精品解析：河南南阳市邓州市 2026-2027 学年第一学期期中考试九年级数学试卷

邓州市2026~2027学年第一学期期中考试九年级 数学试卷 注意事项：1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，答题时间100分钟； 2．请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上． 1. 使式子有意义的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 若．则的值为（ ） A. 6 B. C. D. 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 对于方程，下列说法不正确的是（ ） A. 方程两边都除以，解方程得． B. 方程两边都除以，方程的解不变． C. 它是一元二次方程． D. 用因式分解法解该方程最适宜． 6. 如图所示，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 在学校的科技活动中，同学们使用复印机放大图片．如图，小雨将一张长为，宽为的矩形图片放大，其中放大后的矩形的宽为，那么关于放大后的矩形说法错误的是（ ） A. 与原矩形相似 B. 长为 C. 与原矩形的相似比为 D. 面积为 8. 对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 9. 如图，，与交于点，，若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，有一张长，宽的矩形硬纸片，裁去角上个小正方形和个小矩形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为（ ） A. B. C. D. 或 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若是最简二次根式，则整数的值可以是__________．（写出一个符合题意的数即可） 12. 用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为______． 13. 某年级进行篮球单循环比赛，要求每两个班之间都要比赛一场，一共需要比赛场，则这个年级共有几个班？利用方程思想，设共有个班，则由题意可列方程（写出一般形式）__________． 14. 如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度，台阶部分铺红地毯，地毯长度为，支撑钢梁，且D为的中点，则钢梁的长为_______． 15. 如图，中，，，，过点作的垂线，点在线段上运动，点在射线上运动，始终满足，连结，当与相似时，线段的长是__________． 三、解答题（共8小题75分） 16. 计算与解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 17. 数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质进行化简． 例如：． （1）仿照例题补充完整： __________；化简过程中用到二次根式的性质有__________． （2）根据上述思路，试将下列各式化简： ①； ②． 18. 为丰富校园文化生活，弘扬美育精神，学生会准备举办一次校园摄影展览，在每张长和宽分别为和的矩形相片周围镶上一圈等宽的彩纸．经试验，所镶彩纸面积为原相片面积的时较美观，求所镶彩纸的宽． 19. 如图，在中，为上一点，点在上，连接，，． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 20. 韦达是世纪法国著名数学家，被称为“代数学之父”．他最早系统地研究了一元二次方程根与系数的关系：对于一元二次方程，当时，方程有两个实数根，．则有，．后人将这一重要结论命名为韦达定理，它揭示了方程的根与各项系数之间的内在联系． （1）代数推理：请利用所学知识证明韦达定理； （2）定理运用：已知关于的一元二次方程有两个实数根，． ①当时，求的值； ②若，请直接写出的值为__________． 21. 为测量水平操场上旗杆的高度，九（1）班各学习小组运用了多种测量方法．               （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高，此时，小组同学测得旗杆的影长为11.3m，据此可得旗杆高度为______； （2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．据此可得旗杆高度为______； （3）如图3，小王在自己与旗杆之间的地面上直立一根标杆，并通过标杆顶端C观测到旗杆顶部A．小组同学测得小王的眼睛距地面高度，标杆，小王到标杆距离，标杆到旗杆距离，求旗杆的高度． 22. 项目式学习：制定销售方案 如何制定销售方案？ 素材一 某村在加入乡村振兴助农直播间个月期间，累计观看直播人次万，其中第一个月收获的直播粉丝约为人，第三个月收获的直播粉丝约为人． 素材二 销售礼盒装茶叶每盒的平均利润为元时，每天可销售盒，为了回馈粉丝，决定降价销售，已知礼盒装茶叶每盒平均利润每下调元，每天可多售出盒．设每盒平均利润应下调元． 素材三 每月直播间还会准备价值万元的奖品用于粉丝抽奖． 【问题解决】 （1）任务一：求第二、三个月收获的直播粉丝数量的月平均增长率． （2）任务二： ①降价后每盒茶叶的利润是（__________）元，每天的销量是（__________）盒；（用含有的式子表示） ②每月（按天算）若要纯利润达到万元，则在让利于直播间粉丝的前提下，每盒平均利润应下调多少元？ 23. 【问题呈现】 和都是直角三角形，，，，连接，，探究，的关系． 【问题探究】 （1）如图1，当时，直接写出，的位置关系： ；数量关系： ； （2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明：若不成立，说明理由； 【拓展应用】 （3）当，，时，将绕点C旋转，使A，D，E三点恰好在同一直线上，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邓州市2026~2027学年第一学期期中考试九年级 数学试卷 注意事项：1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，答题时间100分钟； 2．请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上． 1. 使式子有意义的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】二次根式有意义需被开方数为非负数． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得． 2. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】优先判断方程是否为整式方程，可快速排除错误选项． 【详解】解：A选项，符合要求． B选项，是分式方程，不符合． C选项，含有两个未知数，不符合． D选项，未知数最高次数为1，不符合． 3. 若．则的值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，直接根据比例的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质及二次根式的除法运算法则依次对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．，原式计算错误，故此选项不符合题意； B．，原式计算错误，故此选项不符合题意； C．，原式计算正确，故此选项符合题意； D．，原式计算错误，故此选项不符合题意． 5. 对于方程，下列说法不正确的是（ ） A. 方程两边都除以，解方程得． B. 方程两边都除以，方程的解不变． C. 它是一元二次方程． D. 用因式分解法解该方程最适宜． 【答案】A 【解析】 【分析】根据等式的性质、一元二次方程的定义及解一元二次方程的方法逐项判断即可． 【详解】解：原方程为， 移项，得， 因式分解，得， 解得，， 、若两边同时除以，需满足，否则会丢失根，该说法错误； 、两边同时除以非零常数，方程的解不变，该说法正确； 、原方程整理为，是一元二次方程，该说法正确； 、方程含公因式，移项后可直接因式分解求解，因式分解法最适宜，该说法正确． 6. 如图所示，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，可以求出，，根据平行线分线段成比例定理即可求出的长度． 【详解】解：如图所示， 直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、， ，， ， ， ， ， ． 7. 在学校的科技活动中，同学们使用复印机放大图片．如图，小雨将一张长为，宽为的矩形图片放大，其中放大后的矩形的宽为，那么关于放大后的矩形说法错误的是（ ） A. 与原矩形相似 B. 长为 C. 与原矩形的相似比为 D. 面积为 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似图形的性质逐项判断即可． 【详解】解：A选项：使用复印机放大图片与原矩形相似， 故A选项说法正确； B选项：原矩形宽为，放大后的宽度为， 放大后的矩形与原矩形的相似比是， 原矩形的长为，放大后的矩形的长为， 故B选项说法正确； C选项：原矩形宽为，放大后的宽度为， 放大后的矩形与原矩形的相似比是， 故C选项说法正确； D选项：放大后的矩形宽为，长为， 放大后的矩形的面积为， 故D选项说法错误． 8. 对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目给出的新定义，将方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式判断根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 9. 如图，，与交于点，，若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先证明四边形是平行四边形，得，再证明，得，进而可以解决问题． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 10. 如图，有一张长，宽的矩形硬纸片，裁去角上个小正方形和个小矩形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】设纸盒的高为，根据“矩形的面积公式及纸盒的底面积是”即可得出关于的一元二次方程，求解即可得出结论． 【详解】解：设纸盒的高为， 依题意，得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 纸盒的高为． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若是最简二次根式，则整数的值可以是__________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】 （答案不唯一，任意符合条件的整数均可） 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数需不含能开得尽方的因数，被开方数不含有分母，且被开方数非负，据此找出符合要求的整数即可． 【详解】解：∵是最简二次根式，为整数， ∴，且不含能开得尽方的因数， 当时，，满足条件，因此符合题意． 12. 用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将原式化成的形式，求出、，再计算． 【详解】解：已知， 则， ， 即， 可得，， 故． 13. 某年级进行篮球单循环比赛，要求每两个班之间都要比赛一场，一共需要比赛场，则这个年级共有几个班？利用方程思想，设共有个班，则由题意可列方程（写出一般形式）__________． 【答案】 【解析】 【分析】单循环比赛需对重复计数的场次做去重处理，结合总比赛场数为的条件，将所列等式整理为一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：设共有个班. 单循环比赛中，每个班需与其余个班各赛场， 不考虑重复时，所有班级的参赛总场次为， 每场比赛由个班参与，上述计数中每场比赛被重复计算次， 实际总比赛场数为， 题目给出总比赛场数为 列等式得， 将等式整理为一元二次方程的一般形式：两边同乘2得， 展开左边得：， 移项将所有项移至等式左侧得：. 14. 如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度，台阶部分铺红地毯，地毯长度为，支撑钢梁，且D为的中点，则钢梁的长为_______． 【答案】##24厘米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意可得：，从而根据垂直的定义可得，再根据已知得：，从而在中，利用勾股定理可求出的长，然后根据线段的中点定义可得，再证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ， ， ， 点D为的中点， ， ， ， ， ， 解得：， ∴钢梁的长为， 故答案为：． 15. 如图，中，，，，过点作的垂线，点在线段上运动，点在射线上运动，始终满足，连结，当与相似时，线段的长是__________． 【答案】 或 【解析】 【分析】利用勾股定理求出的长，通过同角的余角相等证明，结合已知条件证明，从而用表示出；设，根据与相似，分两种对应情况列出比例方程求解即可 . 【详解】解：，，，  ，，  ， ，  ，  ；  ，  ，  ， 设，则，； ， ， 又， 当与相似时， 分两种情况： 当时，即， 解得：； 当时，即， 整理得：， 解得：； 综上所述，线段的长是或. 三、解答题（共8小题75分） 16. 计算与解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：方程中，，     方程有两个不相等的实数根   ， 17. 数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质进行化简． 例如：． （1）仿照例题补充完整： __________；化简过程中用到二次根式的性质有__________． （2）根据上述思路，试将下列各式化简： ①； ②． 【答案】（1）； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式将被开方数变形，再利用二次根式的性质化简即可； （2）①仿照范例解答即可； ②仿照范例解答即可． 【小问1详解】 解：； 化简过程中用到二次根式的性质有； 【小问2详解】 解：① ； ② ． 18. 为丰富校园文化生活，弘扬美育精神，学生会准备举办一次校园摄影展览，在每张长和宽分别为和的矩形相片周围镶上一圈等宽的彩纸．经试验，所镶彩纸面积为原相片面积的时较美观，求所镶彩纸的宽． 【答案】2厘米 【解析】 【分析】根据彩纸宽度表示出镶彩纸后大矩形的长和宽，利用“大矩形面积减去相片面积等于彩纸面积”的等量关系建立方程，求解后需结合实际意义舍去不合题意的负根． 【详解】解：设所镶彩纸的宽为厘米．镶上彩纸后，大矩形的长为厘米，宽为厘米， 根据题意列方程：， 化简整理得：． 解得，(宽度不能为负，舍去)． 答：所镶彩纸的宽为2厘米． 19. 如图，在中，为上一点，点在上，连接，，． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 、， ， ， ； （2）8 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，进而得到，根据相似的判定方法，证明； （2）根据相似三角形的性质可得，进而得到的长，从而求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ． 20. 韦达是世纪法国著名数学家，被称为“代数学之父”．他最早系统地研究了一元二次方程根与系数的关系：对于一元二次方程，当时，方程有两个实数根，．则有，．后人将这一重要结论命名为韦达定理，它揭示了方程的根与各项系数之间的内在联系． （1）代数推理：请利用所学知识证明韦达定理； （2）定理运用：已知关于的一元二次方程有两个实数根，． ①当时，求的值； ②若，请直接写出的值为__________． 【答案】（1）证明：一元二次方程， 当时，， ∴，， ∴， ； （2）①② 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程的求根公式可解答； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①当时，可变形为， ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴； ②∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∵， ∴ 解得或， ∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 当时，，此时不符合题意； 当时，，符合题意， 所以，的值为． 21. 为测量水平操场上旗杆的高度，九（1）班各学习小组运用了多种测量方法．               （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高，此时，小组同学测得旗杆的影长为11.3m，据此可得旗杆高度为______； （2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．据此可得旗杆高度为______； （3）如图3，小王在自己与旗杆之间的地面上直立一根标杆，并通过标杆顶端C观测到旗杆顶部A．小组同学测得小王的眼睛距地面高度，标杆，小王到标杆距离，标杆到旗杆距离，求旗杆的高度． 【答案】（1）11.3 （2）11.2 （3）旗杆的高度约为11.4米 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，以及等腰三角形的性质， （1）影长恰好等于自己的身高，可知是等腰直角三角形，由平行投影性质可知，是等腰直角三角形，即可求得； （2）利用已知判定，结合相似三角形的性质进行求解即可； （3）过点D作，垂足为点H，交于点G，可知四边形，四边形和四边形都是矩形，求得对应边长，进一步证明，结合可求得，即有． 【小问1详解】 解：∵影长恰好等于自己的身高， ∴是等腰直角三角形， 由平行投影性质可知，是等腰直角三角形， 则， 故答案为∶11.3； 【小问2详解】 解： 由反射定律可知， 又， ∴， ∴，即， 解得， 则旗杆高度为11.2米 故答案为∶11.2； 【小问3详解】 解：如图，过点D作，垂足为点H，交于点G， 由题意可知，四边形，四边形和四边形都是矩形，且，，，， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴旗杆的高度约为． 22. 项目式学习：制定销售方案 如何制定销售方案？ 素材一 某村在加入乡村振兴助农直播间个月期间，累计观看直播人次万，其中第一个月收获的直播粉丝约为人，第三个月收获的直播粉丝约为人． 素材二 销售礼盒装茶叶每盒的平均利润为元时，每天可销售盒，为了回馈粉丝，决定降价销售，已知礼盒装茶叶每盒平均利润每下调元，每天可多售出盒．设每盒平均利润应下调元． 素材三 每月直播间还会准备价值万元的奖品用于粉丝抽奖． 【问题解决】 （1）任务一：求第二、三个月收获的直播粉丝数量的月平均增长率． （2）任务二： ①降价后每盒茶叶的利润是（__________）元，每天的销量是（__________）盒；（用含有的式子表示） ②每月（按天算）若要纯利润达到万元，则在让利于直播间粉丝的前提下，每盒平均利润应下调多少元？ 【答案】（1） （2）①；；②70 【解析】 【分析】（1）设第二、三个月收获的直播粉丝数量的月均增长率为，由等量关系列一元二次方程求解即可得到答案； （2）①降价后每盒茶叶的利润是元，每天的销量是盒 ②礼盒装茶叶平均一盒利润应下调元，则平均一盒茶叶的利润为元，每天的销量为盒，当销售礼盒装茶叶的纯利润为万元时，建立一元二次方程求解，根据题意取值即可得到答案． 【小问1详解】 解：设第二、三个月收获的直播粉丝数量的月均增长率为， 根据题意，得， 则， 解得，不符合题意，舍去， 答：第二、三个月收获的直播粉丝数量的月均增长率为； 【小问2详解】 解：设礼盒装茶叶平均一盒利润应下调元，则平均一盒茶叶的利润为元，每天的销量为盒，当销售礼盒装茶叶的纯利润为万元时， 则， 整理，得， 则， 解得，， 在让利于直播间粉丝的前提下，应取最大值， ，若想要销售礼盒装茶叶的纯利润达到万元，且在让利于直播间粉丝的前提下，平均一盒茶叶利润应下调元． 23. 【问题呈现】 和都是直角三角形，，，，连接，，探究，的关系． 【问题探究】 （1）如图1，当时，直接写出，的位置关系： ；数量关系： ； （2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明：若不成立，说明理由； 【拓展应用】 （3）当，，时，将绕点C旋转，使A，D，E三点恰好在同一直线上，求的长． 【答案】（1）， （2）成立，不成立，证明如下： 如图，延长交于点G， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）延长交于点G，根据，得出，，证明，得出，根据三角形内角和求出，进而求解即可； （2）延长交于点G，证明，得出，，根据三角形内角和求出，即可证明结论； （3）分两种情况，当点E在线段上时，当点D在线段上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结果即可． 【小问1详解】 解：如图，延长交于点G， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当点E在线段上时，连接，如图所示： 设，则， 由（2）可知，， ∴， ∴， 由（2）可知，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴此时； 当点D在线段上时，连接，如图所示： 设，则， 由（2）可知，， ∴， ∴， 由（2）可知，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴此时； 综上可知，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $