第二十五章 一元二次方程 单元复习易错题专项训练（一） 2026-2027学年人教版九年级数学上册

2026-2027学年九年级上册数学单元自测(人教版专用) 第二十五章 一元二次方程 易错题专项训练（一） 建议用时：60分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.一元二次方程配方后得到的方程是(     ) A. B. C. D. 2.已知一元二次方程的两个解恰好分别是等腰的底边长和腰长，则的周长为(     ) A. B. C. D. 或 3.把一元二次方程化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是(     ) A. ， B. ， C. ， D. ， 4.一元二次方程的根的情况是(     ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5.秋冬季是流感的高发季节，应养成勤洗手、戴口罩、常通风等良好卫生习惯，有效预防流感若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了几个人设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，可列方程为(     ) A. B. C. D. 6.已知关于的一元二次方程的两个实数根是，，且，则的值是(     ) A. B. C. D. 7.关于的方程的两个根，满足，且，则的值为  (     ) A. B. C. D. 8.已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是(     ) A. B. C. D. 9.李师傅从市场上买了一块长、宽的矩形铁皮，准备制作一个工具箱如图，他将铁皮的四个角各剪掉一个边长的正方形后，剩余部分刚好能焊接成一个底面积为的无盖工具箱，根据题意可列方程为(     ) A. B. C. D. 10.若关于的方程有实数根，则的取值范围是     ． A. 且 B. 且 C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.已知关于的一元二次方程，若是方程的一个根，则方程的另一根是           ． 12.若关于的一元二次方程没有一次项，则          ． 13.已知是关于的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根为           ． 14.一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了次手，这次会议到会的人数是           人 15.已知方程的两根分别是和，则代数式的值为           ． 16.我们定义一种新运算：对于任意实数，，规定，若关于的方程为常数有两个相等的实数根，则的值为           ． 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 17.解下列方程： ． 四、解答题：本题共4小题，共42分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.本小题分某品牌汽车第一季度的销售量为万辆，第二季度的销售量下降了，经销商从第三季度起加强管理，改善经营，使销售量稳步上升，第三、四季度的销售量共达到了万辆． 求第二季度的销售量 求第三、四季度的销售量的平均增长率． 19.本小题分如图，在长为米、宽为米的矩形空地上修建同样宽的道路阴影部分，余下的部分为草坪，要使草坪的面积为平方米，求道路的宽为多少？ 20.本小题分已知是关于的一元二次方程． 求证：方程总有两个不相等的实数根； 若该方程的两个实数根分别为，，且，求实数的值． 21.本小题分 综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做收纳盒． 【任务要求】 任务一：如图，设计无盖长方体收纳盒在长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒． 任务二：如图，设计有盖长方体收纳盒在另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． 【问题解决】 若任务一中设计的收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长． 若任务二中设计的收纳盒的底面积为，求该收纳盒的高． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(人教版专用) 第二十六章 二次函数 易错题专项训练（一） 建议用时：60分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.一元二次方程配方后得到的方程是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  2.已知一元二次方程的两个解恰好分别是等腰的底边长和腰长，则的周长为(    ) A. B. C. D. 或 【答案】D  3.把一元二次方程化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C  4.一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A  5.秋冬季是流感的高发季节，应养成勤洗手、戴口罩、常通风等良好卫生习惯，有效预防流感若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了几个人设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，可列方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  6.已知关于的一元二次方程的两个实数根是，，且，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由题意可知：，， ， ， 解得：， ， ， 解得：， 故选：． 先利用根与系数的关系得到，，再根据，求出，，即可求解．本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 7.关于的方程的两个根，满足，且，则的值为  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  8.已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  9.李师傅从市场上买了一块长、宽的矩形铁皮，准备制作一个工具箱如图，他将铁皮的四个角各剪掉一个边长的正方形后，剩余部分刚好能焊接成一个底面积为的无盖工具箱，根据题意可列方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  10.若关于的方程有实数根，则的取值范围是     ． A. 且 B. 且 C. D. 【答案】D  第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.已知关于的一元二次方程，若是方程的一个根，则方程的另一根是          ． 【答案】  【解析】设方程的另一根为，由根与系数的关系得，解得． 12.若关于的一元二次方程没有一次项，则          ． 【答案】  13.已知是关于的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根为          ． 【答案】  14.一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了次手，这次会议到会的人数是          人 【答案】  15.已知方程的两根分别是和，则代数式的值为          ． 【答案】  16.我们定义一种新运算：对于任意实数，，规定，若关于的方程为常数有两个相等的实数根，则的值为          ． 【答案】或  三、计算题：本大题共1小题，共10分。 17.解下列方程： ． 【答案】 (1)解:a=1,b=3,c=-2, =-4ac=9+8=17>. x==. =,=. (2)因式分解,得(x-2)(x-2+x)=0, 即(x-2)(2x-2)=. x-2=0或2x-2=. =2,=. 四、解答题：本题共4小题，共42分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.本小题分 某品牌汽车第一季度的销售量为万辆，第二季度的销售量下降了，经销商从第三季度起加强管理，改善经营，使销售量稳步上升，第三、四季度的销售量共达到了万辆． 求第二季度的销售量 求第三、四季度的销售量的平均增长率． 【答案】 (1)解：(1-20%)=80%=50(万辆). 答:第二季度的销售量为50万辆; (2)设第三、四季度销售的平均增长率为x. 依题意,得50(1+x)+50=132, 解得==20%,=-(不合题意,舍去). 答:第三、四季度销售量的平均增长率为20%. 19.本小题分 如图，在长为米、宽为米的矩形空地上修建同样宽的道路阴影部分，余下的部分为草坪，要使草坪的面积为平方米，求道路的宽为多少？ 【答案】 解：设道路的宽为米，根据题意，得 ， 整理得， 解得舍去或． 答：道路宽为米．   20.本小题分 已知是关于的一元二次方程． 求证：方程总有两个不相等的实数根； 若该方程的两个实数根分别为，，且，求实数的值． 【答案】 (1) 证明：由题意可知Δ＝b2-4ac＝(a+3)2-4×1×(a+1)＝a2+6a+9-4a-4＝a2+2a+5＝(a+1)2+4＞0，  故方程总有两个不相等的实数根．  (2)解：由题意可知x1+x2＝-(a+3)，x1·x2＝a+1． ∵(x1-2)(x2-2)＝2， ∴x1·x2-2x1-2x2+4＝2， ∴x1·x2-2(x1+x2)+4＝2， ∴a+1-2[-(a+3)]+4＝2， 解得a＝-3． ∴实数a的值为-3．  21.本小题分 综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做收纳盒． 【任务要求】 任务一：如图，设计无盖长方体收纳盒在长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒． 任务二：如图，设计有盖长方体收纳盒在另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． 【问题解决】 若任务一中设计的收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长． 若任务二中设计的收纳盒的底面积为，求该收纳盒的高． 【答案】 (1)设剪去的小正方形的边长为xcm. 由题意得(100-2x)(40-2x)=1600, 解得=10,=60(不符合题意,舍去). 答:剪去的小正方形的边长为10cm. (2)设收纳盒的高为acm, 则收纳盒底面的长为=(50-a)cm,宽为(40-2a)cm, (50-a)(40-2a)=608, 解得=12,=58(不符合题意,舍去). 答:该收纳盒的高为12cm. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学单元自测（人教版专用） 第二十五章一元二次方程易错题专项训练（一） 建议用时：60分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.一元二次方程x2+8x-9=0配方后得到的方程是( A.x-4)2+7=0 B.(x+4)2=25 C.(x-4)2=25 D.(x+4)2-7=0 2.己知一元二次方程x2一8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为 () A.11 B.12 C.13 D.11或13 3.把一元二次方程2x(x-1)=(x-3)+4化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是() A.2,-3 B.-2,-3 C.2,-3x D.-2,-3x 4.一元二次方程x2+x-1=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 5秋冬季是流感的高发季节，应养成勤洗手、戴口罩、常通风等良好卫生习惯，有效预防流感.若有一个人 患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中 平均一个人传染了x个人，根据题意，可列方程为() A.x(1+x)=121 B.1+x+x(1+x)=121 C.1+x+x2=121 D.x+x(1+x)=121 6.己知关于x的一元二次方程x2+3x+m+2=0的两个实数根是x1,x2,且x1=2x2,则m的值是() A.0 B.2 C.-1 D.1 7.关于x的方程x2-2mx+m2=4的两个根x1,x2满足x1=2x2+3,且x1>x2,则m的值为（) A.-3 B.1 C.3 D.9 8.己知关于x的一元二次方程x2+bx-2=0有两个相等的实数根，则的值是() A B.-1 c.月 D.- 1/4 9.李师傅从市场上买了一块长100cm、宽60cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱.如图，他将铁皮的四个角 各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余部分刚好能焊接成一个底面积为3200cm的无盖工具箱，根据题意可 列方程为() A.100×60-4x2=3200 B.100×60-4x2-(100+60)x=3200 C.(100-x)(60-x)=3200 D.(100-2x)(60-2x)=3200 10.若关于x的方程(k-1)x2+(2k+1)x+1=0有实数根，则k的取值范围是() A.k>且k≠1 B.k≥且k≠1 C.k> D.k≥ 第IⅡ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.已知关于x的一元二次方程x2-mx一2=0，若x=一1是方程的一个根，则方程的另一根是 12.若关于x的一元二次方程(3a-)x2+(a2-4x+a+9=0没有一次项，则a= 13.已知x=2是关于x的一元二次方程x2-nx+2=0的一个根，则该方程的另一个根为x= 14.一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了55次手，这次会议到会的 人数是 人 15.已知方程x2+2026x-5=0的两根分别是α和B,则代数式a2+B+2027α的值为 16.我们定义一种新运算：对于任意实数p,q,规定p※q=p2-pq+q,若关于x的方程x※(m-1)=0(m 为常数)有两个相等的实数根，则m的值为 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 17.解下列方程： (1)x2+3x-2=0: (2)x-2)2+x(x-2)=0. 214 四、解答题：本题共4小题，共42分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.(本小题10分)某品牌汽车第一季度的销售量为62.5万辆，第二季度的销售量下降了20%，经销商从第三 季度起加强管理，改善经营，使销售量稳步上升，第三、四季度的销售量共达到了132万辆. (1)求第二季度的销售量； (2)求第三、四季度的销售量的平均增长率. 19.(本小题10分)如图，在长为33米、宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的部分 为草坪，要使草坪的面积为510平方米，求道路的宽为多少？ 33米 20米 20.(本小题10分)已知x2+(a+3)x+a+1=0是关于x的一元二次方程. (1)求证：方程总有两个不相等的实数根： (2)若该方程的两个实数根分别为x1,x2,且(x1-2)(x2-2)=2,求实数a的值. 3/4 21.(本小题12分) 综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为100cm,宽为40cm的长方形硬纸板做收纳盒. 【任务要求】 任务一：如图(1)，设计无盖长方体收纳盒.在长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折 成一个无盖的长方体收纳盒， 任务二：如图(2)，设计有盖长方体收纳盒.在另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折 成一个有盖的长方体收纳盒，PQ和MN两边恰好重合且无重叠部分. D 裁剪 P(M) 裁剪 裁剪 6Q44H G 图(1) 图(2) 【问题解决】 (1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为1600cm,求剪去的小正方形的边长. (2)若任务二中设计的收纳盒的底面积为608cm,求该收纳盒的高. 4/42026-2027学年九年级上册数学单元自测（人教版专用） 第二十六章二次函数易错题专项训练（一) 建议用时：60分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.一元二次方程x2+8x-9=0配方后得到的方程是() A.x-4)2+7=0 B.(x+4)2=25 C.(x-4)2=25 D.x+4)2-7=0 【答案】B 2.已知一元二次方程x2-8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为() A.11 B.12 C.13 D.11或13 【答案】D 3.把一元二次方程2x(x-1)=(x-3)+4化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是() A.2,-3 B.-2,-3 C.2,-3x D.-2,-3X 【答案】C 4.一元二次方程x2+x-1=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 【答案】A 5秋冬季是流感的高发季节，应养成勤洗手、戴口罩、常通风等良好卫生习惯，有效预防流感.若有一个人 患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中 平均一个人传染了x个人，根据题意，可列方程为() A.x(1+x)=121 B.1+x+x(1+x)=121 C.1+x+x2=121 D.x+x(1+x)=121 【答案】B 6.已知关于x的一元二次方程x2+3x+m+2=0的两个实数根是x1,x2,且x1=2x2,则m的值是() A.0 B.2 C.-1 D.1 1/6 【答案】A 【解析】解：由题意可知：x1+x2=-3,x1·x2=m+2, X1=2x2, 2x2+X2=-3, 解得：x3=-1, X1=2x2=-2, ∴(-2)×(-1)=m+2, 解得：m=0, 故选：A, 先利用根与系数的关系得到x1+x3=-3,x1·x=m+2,再根据x1=2x2,求出x1=-2,x2=-1,即可求 解.本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键. 7.关于x的方程x2-2mx+m2=4的两个根x1,x2满足x1=2x2+3,且x1>x2,则m的值为（) A.-3 B.1 C.3 D.9 【答案】C 8已知关于x的一元二次方程ax2+bx-2=0有两个相等的实数根，则，a的值是() A青 B.-1 c D.-月 【答案】B 9.李师傅从市场上买了一块长100cm、宽60cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱.如图，他将铁皮的四个角 各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余部分刚好能焊接成一个底面积为3200cm的无盖工具箱，根据题意可 列方程为() A.100×60-4x2=3200 B.100×60-4x2-(100+60)x=3200 C.(100-x)(60-x)=3200 D.(100-2x)(60-2x)=3200 2/6 【答案】D 10.若关于x的方程(k-1)2x2+(2k+1)x+1=0有实数根，则k的取值范围是(). A.k>且k≠1 B.k之且k≠1 C.k D.k≥ 【答案】D 第IⅡ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.已知关于x的一元二次方程x2-mx-2=0,若x=-1是方程的一个根，则方程的另一根是 【答案】x=2 【解析】设方程的另一根为x,由根与系数的关系得（(-)为=子=-2，解得x=2. 12.若关于x的一元二次方程(3a-x2+(a2-4)x+a+9=0没有一次项，则a= 【答案】-2 13.己知x=2是关于x的一元二次方程x2-nx+2=0的一个根，则该方程的另一个根为x= 【答案】1 14.一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了55次手，这次会议到会的 人数是 人 【答案】11 15.已知方程x2+2026x-5=0的两根分别是a和B,则代数式a2+B+2027a的值为 【答案】-2021 16.我们定义一种新运算：对于任意实数p,q,规定p※q=p2-pq+q,若关于x的方程x※(m-1)=0(m 为常数)有两个相等的实数根，则m的值为 【答案】5或1 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 17.解下列方程： (1)x2+3x-2=0: (2)(x-2)2+x(x-2)=0. 【答案】 (1)解：a=1,b=3,c=-2, ÷4=b2-4ac=948=17>0. 3/6 xb生√b2-4ae-3V厘 2a “17 x四 (2)因式分解，得(x-2)x-2+x)=0, 即(k-2)2x-2)-0. x-2=0或2x-2-0. 六x1=2,x3=1 四、解答题：本题共4小题，共42分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.(本小题10分) 某品牌汽车第一季度的销售量为62.5万辆，第二季度的销售量下降了20%，经销商从第三季度起加强管理， 改善经营，使销售量稳步上升，第三、四季度的销售量共达到了132万辆. (1)求第二季度的销售量； (2)求第三、四季度的销售量的平均增长率. 【答案】 (1)解：62.5×(1-206=62.5×806=50（万辆） 答：第二季度的销售量为50万辆： (②)设第三、四季度销售的平均增长率为x 依题意，得50(1+x)+50(1+x)2=132, 解得x10.2=20%,x2=-3.2(不合题意，舍去) 答：第三、四季度销售量的平均增长率为20%， 19.(本小题10分) 如图，在长为33米、宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的部分为草坪，要使草坪 的面积为510平方米，求道路的宽为多少？ 【答案】 33米 解：设道路的宽为x米，根据题意，得 (33-x)20-x)=510, 20米 整理得x2-53x+150=0, 解得x=50(舍去)或x=3. 答：道路宽为3米。 4/6 20.(本小题10分) 己知x2+(a+3)x+a+1=0是关于x的一元二次方程. (1)求证：方程总有两个不相等的实数根： (2)若该方程的两个实数根分别为x1,x2,且(x1-2)(x2-2)=2,求实数a的值. 【答案】 (1)证明：由题意可知△=b2.4ac=(a+3)2-4×1×(a+1)=a2+6a+9-4a4=a+2a+5=(a+1)2+4>0, 故方程总有两个不相等的实数根， (2)解：由题意可知x1+x2=-(a+3),x1x2=a+1. ,(&1-2)x2-2)=2, .X1X2-2x1-2x2+4=2, ∴.x1X-2(K1+x2）十4=2， .at1-2[-(a+3)]+4=2 解得a=3. .实数a的值为-3. 21.(本小题12分) 综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为100cm,宽为40cm的长方形硬纸板做收纳盒. 【任务要求】 任务一：如图(1)，设计无盖长方体收纳盒.在长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折 成一个无盖的长方体收纳盒。 任务二：如图(2)，设计有盖长方体收纳盒在另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折 成一个有盖的长方体收纳盒，PQ和MN两边恰好重合且无重叠部分， 裁剪 裁剪 P(0 裁剪 G 图(1) 图(2) 【问题解决】 (1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为1600cm2,求剪去的小正方形的边长. (2)若任务二中设计的收纳盒的底面积为608c,求该收纳盒的高. 【答案】 (1)设剪去的小正方形的边长为xcm 5/6 由题意得(100-2x)(40-2x)-1600, 解得x1=10,x2=60(不符合题意，舍去). 答：剪去的小正方形的边长为10cm (2)设收纳盒的高为acn, 则收纳盒底面的长为10,2a(50-acm,宽为40-2a)cm 2 (50-a)(40-2a)=608, 解得a1=12,a2=58(不符合题意，舍去)】 答：该收纳盒的高为12cm 6/6