精品解析：安徽合肥市第八中学2026-2027学年高一年级第一学期数学统一作业4

合肥八中2026级高一年级第一学期 数学统一作业4 考试说明： 1.考查范围：必修一第一章至第四章4.2指数函数； 2.试卷结构：分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）；试卷分值：130分，考试时间：100分钟； 3.所有答案均要答在答题卷上，否则无效．考试结束后只交答题卷． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 已知集合 ，则（ ） A.  B.  C. D. 2. 已知条件：或，则使得条件成立的一个必要不充分条件是（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 3. 已知 ，则下列不等式错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数满足对任意都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 某课外小组想研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据发现，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过8周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过12周，该植物的长度大约是原来的（       ） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 6. 若函数为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，集合中的元素恰有2个整数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对于任意的、，且，都有成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有2个及其以上选项符合题意） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 任取，都有 B. 函数的值域为 C. 函数（且）的图象经过定点 D. 在同一坐标系中，函数与函数的图象关于轴对称 10. 已知幂函数的图象与坐标轴有交点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 对定义域内任意实数，都有 C. 对定义域内任意实数，都有 D. 函数在上单调递增 11. 已知，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 最小值为 第Ⅱ卷（非选择题 共72分） 三、填空题（本题共3题，每题5分，共15分） 12. 不等式的解集为____________. 13. 已知，，则的值为______． 14. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．例如：，已知函数，则函数的值域为______________________. 四、解答题（本题共4小题，共57分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）若，，求的解集； （2）若且在上恒成立，求实数的取值范围． 16. 定义在上的奇函数和偶函数满足． （1）求和的解析式； （2）若函数在上的最大值为，求实数的值． 17. 在排球训练中，一名同学在距地面高度处，以初速度竖直上抛一排球．若不计空气阻力，排球距离抛出点的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系：，其中．设排球距地面的高度为（单位：）． （1）求关于的函数关系式，并求排球从抛出到第一次回到抛出点高度所需的时间： （2）若排球达到距地面以上才能有效拦网，求排球在距地面以上的停留时间： （3）若教练要求排球在距地面以上停留时间至少，求的最大值． 18. 若函数在时，函数值的取值区间恰为，则称为的一个“倒域区间”．设函数，若，且函数的值域为． （1）求的解析式； （2）求在内的“倒域区间”； （3）将函数在内所有“倒域区间”上的图象作为函数的图象，是否存在实数，使集合恰有2个元素？若存在，求出的取值范围或值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥八中2026级高一年级第一学期 数学统一作业4 考试说明： 1.考查范围：必修一第一章至第四章4.2指数函数； 2.试卷结构：分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）；试卷分值：130分，考试时间：100分钟； 3.所有答案均要答在答题卷上，否则无效．考试结束后只交答题卷． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 已知集合 ，则（ ） A.  B.  C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意明确集合元素的特征，然后判断集合的关系即可． 【详解】表示2的整数倍，即是所有偶数； 表示2的奇数倍； 所以． 故选：B． 2. 已知条件：或，则使得条件成立的一个必要不充分条件是（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【详解】把条件转化成对应集合，必要不充分条件等价于原集合是选项集合的真子集，逐一比对集合包含关系选出答案． 【解答】：或，记， 对于A，或对应，它真包含，A符合； 对于B，或对应，它真包含于，B不符合； 对于C，或对应，它与相同，C不符合； 对于D，对应，它与无包含关系，D不符合． 3. 已知 ，则下列不等式错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用作差或不等式的性质逐项判断，注意 ， ． 【详解】对于A，． ∵ ， ，∴ ，即，A正确； 对于 B，∵，∴，又，∴，B正确； 对于 C，∵，∴， 又，∴， 两式相加得，C正确； 对于 D，． ∵ ，，， ∴，即，D错误． 4. 已知函数满足对任意都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为满足对任意都有，可知在R上单调递减， 则，解得，即 5. 某课外小组想研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据发现，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过8周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过12周，该植物的长度大约是原来的（       ） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 【答案】C 【解析】 【分析】设植物原来的长度为，由已知可得出，求出 的值，利用指数运算可求得结果. 【详解】设植物原来的长度为，经过周后，该植物的长度为原来的倍， 即，即，即， 再过周后该植物的长度为 . 因此，再经过周，该植物的长度大约是原来的倍. 6. 若函数为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用偶函数的定义对定义域内所有x恒成立，求出参数a的值，再代入计算即可. 【详解】由得， 所以函数的定义域关于原点对称， 又函数为偶函数，则对任意，恒成立， 即， 整理得，该式对所有恒成立，故， ， 所以. 7. 已知，集合中的元素恰有2个整数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】集合对应的区间长度在之间，可得出关于的取值范围，然后对的取值进行分类讨论，确定集合中的整数元素，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为集合中恰有两个整数， 所以，解得， 当时，集合中的两个整数分别为、， 则，解得； 当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. 8. 已知函数，若对于任意的、，且，都有成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，可得函数在上单调递减，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据二次函数的单调性可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为对于任意的、，且，都有成立， 即都有成立， 在不等式两边同时除以可得， 移项有，构造函数， 则，所以函数在上单调递减， 当时，在上单调递增，不符合题意； 当时，若使得函数在上单调递减， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有2个及其以上选项符合题意） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 任取，都有 B. 函数的值域为 C. 函数（且）的图象经过定点 D. 在同一坐标系中，函数与函数的图象关于轴对称 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A选项，不妨取，则，A错； 对于B选项，因为， 且函数为上的减函数，故， 所以函数的值域为，B对； 对于C选项，对于函数（且），令可得， 故函数的图象过定点，C对； 对于D选项，函数过点，但函数不过点， 所以函数与函数的图象不关于轴对称，D错. 10. 已知幂函数的图象与坐标轴有交点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 对定义域内任意实数，都有 C. 对定义域内任意实数，都有 D. 函数在上单调递增 【答案】BC 【解析】 【分析】由函数为幂函数以及图象与坐标轴有交点，分析得出参数即可判断选项A，利用函数单调性判断选项B，利用作差法和分析法判断即可得出选项C，在内取特殊值根据单调性分析即可得出选项D. 【详解】对于A，由题意知，解得， 又的图象与坐标轴有交点， 所以，故A错误； 对于B，由A选项知函数， 且函数在上单调递增， 所以对于定义域内任意实数， 当时，，则， 当时，，则，故B正确； 对于C，由函数，设， 所以 ， 所以，故C正确， 对于D， ， 由， 要证明， 即， 即， 所以即， 由，， 所以函数在上不单调递增，故D选项不正确. 故选：BC． 11. 已知，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】将题设等式化成，可判断A项；将代入，利用基本不等式可判断B项；再将其化成，可利用基本不等式判断C项；将代入，利用换元后，利用基本不等式判断D项. 【详解】对于A，由去分母，整理得，因，， 则，且，因，则有，故A正确； 对于B，由A得，则， 因，则，当且仅当， 即时取等号，此时的最小值为，故B错误； 对于C，由去分母，得，即得， 因，，则，当且仅当时等号成立， 由解得，即当时，取得最小值为2，故C正确； 对于D，由A得，代入，得， 设，则， 当且仅当，即，也即时，等号成立，此时取得最小值，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题 共72分） 三、填空题（本题共3题，每题5分，共15分） 12. 不等式的解集为____________. 【答案】 【解析】 【详解】， 又在R上单调递增，故， 化简得，解得，故解集为 13. 已知，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式与指数的运算法则化简求解. 【详解】因为， 所以， 故. 14. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．例如：，已知函数，则函数的值域为______________________. 【答案】 【解析】 【分析】通过换元将指数型函数转化为二次函数，求得的值域后结合高斯函数的定义确定目标函数的值域. 【详解】令，由，得，代入可得. 该二次函数开口向上，对称轴为， 且在对称轴处取得最小值​； 区间端点处​，. 结合函数单调性时函数单调递减，时函数单调递增，因此的完整取值范围是. 根据高斯函数“取不超过的最大整数”的规则： 当时，； 当时，； 当时，. 因此的所有可能取值为，0，1，故值域为. 四、解答题（本题共4小题，共57分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）若，，求的解集； （2）若且在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，直接利用一元二次不等式的解法，即可求解； （2）分和两种情况，利用一元二次不等式恒成立问题，即可求解. 【小问1详解】 当，，即，即， 解得，所以不等式的解集为． 【小问2详解】 由，得，将代入， 整理得到对任意恒成立， （i）当，即时，不等式变为恒成立，满足题意； （ii）当，即时，则，解得， 综上所述，实数b的取值范围是． 16. 定义在上的奇函数和偶函数满足． （1）求和的解析式； （2）若函数在上的最大值为，求实数的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇偶函数性质，将替换为构造方程组，加减消元求得和的解析式； （2）换元转化为二次函数，结合二次函数单调性、对称轴分类讨论，由区间上最大值列方程求解参数. 【小问1详解】 因为是上的奇函数，故； 因为是上的偶函数，故. 由 ①，将替换为得：，  代入奇偶性性质化简得：② 联立①②两个方程： ①②得：，即​； ①②得：，即. 【小问2详解】 由题意，得. 令，当时，，且，此时可转化为关于的二次函数， ，，该二次函数开口向下，对称轴为. 当时，在上单调递减，最大值为，与题目最大值为矛盾，舍去； 当时，在上的最大值在对称轴处取得： ， 解得，又，故 17. 在排球训练中，一名同学在距地面高度处，以初速度竖直上抛一排球．若不计空气阻力，排球距离抛出点的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系：，其中．设排球距地面的高度为（单位：）． （1）求关于的函数关系式，并求排球从抛出到第一次回到抛出点高度所需的时间： （2）若排球达到距地面以上才能有效拦网，求排球在距地面以上的停留时间： （3）若教练要求排球在距地面以上停留时间至少，求的最大值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由排球距地面高度为起抛高度加上相对起抛点高度，代入数据整理即可得出关于的函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可； （2）由题意得出二次不等式，解出分析即可； （3）利用一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合根与系数的关系分析求解即可. 【小问1详解】 排球距地面高度为起抛高度加上相对起抛点高度：， 排球回到击出点高度时，，即，解得（舍去）或， 所以所需时间为. 【小问2详解】 球在距地面以上，即， 整理得，解得：， 所以停留时间为． 【小问3详解】 由得：，即， 设关于的方程的两根为， 对应方程的判别式为，即， 距地面以上停留时间：， 则，解得：，所以的最大值为. 18. 若函数在时，函数值的取值区间恰为，则称为的一个“倒域区间”．设函数，若，且函数的值域为． （1）求的解析式； （2）求在内的“倒域区间”； （3）将函数在内所有“倒域区间”上的图象作为函数的图象，是否存在实数，使集合恰有2个元素？若存在，求出的取值范围或值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程组求解即可； （2）根据题意列出方程组，从而求解； （3）分析题意得出，从而只需考虑或两种情况；再根据（2）的结论求出，从而根据方程思想求的值． 【小问1详解】 由题可知，解得， 所以，所以； 【小问2详解】 设，在上单调递减， 所以，整理得， 即为方程在上的两个根，且， 所以， 所以在内的“倒域区间”为； 【小问3详解】 因为在时，函数值的取值区间恰为，其中， 所以，即同号，所以只需考虑，或， 当时，根据的性质知，的最大值为，， 所以，由（2）知在内的“倒域区间”为； 当，的最小值为，， 所以，同理知在内的“倒域区间”为， 所以， 依题意，抛物线与函数的图像有两个交点，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限， 因此，应当使方程在内恰有一个实数根， 并且使方程在内恰有一个实数根， 由方程在内恰有一根知； 由方程在内恰有一个根知， 综上所述：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $