上海市复旦中学2026-2027学年高二上学期期中质量调研数学试卷

上海市复旦中学2026学年第一学期高二数学期中质量调研试卷

考生注意：

1．本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟；

2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；

3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；

4．答题时可使用符合规定的计算器．

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1．用适当的符号填空：如图，已知长方体，则直线______平面．

2．正四棱锥底面边长为，侧棱长为2，则棱锥高为______．

3．如图所示，在直三棱柱中，，，则异面直线，所成角的大小是______．

4．若为第二象限角，，则______．

5．如图，四边形是利用斜二测画法画出的水平放置的四边形的直观图，其中，，，．则四边形的面积是______．

6．已知正方体的内切球的体积是，则这个正方体的体积是______．

7．已知空间中不在平面上的一点满足，且，，，四点共面，则______．

8．正方体的各表面在一个平面上的展开图如图所示，则展开图中的面对角线与在正方体中的位置关系为______（选填“平行”、“相交”、“异面”）．

9．在长方体中，与平面、平面、平面所成角分别为、、，则______．

10．如图，直三棱柱中，是的中点，则______．

11．如图，长方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直，且，为的中点．二面角的正切值最大值为______．

12．我国南北朝时期的著名数学家祖暅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即．图3是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以2为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，类比上述半球的体积计算方法，运用祖暅原理可求得该帐篷的体积为______．