精品解析：四川成都市实验外国语学校2026-2027学年高三上学期期中考试数学试题

成都市实验外国语学校2026—2027学年上学期　期中考试 高2024级　数学　学科试题 （考试时间：120分钟　满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，， 所以，即. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】全称量词命题“”的否定为“”． 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若 ，则 【答案】D 【解析】 【分析】通过举反例排除A、B、C三个错误选项，再结合不等式的基本性质判断D选项正确. 【详解】对于A：若取，，满足，但，，，故A错误； 对于B：若取，，满足，但，故B错误； 对于C：若取，，满足，但，故C错误； 对于D：由可知，即，由不等式的性质可得，故D正确. 4. 已知数列的前项积，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】数列的前项积，所以， 因为，，所以. 5. 已知双曲线的渐近线方程为，且实轴长为2，则焦距为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可知，得， 因双曲线的渐近线方程为， 即 ​，代入得， 所以（为半焦距），即， 故焦距为. 6. 某6个数据的样本平均数为26，方差为7．现增加一个数据26，则这7个数的方差为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】设6个数据为，由题设可得题设中涉及的个数据的平均数及，据此可得答案. 【详解】设6个数据为，因6个数据的样本平均数为，且新增加数据为， 则题设中涉及的个数据的平均数为. 由个数据的方差为，可得 则这7个数的方差为： 7. 设和表示坐标平面内的几何变换，表示将几何对象绕原点逆时针旋转，表示将几何对象关于轴对称，表示连续次变换．已知角的终边经过点，若对角的终边先进行变换，再进行变换，得到角的终边，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据新定义、任意角的三角函数及两角和的正切公式求解即可. 【详解】对角的终边先进行变换后，角的终边经过，则. 再进行变换得到角的终边，则. 所以. 8. 已知函数，关于的方程有4个实数根，，，（），若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用换元分层法，令，分析内层函数单调性确定两根均大于，由推出，结合韦达定理即可求解. 【详解】，定义域为. 令， 当时，，，单调递减，值域为； 当时，，，单调递增，值域为. 因为有4个实数根，，，（）， 所以有两个大于的不等实根， 所以，则；，则. 由得，即，则. 所以. 由得. 则，即. 所以，解得. 由得. 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 设为虚数，为复平面的原点，且，在复平面内对应的点分别为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数的乘法及复数的相关概念，结合向量的坐标运算求解即可. 【详解】设虚数， 则， 所以， ，故A错误，B正确； 因为，所以，故C正确； 因为，所以，故D正确. 10. 已知函数有3个零点和2个极值点，则（ ） A. 的3个零点之和等于 B. 的3个零点之积等于 C. 在3个零点处的切线的斜率之和大于零 D. 的3个零点和2个极值点的算术平均数相等 【答案】ACD 【解析】 【分析】令三个零点为，，，则利用结合导数几何意义、极值点定义即可依次分析计算求解判断各选项. 【详解】由题设，令三个零点为，，，则 ， 又，则，，A对，B错； 对函数求导得，显然，即， 若两个极值点为m，n，则，故，D对； 三个零点的切线斜率之和为， 又，且， 所以， 所以，C对. 故选：ACD 11. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知，三角形的面积为2，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当最小时， D. 当时， 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据三角形面积公式即可判断选项A；根据正弦定理及选项A可得到，结合基本不等式即可判断选项B；根据三角形面积公式及正弦定理得到，设，则，求出取最大值，得到此时取最小值，即取最小值，进一步化简即可判断选项C；结合诱导公式、二倍角公式、导数及已知条件，即可判断选项D. 【详解】选项A：由得，， 则，所以，故A正确. 选项B：由正弦定理，得，所以， 即，整理得. 又，当且仅当时，等号成立， 所以（，时取等号），故B正确. 选项C：由正弦定理可知，，， ， 所以. 又，则，设，则，. 则 . 当，即时，取最大值，此时取最小值，即取最小值. 代入中得，，即，也即. 因此，当最小时，，故C正确. 选项D：当时，，又，所以， 则. 若，则，即， 所以，此时，， 若，即，由结合C选项的推导可得， 设， 则, 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以， 又，所以在上有两个零点， 所以在上有两个解， 所以不一定成立，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数在处的切线方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先通过复合函数求导法则得到导函数，结合导数的几何意义求出处的切线斜率与对应切点坐标，再利用直线点斜式方程求解即可. 【详解】对求导，得. 可得切线斜率. 又，则切点坐标为. 故切线方程为，即. 13. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的上、下顶点分别为，，右焦点为，线段的延长线与交于点，若，则的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出直线方程，结合，利用两点间距离公式求出点坐标，代入椭圆方程求解即可. 【详解】椭圆的上顶点，下顶点，右焦点，其中. 直线方程：. 设，因为，所以， 即，解得，所以. 代入椭圆方程得，即，所以，即. 又，所以. 14. 一袋中装有若干个标号为1，2，3，4，5，6，7，8的小球，其中标号为1，2，…，8号的小球个数成等差数列．小明从袋中有放回地摸了两次，每次摸一个球，若两次摸出的小球标号相同的概率为，则两次摸出的小球标号之和为9的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的性质得到各标号摸取概率的配对和为定值，通过完全平方公式建立两次标号相同的概率与两次标号和为9的概率的关联，进而求解目标概率. 【详解】设标号为的小球个数依次为（，），由题意，数列为等差数列. 设袋中小球总个数为，则每次摸取到标号为的小球的概率（），因此概率序列也为等差数列. 根据等差数列的性质，. 因为所有摸取概率之和为1，所以，因此， 解得. 设事件为“两次摸出的小球标号相同”，事件为“两次摸出的小球标号之和为9”. 对于事件，. 对于事件，两次标号和为9的有序结果为， 因此，， 则 . 所以，因此. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在中，角，，的对边分别为，，，且 （1）求角的大小； （2）若为的中点，且，求的最大值． 【答案】（1） （2）的最大值为 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化及余弦定理求解即可. （2）在中，利用余弦定理得到，结合基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 由及正弦定理得， 即. 由余弦定理. 又，得. 【小问2详解】 为的中点，故. 在中，由余弦定理得， 即，整理为. 又，则，即，当且仅当时等号成立， 故的最大值为. 16. 某生物实验室做真菌培育试验，每次试验投放6个真菌，假设每个真菌存活率均为． （1）记单次试验中恰好存活3个真菌的概率为，若当时，取得最大值，求的值； （2）以（1）中的作为的值，连续独立做5次培育试验，记这5次培育试验中菌种存活数大于等于4的试验次数为，求的期望． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由题意，单次试验中投放6个真菌，每个真菌存活率均为，且各真菌存活相互独立，故单次试验中存活的真菌个数服从二项分布. 恰好存活3个真菌的概率为，其中. 求导得. 令，结合，解得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以当时，取得最大值，即. 【小问2详解】 由（1）知，每次试验中真菌的存活率. 设单次试验中存活的真菌个数为，则. 单次试验中存活数大于等于4的概率为： . 因为连续独立做5次培育试验，且每次试验中存活数大于等于4的概率均为， 所以试验次数服从二项分布，即. 所以的期望. 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，平面与平面的交线为． （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为底面为正方形，所以. 因为平面，平面，所以平面. 又平面与平面的交线为，平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理及线面平行的性质证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，结合线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，所以，. 由底面为正方形，所以，则两两垂直. 以点为原点，以为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，. 设平面的法向量为， 则，则，令，则，所以. 设直线与平面所成角为， 则， 所以. 故直线与平面所成角的余弦值为. 18. 已知抛物线的焦点为，上的点到的距离为5． （1）求和的值； （2），为上两点，的重心在直线上． ①证明：直线的斜率为定值； ②设直线与轴交于点，线段的中点为，线段的中点为，过点向直线作垂线，垂足为．证明：点在定圆上运动． 【答案】（1）， （2） ①方法一： 设，， 则的重心为， 由题意知，，则． 所以直线的斜率，为定值． 方法二： 因为直线的斜率不为零， 所以设直线的方程为，显然． 设，． 联立，整理得． 所以. 已知， 所以的重心的纵坐标， 所以，解得． 因此，直线的斜率，为定值． ②因为直线的斜率不为零， 所以设直线的方程为．设，． 联立，整理得． 所以. 设为的中点，则： ，， 即． 直线与轴交点，，则中点． 由于，所以． 所以． 直线的斜率：， 直线的方程：，整理得. 法一： 令，代入方程，解得， 因此，直线经过定点． 因为，于， 所以在以为直径的定圆上． 法二： 由于，， 所以的方程为，即， 联立，得 即． 令，则，， 令，则，， 令，则，， 求得经过，，的圆方程为， 代入的坐标符合，所以在定圆上． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义结合求出，进而得到抛物线方程，将点代入抛物线方程即可求出. （2）①方法一：利用作差法及重心坐标公式证明即可.方法二：设出直线方程及交点坐标，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合重心坐标公式证明即可.②结合①设出直线方程及交点坐标，与抛物线方程联立，结合韦达定理求出点坐标，利用中点坐标公式求出点坐标，即可求出直线方程. 方法一：求出直线方程恒过定点，结合集合关系即可证出在以为直径的定圆上运动.方法二：求出的方程，与直线方程联立，得到点坐标，取特殊点求出圆的方程，再将点坐标代入验证即可. 【小问1详解】 抛物线的准线方程为． 根据抛物线定义，，所以． 因此，抛物线的方程为． 将代入抛物线方程：，又，故． 【小问2详解】 略 19. 已知函数在定义域上的导函数为，对任意实数，定义非空集合． （1）设，求集合； （2）设，集合，试判断“对任意，”是“为奇函数”的_____条件（从下面选择一个），并说明理由； ①充分不必要 ②必要不充分 ③充分必要 ④既不充分也不必要 （3）设，，若对任意，，，都有，求实数的值． 【答案】（1） （2）②必要不充分 （3） 【解析】 【分析】(1)利用的定义可知，求解出不等式即求出集合； （2）由函数奇偶性可知，若为奇函数，则为偶函数；若为偶函数，则为奇函数，结合的定义即可判断； （3）若对任意，，，都有即，那么 即 ，故导函数在上单调递减，构造函数，利用导数即可求解实数的值. 【小问1详解】 由题意可得，，所以，解得； 【小问2详解】 ②必要不充分 对任意，，即对任意，与同解， 不充分理由如下： 若，那么为非奇非偶函数，， 显然有与同解 必要性理由如下： 若为奇函数，则，，所以为偶函数， 故,所以，故， 即“对任意，”是“为奇函数”的必要条件. 【小问3详解】 若对任意，，，都有即， 那么 即，故导函数在上单调递减, 设，那么 在上恒成立， 令，则， 当时，，在上单调递减， 又，故此时即无法恒成立，不符合题意； 当时，令得 ；令得 ； 在处取得极大值也是最大值， 所以， 令，则，令得 ；令得 ； 在处取得极小值也是最小值，即， 又，故， 综上，实数的值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市实验外国语学校2026—2027学年上学期　期中考试 高2024级　数学　学科试题 （考试时间：120分钟　满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 9 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若 ，则 4. 已知数列的前项积，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的渐近线方程为，且实轴长为2，则焦距为（ ） A. B. 2 C. D. 4 6. 某6个数据的样本平均数为26，方差为7．现增加一个数据26，则这7个数的方差为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 设和表示坐标平面内的几何变换，表示将几何对象绕原点逆时针旋转，表示将几何对象关于轴对称，表示连续次变换．已知角的终边经过点，若对角的终边先进行变换，再进行变换，得到角的终边，则（ ） A. B. C. D. 3 8. 已知函数，关于的方程有4个实数根，，，（），若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 设为虚数，为复平面的原点，且，在复平面内对应的点分别为，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数有3个零点和2个极值点，则（ ） A. 的3个零点之和等于 B. 的3个零点之积等于 C. 在3个零点处的切线的斜率之和大于零 D. 的3个零点和2个极值点的算术平均数相等 11. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知，三角形的面积为2，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当最小时， D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数在处的切线方程为__________． 13. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的上、下顶点分别为，，右焦点为，线段的延长线与交于点，若，则的离心率为______． 14. 一袋中装有若干个标号为1，2，3，4，5，6，7，8的小球，其中标号为1，2，…，8号的小球个数成等差数列．小明从袋中有放回地摸了两次，每次摸一个球，若两次摸出的小球标号相同的概率为，则两次摸出的小球标号之和为9的概率是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在中，角，，的对边分别为，，，且 （1）求角的大小； （2）若为的中点，且，求的最大值． 16. 某生物实验室做真菌培育试验，每次试验投放6个真菌，假设每个真菌存活率均为． （1）记单次试验中恰好存活3个真菌的概率为，若当时，取得最大值，求的值； （2）以（1）中的作为的值，连续独立做5次培育试验，记这5次培育试验中菌种存活数大于等于4的试验次数为，求的期望． 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，平面与平面的交线为． （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的余弦值． 18. 已知抛物线的焦点为，上的点到的距离为5． （1）求和的值； （2），为上两点，的重心在直线上． ①证明：直线的斜率为定值； ②设直线与轴交于点，线段的中点为，线段的中点为，过点向直线作垂线，垂足为．证明：点在定圆上运动． 19. 已知函数在定义域上的导函数为，对任意实数，定义非空集合． （1）设，求集合； （2）设，集合，试判断“对任意，”是“为奇函数”的_____条件（从下面选择一个），并说明理由； ①充分不必要 ②必要不充分 ③充分必要 ④既不充分也不必要 （3）设，，若对任意，，，都有，求实数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $