精品解析：河南省南阳市邓州市2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

邓州市2025~2026学年第一学期期中考试九年级 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，答题时间100分钟； 2．请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一．选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上． 1. 若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方根有意义的条件，即被开方数大于等于零． 根据平方根在实数范围内有意义的条件，被开方数必须非负，即，解得．结合选项，只有D选项满足条件． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴． 选项中，只有满足条件． 故选：D． 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，化简二次根式，同类二次根式需化简后被开方数相同，因此将各选项化简，判断根号内是否为3即可，熟练掌握同类二次根式的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、，根号内为30，不是3，故不是同类二次根式，不符合题意； B、，化简后根号内为3，是同类二次根式，符合题意； C、，根号内为2，不是3，故不是同类二次根式，不符合题意； D、，已是最简，根号内为13，不是3，故不是同类二次根式，不符合题意； 故选：B． 3. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质：分式的分子分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变，根据已知条件可设，，代入到化简后直接得出结果. 【详解】解：∵， ∴设，， ∴. 故选：A 4. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，将根代入方程，得到，再计算的值即可，正确得出是解此题的关键． 【详解】解：∵是方程的根， ∴代入得， 即， ∴， ∴， 故选：C． 5. 用配方法解方程时，方程的两边同时加上一个实数，使得方程左边配成一个完全平方式，则这个实数是（ ） A. 4 B. 8 C. 9 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法解一元二次方程时，需加上一次项系数一半的平方，使左边成为完全平方式，由此即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵方程中，一次项系数为，其一半为，平方为16， ∴应加上16， 故选：D． 6. 智能汽车销售火爆．某店月份销售台，月、月份共销售台．设该款汽车月、月份销售量的月平均增长率为，根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该款汽车月、月份销售量的月平均增长率为，根据故意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设该款汽车月、月份销售量的月平均增长率为， 由题意得，， 故选：． 7. 如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，它由长度相等的两脚和交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使，），然后张开两脚，使点A，B两个尖端分别在线段l的两个端点上．若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：，， ，， ， ， ． 故选：B． 8. 关于的方程的根的情况，正确的是（ ） A. 两个不相等的实数根 B. 两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】该题考查了根判别式，将方程化为一般形式，计算判别式，根据判别式的值判断根的情况． 【详解】解：∵原方程可化为， ∴判别式， ∵， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 9. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 10. 如图，是线段所在直线上的一动点，点，在的两侧，于，于，，，，连接，，分别取，的中点，，连接．随着点的运动，线段的长（ ） A. 随着点的位置变化而变化 B. 保持不变，长为 C. 保持不变，长为 D. 保持不变，长为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 连接，过点作，交的延长线于，可得四边形为矩形，即得，，得到，进而由勾股定理得，再根据三角形中位线的性质得到，据此即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作，交的延长线于， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵点分别为的中点， ∴为的中位线， ∴， 即的长保持不变，长为， 故选：C． 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：__________． 【答案】7 【解析】 【分析】该题考查了二次根式的性质和算术平方根，先计算平方根和平方，再求和． 【详解】解：，， 所以． 故答案为：7． 12. 关于的方程无实数根，那么满足的条件是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据平方的非负性，方程无实数根时，右边必须小于零，进而求解即可． 【详解】解：由题意，得，解得． 故答案为：． 13. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理得到，进而代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右．在其“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有水，问：出南门几何步而见木？”意思是说：如图，矩形城池，东边城墙长9里，南边城墙长7里，东门点，南门点分别是，的中点，于，于，里，经过点，则为__________里． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，解题的关键是从实际问题中抽象出数学问题中的相似，运用相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴（垂直于同一直线的两直线平行）， ∴（两直线平行同位角相等）， ∴， ∴， ∵里，里，点，点分别是，的中点，里， ∴里，里， ∴（里）． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转度（），得到，当是等腰三角形时，点P到的距离为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，根据旋转的性质可得，然后分两种情况：当时；当时；最后分别进行计算，即可解答． 【详解】解：由旋转得， 分两种情况：当时，如图： 过点作，垂足为，过点作，垂足为， ， ， 的面积， ， 解得， 点到的距离为； 当时，如图： 则，， ， 点到的距离为； 综上所述：点到的距离为或． 故答案为：或． 三．解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算与解方程： （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解一元二次方程．解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． （1）先化简二次根式，再计算乘除法，最后计算加减即可； （2）利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 ， 解：化为一般形式得：， ， ∴． ∴ ． 17. 阅读下列运算过程，并完成各小题： ；．数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”．如果分母不是一个无理数，而是两个无理数的和或差，此时也可以进行分母有理化，如： ； ； 模仿上例完成下列各小题： （1）____________； （2）____________； （3）请根据你得到的规律计算：． 【答案】（1） （2） （3）8 【解析】 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的加减运算，掌握分母有理化的法则是解本题的关键． （1）分子分母都乘以，即可得到答案； （2）分子，分母都乘以，即可得到答案； （3）根据题干提示的规律，把每个分母中的二次根号去掉，化为有理数，再合并即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 18. 教材呈现：华东师大版九年级数学上册课本36页有这样一道习题： 9．求证：对于任何实数m，关于x的方程总有两个不相等的实数根． 小明思考后，尝试利用配方法的思路来解决问题，他的解法如下： 小明同学的解法 证明： ∵ ∴方程总有两个不相等的实数根． 王老师的订正 证明： ∵ = = = = = = ∵ ∴ 即 ∴方程总有两个不相等的实数根． 王老师对小明的思路进行了肯定，但指出小明的解法在第③步就开始出现了错误，随后王老师对小明的解法进行了订正，并给出了完整的证明过程． （1）小明的解法错误的原因是________________． （2）请你利用王老师的方法解决以下两个问题： ①已知代数式：，用配方法说明，无论x取何值，这个代数式的值总是正数； ②若，试求出W的最小值． 【答案】（1）应将4提出来而不是约掉（说法不唯一，合理即可） （2）① 无论取何值，的值总是正数 ②2 【解析】 【分析】本题考查配方法的应用，正确配方是解题关键． （1）根据提取公因式的法则即可得答案； （2）①先配方得出，根据平方的非负数性质即可得结论； ②把配方得出，根据平方的非负数性质即可得答案． 【小问1详解】 解：应将4提出来而不是约去．（说法不唯一，合理即可） 【小问2详解】 ①略 ② 即： ∴的最小值为2 19. 如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边上． （1）当点P恰好为中点时，________． （2）若这个矩形的边，求这个矩形的面积． 【答案】（1） （2）这个矩形的面积是 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，中位线的性质，主要利用了相似三角形对应高之比等于相似比； （1）根据三角形中位线定理，可得到即可求解； （2）设，，根据，得到，得到对应高之比等于相似比，，求出的值，求出，即可解答． 【小问1详解】 解：∵为中点，， ∴为的中位线， ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， 设，， 四边形是矩形， ， ， ，即， 解得， ， ∴， 答：这个矩形的面积是． 20. 泾阳茯茶是中国传统的黑茶之一，具有消食健胃、降脂减肥、补充维生素和矿物质等功效． （1）如图，某茶庄种植茯茶，由于规模不断扩大，现计划开阔一块面积为平方米的长方形采茶基地，已知该采茶基地的长比宽多米，求采茶基地的长和宽； （2）如图，该茶庄开设了一片观光园区，园区内原有一块长方形空地，该空地与（）中的采茶基地大小、形状均相同，后计划在此区域栽种鲜花（阴影部分）并铺设如图所示的宽度相同的小路（空白部分）供游客观光，若鲜花的种植面积为平方米，求小路的宽度． 【答案】（1）采茶基地的长为米，宽为米； （2）小路的宽度为米． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （）设采茶基地的宽为米，则长为米，根据面积为平方米列方程，然后解方程并检验即可； （）设小路的宽度为米，根据鲜花的种植面积为平方米列出方程，然后解方程并检验即可． 【小问1详解】 解：设采茶基地的宽为米，则长为米， 根据题意得：，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去） 答：采茶基地的长为米，宽为米； 【小问2详解】 解：由（）得采茶基地的长为米，采茶基地的宽为米，设小路的宽度为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去） 答：小路的宽度为米． 21. 福胜寺塔位于河南省邓州市，是一座具有悠久历史的古塔，2006年被国务院公布为第六批全国重点文物保护单位．某实践小组欲测量福胜寺塔的高度，利用双休日进行了实地测量，测量过程见下表． 主题 测量“福胜寺塔”的高度 实物图和测量示意图 测量步骤 步骤1：把长为3米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平线于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米． 根据表格中的信息，解决下列问题． （1）求福胜寺塔AB的高度． （2）实践小组通过网上查阅信息得到福胜寺塔的实际高度是米，你求出的结果与实际高度之间的误差是______米．你认为产生误差的原因是什么？（写出一条即可） 【答案】（1）福胜寺塔的高度为38.25米 （2）0.03，没有多次测量求平均值（或测量时不够规范，测量数据不够精确） 【解析】 【分析】此题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的判定和性质得出边的大小解答．证明，得到对应边成比例，列方程解决即可． 【小问1详解】 解：由题意得： ， ， ， 又，， ， ， 设，， 又， ， ， 即：， 解得， （米） 答：福胜寺塔的高度为米． 【小问2详解】 解：米， 没有多次测量求平均值或测量时不够规范，测量数据不够精确等．（此问说法不唯一） 22. 小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价6元，则每天销售T恤衫为______件； （2）小明希望每天获得的利润达到1200元并且对消费者优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ （3）为了保证每件T恤衫的利润率不低于，每件T恤衫应降______元时，每天能获得1050元的利润．（利润率） 【答案】（1）32 （2）每件T恤衫的销售价为80元 （3）5元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，理解题意、正确列出方程和不等式是解此题的关键． （1）销售价每降低1元时，每天就能多售出2件得降价6元可多售出12件，再加上降价前的销售量可得结论； （2）设每件T恤衫降价x元，根据“每天获得的利润达到1200元”列出一元二次方程求解即可解答； （3）设每件T恤衫的销售价应该定为元，根据利润率不低于可得，求得，再根据每天可获得1050元利润，得，解方程求得定价，再求降价即可． 【小问1详解】 解：销售价降低6元时，每天就能多售出件， 所以，每天销售T恤衫为（件）， 故答案为：32； 【小问2详解】 解：设每件T恤衫降价x元，根据题意得， ， 整理得，， 解得或， 因为要对消费者优惠最大，所以销售价应尽可能低，故取， 所以，每件T恤衫的销售价应该定为（元）； 【小问3详解】 解：设每件T恤衫的销售价应该定为元，根据利润率不低于可得， ， 解得， 又每天可获得1050元利润，得： ， 整理得， 解得或， ∵， ∴， ∴每件T恤衫应降（元）， 故答案为：5． 23. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学探究活动． （1）【操作发现】 第一步：在矩形中，E是边的中点，将沿所在直线折叠，得到，延长交射线于点F．如图①，连接，则的度数为______，用等式表示线段，，的数量关系：________________； （2）【类比探究】 第二步：更换另一张矩形纸片，E仍然是边中点，将沿所在直线折叠，此时点B落在矩形的外部． 如图②，判断（1）中的两个结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请写出正确的结论，并证明． （3）【拓展应用】 第三步：在前面（1）、（2）的操作过程中，同学们又画出了延长交直线于点G的图形，当时，测得．请直接写出的长． 【答案】（1）， （2） 解：（1）中的两个结论仍然成立，证明如下： 连接， ∵E是边的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质得，，，， ∴，， ∴，都是直角三角形， 在和中，， ， ，， ； ， 又∵， ∴， ， ∴， ， ； （3）或 【解析】 【分析】（1）首先得到，，然后结合折叠的性质得到，，证明出，得到，进而可得；证明，利用相似三角形的性质即可得出结论； （2）连接，证明出，得到，，求出，然后证明出，得到，即可得出结论； （3）根据题意分两种情况讨论：①当点落在矩形内部时，②当点落在矩形外部时，然后分别求出，证明出，即可求出． 【小问1详解】 解：∵E是边的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠得，，， ∴，， 又∵， ∴， ， ； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：分两种情况讨论： ①当点落在矩形内部时，如图，连接， 设， ∴． 由（1）得，则 在中，，， ∴， ， 解得，即， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ②当点落在矩形外部时，如图，连接， 由（2）知， ∴ ； 设，则， ，即， 解得（负值已舍去）， ∴， 同理可得，， 综上所述，的长为或． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，折叠的性质，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邓州市2025~2026学年第一学期期中考试九年级 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，答题时间100分钟； 2．请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一．选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上． 1. 若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 3 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 用配方法解方程时，方程的两边同时加上一个实数，使得方程左边配成一个完全平方式，则这个实数是（ ） A. 4 B. 8 C. 9 D. 16 6. 智能汽车销售火爆．某店月份销售台，月、月份共销售台．设该款汽车月、月份销售量的月平均增长率为，根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，它由长度相等的两脚和交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使，），然后张开两脚，使点A，B两个尖端分别在线段l的两个端点上．若，则的长是（ ） A. B. C. D. 8. 关于的方程的根的情况，正确的是（ ） A. 两个不相等的实数根 B. 两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 9. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 10. 如图，是线段所在直线上的一动点，点，在的两侧，于，于，，，，连接，，分别取，的中点，，连接．随着点的运动，线段的长（ ） A. 随着点的位置变化而变化 B. 保持不变，长为 C. 保持不变，长为 D. 保持不变，长为 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：__________． 12. 关于的方程无实数根，那么满足的条件是__________． 13. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则的长为_____． 14. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右．在其“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有水，问：出南门几何步而见木？”意思是说：如图，矩形城池，东边城墙长9里，南边城墙长7里，东门点，南门点分别是，的中点，于，于，里，经过点，则为__________里． 15. 如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转度（），得到，当是等腰三角形时，点P到的距离为______． 三．解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算与解方程： （1）计算：． （2）解方程：． 17. 阅读下列运算过程，并完成各小题： ；．数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”．如果分母不是一个无理数，而是两个无理数的和或差，此时也可以进行分母有理化，如： ； ； 模仿上例完成下列各小题： （1）____________； （2）____________； （3）请根据你得到的规律计算：． 18. 教材呈现：华东师大版九年级数学上册课本36页有这样一道习题： 9．求证：对于任何实数m，关于x的方程总有两个不相等的实数根． 小明思考后，尝试利用配方法的思路来解决问题，他的解法如下： 小明同学的解法 证明： ∵ ∴方程总有两个不相等的实数根． 王老师的订正 证明： ∵ = = = = = = ∵ ∴ 即 ∴方程总有两个不相等的实数根． 王老师对小明的思路进行了肯定，但指出小明的解法在第③步就开始出现了错误，随后王老师对小明的解法进行了订正，并给出了完整的证明过程． （1）小明的解法错误的原因是________________． （2）请你利用王老师的方法解决以下两个问题： ①已知代数式：，用配方法说明，无论x取何值，这个代数式的值总是正数； ②若，试求出W的最小值． 19. 如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边上． （1）当点P恰好为中点时，________． （2）若这个矩形的边，求这个矩形的面积． 20. 泾阳茯茶是中国传统的黑茶之一，具有消食健胃、降脂减肥、补充维生素和矿物质等功效． （1）如图，某茶庄种植茯茶，由于规模不断扩大，现计划开阔一块面积为平方米的长方形采茶基地，已知该采茶基地的长比宽多米，求采茶基地的长和宽； （2）如图，该茶庄开设了一片观光园区，园区内原有一块长方形空地，该空地与（）中的采茶基地大小、形状均相同，后计划在此区域栽种鲜花（阴影部分）并铺设如图所示的宽度相同的小路（空白部分）供游客观光，若鲜花的种植面积为平方米，求小路的宽度． 21. 福胜寺塔位于河南省邓州市，是一座具有悠久历史的古塔，2006年被国务院公布为第六批全国重点文物保护单位．某实践小组欲测量福胜寺塔的高度，利用双休日进行了实地测量，测量过程见下表． 主题 测量“福胜寺塔”的高度 实物图和测量示意图 测量步骤 步骤1：把长为3米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平线于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米． 根据表格中的信息，解决下列问题． （1）求福胜寺塔AB的高度． （2）实践小组通过网上查阅信息得到福胜寺塔的实际高度是米，你求出的结果与实际高度之间的误差是______米．你认为产生误差的原因是什么？（写出一条即可） 22. 小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价6元，则每天销售T恤衫为______件； （2）小明希望每天获得的利润达到1200元并且对消费者优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ （3）为了保证每件T恤衫的利润率不低于，每件T恤衫应降______元时，每天能获得1050元的利润．（利润率） 23. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学探究活动． （1）【操作发现】 第一步：在矩形中，E是边的中点，将沿所在直线折叠，得到，延长交射线于点F．如图①，连接，则的度数为______，用等式表示线段，，的数量关系：________________； （2）【类比探究】 第二步：更换另一张矩形纸片，E仍然是边中点，将沿所在直线折叠，此时点B落在矩形的外部． 如图②，判断（1）中的两个结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请写出正确的结论，并证明． （3）【拓展应用】 第三步：在前面（1）、（2）的操作过程中，同学们又画出了延长交直线于点G的图形，当时，测得．请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $