福建省厦门市集美中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题

2023年11月集美中学高三上学期期中考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1.  若，则（       ） A． B． C． D． 2. 若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（       ）  A． B． C． D． 3.  已知是角的终边上一点，，则（       ） A． B． C． D． 4.若在区间上单调递增，则可以是（       ） A． B． C． D． 5. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为（       ） A． B． C． D． 6. 已知定义在上的偶函数满足，则下列说法正确的是（       ） A． B．函数的一个周期为2 C． D．函数的图象关于直线对称 7.在梯形中，，，，，若点在线段上，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 8.函数，则直线与的图象的所有交点的横坐标之和为（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分． 9.已知函数，则下列结论正确的是（       ） A． B．为增函数 C．的值域为 D．方程最多有两个解 10. 若，，则下面有几个结论正确的有（       ） A．若，，则 B． C．若，则 D．若，则 11. 北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候､全天时､高精度､高定位､导航､授时服务，2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数近似模拟其信号，则下列结论中正确的是（       ） A．函数的最小正周期为 B．函数图象的一条对称轴是 C．函数的图象关于点对称 D．若，则的最小值为 12.在直三棱柱中，，，点分别是，的中点，则下列说法正确的是（       ） A．平面 B．异面直线与所成的角为 C．若点是的中点，则平面截直三棱柱所得截面的周长为 D．点是底面三角形内一动点（含边界），若二面角的余弦值为，则动点的轨迹长度为 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.  已知向量，，则与的夹角为  . 14.在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且，则的长为  . 15. 已知函数满足，则的解析式可以是  .（写出满足条件的一个解析式即可） 16.  设函数在区间内有零点，无极值点，则的取值范围是  ． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.  已知全集，集合， (1) 若，求； (2) 若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 18.  已知（是第四象限角）是方程的根． (1) 求的值； (2) ，求的值． 19.  在中，内角，，的对边分别为，，，已知. (1) 证明：； (2) 点是线段上靠近点的三等分点，且，求的周长. 20.  已知函数. (1) 若曲线在处切线与轴平行，求； (2) 若在处取得极大值，求的取值范围. 21.  如图所示，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，平面，，是棱上的动点. (1) 当是棱的中点时，求证：平面； (2) 若，，求点到平面距离的范围. 22.  已知函数. (1) 讨论的单调性； (2) 当时，，求实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年11月集美中学高三上学期期中考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1.  若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 　　先对化简求出复数，再求复数的模即可 　　由已知可得，所以． 　　故选：C． 2. 若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（       ） 　　    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 　　利用集合的描述法计算两个集合A、B，根据韦恩图计算即可. 　　由题意可知，即， 　　又，故阴影部分为. 　　故选：D 3. 已知是角的终边上一点，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 　　根据三角函数的定义求出的值，再根据三角函数的定义进行求值即可. 　　由三角函数的定义知: 　　， 　　所以. 　　故选：A. 4.若在区间上单调递增，则可以是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 　　根据复合函数的单调性可知函数在上单调递减，且过原点，进而得在上单调递增，即可求解. 　　函数在R上单调递减，函数在上单调递增， 　　又函数的定义域为， 　　所以函数在上单调递减，且过原点， 　　所以函数在上单调递减，在上单调递增. 　　故选：D. 5. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为（       ） A． B． C． D． 【答案】 【解析】 　　结合图像，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解. 　　如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高， 　　    　　因为， 　　则， 　　故，则， 　　所以所求体积为. 　　故答案为：. 　　 6. 已知定义在上的偶函数满足，则下列说法正确的是（       ） A． B．函数的一个周期为2 C． D．函数的图象关于直线对称 【答案】C 【解析】 　　根据已知等式判断函数的对称性，结合偶函数的性质判断函数的周期，最后逐一判断即可. 　　函数关于点中心对称，因此选项D不正确； 　　又因为函数为偶函数，所以， 　　由， 　　所以函数的周期为，所以选项B不正确； 　　因为函数是周期为的偶函数， 　　所以，因此选项A不正确； 　　在中，令，得， 　　因为函数的周期为，因此选项C正确， 　　故选：C 7.在梯形中，，，，，若点在线段上，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 　　根据，，，，建立空间直角坐标系， 　　设，得到，再求得的坐标，利用数量积的坐标运算求解. 　　建立如图所示平面直角坐标系： 　　    　　因为，，，， 　　所以， 　　设　　所以， 　　所以，， 　　所以， 　　当时，的最小值为， 　　故选：B. 8.函数，则直线与的图象的所有交点的横坐标之和为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 　　由题意作出和的图象即可求解. 　　令，得， 　　令 　　故在和上是单调递增函数， 　　令，得， 　 的图象可由的图象向右平移1个单位长度得到， 　　易知和的图象都关于中心对称， 　　在同一个坐标系作出和的图象如图所示： 　　 　　易知它们有两个交点，且关于中心对称， 　　所以. 　　故选：A 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列结论正确的是（       ） A． B．为增函数 C．的值域为 D．方程最多有两个解 【答案】ACD 【解析】 　　根据给定的分段函数，计算判断AB；分段求出函数值集合判断C；结合函数图象判断D作答. 　　对于A，显然，，则，A正确； 　　对于B，显然，，有，B错误； 　　对于C，当时，，当时，，因此的值域为，C正确； 　　对于D，如图，当时，方程无解；当时，方程有两个解； 　　        　　当时，方程有一个解，因此方程最多有两个解，D正确. 　　故选：ACD 10. 若，，则下面有几个结论正确的有（       ） A．若，，则 B． C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【解析】 　　根据基本不等式，对选项逐一分析即可. 　　对于A：当0<1,b>1时，，即，故A不正确； 　　对于B：若，，由基本不等式得:，即有　　即，故，当且仅当“”时取等号，故B正确； 　　对于C：由，，， 　　所以， 　　当且仅当，即时取等号，故C正确； 　　对于D：由，，，即有， 　　根据基本不等式有：，当且仅当，即时取等号，故D正确. 　　综上：BCD正确. 　　故选：BCD. 　　本题考查基本不等式，应用基本不等时：“一正，二定，三相等”缺一不可，属于基础题． 11.北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候､全天时､高精度､高定位､导航､授时服务，2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数近似模拟其信号，则下列结论中正确的是（       ） A．函数的最小正周期为 B．函数图象的一条对称轴是 C．函数的图象关于点对称 D．若，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】先求出周期性，通过正弦函数的性质可判断A；根据判断B正确；根据点关于点对称的点不在函数图象上，判断C不正确；根据函数的最大值，结合推出，再根据的最小正周期为可得的最小值为，可得D正确. 　　对于A，因为的最小正周期为， 　　而向右平移单位可得，故函数的最小正周期为，故A正确； 　　对于B，因为，所以函数图象的一条对称轴是，故B正确； 对于C，在的图象上取一点，其关于点对称的点不在的图象上，所以函数的图象不关于点对称，故C不正确； 　　对于D，因为，所以， 　　因为由A知，函数的最小正周期为，所以，故D正确. 　　故选：ABD 12.在直三棱柱中，，，点分别是，的中点，则下列说法正确的是（       ） A．平面 B．异面直线与所成的角为 C．若点是的中点，则平面截直三棱柱所得截面的周长为 D．点是底面三角形内一动点（含边界），若二面角的余弦值为，则动点的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 　　利用直线和平面垂直的性质定理证明平面，利用交线法找出截面，利用平行关系找出异面直线与所成的角，选项D可以先在上找一点满足题意，再找到平面与直三棱柱的截面，即可找到点在底面的轨迹. 　　选项A，由已知得△为等腰直角三角形，是的中点，则， 　　∵为直三棱柱，∴平面，∵平面， 　　∴， 　　∵平面，，∴平面，∴， 　　设与交于点，其中，， 　　∵∽，，， 　　∵，∴， 　　∵平面，，∴平面，故选项A正确； 　　    　　选项B，过点作的平行线，则角为异面直线与所成的角， 　　因为平面，且∥，所以平面，所以， 　　所以，因为异面直线所成的角， 　　所以，故异面直线与所成的角为，故选项B不正确； 　　    　　选项C ，延长交和的延长线于点，连接交于点，连接， 　　则四边形为平面BNP截直三棱柱所得的截面， 　　由已知得， 　　由∽，则，即， 　　由∽，则，即， 　　由余弦定理可知，解得， 　　其周长为，故选项C正确； 　　    　　选项 D， 若上存在一点使二面角的余弦值为，连接和， 　　因为平面，∴，， 　　∴二面角的平面角为，即， 　　设，则，， 　　在中由余弦定理得 　　， 　　在△中由余弦定理得， 　　，解得， 　　过作的垂线，连接，过作的平行线交于点，则， 　　所以截面为直三棱柱的截面， 　　所以符合题意的的轨迹长度为线段的长，所以，故选项D正确； 　　    　　故选：ACD. 　　关键点睛：本题第4小问的解决关键是利用二面角的定义求得，从而推得，进而得到的轨迹长度为的长，从而得解. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.已知向量，，则与的夹角为  . 【答案】 【解析】 　　求出向量的坐标，再利用向量夹角公式求解作答. 　　由向量，，得， 　　则，，， 　　因此，而，所以. 　　故答案为： 14.在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且，则的长为  . 【答案】 【解析】 　　利用向量的线性运算及数量积公式，结合向量的模公式即可求解. 　　在平行六面体中，如图所示 　　    　　所以， 　　因为，, 　　所以，， 　　， 　　所以　　. 　　故答案为：. 15.已知函数满足，则的解析式可以是  .（写出满足条件的一个解析式即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 　　利用待定系数法求解即可，若设，然后代入化简求出即可. 　　若设，则由， 　　得，解得， 　　所以， 　　故答案为：（答案不唯一） 16. 设函数在区间内有零点，无极值点，则的取值范围是  ． 【答案】 【解析】 先得到，根据题目条件得到不等式，求出，故，，分两种情况，得到不等式，求出答案。 ， 因为函数在区间内有零点，无极值点，故，解得 则，，要想满足要求，则 或 解得或 故的取值范围是 故答案为： 本题考查三角函数的性质，综合性强，难度比较大，属于难题. 四、解答题 17.  已知全集，集合， (1) 若，求； 【答案】 【解析】 　　由，得， 　　所以， 　　又， 　　则当时，， 　　所以. (2) 若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】 　　若“”是“”的充分不必要条件,则, 　　则有， 　　所以实数的取值范围是 18.  已知（是第四象限角）是方程的根． (1) 求的值； 【答案】. 【解析】 　　方程，解得，， 　　由，得， 　　当在第四象限时， ， (2) ，求的值． 【答案】 【解析】 　　因为是第四象限角，则，， 　　由，则， 　　所以　　　　　　. 19.  在中，内角，，的对边分别为，，，已知. (1) 证明：； 【答案】证明见解析 【解析】 　　因为， 　　所以， 　　所以　　即， 　　由正弦定理得：. (2) 点是线段上靠近点的三等分点，且，求的周长. 【答案】 【解析】 　　因为点是线段靠近点的三等分点， 　　所以，所以， 　　则. 　　由余弦定理得：. 　　由（1）知，，则， 　　所以， 　　解得，则， 　　所以的周长为. 20.  已知函数. (1) 若曲线在处切线与轴平行，求； 【答案】1 【解析】 　　因为， 　　所以， 　　因为曲线在处切线与轴平行， 　　所以，解得， 　　又，所以. (2) 若在处取得极大值，求的取值范围. 【答案】 【解析】 　　的定义域为，， 　　①当时，令，得，令，得， 　　在上单调递增，在上单调递减. 　　在处取得极大值，满足题意； 　　②当时，令，得，令，得， 　　在上单调递增，在上单调递减. 　　在处取得极大值，满足题意； 　　③当时， 　　（i）当时，　　所以在上单调递增，无极值，不满足题意； 　　（ii）当时，， 　　令，得，令，得或. 　　在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 　　在处取得极小值，不满足题意； 　　（iii）当时，， 　　令，得，令，得或. 　　在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 　　在处取得极大值，满足题意； 　　综上所述，的取值范围为. 21.  如图所示，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，平面，，是棱上的动点. 　　       (1) 当是棱的中点时，求证：平面； 【答案】证明见解析 【解析】 　　证明：因为平面，平面，且平面平面，所以. 　　取的中点，连接、， 　　因为是棱的中点，所以，且， 　　因为且，所以，且， 　　所以，四边形为平行四边形，则， 　　因为平面，平面，所以平面. (2) 若，，求点到平面距离的范围. 【答案】 【解析】 　　解：取的中点，连接. 　　因为是正三角形，所以. 　　又因为平面平面，平面平面，平面， 　　所以，平面， 　　因为，，为的中点，所以，且， 　　所以，四边形为平行四边形，则， 　　因为，则， 　　以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 　　    　　则、、、，所以， 　　设，其中， 　　则， 　　设平面的法向量， 　　所以， 　　令，得， 　　设点到平面距离为，. 　　当时，； 　　当时，，则， 　　当且仅当时等号成立. 　　综上，点到平面距离的取值范围是. 22.  已知函数. (1) 讨论的单调性； 【答案】答案见解析 【解析】 　　依题意，得. 　　当时，，所以在单调递增. 　　当时，令，可得； 　　令，可得， 　　所以在单调递增，在单调递减. 　　综上所述，当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减. (2) 当时，，求实数a的取值范围. 【答案】 【解析】 　　因为当时，，所以， 　　即， 　　即， 　　即. 　　令，则有对恒成立. 　　因为，所以在单调递增，                  　　故只需， 　　即对恒成立. 　　令，则，令，得. 　　当时，，当时，， 　　所以在单调递增，在单调递减， 　　所以. 　　因此，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $