从而得解． 【详解】解：，， ， ， ，， ， ， ， ． 故选：B． 8. 在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据直角三角形的判定，并结合三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：①∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； ②∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； ③设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴是直角三角形； ④设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴不是直角三角形， ∴能确定是直角三角形的条件有3个． 9. 如图，在等边三角形，边上的高， 是 上的一个动点，是边 的中点，在点运动的过程中，的最小值是 （ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查等边三角形的性质、轴对称-最短路线问题，解题关键在于作辅助线；先连接，再根据，将转化为，最后根据两点之间线段最短，根据等边三角形的各边上的高相等，求得的长，即为的最小值． 【详解】连接， 等边中，是边上的高 ∴垂直平分 ， 当，， 三点共线时，， 等边中，是边的中点， 是等边三角形边上的高， 和中 ， 的最小值为， 故选：B． 10. 如图，将纸片沿折叠，则、和这三个角有什么数量关系（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形中的折叠问题，熟练掌握折痕是角平分线以及三角形的内角和定理，外角的性质，是解题的关键． 根据折叠和平角的定义，求出，根据外角的性质和三角形的内角和定理推出，进行求解即可． 【详解】解：如图， ∵折叠， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：C． 11. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助“三等分角仪”能三等分任一角，如图，它由两根有槽的棒，组成，两根棒在处相连并可绕转动，端点固定，、可在槽中滑动，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形以及三角形外角的性质，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，求出的度数，从而求得的度数． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选C． 12. 如图，，按以下步骤操作： （1）以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点G、H；分别以点G、H为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F；作射线． （2）分别以A，B为圆心，大于长为半径画弧，交于点M，N；作直线交射线于点D． （3）过点D作的垂线交于点E． 若，．则的值为（ ） A. 6 B. 6.5 C. 7 D. 7.5 【答案】C 【解析】 【分析】连接、，过点作交的延长线于点，根据尺规作图性质得出平分，垂直平分，利用角平分线性质和垂直平分线性质证明三角形全等，建立线段关系求解． 【详解】解：如图，连接、，过点作交的延长线于点， 由作图步骤（1）可知平分，  ，，  ，， 在和 中，  ，  ，  ， 由作图步骤（2）可知垂直平分，  ， 在和中，  ，  ， ，  ，   ， 即 ，   ，  ，，  ，  ． 二、填空题（共18分，每小题3分） 13. 的三边为a，b，c， 若，则是________三角形； 若，则是________三角形． 【答案】 ①. 等边 ②. 等腰 【解析】 【分析】第一问利用平方的非负性，由三个非负项的和为0推导三边相等；第二问利用乘积为0的性质，推导三角形至少有两边相等． 【详解】解：对于第一个条件 ∵任意实数的平方为非负数，即，， ∴三个非负项的和为0时，每一项的值均为0 即，， ∴， ∴此时为等边三角形； ∵多个因式的乘积为0时，至少有一个因式的值为0 ∴满足或或 即或或 ∴ 此时至少有两边相等，为等腰三角形． 14. 学了全等三角形的判定后，嘉嘉编了这样一个题目：“如图，，，，求证：”．老师说他的已知条件给多了，那么可以去掉的一个已知条件是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据即可得到，则可以确定这个条件多余． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴可以去掉的一个已知条件， 故答案为：． 15. 如图，在等边中，点D，E分别是边，上的点，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等边三角形的性质，用证明，得到对应角相等，再借助三角形外角的性质，等量代换求出的度数． 【详解】解：是等边三角形， ，． 在和中， ， ． 是的外角， ， ． 16. 在平面直角坐标系中，如图摆放，，．若点，，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】作轴，作轴，根据题意可得，，再根据“角角边”证明，可得，，然后求出，则此题可解． 【详解】解：∵点，， ∴，， 过点作轴，交轴于点，作轴，交轴于点， ∴，，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 17. 在中，，为边上的中线，为边上的高，，相交于点．若，，则的面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的性质和判定．证明，得，根据三角形面积公式可解答． 【详解】解：为边上的高， ， ， ，为边上的中线， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的面积． 故答案为：． 18. 如图，已知和都是等腰直角三角形，，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③；④平分；⑤，其中结论正确的序号是______． 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，角平分线的判定与性质等知识，熟练证明三角形全等是解答本题的关键． 证明，证明，再利用全等三角形的性质即可判断①②；由可得，再由，证得即可判断③；分别过A作，，根据全等三角形面积相等和，证得，即可得平分，但无法得到平分，可判断④；由平分结合即可判断⑤． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴，，故①②符合题意； 设与交于点G， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，故③符合题意； 分别过A作，，垂足分别为M、N， ∵， ∴， ∴平分， ∴， 若平分， ∴， ∴，而， ∴， ∴， 但未必相等， 故④不符合题意； ∵平分，， ∴，故⑤符合题意． 综上，正确的是①②③⑤， 故答案为：①②③⑤． 三、解答题（共46分） 19. 按要求解题： （1）已知等腰三角形的两边长a，b，求周长． 若，，则周长为__________； 若，，则周长为________． （2）已知等腰三角形一个角，求另两个角． 若等腰三角形一个角为，则另两个角度数为_______； 若等腰三角形一个角为，则另两个角度数为_______． 【答案】（1）11或13；17． （2），或，；，． 【解析】 【分析】（1）已知等腰三角形两条边长，腰和底不确定，需要分类讨论，求出三边后必须利用三角形三边关系验证能否构成三角形，舍去不符合条件的情况，再计算周长． （2）已知等腰三角形一个内角，该角可能是顶角也可能是底角，需要分类讨论，利用三角形内角和计算角度，钝角只能作为顶角． 【小问1详解】 解：当，时 情况一：腰长为，底边长为，三边长为3，3，5． ，满足三角形三边关系， 周长． 情况二：腰长为，底边长为，三边长为5，5，3． ，满足三角形三边关系， 周长． 当，时 情况一：腰长为，底边长为，三边长为3，3，7． ，不能构成三角形，舍去． 情况二：腰长为，底边长为，三边长为7，7，3． ，满足三角形三边关系， 周长． 【小问2详解】 解：一个内角是时， 若为顶角， 底角， 另外两个角为，． 若为底角， 顶角， 另外两个角为，． 一个内角是时， 三角形中最多只有一个钝角，因此只能是顶角． 底角， 另外两个角为，． 20. 如图，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的． （2）直接写出、两点的坐标． （3）已知点D为x轴上的一点，若为等腰三角形，则满足条件的D点有________个． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）， （3）4 【解析】 【分析】（1）（2）根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变即可作图，即可写出对应点的坐标； （3）分类讨论画图确定即可，注意有一种共线，需要舍去． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，当时，有2个，即为； 当时，只有1个，即为； 当时，记作 取， ∵， ∴轴， 过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴与点重合，则， 作出点关于直线的对称点记为，则，即， ∴， ∴点与点重合， ∵， ∴线段的中点为，与点重合， 故点共线， ∴点不符合题意， ∴共有4个． 21. 如图，在中，，垂足为点D，，垂足为点E，且．求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明，得到，再根据等角对等边即可得出结论． 【详解】略 22. 如图，在中，，，垂直平分，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，三角形的内角和定理与外角的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题关键． 由三角形内角和定理可得，，根据垂直平分线的性质可得，，．容易证明，则，使用三角形外角的性质计算出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 23. 如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D 为 BC 的中点，DE⊥AC 于点 E，AE＝8，求 CE 的长． 【答案】CE＝24． 【解析】 【分析】连接 AD，利用等边对等角得∠B＝∠C＝30°, 在 Rt△ADE 中，得AD＝16，在 Rt△ADC 中，得AC＝32，即可求出CE的长. 【详解】连接 AD， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°，D 为 BC 的中点， ∴AD⊥BC，AD 平分∠BAC，∠B＝∠C＝30° ∴∠DAC＝ ∠BAC＝60°， ∵DE⊥AC 于 E， ∴∠AED＝90°， ∴∠ADE＝30°， 在 Rt△ADE 中，AE＝2，∠ADE＝30°， ∴AD＝2AE＝16， 在 Rt△ADC 中，AD＝4，∠C＝30°， ∴AC＝2AD＝32， 则 CE＝AC﹣AE＝32﹣8＝24． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,三线合一和含30°的特殊直角三角形的性质,综合性强.中等难度,熟练运用三线合一的性质是解题关键. 24. 如图1，且，轴于点B，轴于点D． （1）若A点的坐标是，则C点的坐标是______； （2）如图2，连接交于点P，求证：P为中点； （3）在（2）的条件下，若M、N分别是上的动点，已知，求的最小值． 【答案】（1） （2） 证明：如图2中，作交于H． ∵轴，轴，，， ∴，， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴点P为中点； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，轴对称图形的性质等，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）证明，可得，即可求解； （2）作交于H．证明，可得，即可求解； （3）作P关于的对称点E，作P关于的对称点F，连接，根据题意可得E、O、F共线，从而得到，进而得到当E、M、N、F共线时，有最小值为，即可求解． 【小问1详解】 解：∵轴，轴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵A点的坐标是， ∴， ∴C点的坐标是； 故答案为： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作P关于的对称点E，作P关于的对称点F，连接， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴E、O、F共线， ∴， ∵ ∴当E、M、N、F共线时，有最小值为， ∵，P为中点， ∴，，， ∴， ∴最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $