精品解析：天津市河东区三片区2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年天津市河东区八年级（上）期中数学试卷（三片） 一、选择题（共12小题） 1. 美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 周日，小乔在家帮妈妈打扫卫生，为方便拆取窗帘，他拿来一个人字梯，并且在人字梯的中间绑了一条结实的绳子，如图所示，请问小乔这样做的道理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C 三角形具有稳定性 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 3. 如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于 A. 60° B. 70° C. 80° D. 90° 4. 如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使成立条件有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 5. 三角形的三个内角的度数之比为2：3：7，则这个三角形最大内角一定是（　　） A. 75° B. 90° C. 105° D. 120° 6. 长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（　　） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 7. 如图，中，，若沿图中虚线截去，则（ ） A. B. C. D. 8. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（　　） A. 1 B. 2 C 3 D. 4 10. 如图，在平面直角坐标系中点A、B、C的坐标分别为（0，1），（3，1），（4，3），在下列选项的E点坐标中，不能使△ABE和△ABC全等是（　　） A. （4，﹣1） B. （﹣1，3） C. （﹣1，﹣1） D. （1，3） 11. 如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于、两点；作直线分别交、于点、，若，的周长为，则的周长为（ ）. A. B. C. D. 12. 如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G，下列结论：①BD＝CD；②AD+CF＝BD；③CE＝BF；④AE＝BG．其中正确的是（　　） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（共6小题） 13. 如图，，相交于点，连接，．若，，，则的度数为__________． 14. 已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c为奇数，则c=_____． 15. 如图，中，，，将其折叠，使点 A 落在边上点处，折痕为，则的度数为_______． 16. 如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝28°，∠2＝30°，则∠3＝_____． 17. 如图，△ABC的面积为18，BD=2DC，AE=EC，那么阴影部分的面积是_______． 18. 如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以3厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动速度为__________时，能够使与全等． 三、解答题（共6小题） 19. 小军想要测量如图所示的雕像底座两端的距离，、两点分别为雕像底座的两端（其中、两点均在地面上）．因为、两点间的实际距离无法直接测量，小军设计出了如下方案：在平地上取一个可以直接到达点、的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即为雕塑底座两端、间的距离．小军的方案可行吗？请说明理由． 20. 如图，在中，高，是角平分线，它们相交于点O，． （1）若，求的度数； （2）求的度数． 21. 如图，在中，D是边上的一点，，平分，交边于点E，连接． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 22. 如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于点． （1）过点作于点，求证：； （2）若，，求的长． 23. 如图1，A是线段上一点，，，，． （1）求证：． （2）若点A在的延长线上，其余条件与（1）相同，如图2，线段之间又有怎样的数量关系？请说明理由． （3）在（2）的条件下，交于F，，，，求的面积． 24. 如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C在x轴上，平分与y轴交于D点，． （1）求证：； （2）如图2，点C的坐标为，点E为AC上一点，且，求的长； （3）在（1）中，过D作于F点，点H为上一动点，点G为上一动点．（如图（3），当H在上移动，点G点在上移动时，始终满足，试判断这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年天津市河东区八年级（上）期中数学试卷（三片） 一、选择题（共12小题） 1. 美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 2. 周日，小乔在家帮妈妈打扫卫生，为方便拆取窗帘，他拿来一个人字梯，并且在人字梯的中间绑了一条结实的绳子，如图所示，请问小乔这样做的道理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 三角形具有稳定性 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．根据三角形具有稳定性判断即可． 【详解】解：小乔这样做的道理是三角形具有稳定性， 故选：C． 3. 如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于 A. 60° B. 70° C. 80° D. 90° 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，知∠ACD=∠A+∠B 【详解】∵∠ACD=∠A+∠B ∴∠A=∠ACD﹣∠B=120° ﹣40°=80°． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，解决此题的关键是要认真细致，不要算错． 4. 如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使成立的条件有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：，，，，．由全等三角形的判定，即可判断． 【详解】解：， ， ①，又，，由判定，故①符合题意； ②，和分别是和的对角，不能判定，故②不符合题意； ③，又，，由判定，故③符合题意； ④，又，由判定，故④符合题意． 其中能使成立的条件有3个． 故选：B． 5. 三角形的三个内角的度数之比为2：3：7，则这个三角形最大内角一定是（　　） A. 75° B. 90° C. 105° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为k，根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数，从而确定三角形的最大的角的度数． 【详解】设三个内角的度数分别为2k，3k，7k. 则2k+3k+7k=180， 解得k=15， ∴2k=30,3k=45,7k=105， ∴这个三角形最大的角等于105. 故答案选：C. 【点睛】本题考查的知识点是三角形内角和定理，解题的关键是熟练的掌握三角形内角和定理. 6. 长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（　　） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】C 【解析】 【详解】解：四根木条的所有组合：9，6，5和9，6，4和9，5，4和6，5，4； 根据三角形的三边关系，得能组成三角形的有9，6，5和9，6，4和6，5，4． 故选C． 7. 如图，中，，若沿图中虚线截去，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，多边形的内角和，根据三角形的内角和定理为180度，四边形的内角和为360度，进行求解即可． 【详解】解：∵中，， ∴， ∴； 故选B． 8. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由作图过程可得，，再加上公共边可利用定理判定． 【详解】解：在和中 ， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意点Q是射线OM上的一个动点，要求PQ的最小值，需要找出满足题意的点Q，根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以我们过点P作PQ垂直OM，此时的PQ最短，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PA=PQ，利用已知的PA的值即可求出PQ的最小值． 【详解】 解：过点P作PQ⊥OM，垂足为Q，则PQ为最短距离， ∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM， ∴PA=PQ=2， 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中点A、B、C的坐标分别为（0，1），（3，1），（4，3），在下列选项的E点坐标中，不能使△ABE和△ABC全等是（　　） A. （4，﹣1） B. （﹣1，3） C. （﹣1，﹣1） D. （1，3） 【答案】D 【解析】 【分析】因为△ABE与△ABC有一条公共边AB，故本题应从点E在AB的上边、点E在AB的下边两种情况入手进行讨论，计算即可得出答案． 【详解】△ABE与△ABC有一条公共边AB， 当点E在AB的下边时，点E有两种情况①坐标是（4，﹣1）；②坐标为（﹣1，﹣1）； 当点E在AB的上边时，坐标为（﹣1，3）； 点E的坐标是（4，﹣1）或（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握相关判定定理是解题关键． 11. 如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；作直线分别交、于点、，若，的周长为，则的周长为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，线段垂直平分线的性质，熟练掌握作图是解题的关键．根据题意得到垂直平分，利用等量代换即可得到答案． 【详解】解：由题意得垂直平分， ，， 的周长为， ， ， 即， ． 故选：B 12. 如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G，下列结论：①BD＝CD；②AD+CF＝BD；③CE＝BF；④AE＝BG．其中正确的是（　　） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据∠ABC=45°，CD⊥AB可得出BD=CD，利用ASA判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出DF=AD，BF=AC．则CD=CF+AD，即AD+CF=BD；再利用ASA判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出CE=AE=AC，又因为BF=AC所以CE=AC=BF，连接CG．因为△BCD是等腰直角三角形，即BD=CD．又因为DH⊥BC，那么DH垂直平分BC．即BG=CG．在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，所以CE＜CG．即AE＜BG． 【详解】解：∵CD⊥AB，∠ABC＝45°， ∴△BCD是等腰直角三角形． ∴BD＝CD．故①正确； Rt△DFB和Rt△DAC中， ∵∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，且∠BFD＝∠EFC， ∴∠DBF＝∠DCA． 又∵∠BDF＝∠CDA＝90°，BD＝CD， ∴△DFB≌△DAC． ∴BF＝AC；DF＝AD． ∵CD＝CF+DF， ∴AD+CF＝BD；故②正确； 在Rt△BEA和Rt△BEC中 ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE． 又∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝90°， ∴Rt△BEA≌Rt△BEC． ∴CE＝AE＝AC． 又由（2），知BF＝AC， ∴CE＝AC＝BF；故③正确； 连接CG． ∵△BCD是等腰直角三角形， ∴BD＝CD 又DH⊥BC， ∴DH垂直平分BC． ∴BG＝CG 在Rt△CEG中， ∵CG是斜边，CE是直角边， ∴CE＜CG． ∵CE＝AE， ∴AE＜BG．故④错误． ∴正确的选项有①②③； 故选：C． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．在复杂的图形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点． 二、填空题（共6小题） 13. 如图，，相交于点，连接，．若，，，则的度数为__________． 【答案】##63度 【解析】 【分析】证明，可得结论． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是发现． 14. 已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c为奇数，则c=_____． 【答案】7 【解析】 【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值． 【详解】∵a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0， ∴a﹣7=0，b﹣1=0， 解得a=7，b=1， ∵7﹣1=6，7+1=8， ∴ 又∵c为奇数， ∴c=7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确三角形三边的关系． 15. 如图，中，，，将其折叠，使点 A 落在边上点处，折痕为，则的度数为_______． 【答案】##10度 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，正确运用外角的性质是解题关键． 先根据直角三角形两锐角互余求得，再由翻折的性质可知最后根据三角形外角的性质求解． 【详解】解：， ， ， . 故答案为：. 16. 如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝28°，∠2＝30°，则∠3＝_____． 【答案】58°##58度 【解析】 【分析】先证明△BAD≌△CAE，在利用三角形外角性质计算即可． 【详解】∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠1＝∠EAC， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠2＝∠ABD＝30°， ∵∠1＝28°， ∴∠3＝∠1+∠ABD＝28°+30°＝58°， 故答案为：58°． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角性质，熟练掌握三角形全等判定和性质是解题的关键． 17. 如图，△ABC的面积为18，BD=2DC，AE=EC，那么阴影部分的面积是_______． 【答案】 【解析】 【详解】分析:作DG∥AC，交BE于点G，设阴影部分的面积a，由相似三角形的面积比等于对应边长比的平方得出△BGD的面积，△GDF的面积，再利用△BGD的面积+△GDF的面积+阴影部分的面积a=9，列出方程求解即可得出答案． 本题解析: 如图： 作DG∥AC，交BE于点G，设阴影部分面积a， ∵DG∥AC，BD=2DC， ∴GD=EC,BD=BC， ∴△BGD的面积=△BCE的面积， ∵△ABC的面积为18，AE=EC， ∴△BCE的面积=△ABC的面积=9， ∴△BGD的面积=△BCE的面积=4， 又∵△GDF∽△EAF,且=， ∴△GDF的面积=△EAF的面积， ∵BD=2DC， ∴△ADC的面积=18×=6， ∴△EAF的面积=6−a， ∴△GDF的面积=△EAF的面积=(6−a)， ∴△BGD的面积+△GDF的面积+阴影部分的面积a=9， ∴4+ (6−a)+a=9,解得a=. 故答案为. 18. 如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点．如果点在线段上以3厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动速度为__________时，能够使与全等． 【答案】厘米秒或厘米秒 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，一元一次方程的应用（行程问题）等知识点．利用全等三角形的判定方法，分两种情况讨论：或，分别求解即可． 【详解】解：设点运动的时间为秒， 则（厘米），厘米， ， 当，时，， ，，运动的时间相等， 的运动速度是厘米秒； 当，时，， 是中点， （厘米）， ∵， ∴， 解得：， ∴厘米秒； 当点的运动速度为厘米秒或厘米秒时，能够使与全等， 故答案为：厘米秒或厘米秒． 三、解答题（共6小题） 19. 小军想要测量如图所示的雕像底座两端的距离，、两点分别为雕像底座的两端（其中、两点均在地面上）．因为、两点间的实际距离无法直接测量，小军设计出了如下方案：在平地上取一个可以直接到达点、的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即为雕塑底座两端、间的距离．小军的方案可行吗？请说明理由． 【答案】小军的方案可行，理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质的应用，根据题意可得，，，，即可证明，则即可． 【详解】解：小军的方案可行， 理由如下：在和中， ∵，，， ∴， ∴， 即测出的长即为雕塑底座两端、间的距离． 20. 如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． （1）若，求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和、角平分线与高的性质，运用角度转化思想，关键是利用内角和及角平分线定义推导角度，易错点为角平分线分割角度时的比例错误； （1）先求，再由角平分线和高的性质推导； （2）先求，再由三角形内角和求． 【小问1详解】 解：是高，， ， ， ， 是平分线， ， 【小问2详解】 ， ， 、是角平分线， ， ． 21. 如图，在中，D是边上的一点，，平分，交边于点E，连接． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平分，可得，利用即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，再由三角形外角的性质，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， 又， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质及三角形外角性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 22. 如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于点． （1）过点作于点，求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定； （1）连接，，根据垂直平分线的性质得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）设，证明，得出，进而可得，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，， 平分 垂直平分 在和中， ， ; 【小问2详解】 解：设 , 由（1）知，在和中， ， 解得 23. 如图1，A是线段上一点，，，，． （1）求证：． （2）若点A在的延长线上，其余条件与（1）相同，如图2，线段之间又有怎样的数量关系？请说明理由． （3）在（2）条件下，交于F，，，，求的面积． 【答案】（1）详见解析 （2），详见解析 （3），详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识； （1）由“”可证，由全等三角形的性质可得，，从而得出； （2）先证，得出，，从而得出； （3）由（2）知，，然后求出，的长，进而即可得解； 熟练掌握三角形全等的判定是解决此题的关键． 【小问1详解】 ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 ， 理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴； 【小问3详解】 如图，连接， 由（2）知，， ∵，， ∴， ∴． 24. 如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C在x轴上，平分与y轴交于D点，． （1）求证：； （2）如图2，点C的坐标为，点E为AC上一点，且，求的长； （3）在（1）中，过D作于F点，点H为上一动点，点G为上一动点．（如图（3），当H在上移动，点G点在上移动时，始终满足，试判断这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 【答案】（1）证明见解析 （2）8 （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的对应点得出，进而证明，进一步证明，即可得出结论； （2）过点作于，根据角平分线的性质得出，进而证明，得出，进一步证明，得出，再判断出，即可得出结论； （3）在的延长线上取一点，使，再判断出，进而判断出，得出，，进而判断出，进而判断出，得出，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：平分， ， ∵，， ∴， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图2，过点作于， 平分，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：，证明如下： 如图3，在的延长线上取一点，使， 平分，，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定理，等腰三角形的性质，坐标与图形，构造出全等三角形是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $