专题7 构造函数解函数不等式-2027届高三数学一轮复习

高考总复习数学微专题之导数基础题型分类 专题七：构造函数解函数不等式 一、基础与方法 类型一：关系式为“加”型 ①f(x)+fx)>0=构造[efx]'=ef(x)+fx)]。 ②f(x)x十fx)>0=构造[x)x'=f(x)x十x)。 ③f(x)x+fx)n>0→构造[f(x)x"]=f'(x)x+f(x)-1=x"-[f'(x)x+f(x)m。 类型二：关系式为“减”型 ①f(x)一x)>0户构造 f(x) f(x)e"-f(x)e*_f(x)-f(x) (e*)2 ②f(x->0→构造f) f(x)x-f(x) ③f(x)x一fx)n>0户构造 「f() T-f'r-fcm-f'c)x-fn」 x2 类型三：关系式为“三角”型 ①f(x)sinx+fx)cosx>0→构造[fx)sinx]'=f(x)sinx+fx)cosx。 ②f(x)cos.x-fx)sin>0→构造[fx)cosx]'=f(x)cosx一fx)sinr。 ③f(x)sinx一fx)cosx>0→构造 f(x) f'(x)sinx-f(x)cosx sin x sin2x ④f(x)cosx+fx)sinx>0→构造 f() f'(x)cosx+f(x)sinx cOSx cos2x ⑤cosxfx)-sinf(x)>0→构造 sinx cos xf(x)-sin xf(x) Lf(x) [f(x]2 ⑥sinxfx)十cosxf(x)>0→构造 cOSx -sinf()-cosf'()。 f(x)」 [f(x]2 类型四：关系式含“对数”型 f'(x) ①f(x) →构造nfr=') f(x) f(x)>0 「f'(x) ②f(x) →构造n-fxy=') f(x) f(x)<0 ③f'(x)lnx+f(x)-→构造[f(x)lnx=f'(x)lnx+f(x)-。 ④f'(xnx-f'→构造f f(x)Inx-f() X。 Inx In2 x ⑥f)}f'xnx一构造 Inx f-fc)nx 0 f(x) [f (x) 二、题型与技巧 题型一：关系式为“加”型 1.(04年湖南理12)设fx),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f(x)g(x)十x)g'(x)>0,且 g(一3)=0，则不等式fx)g(x)<0的解集是() A.(-3,0)U(3,+o) B.(-3,0)U(0,3) 1 高考总复习数学微专题之导数基础题型分类 C.(-o,-3)U(3,+o) D.(-0,一3)U(0,3) 2.若定义在R上的函数满足+>，O)=4,则不等式f)>3+1e为自然对数的底数)的解集 为 0 3.已知定义城为R的奇函数的导函数为.当0时，f闭+>0，若a-[, b=-2 2),c=ln2f(-血2)，则下列关于a,b,c的大小关系正确的是( A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.b>c>a 题型二：关系式为“减”型 4.已知函数fx)为定义在R上的可导函数，且fx)sf(x)对于任意x∈R恒成立，e为自然对数的底数，则() A.1)>efo,fR2013)<e2013,fo) B.1)<ef0,f2013)>e203,f0 C.f1)>e0),2013)>e2013f0) D.f1)<e-f0),f2013)<e2013f0 5.(15年新课标Ⅱ理12)设函数f(x)是奇函数x)x∈R)的导函数，一1)=0，当x>0时，f(x)一fx)<0,则 使得x)>0成立的x的取值范围是() A.(-o,-1)U(0,1)B.(-1,0)U(1,+o)C.(-o,-1)U(-1,0)D.(0,1)U(1,+o) 6.(11年辽宁理11文11)函数x)的定义域为R,f-1)=2,对任意x∈R,fx)>2,则x)>2x+4的解集为( ) A.(-1,1) B.(-1,十0) C.(-o,-1) D.(-o,十0) 7.(陕西省咸阳市2018年5月)己知f(x)是函数fx)的导函数，且对任意的实数x都有f(x)=e'(2x一2)+fx)(e 是自然对数的底数)，0)=1，则() A.x)=e'(x+1) B.fx)=e(x-1) C.x)=e'(x+1)2 D.f(x)=e"(x-1) 类型三：关系式为“三角”型 8.(多选)已知定义在0， 上的函数x),f(x)是x)的导函数，且恒有cosxf(w)十sinx)<0成立，则( A.f B.r c. D.r5财任 类型四：关系式含“对数”型 9.设函数f)是奇函数fxx∈R)的导函数，当x0时，lnx·f'()<-f(),且1)<0，则使得2-9x)<0 成立的x的取值范围( A.(-3,0)U(3,+o)B.(-0,-3)U(3,+0)C.(-3,0)U(0,3) D.(-o,-3)U(0,3) 类型五：其他复杂类型 10.已知函数的定义域为R,且对任意，6ER且，都有C)-f)1,若2)=4，则不等 x-x 式fe>e+2的解集为， 11.(O9年天津文10)设函数x)在R上的导函数为f),且2fx)+(x)>x2,下面的不等式在R上恒成立的 是() A.x)>0 B.f(x)<0 C.fx)>x D.f(x)<x 1213年江宁理12设画数满足f+2)-兰，f2)-号，则o0时，e) A.有极大值，无极小值 B,有极小值，无极大值 C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也无极小值 18若函数满足)+2)=I+ln,且了6=2c,则的极大值是 ) E A. B.I 2 e C.Je D.e 14.(07年陕西理11x)是定义在(0，十o)上的非负可导函数，且满足xf(x)+fx)上0，对任意正数a,b,若 a<b,则必有() A.af(b)<bf(a) B.ba)上afb) C.afa上bfb) D.bf(b)fa) 2 高考总复习数学微专题之导数基础题型分类 15.(20年北京6已知函数fx)=2一x一1，则不等式x)>0的解集是() A.(-1,1) B.(-o,-1)U(1,+o)C.(0,1) D.(-o,0)U(1,+o) 16,17年江苏卷1已知函数f)=t-2x+e-,其中e是自然对数的底数。若a-)十2a0,则 实数a的取值范围是」 17.12年江苏卷14已知正数a,b,c满足：5c一34c一a,cdnb2a+cnc,则2的取值范围是一 3,(07年江西文8)若0<x<),则下列命题中正确的是( A.sinx<2x 2 B.sinx>二x C.sinx<元X D.sin 19.(09年江西理15)若不等式V9-x2≤k(x+2)-√2的解集为区间[a,b],且b-a=2,则k= 20.(12年辽宁理12)若x∈[0，十o),则下列不等式恒成立的是() <1-+C.s21- 1 1 A.e<1+x+x2 1 B. v+x D.lnx≥x-。x1 21.(21年全国乙卷理20)己知函数x)=ln(a一x),已知x=0是函数y=xx)的极值点. (1)求a: (2)设函数8w)=x+f) f).证明：sx 心高考总复习数学微专题之导数基础题型分类 专题七：构造函数解函数不等式 一、基础与方法 类型一：关系式为“加”型 ①f(x)+fx)>0=构造[efx]'=ef(x)+fx)]。 ②f(x)x十fx)>0=构造[x)x'=f(x)x十x)。 ③f(x)x+fx)n>0→构造f(x)x"]=f'(x)x”+f(x)n”-1=x"-[f'(x)x+f(x)n。 类型二：关系式为“减”型 ①f(x)一x)>0→构造 f(x) f(x)e*-f(x)e*f'(x)-f(x) e" (e)2 e ②f(x)x一fx)>0→构造 f(x) f(x)x-f(x) x ③f(x)x一fx)n>0户构造 「f四-f'x-fx- f'(x)x-f(x)n 2n 大对 类型三：关系式为“三角”型 ①f(x)sinx+fx)cosx>0→构造[x)sinx]'=f(x)sinr+fx)cosx。 ②f(x)cosx-一fx)sinr>0→构造[x)cosx]'=fx)cosx-fx)sinx。 ③f(x)sinr一fx)cosx>0→构造 f(x) f'(x)sinx-f(x)cosx sinx sinx ④f(x)cos.x+fx)sinx>0→构造 f(x) f'(x)cosx+f (x)sinx cOSx cos2x ⑤cosxfx)-sinf(x)>0→构造 sinx cos xf(x)-sin xf(x) f(x) [f(x)P2 ⑥sinxf(x)十cosxf(x)>0→构造 coSx -sin xf(x)-cos xf (x) f(x) [f(x]2 类型四：关系式含“对数”型 「f'(x) ①f(x) →构造lnf=') f(x) f(x)>0 「f'(x) ②f(x) →构造{n-fxY=' f(x)<0 f(x) ③f'(x)lnx+f(x)-→构造[f(x)lnx]'=f'()nx+f(x)- 1 ④f'(x)lnx-f(x)二→构造「f() f(x)Inx-f(x) Inx Inx ⑤f()上-f'xnx→构造nx f(x)-f'(x)Inx Lf(x) [f(x) 二、题型与技巧 题型一：关系式为“加”型 1.(04年湖南理12)设x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，(x)g(x)十x)g(x)>0,且 g(一3)=0，则不等式fx)gx)<0的解集是() A.(-3,0)U(3,+0) B.(-3,0)U0,3) 1 高考总复习数学微专题之导数基础题型分类 C.(-o,-3)U(3,+o) D.(-0,一3)U(0,3) 1.【答案】D. ,若定义在R上的函数)满足x)十f少L,fO)=4,则不等式f()>三+1伦为自然对数的底数)的解集 为 2.【答案】(0，+o). 3.已知定义域为R的奇函数的导厨数为，当40时，f)+f八国0，若a= b=-2 2),c=nf(-n2),则下列关于a,b,c的大小关系正确的是( A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.b>c>a 3.【答案】D 题型二：关系式为“减”型 4.已知函数x)为定义在R上的可导函数，且x)f(x)对于任意x∈R恒成立，e为自然对数的底数，则( A.1)>e-f0,f2013)<e2013f0) B.f1)<efo,2013)>e20品0) C.1>ef0),2013)>e201f0 D.f)<ef0,f2013)<e2013f0 4.【答案】C 5.(15年新课标Ⅱ理12)设函数f()是奇函数x)x∈R)的导函数，一1)=0，当x>0时，(x)一x)<0,则 使得x)>0成立的x的取值范围是() A.(-o,-1)U(0,1)B.(-1,0)U(1,+o)C.(-o,-1)U(-1,0)D.(0,1)U(1,+o) 5.【答案】A. 6.(11年辽宁理11文11)函数x)的定义域为R,f-1)=2,对任意x∈R,f(x)>2,则fx)>2x+4的解集为() A.(-1,1) B.(-1,+o) C.(-0,-1) D.(一0，十0) 6.【答案】B 7.(陕西省咸阳市2018年5月)已知f(x)是函数x)的导函数，且对任意的实数x都有f(x)=e'(2x-2)十x)(e 是自然对数的底数)，0)=1，则() A.f(x)=e"(x+1) B.f(x)=e"(x-1) C.fx)=e'(x+1)2 D.fx)=e'(x-1)2 7.【解标】令00=，则G)=fw/0-2-2,可设C=-2x+ac为数 e :G0)=f0=1,c=1,G=f国=r-2x+1=(x-,m=c-1,故选：D. 类型三：关系式为“三角”型 8.(多选)已知定义在(0，习上的函数，7是)的号导函数，且恒有os十sin<0成立，则( A.ff到 B.③ c.f所得D.r（)fA 8.【解析】根据题意，令g(x)= cosx( 则其导数g'(x)= f(x)cosx+f()sinx, 由0 且担有cow+m项00，则有g0即西数为减药数。由名号·则有8周g) 分析可得f π 6 c083 分析可得()5r) 。 故选：CD。 类型四：关系式含“对数”型 高考总复习数学微专题之导数基础题型分类 9.设函数f)是奇函数(x∈R)的导函数，当>0时，1nxf'm)<-f(9),且f)<0,则使得(2-9)<0 成立的x的取值范围( A.(-3,0)U(3,+o)B.(-0,-3)U(3,+o)C.(-3,0)U0,3) D.(-0,-3)U(0,3) 9.【解析】令gw=fx)nx,则g'(x)=f'()-nx+二f(x)<0,所以g在(0，十o)上为递减函数， 所以当0<x<1时，gx)=fx)nx>g(1)=f1)n1=0,又lnx<0,所以fx)<0, 当x>1时，gx)=fx)lnx<g(1)=1)lnl=0,又lnx>0,所以fx)<0, 所以当x∈(0,1)U(1,+o)时，x)<0,又f1)<0, 所以>0时，x)<0,因为fx)为奇函数，所以x<0时，x)>0, 所以(x2-9)x)<0台 -9>0或-9<0ex<-3或>3g 「-3<x<3 或 或 台x>3或-3<x<0。故选：A. f(x)<0f(x)>0x>0 x<0 类型五：其他复杂类型 10.已知函数的定义域为R,且对任意，∈R且，都有)f>1,若2)=4，则不等 X-X2 式fe>e'+2的解集为 10.【解折】法一：f)-f>1,)f)-1>0,通分得f)f)-+玉>0， x-x2 x-x, X-x2 整理得广飞)-1-f0),0,令FW=一则FC)F,0,∴函数F9在R上递增。 x1-x2 x1-x2 而F2)=f2)-2=2,∴fe>e+2台fe)-e>2台F(e>2=F2),∴.e>2,解得x>ln2,故填：ln2,+o) 法二：由于对称性，不妨设，由f)-f2>1,得-K-,即）一)一3， X-x2 令F(x)=x)一x,由x1,x的任意性知，F(x)在R上递增，以下同法一。 11.(09年天津文10)设函数x)在R上的导函数为f(x),且2x)+x(x)>x2,下面的不等式在R上恒成立的 是() A.x)>0 B.f(x)<0 C.f(x)>x D.f(x)<x 11.【解析】，2fx)+x(x)>x,当x>0时，2xf)+xf()>x>0,即[x]>0, ∴.函数g(x)=xx)在(0，十o)上单调递增，同理gx)=xx)在(-o,0)上单调递减。 ∴.当≠0时，g(x)=x2fx)>g(0)=0,∴fx)>0.而2fx)+xf(x)>x2,.2f0)+0xf(0)>0,∴f0)>0, 对任意x∈R,都有fx)>0,故选：A. 123年辽宁理12)设函数满足f闭+2y)-,f0)-号，则0时，)） A.有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值 C.既有极大值又有极小值 D,既无极大值也无极小值 12【解标】：函数满足了w)+2对闭-，㎡f- x 令=.则F0-g,且r@=2×f=g 由f'(+2f)=g,可得P0+2x=e,即xr+2F)=e,f)=e-2F6四x>0, 令6=e-2Pw,则(e2Rxc·ef3，∴在0,2上递减，在2，十)上递增。 .p(x)2p(2)=e2-2F(2)=0,即)≥0，x)在(0，十o)上递增，∴fx)无极值，故选：D。 .若函数满足)+2w)=+,且fWe)2石，则)的极大值是0 ) A.Ve B.I 2 D.e 2 e C. 心 高考总复习数学微专题之导数基础题型分类 13.【解析】法一：'xfx)+2xx)=1+lnx,代x)x]=1+lnx, ∴f(x)x2=I+lhx)dr=xhx+C,其中C为常数， ·)=nx+S、fe)=1 2e,fW6=ne+c、1 2√E,解得C=0, f0,f1,令f=0得=e x2 当x∈(0，e)时，f(x)>0,fx)单调递增：当x∈(e,十o)时，fw)<0,fx)单调递减。 的极大值为f©)=，故选：B, 法二：，函数x)满足xf(x)+2.xx)=1+nx,.x)x]=1+nx 令FCOr,则o=1+,且re)=f@-xhe=, 由xfx)+2xfx)=1+lnr,可得x(x)+2xfx)=x+xnx,即xf()+2Fx)=x+xnr, ·f'(=+xnx-2F() x' 令o(x)=x+xnx-2Fx),则g(x)=2+nr-2F'(x)=2+lnr-2(1+lnx)=一lnx, ∴.o(x)在(0,1)上递增，在(1，+o)上递减。 ∴.o(0p(1)=-2F1), 14.(07年陕西理11)x)是定义在(0，十o)上的非负可导函数，且满足f(w)十fx)上0，对任意正数a,b,若 a<b,则必有( A.afb)上bfa) B.ba)≤afb) C.afa小bb) D.bf(b)fa) 14.【答案】A. 15.(20年北京6)已知函数fx)=2-x一1，则不等式x)>0的解集是() A.(-1,1) B.(-o,-1)U(1,+o)C.(0,1) D.(-0,0)U(1,+o) 15.【答案】D 16.17年江苏卷1山已知函数f)=r-2x+e-。,其中e是自然对数的底数.若a-1)十2a0,则 实数a的取值范围是 16【解折】函数的定义城为R八=(-2-0+e-气-2x+e司)- 即函数为奇函数，)=3-2+e+≥3-2+2。=3≥0，当且仅当=0时取等号。 .fx)是定义在R的单调递增函数，又fa-1)+f2a2)s0,f2a2)≤f-a+1),∴，2a2-a+1,解之得 -1≤a≤，故填： 1 17,12年江苏卷14已知正数a,b,c满足：5c-3心4c一a,chb≥a十cc,则2的取值范围是」 17.【解析】a,b,c为正数，且5c-3a≤4c-a,. 5c-3as40-a'解之得5s2. 4c-a≥b>0 5c-35bs4c-1 =2 由5c-3b4c-a,可得 a b aa,0<s7,当且仅当 ，即a:b:c=1:7:2时取等号. a b ->0 2=7 、a 4 高考总复习数学微专题之导数基础题型分类 b 6,其中6>1。 b 由ch2a+anc,可得hb=cnc2o0,ch02a,h2≥9>0,2名×分6≥C时 c cc a In C 令f)=>D,则f)=x'。当x∈，ef,f0:x∈e,+of,fx>0. Inx Inx =e [f(xn=fe=e,之e,当且仅当 ,即a:b:c=1:e:1时取等号. b =e c 综上，esb≤7，故填：e,刀. a 18.07年江西文8)若0<x<7,则下列命题中正确的是( A.sinxs2 2 B.sinx>二x 3 C.sinx<x D.sinx> π π 18.【答案】B. 19.(09年江西理15)若不等式V9-x2≤k(x+2)-√2的解集为区间[a,b],且b-a=2,则k= 19.【答案】√2 20.(12年辽宁理12)若x∈[0，十o),则下列不等式恒成立的是( ) 1 A.e<1+x+x2 B. I1x+C.c06x21-1x D.lnx≥x- 1+x24 8 20.【答案】C 21.(21年全国乙卷理20)己知函数d)=ln(a一)，已知x=0是函数y=x)的极值点. (1)求a: 2设函数8W=+f仁.证明：81 xf(x) 21.【解答】(I)由题意，fx)的定义域为(-o,a),令g(x)=fx),则gx)=xn(a一xx<a), 则g'(x)=n(a-x)+x -1=Im(a-x)+-x ，，x=0是函数y=xx)的极值点，则有g'(x)=0, a-x a-x 即ha三0，al,当a1时，8w)=h0-0+n-0+大，且g⑩=0， 8(=+=子<0，则在-0，D上单调递减，当x∈（一0,0）时，g>0 当x∈(0,1)时，g(x)<0,.a=1时，x=0时函数y=x)的一个极大值.综上所述，a=1。 2油可知，)1-要证0<，即霸证明t-c, x灯(x) 当x∈(-o,0)时，xln(1一x)<0,当x∈(0,1)时，xn(1-x)<0, '.需证明x十ln(1-x)>xn(1-x),即x+(1-x)ln(1一x)>0,令h(w)=x十(1-xln(1-x), w)=(1-9+1-(1=,h0=0,当x∈(-o,0)时，K 当x∈(0,1)时，(x)>0,x=0为h(x)的极小值点， &h>O)=0,即x+I->nI-,故b-L,+ xf(x) 5