精品解析：内蒙古自治区巴彦淖尔市临河区第四中学2026-2027学年九年级上学期数学期中卷

临河四中2026年10月期中考试九年级数学试题 时间：90分钟，满分100分 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 下列关于的方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，绕点顺时针旋转到的位置，已知，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 数学之美通常体现在简单的形状里，对称体现着平衡的智慧．下列图形分别是“斐波那契螺旋点”“双黄金螺旋”“科赫曲线”“赵爽弦图”，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数的图象大致为（） A. B. C. D. 5. 若反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 7. 二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表，那么方程的根是（ ） … 0 … … 0 3 4 3 … A. B. ， C. ， D. ， 8. 已知，，三点均在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 9. 如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，顶点的坐标为，以为边向的外侧作正方形，将组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为  （ ） A. B. C. D. 二．填空题（每题3分，共12分） 11. 某物理兴趣小组通过实验发现气体的压强（单位：）是体积（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．当压强为时，气体的体积为______． 12. 已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数_____________． 13. 将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过边长为2的正方形的三个顶点、、，则下列结论正确的是____________________． ①点的坐标为；②点B的坐标为； ③二次函数的解析式为；④． 三．解答题（共6小题，共58分；15题12分、17、18、19、20每题10分，16题6分） 15. 用适当的方法解方程： （1）； （2）； （3）在实数范围内定义一种运算“”，．求方程的解． 16. 如图，在平面直角坐标系中，根据要求作答． （1）请画出关于原点对称的； （2）请画出绕点逆时针旋转后的，并写出坐标． 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求与的值； （2）点是轴正半轴上一点，若，求的面积． （3）利用图象直接写出的解集． 18. 2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． （1）某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； （2）该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 19. 如图，在四边形中，，是对角线，是等边三角形．线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 20. 殷玉珍是毛乌素沙漠的治沙英雄，数十年扎根荒漠，植树治沙，把寸草不生的流动沙丘改造为绿洲．治理前，毛乌素分布大量抛物线状流动沙丘，风沙不断侵蚀土地．如图为治理前的流动沙丘实景，是该沙漠边缘地区常见的抛物线状沙丘（一种风积地貌），其平面轮廓呈抛物线状．如图，已知某一抛物线状沙丘两翼端点的水平距离，沙丘弧顶最高点到的距离为，抛物线的对称轴垂直于，以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，现计划从点到点种植一排沙柳（、在抛物线上，点在点的左侧）． （1）求抛物线状沙丘的函数表达式； （2）轴于点，轴于点，若，求、两点之间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临河四中2026年10月期中考试九年级数学试题 时间：90分钟，满分100分 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 下列关于的方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一元二次方程有三个特点：只含有一个未知数；未知数的最高次数是2；是整式方程，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、整理得，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、是一元二次方程，原选项中没有给出二次项系数不为0，故该选项不符合题意； C、是一元二次方程，故该选项符合题意； D、含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：C 2. 如图，绕点顺时针旋转到的位置，已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，再由计算即可得出结果． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴． 3. 数学之美通常体现在简单的形状里，对称体现着平衡的智慧．下列图形分别是“斐波那契螺旋点”“双黄金螺旋”“科赫曲线”“赵爽弦图”，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意 ． 4. 二次函数的图象大致为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式确定开口方向和顶点坐标，结合图象进行判断． 【详解】解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向下，排除选项， ∵函数解析式为顶点式，顶点坐标为， ∴顶点在第二象限，横坐标为，纵坐标为，观察图象，选项符合题意． 5. 若反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数图象位于第一、三象限的条件列不等式求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， 解得． 6. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】计算根的判别式，根据其符号判断根的情况． 【详解】解：∵方程为， ∴. ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 7. 二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表，那么方程的根是（ ） … 0 … … 0 3 4 3 … A. B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数图象的对称性，结合表格中的已知零点与等y值点求解方程的根． 【详解】解：∵时，， ∴是方程的一个根. 与时，y的值均为3， ∴二次函数的对称轴为直线. 设方程的另一个根为， ∵二次函数图象与轴的两个交点关于对称轴对称， ∴， 解得. 8. 已知，，三点均在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】分别将三个点的横坐标代入抛物线的解析式中求得，，，再比较大小即可求解． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 9. 如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征，用表示出矩形的长和宽，结合矩形面积建立关于的方程求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵四边形是矩形，点在轴上，点在轴上， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∵点，在反比例函数的图象上， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴，， ∵矩形的面积为， ∴， ∴， ∵图象在第一象限， ∴， ∴． 10. 如图，在中，，，顶点的坐标为，以为边向的外侧作正方形，将组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为  （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由、确定点的坐标，再求出正方形顶点的坐标；旋转周期为，用除以的余数确定等效旋转角，进而求旋转后点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于， ， 顶点的坐标为， ， 在中，，， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ∵每次绕点逆时针旋转，而， ∴旋转次图形回到原位置，即每旋转次为一个循环， ∵， ∴第次旋转结束时，相当于把原图形绕点逆时针旋转， 如图所示， ， 则，， 作轴于，则， ，， ， ， ，， ， ∴点绕点逆时针旋转后的对应点为， 故选：B． 二．填空题（每题3分，共12分） 11. 某物理兴趣小组通过实验发现气体的压强（单位：）是体积（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．当压强为时，气体的体积为______． 【答案】50 【解析】 【分析】因为压强p是体积V的反比例函数，所以设反比例函数解析式为，．因为函数图像过点，所以将该点坐标代入解析式，可求出常数k的值．因为要求压强为时的体积，所以将代入确定后的反比例函数解析式，求解V即可． 【详解】解：∵是的反比例函数， 设解析式为 ． 由图像可知，反比例函数过点， 将代入得： ， 解得 ， 因此函数解析式为 ． 当压强时， 代入解析式： ， 解得 ． 12. 已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，得出，代入已知等式，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为， ∴ ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 13. 将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的平移，根据平移规律得到函数解析式，把点的坐标代入得到，再整体代入变形后代数式即可． 【详解】解：抛物线向下平移5个单位长度后得到， 把点代入得到，， 得到， ∴， 故答案为：2 14. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过边长为2的正方形的三个顶点、、，则下列结论正确的是____________________． ①点的坐标为；②点B的坐标为； ③二次函数的解析式为；④． 【答案】①④##④① 【解析】 【分析】二次函数的图象与性质，正方形的性质．可得，根据正方形的性质以及二次函数的对称性可得，再代入函数解析式求解即可． 【详解】解：连接，交于点， ∵正方形边长为2， ∴，， ∴， 则，，①正确，②错误， 当时，， 当时，， 解得． ∴，③错误， ∴，④正确． 三．解答题（共6小题，共58分；15题12分、17、18、19、20每题10分，16题6分） 15. 用适当的方法解方程： （1）； （2）； （3）在实数范围内定义一种运算“”，．求方程的解． 【答案】（1）， （2）， （3），． 【解析】 【分析】（1）根据配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可； （3）根据定义的运算原则，利用平方差公式将化为一元二次方程，再求解即可． 【小问1详解】 解： 或 解得，． 【小问2详解】 解： ，． 【小问3详解】 解：由题意得 即 解得，． 16. 如图，在平面直角坐标系中，根据要求作答． （1）请画出关于原点对称的； （2）请画出绕点逆时针旋转后的，并写出坐标． 【答案】（1）如图所示，即为所求， （2）如图所示，即为所求，坐标为． 【解析】 【分析】此题考查了中心对称和旋转的作图，准确找到变化后的对应点是解题的关键． （1）作出关于原点对称的对应点，顺次连接即可； （2）作出绕点按逆时针方向旋转后的对应点，顺次连接即可得到图形，再写出点的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求与的值； （2）点是轴正半轴上一点，若，求的面积． （3）利用图象直接写出的解集． 【答案】（1）的值为，的值为； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求出，，所以，，又点是轴正半轴上一点，，则与关于轴对称，故有，然后利用即可求解； （3）利用图象即可求解． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象过点， ∴，解得， ∴一次函数解析式为， ∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴点， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 综上，的值为，的值为； 【小问2详解】 解：由得，一次函数解析式为， 当时，，解得；当时，， ∴，， ∴，， ∵点是轴正半轴上一点，， ∴与关于轴对称， ∴， ∴， ∴ ， ∴的面积为； 【小问3详解】 解：由得，一次函数解析式为，反比例函数解析式为， 联立， 解得或， ∴， 如图，设一次函数与反比例函数的另一个交点为， ∴根据图象可知，的解集为或． 18. 2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． （1）某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； （2）该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）每月产量的增长率为 . （2）应降价元，最大利润为 元. 【解析】 【分析】（1）设每月产量的增长率为，根据原产量和增长两次后的产量关系列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果； （2）设降价元，每天总利润为 元，根据总利润每件利润销售量列出二次函数解析式，配方后根据二次函数的性质即可求出最大利润和对应的降价金额． 【小问1详解】 解：设每月产量的增长率为， 根据题意列方程得: ， 解得  ,  ，增长率不能为负，不符合实际，舍去， 答: 每月产量的增长率为； 【小问2详解】 解：设降价元，每天总利润为 元， 根据题意，每件盈利为 元，每天销售量为 件， ∴，  ， 当时， 取得最大值，最大值为， 答: 该食品厂应降价元，才能使利润最大，最大利润为 元． 19. 如图，在四边形中，，是对角线，是等边三角形．线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：由旋转性质可知，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】根据旋转的性质，等边三角形的性质，证明，即可得证； 由旋转性质可知，，，则有是等边三角形，所以，可得，所以，再代入即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由旋转性质可知，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由得， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 20. 殷玉珍是毛乌素沙漠的治沙英雄，数十年扎根荒漠，植树治沙，把寸草不生的流动沙丘改造为绿洲．治理前，毛乌素分布大量抛物线状流动沙丘，风沙不断侵蚀土地．如图为治理前的流动沙丘实景，是该沙漠边缘地区常见的抛物线状沙丘（一种风积地貌），其平面轮廓呈抛物线状．如图，已知某一抛物线状沙丘两翼端点的水平距离，沙丘弧顶最高点到的距离为，抛物线的对称轴垂直于，以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，现计划从点到点种植一排沙柳（、在抛物线上，点在点的左侧）． （1）求抛物线状沙丘的函数表达式； （2）轴于点，轴于点，若，求、两点之间的距离． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】先求出顶点坐标，再设该抛物线的表达式，再将代入即可得到； 先证明四边形是平行四边形，所以，即轴，再将代入中求得的解析式中即可求出答案． 【小问1详解】 解：根据题意可得抛物线状沙丘的顶点坐标为， ∴设抛物线的函数表达式为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线状沙丘的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵轴于点，轴于点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，即轴， 令，则， ， 解得，， ∴， ∴、两点之间的距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $