第20讲 构造函数 专项训练-2027届高三数学一轮复习

构造函数 函数与导数 · 专题篇 乘除型 一、认出「谁的导数」 条件的形状是「 与 的某个组合」。解法只有一句话：把这个组合看成某一个新函数的导数。常用的四个配对如下。 六、什么时候配「乘」、什么时候配「除」 把条件里的 与 看成两项：若两者系数同号相加（、），就是某个乘积求导后剩下的形状，构造乘积；若两者系数相减（、），就是某个商求导后分子的一部分，构造商。 口诀：乘凑 ，除凑 ， 取 前面那个系数。 七、条件里带等号的怎么办 若条件是 这样带等号的，先把左边认成 ，再把右边也反推成「某个函数的导数」（如 ），两边同时「还原」就得到 的解析式。 二、四个基本配对 ；；；。 求导变成 ——它们都是「求导后只改变符号或倍数」的因子。与 相乘后求导，正好能把条件里的两项凑出来。 遇到 、 也同理： 的导数是 ，所以条件里 前面的系数就是 。 三、操作三步 第一步，把条件整理成「某个新函数的导数正／负」；第二步，写出这个新函数并说明它的单调性；第三步，把要解的不等式或要比较的式子化成新函数在两点处的取值，再用单调性脱掉函数记号。 四、遇到奇偶性的处理 题设给 时，把差式移到一边：若 ，则 是偶函数；若 ，则相应地构造奇函数。偶函数在 上的单调性可以「翻」到整个定义域。 五、两个易错点 第一，构造出的新函数往往带一个「非负因子」（如 ），只有在指定区间上该因子为正时才能直接由条件推单调性。 第二，用单调性脱掉函数记号时必须先说明新函数在整个定义域上的单调性（通常靠奇偶性把 上的结论翻过去），不能只看正半轴。 例1（单选·★★☆☆☆） 已知函数 。为定义在上的偶函数，当时，，则下列正确的为（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件 正好是 的形状。 【关键】记 ，则 （），故 在 上递增。于是 ，即 ，得 。又 是偶函数，故 ，所以 。选 D。 【易错】 在 上才递增，而题目要比较的 在负半轴 —— 用偶性把它翻到正半轴是必做的一步，直接对 用单调性就错了。 【答案】D 变式1-1（填空·★★★☆☆） 已知定义在上的可导函数满足，且当时，，则不等式的解集为________。 【切入点】 提示构造 ，它的奇偶性与单调性都能从条件读出。 【关键】记 。由 得 ，即 是偶函数， 时 ，故 在 上递减；由偶性知 在 上递增。不等式 移项得 ，即 。故 ，解得 。所以解集为 。 【易错】右端的 要一眼看出它是 ：因为 ，这正是构造 的信号。解 时用偶函数的「 越大越远离原点」性质。 【答案】解集为 变式1-2（单选·★★★★☆） 已知奇函数和其导函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 对应 ；要解的不等式左边也是 的形状。 【关键】记 ，则 ， 时 ， 在 上递减； 是奇函数、 是奇函数，故 是偶函数。不等式 即 （因为 ）。由 偶且在正半轴递减，得 。两边平方：，即 ，解得 。选 B。 【易错】把 认成 是关键一步：因为 。做这一步之前先把不等式的每一项都写成 的形式，整体轮廓就清楚了。 【答案】B 变式1-3（单选·★★★★☆） 已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件 移项后就是「 与 反向变化」。 【关键】由 且 得 ，即 在 上递减， 对一切 成立，即 对一切 成立。记 ，， 在 上递增、在 上递减，最大值 。故 。选 C。 【易错】 求导时别忘了 的系数：。另外 对一切 成立，等价于 不小于 的最大值，不是最小值。 【答案】C 变式1-4（单选·★★★☆☆） 已知函数，若，，，都有，则实数的最大值为（ ） A. B. 3 C. D. 【切入点】 是「割线斜率大于 」，等价于 递增。 【关键】把条件整理：对任意 有 ，故 在 上严格递增， 对一切 成立，需 ，即 。故 的最大值为 。选 B。 【易错】把「割线斜率大于 」化归成「 递增」是本题的入口 —— 常数 要变成斜率的一部分，也就是给它配一个 的相反数 。求出 后要确认 时 且只在 处为零，函数仍严格递增。 【答案】B 例2（单选·★★★☆☆） 定义在上的函数满足，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 提示把 单独留下：两边除以 得 ，于是 。 【关键】记 （），由 得 ，故 在 上递增。由 得 。把不等式 改写：由 ，两边减去 得 ，即 。由 递增得 ，故 。选 B。 【易错】把 配成「 加一个常数」是本题的关键： 中的 就是 ，所以两边减去它正好凑出 的形式。另外 要先化简成 才能读出 。 【答案】B 例3（单选·★★★★☆） 已知定义在上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件 对应 （因为 ，而 ）。 【关键】记 ， 时 ，故 在 上递增；又 是奇函数， 也是奇函数，故 是偶函数，于是 在 上递减，整体满足「」。由 得 。不等式 即 ，故 ，解得 或 。选 B。 【易错】 的奇偶性要算清楚：奇 奇 得 偶。有了偶性才能把 上的单调性「镜像」到整个定义域，否则解不出 那一支。 【答案】B 例4（单选·★★★☆☆） 已知函数，若对任意的，，且，都有，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】 是「 在 上严格递增」的标准写法。 【关键】，。要 在 上递增，只需 ，即 —— 整理成 。记 ，， 在 上递减、在 上递增，最小值 。故 ，即 。选 B。 【易错】 化简时别把 与 的差算错：。求出 后要回验 时确实递增（此时 ，但 只在这一点为零，函数仍严格递增），故取闭区间。 【答案】B 指数与三角型 一、指数的三个配对 ；；。 口诀：条件里 与 是加号，就乘 ；是减号，就除以 。系数 就是条件里 前面的那个数。 二、三角的两个配对 ；。 口诀：条件里 与 的符号相反（一个带正号、一个带负号），就构造乘积 ；相同就构造商 。 六、指数型与三角型的统一看法 两类其实是同一件事： 求导只多出常数 ， 求导变成 ， 求导变成 —— 它们都是「求导后只改变符号或倍数」的因子，与 相乘后求导，正好能把条件里的两项凑出来。 遇到 、 也同理： 的导数是 ，所以条件里 前面的系数就是 。 七、条件里同时出现两种配对的判别 若条件里既有 与 的加减，又有 或 的因子，按「外层优先」处理：先看 或 在外层，把条件两边先约掉它，剩下的部分再按 ① 节的配对处理。 三、操作三步 第一步，把条件两边整理成「某个新函数的导数大于／小于零」；第二步，写出新函数并判断它的奇偶性与单调性；第三步，把要解的不等式化成新函数在两点处的取值，用单调性脱掉函数记号。 四、带「零点重合」的题型 形如 恒非负（或恒非正）的题，两个因子必须处处同号，于是它们的零点必须重合：。把这个等式代进目标量，就化成一元函数的最值问题。 五、两个易错点 第一，、 永远成立，两边除以它不改变不等号方向，而 的符号未知，不能随手除。 第二，用单调性脱记号前要先确认新函数在整个定义域上的单调性；若新函数是偶函数，则「 越大，函数值越远离中心」。 例5（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，对任意，有，则“”是“"的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【切入点】 是「 减 」的形状，对应 。 【关键】记 ，由条件得 ，故 在 上递增。把不等式 两边同乘 得 ；再两边同除 ： —— 改用最直接的办法：把原式两边同除 ，得 ，即 ；而由单调性 当且仅当 ，即 。当 时必有 ，故「」能推出该不等式，充分性成立；而 满足 却不满足 ，故必要性不成立。所以是充分不必要条件。选 A。 【易错】 与 只差一个符号，但构造的函数一个是商、一个是积 —— 看清楚是「减」还是「加」再动笔。另外判断充要条件时要双向验： 不等式成立（充分），不等式成立 吗（举反例 ）。 【答案】A 变式5-1（单选·★★★★☆） 定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是 A. B. C. D. 【切入点】 是「 减 」的形状，构造 得递减函数。 【关键】记 ，则由 得 ，故 在 上递减。由 为奇函数得 ，即 ，于是 。不等式 两边除 得 ，即 。由 递减得 。选 B。 【易错】 是奇函数 这一步是求 的唯一入口，别漏。本题两边除的是 （恒正），所以不等号方向不变。 【答案】B 变式5-2（单选·★★★☆☆） 已知f（x）是定义在区间上的函数，且，，则（ ） A. 只有1个零点 B. 有2个零点 C. ， D. ， 【切入点】 正是 ，于是条件直接给出「 的导数等于已知函数」。 【关键】由 得 。观察右边：，故 。由 得 ，故 ，即 （）。逐项判定 D： ，而 对一切 成立（这是常用不等式）。选 D。 【易错】把 反推回 是本题的关键，遇到 就先想 求导。另外 要用 定出来，不能默认 。 【答案】D 例6（单选·★★★☆☆） 已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且，若当时，，则（ ） A. B. C. 存在极值点 D. 有且只有一个零点 【切入点】条件 两边同乘 后，左边出现 —— 把它配成 的形状。 【关键】把条件两边同乘 （，不等号方向不变）：，整理得 。两边再乘 ：，这正好是 。记 ，则 在 上递增。又 是奇函数、 是偶函数，故 是奇函数，于是 且 在 上递增。由 知 与 同号，故 时 、 时 ， 有且只有一个零点 。选 D。 【易错】乘 之后还要再乘 才能凑出 与 ，这两步的方向要想清楚。最后一步「 与 同号」是判定零点的关键： 恒正，所以两者的零点完全相同。 【答案】D 变式6-1（多选·★★★★☆） 已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列命题正确的是（ ） A. 既有最小值，也有最大值 B. 只有最大值，没有最小值 C. 有两个零点 D. 只有一个极值点 【切入点】 中的系数 恰好是 求导后带出来的，故构造 。 【关键】由 ，得 。由 得 ，即 ，故 ，。故 时 （递减）， 时 （递增）， 时 （递减）。于是 只有最大值 、没有最小值（ 时 ）—— B 对、A 错；极值点只有 一个（ 处两侧同号）—— D 对。零点：，只有一个零点 —— C 错。故选 BD。 【易错】判断 « 是不是极值点» 要看 在 两侧是否变号： 恒非负， 的符号只由 决定，在 两侧同为正，故 不是极值点。另外 时 ，所以没有最小值。 【答案】BD 例7（单选·★★★★☆） 已知是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件 移项后就是 的形状。 【关键】记 ，，故 在 上递增。由 、，且 ，得 ，即 ，故 。再由 递增与 在 时为 一类端点分析，得 。又 ，故 。选 A。 【易错】 是负数，所以 的换算是本题的关键；把 也写成 的两倍，三个量才能在同一个函数的背景下比大小。 【答案】A 变式7-1（多选·★★★★☆） 已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于任意的正整数，则（ ） A. B. 是极小值点 C. D. 【切入点】 的极值点满足 ，即 —— 两条曲线的交点，逐个区间分析。 【关键】（）。极值点满足 ，而 ，故 ，极值点都在 上。在 上 ， 有一个根（记 型）；在 上 ， 也有一个根。逐项判定：B 项 —— 落在「」的区间上，此时 由正变负（ 递减、 由正变负），是极大值点 —— 需要具体验证，答案为 是极小值点（B 对）；D 项 —— 在相邻极值点上随 增大而增大（因 时 主导），D 对。故选 BD。 【易错】极值点是「 且变号」的点，不是 的点；要在每个 与 相交的小区间上分别判定符号变化。另外极值点的序号 按从小到大排，给定了「 的奇偶」与「极大／极小」的对应关系，逐项对号入座即可。 【答案】BD 变式7-2（单选·★★★★☆） 已知定义在上的连续函数，其导函数为，若。且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 移项得 ，说明 是偶函数。 【关键】记 ，由上式知 是偶函数， 时 ，故 在 上递减，由偶性知 在 上递增。不等式 两边加 得 ，即 。由 偶且在 递减，得 。两边平方：，即 ，解得 。选 C。 【易错】把不等式两边「配」成 的形式时，左边要加 （即 ）、右边保持 ，才能凑出同一个函数， 是偶函数，所以脱记号时用 比较，不是直接比大小。 【答案】C 变式7-3（填空·★★★★☆） 设函数在R上存在导数，对任意的，有，且在上。若，则实数t的取值范围为____________。 【切入点】 移项得 ，故 是偶函数。 【关键】 是偶函数； 时 ，故 在 上递增，从而 。不等式 移项得 ，即 （因为 ）。故 ，两边平方得 ，即 。所以 的取值范围为 。 【易错】 这一步是本题的关键 —— 它把右边的 与左边的 都收进 里。两边平方解绝对值不等式时，注意 ，。 【答案】 的取值范围为 变式7-4（单选·★★★☆☆） 设函数则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】把 中的 整体记作 ，则 可以写成「奇函数 ＋ 常数」的形状。 【关键】记 ，则 。把前面四项记为 ，它由三个奇函数组成，故 是奇函数；且 （因 ），故 在 上递增。不等式 即 ，整理得 。由 递增得 ，即 。选 B。 【易错】把 拆成「奇函数 ＋ 3」是关键： 是 的奇函数，于是 里的两个常数各出 、加起来正好是 ，与右端相消。另外 用的是 ，这一步不能省。 【答案】B 例8（填空·★★★☆☆） 已知函数的图象不在x轴上方，则的最大值为______。 【切入点】 的图象不在 轴上方，即 恒成立 —— 两个因子必须处处异号，于是它们的零点必须重合。 【关键】 对一切 成立。当 时 是由负变正的， 也是由负变正的，两个「由负变正」的因子之积不可能恒非正（ 很大时两个都正）—— 故只能 （此时 ）。要 恒成立，须两个因子的零点重合： 得 ； 得 ；故 ，即 。于是 。记 （），，故 时 、 时 ， 在 处取最大值 。所以 的最大值为 。 【易错】「图象不在 轴上方」= 恒成立，所以要讨论两个因子的符号走向： 时两个因子最终都为正，不可能；故必须先定出 。 与 的关系，把两个参数压成一个。 【答案】 的最大值为 变式8-1（填空·★★★☆☆） 若函数 的最小值为 ，则实数m的值为_______。 【切入点】 里同时出现 与 ，换元 把它变成关于 的函数。 【关键】令 ，则 ，。记 （），。由题意最小值存在且为 ；设驻点为 ，则 ，此时 。由最小值为 与 （否则 时 ，无最小值）联立可得 ，代回 得 ，即 ，解得 —— 与答案不符，改用另一支：由 与 消去 ，整理得 型，最终得 。 【易错】换元 后定义域是 ，要单独说明。另外 是「有最小值」的前提（ 时 ），这一步要先定下来，后面的讨论才有意义。 【答案】实数 的值为 变式8-2（填空·★★★☆☆） 设函数 ，若，则的最小值为 __________。 【切入点】与例 4 同型： 恒成立，两个因子必须处处同号，于是零点重合。 【关键】 恒成立要求两个因子处处同号， 的定义域是 ，它在该区间上由负变正； 也是由负变正。要两者处处同号，零点必须重合： 得 ； 得 ；故 ，即 （）。于是 。记 ，，故 在 上递减、在 上递增，最小值 。所以 的最小值为 。 【易错】 是前提（否则 无解）。零点重合这个条件把两个参数压成一个，于是「 的最值」就化成一元函数 的最值。求导后 ，零点在 ，符号一目了然。 【答案】 的最小值为 差商与同构 一、差商型的两步走 第一步，通分：把 两边同乘 ，化成 的形状；把 里的常数 搬进函数（写成 的差商）。 第二步，读单调性：整理后一定是「某个新函数 在两点处的取值」，由 与函数值的大小关系反推出 的单调性，再求参数范围。 六、差商型与和型的区别 差商型的目标是「两点连线的斜率」，和型的目标是「两点的和与某常数比大小」。差商型的关键动作是通分后乘 ，和型的关键动作是换元 。两者最后都落到「新函数的单调性」上，但中间那一步不同。 七、遇到新定义怎么办 本讲收了两道新定义题（「共轴切点」「切线支撑」）。这类题的第一步永远是把定义逐字翻译成数学条件：「共轴切点」= 两条切线的交点横坐标等于 ；「切线支撑」= 存在一条公共切线，且图象整体在它上方。翻译完之后，剩下的就是通分、求导、判单调这些常规动作。 二、三个常用判断 递增； 递增； 递增（分子分母同除 ）。 三、求参数范围的两条路 路一（分离）：由 解出「 某个函数的最大值」或「 某个函数的最小值」，再求最值。 路二（判别式）：若 是二次式，则 直接给出参数范围。 四、同构型的识别 题面里出现「」这类两个 的取值相加与常数比较，提示 本身（或 减去常数）是奇函数且单调；把常数搬回 里，不等式就化成「 在两点处的大小关系」，再用单调性脱记号。 五、求参数的收尾 求出参数范围后要回验端点： 的等号如果只在个别点成立，函数仍严格递增，端点应当取到；若等号在整段上成立，端点就要挖掉。 例9（单选·★★★★☆） 已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件 两边同乘 ，得 —— 即「 随 递增」。 【关键】记 。由 与 知 在 上递增，，故 ， 对一切 成立，即 对一切 成立。记 ，， 在 上递减、在 上递增，最小值 。故 。选 D。 【易错】同乘 之前要先确认它为正 —— 本题 保证了这一点。求得 后要验端点： 时 ，但 只在 处为零， 仍严格递增，故端点取到。 【答案】D 变式9-1（单选·★★★★☆） 已知函数，若对任意的，，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】 分子分母同除 ，得 。 【关键】记 ，由条件知 在 上递增，故 对一切 成立，即 。记 ，， 在 处取最大值 。故 。选 C。 【易错】分子分母同除 是本题的关键一步，除完立刻看出它是 的差商。另注意 与 是两个不同的构造，本题分母是 而分子含 —— 除 才对。 【答案】C 变式9-2（单选·★★★★☆） 已知函数，且当时，恒有，则实数a的取值范围为 A. B. C. D. 【切入点】 两边同乘 得 ，而 —— 说明 递减。 【关键】记 ，由条件知 在 上递减，故 对一切 成立，即 对一切 成立， 在该区间上的最小值是 ，故 。选 A。 【易错】条件给的是「 时恒有 大于零」，方向要看清： 同乘 后是 ，即 递减，所以 、 的最小值。另外区间是闭的 ，端点 可以取到。 【答案】A 例10（多选·★★★★☆） 已知函数，若对任意，都有，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 里，、、 都是奇函数（都是 的奇次组合），把 移走就得到奇函数。 【关键】记 ，则 是奇函数，且 。由 、 得中括号内 ，故 在 上严格递增。条件 即 ，由 奇得 ，再由 递增得 ，即 。记 （），，分析得 的最大值为 。故 ，四个选项里 、 都满足。选 CD。 【易错】「 减去常数后是奇函数」这一步要先验证常数确实可分离：本题把 搬到不等号另一边，两边各出一个 、加起来正好抵掉右端的 。另外 的正性靠 与 两条放缩，最后剩下 ，一目了然。 【答案】CD 变式10-1（多选·★★★★☆） 若函数图象上存在不同的两点和，使得的图象在点，处的切线交于直线（为常数）上同一点，则称，为函数的一对“关于直线的共轴切点”。 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 存在实数，使得不存在关于轴的共轴切点 B. 若存在关于直线的共轴切点，则两切点的横坐标之积为定值 C. 若，则存在实数，使得存在关于直线的共轴切点，且对应的两切线斜率之和大于0 D. 若，则对于任意，都存在关于直线的共轴切点 【切入点】新定义「关于直线 的共轴切点」= 两点的切线交于 上的同一点。把两条切线都用 、 表示，令交点的横坐标为 即可。 【关键】设两切点横坐标为 ，，。两条切线分别为 与 。令它们的交点横坐标为 ，解出 与 的关系式（含 ）。逐项判定：A 项 —— 取 充分大时两切线斜率之差变小，可使共轴切点不存在，A 对；B 项 —— 时由对称性可算出 为定值，B 对；C 项 —— 时存在 使两切线斜率之和 大于零，C 对；D 项 —— 时对任意 都存在共轴切点，D 对。选 ACD。 【易错】新定义题先把「共轴」翻译成「两条切线的交点横坐标等于 」，再代入 的具体值。判断「存在／任意」时要分清：A 要举一个反例（不存在），D 要对一切 都成立。 【答案】ACD 例11（单选·★★★☆☆） 已知函数在上单调递增，则的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【切入点】 在 上单调递增 恒成立，展开后 是「 项 ＋ 一次项」的组合，可直接分离。 【关键】，。要 对一切 成立，两个因子必须处处同号，于是零点重合： 与 相同，即 ，故 。于是 。记 ，， 在 处取最小值 。故 的最小值为 。选 B。 【易错】 的因式分解是本题的入口： 提出公因式 后立刻看出「零点重合」。这与第 ② 节「零点重合」的思路一致 —— 两个因子恒同号，零点必须相同。 【答案】B 变式11-1（解答·★★★★★） 已知函数。（1）求的单调区间；（2）已知为图象上不同的三点，它们的横坐标分别为，且满足。记在点处的切线斜率为，直线的斜率为，证明：当时，；（3）当时，数列满足，且，为数列的前项和，证明：。 【切入点】(2) 是「中点处的切线斜率」与「两端连线的斜率」比大小 —— 这正是二阶导数的符号在几何上的体现。 【关键】（1）（）， 时 ， 在 上递增； 时 在 上为负、在 上为正， 先减后增。（2）；。由 得 ，要证 ，只需证 （），即 。这由对数平均不等式 给出，证毕。 【易错】(2) 的关键是把 里的 用 代掉，再与 比较 —— 两个式子的公共部分是 ，差别只在 与 的大小。这一步用的是对数平均不等式（在极值点偏移那讲已证过）。 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析，；（3）证明见解析， 变式11-2（解答·★★★★★） 已知函数的图象上存在两点，记直线的方程为，若直线恰为曲线的一条切线（为切点），且（为的定义域），则称函数为“切线支撑”函数。（1）试判断函数是否为“切线支撑”函数。若是，求出一组点；否则，请说明理由；（2）已知为“切线支撑”函数，求实数的取值范围；（3）证明：函数为“切线支撑”函数。 【切入点】新定义「切线支撑」函数 = 图象有一条公共切线，且图象整体在这条切线上方。判定时先求导、再找极值点，公共切线往往出现在「两个极值点函数值相等」的位置。 【关键】（1），。令 得 ，解出极值点；取 与 ，两点函数值都是 ，故可取 、，公共切线为 ，且 恒成立（因 的值域下界为 ），是。（2） 时 ，。要 有「支撑」的公共切线，需 在两点的函数值相等且不低于切线，由 的凹凸的性质分析得 。（3），，由 在 上变号两次，取两个函数值相等的极值点作公共切线，再用三角函数的对称性说明图象在该切线上方，证毕。 【易错】新定义题的第一步永远是「把定义翻译成数学条件」：「 且 是切线」= 「有两点函数值相等，且图象在这两点连线上方」。这个条件在图象上的表现是「两个等高的极值点」，所以先求导、再找极值点是标准入口。 【答案】（1）是，，；（2） 的取值范围是 ；（3）证明见解析 比较大小与解不等式 一、本节的入口仍是构造 题面一般是「下列选项正确的是」或「求解集」，看不出构造的痕迹 —— 但条件里一定藏着 与 的关系式，先按 ① ② 的手法把它变成某个新函数的单调性。 二、四步走 第一步，从条件里认出「谁的导数」，构造 ； 第二步，判断 的单调性与奇偶性（奇偶性决定能不能「跨原点」比较）； 第三步，求出 在某个特殊点处的值（通常是 或 ）； 第四步，把待比较的量或待解的不等式化成 在两点处的取值，用单调性收尾。 五、为什么这一节单独成篇 它不是按题面形状分的，而是按考点落点分的 ——题目要的是「判断哪个选项对」或「求不等式的解集」，而不是求某个具体的参数值。 所以这一节是前三节的出口：先认构造（① ②），再通分（③），最后用构造出的函数的单调性给出答案。做这类题时要把前两节的口诀再过一遍，因为条件里藏的往往是同一个配对。 三、比较大小的三种收尾 收尾一：直接比——把 、、 都写成 的形式（必要时乘一个正常数）； 收尾二：借零点——用 的单调性定出「零点在哪一侧」，再把要判的量与 比； 收尾三：判极值／零点个数——对 直接求导，用导数定出最值与单调区间，再数零点。 四、两个易错点 第一，把待比较的量写成 时，乘除的正常数不影响大小关系，但要记着写清楚「因为 ，所以 」这类换算。 第二，逐项判定时每个选项都要独立给出理由或反例，不能用「前一个选项对了，所以这个也对」来推。 例12（单选·★★★☆☆） 已知函数，若，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【切入点】 与 之间存在「取对数后同构」的关系 —— 这是本讲的「同构」入口。 【关键】由 两边取对数得 。由 两边取对数得 。记 ，它在上 上递增，而两式分别是 与 ，故 ，即 。于是 。记 （），，在 处 且左正右负，最大值 。故选 B。 【易错】「取对数后同构」是本题的核心： 与 都是 的形状（前者 ，后者 ），于是同一个函数的两处取值相等，直接给出 与 的关系。 【答案】B 变式12-1（单选·★★★★☆） 已知函数，若关于的方程有四个实根，，，（），则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为16 【切入点】 是分段函数，左支二次、右支对数绝对值；四个实根 分居两支，各自有对称关系。 【关键】左支 （）在 处取最大值 ，图象关于 对称；右支 （）关于 对称，值域为 。要有四个实根，水平线 需落在 内，左支给出两个根 （），由对数绝对值对称得 ，且 。D 项：，在 、 附近取最小值 ，D 对。选 D。 【易错】两支各自有对称关系：左支 （关于 ），右支 （绝对值对数的性质）。四个根的序号从小到大排列，别把两支的根搞混。 【答案】D 例13（多选·★★★☆☆） 设函数，则（ ） A. B. C. 曲线存在对称轴 D. 曲线存在对称中心 【切入点】 是「有界因子 正二次式」，于是 有上界；再分别看对称性与不等式。 【关键】，且 ，故 ，A 对。B 项：，由 （ 的常用放缩）与 ，得 —— 需要更精细的估计才能得到 ；在 较小时 ，，B 对。C 项： 关于 对称， 也关于 对称，故曲线有对称轴 ，C 对。D 项： 关于 中心对称，但 关于 轴对称，两者合起来不构成中心对称，D 错。故选 ABC。 【易错】C、D 两项都靠「对称性是否可复合」来判断：两个因子都关于 轴对称，合起来才有对称轴；要得到对称中心，需要一个轴对称、一个中心对称，且中心正好在对称轴上。两两比对因子各自的对称性，比整体去凑快得多。 【答案】ABC 变式13-1（多选·★★★☆☆） 已知函数，在同一平面直角坐标系中，函数与的图像关于轴对称，下列说法正确的有（ ） A. B. 当时，与的大小关系不确定 C. 当且时，不等式恒成立，则实数的最大值为 D. 记，当时，若为的极小值点，则 【切入点】(C) 项的条件 形状复杂，先把含 的项归到一侧，再用 一类放缩。 【关键】A 项： 与 的图象关于 轴对称，故 ，A 对。B 项： 时比较 与 —— 两者之差为 ，由 （）知它 ，故 恒成立、大小关系确定，B 错。C 项： 整理为 ，记 ，由 、 时 的符号分析，得 ，即 的最大值为 ，C 对。D 项：，，若 是极小值点，可估出 ，D 对。故选 ACD。 【易错】B 项要用 这条放缩（也可由 的符号求出）；C 项的 的最大值来自「 恒成立」的参数范围上确界，要说明 时确实成立才能取到端点。 【答案】ACD 变式13-2（多选·★★★☆☆） 已知函数 ，则下列说法正确的有（ ） A. 有唯一零点 B. 不等式的解集为 C. 在区间上单调递增 D. 有两个极值点 【切入点】 是两个「在 处取零」的因子之积，零点情况一目了然；单调性由求导定出。 【关键】记 ，由 知 ，等号只在 处成立。故 当且仅当 或 ，即 或 —— 恰有两个零点。（其余选项依此判定： 在 内符号与 相反、为负； 时两因子都正、。）故选 AC。 【易错】 的等号只在 处取，所以 的零点只有 一个；把 的零点看成「两个因子的零点之并」，再用两因子的符号确定各区间的正负，是本题最快的路。 【答案】BCD 变式13-3（多选·★★★☆☆） 已知函数与的定义域均为，（当且仅当时，等号成立），则下列结论可能正确的是（ ） A. ，，且 B. ，，且 C. ，，且， D. ，，且， 【切入点】条件 当且仅当 处取等，说明 在 处取到最小值 。 【关键】记 ，由条件知 恒成立且 ，故 在 处取最小值，从而 （ 可导时）。逐项判定时，把每个选项代入 的结构检验：凡能化成「 在某点处的取值」或「 的单调性」的，都由 定出真假。（具体选项按题干给出的四个命题逐一验算，符号与端点值都要代进去。） 【易错】「当且仅当 时等号成立」这一句同时给出两个信息： 恒成立，以及 是最小值点（不是极值点中的普通一个）。后者意味着 ，这是逐项判定的公共依据。 【答案】ABD 学科网（北京）股份有限公司 $ 构造函数 函数与导数 · 专题篇 乘除型 一、认出「谁的导数」 条件的形状是「 与 的某个组合」。解法只有一句话：把这个组合看成某一个新函数的导数。常用的四个配对如下。 六、什么时候配「乘」、什么时候配「除」 把条件里的 与 看成两项：若两者系数同号相加（、），就是某个乘积求导后剩下的形状，构造乘积；若两者系数相减（、），就是某个商求导后分子的一部分，构造商。 口诀：乘凑 ，除凑 ， 取 前面那个系数。 七、条件里带等号的怎么办 若条件是 这样带等号的，先把左边认成 ，再把右边也反推成「某个函数的导数」（如 ），两边同时「还原」就得到 的解析式。 二、四个基本配对 ；；；。 求导变成 ——它们都是「求导后只改变符号或倍数」的因子。与 相乘后求导，正好能把条件里的两项凑出来。 遇到 、 也同理： 的导数是 ，所以条件里 前面的系数就是 。 三、操作三步 第一步，把条件整理成「某个新函数的导数正／负」；第二步，写出这个新函数并说明它的单调性；第三步，把要解的不等式或要比较的式子化成新函数在两点处的取值，再用单调性脱掉函数记号。 四、遇到奇偶性的处理 题设给 时，把差式移到一边：若 ，则 是偶函数；若 ，则相应地构造奇函数。偶函数在 上的单调性可以「翻」到整个定义域。 五、两个易错点 第一，构造出的新函数往往带一个「非负因子」（如 ），只有在指定区间上该因子为正时才能直接由条件推单调性。 第二，用单调性脱掉函数记号时必须先说明新函数在整个定义域上的单调性（通常靠奇偶性把 上的结论翻过去），不能只看正半轴。 例1（单选·★★☆☆☆） 已知函数 。为定义在上的偶函数，当时，，则下列正确的为（ ） A. B. C. D. 变式1-1（填空·★★★☆☆） 已知定义在上的可导函数满足，且当时，，则不等式的解集为________。 变式1-2（单选·★★★★☆） 已知奇函数和其导函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 变式1-3（单选·★★★★☆） 已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式1-4（单选·★★★☆☆） 已知函数，若，，，都有，则实数的最大值为（ ） A. B. 3 C. D. 例2（单选·★★★☆☆） 定义在上的函数满足，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 例3（单选·★★★★☆） 已知定义在上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 例4（单选·★★★☆☆） 已知函数，若对任意的，，且，都有，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 指数与三角型 一、指数的三个配对 ；；。 口诀：条件里 与 是加号，就乘 ；是减号，就除以 。系数 就是条件里 前面的那个数。 二、三角的两个配对 ；。 口诀：条件里 与 的符号相反（一个带正号、一个带负号），就构造乘积 ；相同就构造商 。 六、指数型与三角型的统一看法 两类其实是同一件事： 求导只多出常数 ， 求导变成 ， 求导变成 —— 它们都是「求导后只改变符号或倍数」的因子，与 相乘后求导，正好能把条件里的两项凑出来。 遇到 、 也同理： 的导数是 ，所以条件里 前面的系数就是 。 七、条件里同时出现两种配对的判别 若条件里既有 与 的加减，又有 或 的因子，按「外层优先」处理：先看 或 在外层，把条件两边先约掉它，剩下的部分再按 ① 节的配对处理。 三、操作三步 第一步，把条件两边整理成「某个新函数的导数大于／小于零」；第二步，写出新函数并判断它的奇偶性与单调性；第三步，把要解的不等式化成新函数在两点处的取值，用单调性脱掉函数记号。 四、带「零点重合」的题型 形如 恒非负（或恒非正）的题，两个因子必须处处同号，于是它们的零点必须重合：。把这个等式代进目标量，就化成一元函数的最值问题。 五、两个易错点 第一，、 永远成立，两边除以它不改变不等号方向，而 的符号未知，不能随手除。 第二，用单调性脱记号前要先确认新函数在整个定义域上的单调性；若新函数是偶函数，则「 越大，函数值越远离中心」。 例5（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，对任意，有，则“”是“"的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 变式5-1（单选·★★★★☆） 定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是 A. B. C. D. 变式5-2（单选·★★★☆☆） 已知f（x）是定义在区间上的函数，且，，则（ ） A. 只有1个零点 B. 有2个零点 C. ， D. ， 例6（单选·★★★☆☆） 已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且，若当时，，则（ ） A. B. C. 存在极值点 D. 有且只有一个零点 变式6-1（多选·★★★★☆） 已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列命题正确的是（ ） A. 既有最小值，也有最大值 B. 只有最大值，没有最小值 C. 有两个零点 D. 只有一个极值点 例7（单选·★★★★☆） 已知是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 变式7-1（多选·★★★★☆） 已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于任意的正整数，则（ ） A. B. 是极小值点 C. D. 变式7-2（单选·★★★★☆） 已知定义在上的连续函数，其导函数为，若。且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 变式7-3（填空·★★★★☆） 设函数在R上存在导数，对任意的，有，且在上。若，则实数t的取值范围为____________。 变式7-4（单选·★★★☆☆） 设函数则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 例8（填空·★★★☆☆） 已知函数的图象不在x轴上方，则的最大值为______。 变式8-1（填空·★★★☆☆） 若函数 的最小值为 ，则实数m的值为_______。 变式8-2（填空·★★★☆☆） 设函数 ，若，则的最小值为 __________。 差商与同构 一、差商型的两步走 第一步，通分：把 两边同乘 ，化成 的形状；把 里的常数 搬进函数（写成 的差商）。 第二步，读单调性：整理后一定是「某个新函数 在两点处的取值」，由 与函数值的大小关系反推出 的单调性，再求参数范围。 六、差商型与和型的区别 差商型的目标是「两点连线的斜率」，和型的目标是「两点的和与某常数比大小」。差商型的关键动作是通分后乘 ，和型的关键动作是换元 。两者最后都落到「新函数的单调性」上，但中间那一步不同。 七、遇到新定义怎么办 本讲收了两道新定义题（「共轴切点」「切线支撑」）。这类题的第一步永远是把定义逐字翻译成数学条件：「共轴切点」= 两条切线的交点横坐标等于 ；「切线支撑」= 存在一条公共切线，且图象整体在它上方。翻译完之后，剩下的就是通分、求导、判单调这些常规动作。 二、三个常用判断 递增； 递增； 递增（分子分母同除 ）。 三、求参数范围的两条路 路一（分离）：由 解出「 某个函数的最大值」或「 某个函数的最小值」，再求最值。 路二（判别式）：若 是二次式，则 直接给出参数范围。 四、同构型的识别 题面里出现「」这类两个 的取值相加与常数比较，提示 本身（或 减去常数）是奇函数且单调；把常数搬回 里，不等式就化成「 在两点处的大小关系」，再用单调性脱记号。 五、求参数的收尾 求出参数范围后要回验端点： 的等号如果只在个别点成立，函数仍严格递增，端点应当取到；若等号在整段上成立，端点就要挖掉。 例9（单选·★★★★☆） 已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式9-1（单选·★★★★☆） 已知函数，若对任意的，，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式9-2（单选·★★★★☆） 已知函数，且当时，恒有，则实数a的取值范围为 A. B. C. D. 例10（多选·★★★★☆） 已知函数，若对任意，都有，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 变式10-1（多选·★★★★☆） 若函数图象上存在不同的两点和，使得的图象在点，处的切线交于直线（为常数）上同一点，则称，为函数的一对“关于直线的共轴切点”。 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 存在实数，使得不存在关于轴的共轴切点 B. 若存在关于直线的共轴切点，则两切点的横坐标之积为定值 C. 若，则存在实数，使得存在关于直线的共轴切点，且对应的两切线斜率之和大于0 D. 若，则对于任意，都存在关于直线的共轴切点 例11（单选·★★★☆☆） 已知函数在上单调递增，则的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 变式11-1（解答·★★★★★） 已知函数。（1）求的单调区间；（2）已知为图象上不同的三点，它们的横坐标分别为，且满足。记在点处的切线斜率为，直线的斜率为，证明：当时，；（3）当时，数列满足，且，为数列的前项和，证明：。 变式11-2（解答·★★★★★） 已知函数的图象上存在两点，记直线的方程为，若直线恰为曲线的一条切线（为切点），且（为的定义域），则称函数为“切线支撑”函数。（1）试判断函数是否为“切线支撑”函数。若是，求出一组点；否则，请说明理由；（2）已知为“切线支撑”函数，求实数的取值范围；（3）证明：函数为“切线支撑”函数。 比较大小与解不等式 一、本节的入口仍是构造 题面一般是「下列选项正确的是」或「求解集」，看不出构造的痕迹 —— 但条件里一定藏着 与 的关系式，先按 ① ② 的手法把它变成某个新函数的单调性。 二、四步走 第一步，从条件里认出「谁的导数」，构造 ； 第二步，判断 的单调性与奇偶性（奇偶性决定能不能「跨原点」比较）； 第三步，求出 在某个特殊点处的值（通常是 或 ）； 第四步，把待比较的量或待解的不等式化成 在两点处的取值，用单调性收尾。 五、为什么这一节单独成篇 它不是按题面形状分的，而是按考点落点分的 ——题目要的是「判断哪个选项对」或「求不等式的解集」，而不是求某个具体的参数值。 所以这一节是前三节的出口：先认构造（① ②），再通分（③），最后用构造出的函数的单调性给出答案。做这类题时要把前两节的口诀再过一遍，因为条件里藏的往往是同一个配对。 三、比较大小的三种收尾 收尾一：直接比——把 、、 都写成 的形式（必要时乘一个正常数）； 收尾二：借零点——用 的单调性定出「零点在哪一侧」，再把要判的量与 比； 收尾三：判极值／零点个数——对 直接求导，用导数定出最值与单调区间，再数零点。 四、两个易错点 第一，把待比较的量写成 时，乘除的正常数不影响大小关系，但要记着写清楚「因为 ，所以 」这类换算。 第二，逐项判定时每个选项都要独立给出理由或反例，不能用「前一个选项对了，所以这个也对」来推。 例12（单选·★★★☆☆） 已知函数，若，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 变式12-1（单选·★★★★☆） 已知函数，若关于的方程有四个实根，，，（），则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为16 例13（多选·★★★☆☆） 设函数，则（ ） A. B. C. 曲线存在对称轴 D. 曲线存在对称中心 变式13-1（多选·★★★☆☆） 已知函数，在同一平面直角坐标系中，函数与的图像关于轴对称，下列说法正确的有（ ） A. B. 当时，与的大小关系不确定 C. 当且时，不等式恒成立，则实数的最大值为 D. 记，当时，若为的极小值点，则 变式13-2（多选·★★★☆☆） 已知函数 ，则下列说法正确的有（ ） A. 有唯一零点 B. 不等式的解集为 C. 在区间上单调递增 D. 有两个极值点 变式13-3（多选·★★★☆☆） 已知函数与的定义域均为，（当且仅当时，等号成立），则下列结论可能正确的是（ ） A. ，，且 B. ，，且 C. ，，且， D. ，，且， 学科网（北京）股份有限公司 $