精品解析：北京市北京中学2026-2027学年高一（英才班）第一学期期中质量调研数学试题

2026—2027学年度第一学期期中质量调研试题 英才高一数学 本试卷共4页，满分150分．考试时长120分钟．考生务必将条形码贴在答题卡规定处，并将答案写在答题卡对应题号框内，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 设命题，则为（ ） A. B. C. D. 3. 已知实数满足，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列四个函数是奇函数且在定义域内单调递减的函数是（） A. B. C. D. 5. 为了节约能源，某市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年天然气用量 天然气价格 不超过350m3 2.61元/m3 超过350m³但不超过500m³的部分 2.83元/m3 超过500m3的部分 4.23元/m3 若某户居民一年的天然气费为1549.5元，则此户居民这一年使用的天然气为（ ） A. 550m3 B. 531.8m3 C. 505m3 D. 366.3m3 6. 从商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义域为的函数满足，则（ ） A. 102 B. 101 C. 100 D. 99 8. 已知正实数，满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 设函数的定义域为，开区间，则“，且，都有”是“在上是增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记为集合的元素个数，为集合的子集个数，若集合满足：①，；②，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 11. 函数的定义域为_________ . 12. 已知幂函数的图像过点，则______. 13. 若函数满足，则__________. 14. 已知函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为______. 15. 设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________． 16. 已知函数，给出下列四个结论 ①的值域是； ②任意且，都有； ③任意且，都有 ④规定，其中，则． 其中，所有正确结论的序号是___________． 三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17. 已知集合，. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 18. 已知是定义在R上的奇函数，当时，． （1）函数在R上的解析式； （2）若函数在区间单调递增，求实数m的取值范围． 19. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明； （3）解不等式. 20. 已知函数（）. （1）求关于的不等式的解集； （2）当时，设函数在区间上的最小值为，求的最大值. 21. 已知是定义在上的函数，若对任意的，，，均有，则称是关联． （1）判断和证明是否是关联？是否是关联？ （2）若是关联，当时，，解不等式； （3）证明：“是关联，且是关联”当且仅当“是关联”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期期中质量调研试题 英才高一数学 本试卷共4页，满分150分．考试时长120分钟．考生务必将条形码贴在答题卡规定处，并将答案写在答题卡对应题号框内，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集运算法则计算即可. 【详解】根据集合的交集运算法则，易知. 故选：B. 2. 设命题，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由特称命题的否定，将存在改为任意，并否定原结论，即可得. 【详解】由特称命题的否定为全称命题，则为. 故选：D 3. 已知实数满足，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由可知A正确；通过反例可知BCD错误. 【详解】对于A，（当且仅当时取等号），，A正确； 对于B，当，时，，B错误； 对于C，当，时，，，则，C错误； 对于D，当，时，，，则，D错误. 故选：A. 4. 下列四个函数是奇函数且在定义域内单调递减的函数是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A.是奇函数，但该函数在定义域上不单调，排除. B.，定义域， ，是奇函数； 在上递增，故在上单调递减，符合题意； C.的定义域为，，即函数为奇函数， 又因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，排除. D.的定义域为，，故不是奇函数，排除. 5. 为了节约能源，某市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年天然气用量 天然气价格 不超过350m3 2.61元/m3 超过350m³但不超过500m³的部分 2.83元/m3 超过500m3的部分 4.23元/m3 若某户居民一年的天然气费为1549.5元，则此户居民这一年使用的天然气为（ ） A. 550m3 B. 531.8m3 C. 505m3 D. 366.3m3 【答案】A 【解析】 【分析】设天然气费用为使用量的函数，根据题意写出分段函数解析式，先判断对应哪一段，再求解即可. 【详解】设天然气使用量为，天然气费为元， 则， 由于，则, 所以， 解得, 所以天然气使用量为， 故选：A 6. 从商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象的对称性、定义域以及特殊点的函数值，利用排除法即可求解. 【详解】由图象可知，图象关于轴对称，故函数为偶函数，又因为，故排除A，D， 因为，则排除C，故B正确. 7. 已知定义域为的函数满足，则（ ） A. 102 B. 101 C. 100 D. 99 【答案】B 【解析】 【分析】令得或1，验证后得到不成立，满足要求，此时，从而得到答案. 【详解】中，令得， 解得或1， 令得，若，上式整理得， 但不一定等于0，故不成立， 若，则， 此时， ，满足，满足要求， 故. 故选：B 8. 已知正实数，满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用将一次项齐次化，分离参数后用基本不等式求右侧的最小值，并核对取等条件. 【详解】由，， ， 化简得， 由，得，，得， 令，，，代入， ，， 所以， ， 当且仅当，即时取等号， 所以， 综上，实数的取值范围是. 9. 设函数的定义域为，开区间，则“，且，都有”是“在上是增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数单调性的定义以及充分必要条件的定义即可判断. 【详解】对于充分性，取，，，无最大值， 则“，且，都有， 但是此时在上不是增函数，故充分性不成立； 对于必要性，若在上是增函数，则，且，都有，故必要性成立. 所以“，且，都有”是“在上是增函数”的必要不充分条件. 故选：B 10. 数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记为集合的元素个数，为集合的子集个数，若集合满足：①，；②，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据元素个数得到子集个数，即，分析出，即可求解. 【详解】设， 则，即， 所以, 若,则，即左边为奇数，右边为偶数，不成立， 若，则，即左边为奇数，右边为偶数，不成立， 所以,即， 因为， 且满足， 所以包含了的个元素外， 还包含个属于而不属于的元素， 当时，则, 如，符合题意. 当时，则, 如，符合题意. 所以的最大值为， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查交集与并集的混合运算，及集合的元素个数与集合子集间的关系，解题的关键由已知条件求，再分和讨论，体现了分类讨论的数学思想方法，难度较大. 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 11. 函数的定义域为_________ . 【答案】 【解析】 【分析】此题考查函数的定义域，根据分母不为和被开方数大于等于即可得到结果. 【详解】要使函数有意义，则，即且， 的定义域为. 故答案为：[-2,0) 12. 已知幂函数的图像过点，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】首先将点代入幂函数的解析式，即可求解析式，再求值. 【详解】设，则，则， 则，所以. 故答案为： 13. 若函数满足，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】令，，联立式子即可求解. 【详解】令得①， 令得， 可得，代入①式得， 解得. 故答案为：2. 14. 已知函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由对勾函数的单调性得到在和的单调性上，讨论与情况下，的最大值和最小值，再根据的值域为，列出的方程或不等式，求解即得. 【详解】， 由对勾函数的单调性知， 时，单调递减；时，单调递增； ∴在处取得极小值 若，则在上单调递减，，， 因为的值域为，所以，解得； 若，则在上单调递减，在上单调递增， ，， 因为的值域为，所以，解得， 又，所以. 综上， 故答案为：. 15. 设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________． 【答案】 ①. 0（答案不唯一） ②. 1 【解析】 【分析】根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值，根据定义域讨论可知或， 解得 . 【详解】解：若时，，∴； 若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求； 若时， 当时，单调递减，， 当时， ∴或， 解得， 综上可得； 故答案为：0（答案不唯一），1 16. 已知函数，给出下列四个结论 ①的值域是； ②任意且，都有； ③任意且，都有 ④规定，其中，则． 其中，所有正确结论的序号是___________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①先证其奇偶性，再分离常数结合单调性求在上的范围，结合奇偶性可得；②根据在上的单调性以及奇偶性可得；③举反例；④求出在上的解析式即可. 【详解】对于①：因为的定义域为，关于原点对称， 且，可知为奇函数， 当时， ， 因在内单调递减，则函数在内单调递增， 且，可得，则， 结合为奇函数，可知当时，, 所以的值域是，故①正确； 对于②：因函数在内单调递增，且为奇函数，则 函数是上的增函数， 所以对任意且，均有，故②正确； 对于③：当任意且时， 令，，，显然， 因此不成立，故③不正确； 对于④：当时，， 可得，，， 以此类推可得， 因此，故④正确； 故答案为：①②④ 三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17. 已知集合，. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）化简集合，按集合交集、并集、补集的概念计算； （2）由得，讨论求解. 【小问1详解】 集合， 若，则，所以或， 所以，. 【小问2详解】 若，则， 若，则，满足； 若，则，因为，， 所以，解得，即此时， 综上可知，实数的取值范围为. 18. 已知是定义在R上的奇函数，当时，． （1）函数在R上的解析式； （2）若函数在区间单调递增，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）为奇函数，当时，，则当时，，由可求出的表达式； （2）根据题意，由函数的解析式作出函数的简图，由此分析可得关于的不等式，解出可得取值范围． 【小问1详解】 已知是定义在R上的奇函数，当时，， 当时，，则有， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得图象如图所示： 若在区间上单调递增， 则有，解可得， 故实数m的取值范围：． 19. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明； （3）解不等式. 【答案】（1） 为奇函数，证明如下： 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又， 所以为奇函数. （2） 在上的单调递增，证明如下： 任取，，且， 则 ， 因为，所以，， 所以，即，即在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性的定义判断即可； （2）任取，，且，用作差法判断，的大小，即可证结论； （3）结合函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为在上单调递增，又，， 所以不等式，即，即， 即，又恒成立， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为. 20. 已知函数（）. （1）求关于的不等式的解集； （2）当时，设函数在区间上的最小值为，求的最大值. 【答案】（1） 当时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，再对分类讨论，分别求出不等式的解集； （2）分析函数的对称轴所在位置，即可求出函数的最小值，从而得到，再求出的最大值. 【小问1详解】 不等式，即，即， 当时，即，解得； 当时，不等式可化为，解得或； 当时，不等式可化为， 若，即时，解得； 若，即时，解得； 若，即时，解得； 综上可得：当时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 【小问2详解】 当时，开口向上，对称轴为， 当，即时； 当，即时在上单调递减，所以； 综上可得； 当时，当且仅当即时取等号； 所以. 21. 已知是定义在上的函数，若对任意的，，，均有，则称是关联． （1）判断和证明是否是关联？是否是关联？ （2）若是关联，当时，，解不等式； （3）证明：“是关联，且是关联”当且仅当“是关联”． 【答案】（1）关联，不关联； （2） （3）①先证明：是关联的，且是在关联的在是关联的， 因为是关联的，所以，， 又是在关联的，所以，， 任取，且，则， ，即，，是关联，                     ②再证明：在是关联的是在关联的，且是在关联的， 是关联，任取，都有成立， 即满足，都有， 下面用反证法证明， 若，则，与在是关联的矛盾， 若，而在是关联的，则，矛盾， 成立，即是在关联的， 进而，， 再证明是在关联的， 任取，则存在，使得， ，， ，是在关联的； 综上所述，是关联的，且是在关联的，当且仅当“在是关联的”，故得证． 【解析】 【分析】（1）根据关联定义直接判断即可； （2）先根据关联定义确定函数满足的性质，再结合时的解析式画出函数图像，结合图像即可求解. （3）运用“当且仅当”证明方法，分两步，结合关联新定义证明即可. 【小问1详解】 解：在关联；在不关联； 证明：任取，则， 在关联； 取，，则， ， 在不关联； 【小问2详解】 解：是在关联的， 对任意，都有， 故 ，         时，，故，，，    在的值域为， 在的值域为，          仅在或上有解， 当时，，令，解得， 当时，，令，解得， 的解为；              【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $