微专题 导数构造函数问题训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数构造函数问题，系统梳理常规构造型与指对同构型方法，通过典例与分层练习构建“类型-构造-应用”的解题逻辑链，培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常规构造型、指对同构型|含f′(x)-k>0等8类构造，3道典例覆盖核心考法|针对不同导数不等式类型给出具体构造函数形式，指对同构型结合恒等式转化|从导数不等式特征出发，推导对应构造函数，形成问题类型与构造方法的对应关系|

微专题 导数构造函数问题 【精华提炼】 1. 常规构造型（小题） (1) f′(x)-k>0(k≠0)型构造新函数g(x)＝f(x)-kx(k为常数)． (2) f′(x)＋f(x)>0型构造新函数 (3) f′(x)-f(x)>0型构造新函数g(x)＝ (4) xf′(x)＋kf(x)>0型构造新函数g(x)＝xf(x)(k为常数)． (5) 型构造新函数 (6) 型构造新函数 (7) 型构造新函数 (8) 型构造新函数 (9) 型构造新函数 (10) 型构造新函数 (11) 型构造新函数 2. 指对同构型 同构是在一个式子中除了变量不同，其余地方均相同的表达式（同结构，同形式），在函数、方程、数列、解析几何等均有应用，导数中常见： （1）型 使用恒等式 （2）型 使用恒等式 【典型例题】 例1.若函数在上可导，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】分析：根据题中所给的条件，联想函数的求导法则，构造新函数，利用导数与单调性的关系确定出函数的单调区间，从而比较出函数值的大小，最后确定出正确结果. 根据可得， 可知当时，，即， 所以可知函数在上是增函数，即， 从而得，故选A. 例2.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】构造函数，求导可知其在上单调递减，进而整理所求不等式为，由函数单调性构建不等式组，解得答案. 构造函数，则 所以函数在上单调递减， 则，即，故. 例3.已知奇函数的导函数为，且在上恒有成立，则下列不等式成立的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】构造函数，由得，即，即可得到单调性，再结合的奇偶性，即可对选项进行判断 构造函数，由在上恒有成立，即在上为增函数，又由为偶函数，，故A错误. 偶函数在上为增函数，在上为减函数， ，故B正确； ，，故C错误； ，，故D错误. 故选：B 【练习】 1.（单选题）定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则，因为，所以在上单调递减. 因为，所以，所以当时，，当时，，故不等式的解集为. 故选：B. 2.（单选题）设函数是上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先构造函数，再利用函数单调性解不等式. 令，因为函数在上是可导的偶函数，所以在上也是偶函数 又当时， 在上是增函数 由得 选B. 3．（单选题）已知是自然对数的底数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构建，利用导数判断单调性可得，构建，利用导数判断单调性可证，进而可得，即可得结果. 【详解】构建，则在内恒成立， 可知在内单调递增， 因为， 可知，即； 构建，则在内恒成立， 可知在内单调递增，则，即， 可得，且，则，即； 综上所述：.故选：B. 4.（多选题）已知函数满足，.则当时，下列说法中正确的是（    ） A． B．只有一个零点 C．有两个零点 D．有一个极大值 【答案】BD 【解析】令，则， 所以，，所以，. 又，则，解得. 所以，. 则，，且，A项错误. 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减. 所以，在处有极大值为， 且只有一个极值点，D正确. 且时，有恒成立. 又，所以只有一个零点，B项正确，C项错误. 故选：BD. 5.（填空题）已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则的解集为 . 【答案】 【解析】构造新函数，利用已知可以判断出新函数的单调性，最后利用单调性进行求解即可. 设，因为， 所以是上的减函数， 因为，所以， 因此. 所以的解集为. 故答案为： 6．（填空题）函数是定义在上的奇函数，其导函数记为，当时，恒成立，若，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】构造函数，根据导函数判断其单调性，进而结合奇偶性得出的正负性，即可求解不等式． 【详解】当时，恒成立，即恒成立， 令，则在上恒成立， 故在上单调递减， 因为，所以， 故当时，； 当时，； 因为函数是定义在上的奇函数， 故当或时，； 当或时，.， 等价于或，得或， 故不等式的解集为． 7．（填空题）已知可导函数的导函数为，若对于任意的，都有，且，则不等式的解集为________． 【答案】 【分析】整理可得，令，，利用导数分析可知在定义域内单调递减，结合单调性解不等式即可. 【解析】因为，且，可得， 令，，可得， 则， 因为，即， 则，可知在定义域内单调递减， 又因为，则， 即，解得， 所以不等式的解集为. 8.（解答题）已知函数，若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】 【分析】化为，构造函数，求出，得到函数的单调性，将表达式转化为，根据函数单调性得到不等式并反解，构造函数，利用求出即可求解. 【解析】因为，，， 所以， 可化为：， 即， 令，， 所以为上的单调递增函数， 将， 转化为， 因为为上的单调递增函数，所以， 即，即， 整理有：， 令，， 令，即，， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减， 所以， 因为恒成立， 所以. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 导数构造函数问题 【精华提炼】 1. 常规构造型（小题） (1) f′(x)-k>0(k≠0)型构造新函数g(x)＝f(x)-kx(k为常数)． (2) f′(x)＋f(x)>0型构造新函数 (3) f′(x)-f(x)>0型构造新函数g(x)＝ (4) xf′(x)＋kf(x)>0型构造新函数g(x)＝xf(x)(k为常数)． (5) 型构造新函数 (6) 型构造新函数 (7) 型构造新函数 (8) 型构造新函数 (9) 型构造新函数 (10) 型构造新函数 (11) 型构造新函数 2. 指对同构型 同构是在一个式子中除了变量不同，其余地方均相同的表达式（同结构，同形式），在函数、方程、数列、解析几何等均有应用，导数中常见： （1）型 使用恒等式 （2）型 使用恒等式 【典型例题】 例1.若函数在上可导，则 A． B． C． D． 例2.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例3.已知奇函数的导函数为，且在上恒有成立，则下列不等式成立的（    ） A． B． C． D． 【练习】 1.（单选题）定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2.（单选题）设函数是上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为 A． B． C． D． 3．（单选题）已知是自然对数的底数，，则（    ） A． B． C． D． 4.（多选题）已知函数满足，.则当时，下列说法中正确的是（    ） A． B．只有一个零点 C．有两个零点 D．有一个极大值 5.（填空题）已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则的解集为 . 6．（填空题）函数是定义在上的奇函数，其导函数记为，当时，恒成立，若，则不等式的解集为______． 7．（填空题）已知可导函数的导函数为，若对于任意的，都有，且，则不等式的解集为________． 8.（解答题）已知函数，若在上恒成立，求的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $