精品解析：上海市位育中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试卷

2026学年第一学期位育中学期中考试试卷 高二年级数学学科 （考试时间100分钟 总分100分） 一、填空题（本大题共有12题，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分，满分42分） 1. 若点平面，点平面，则直线AB__________平面（填合适的符号） 【答案】 【解析】 【分析】由直线与平面的位置关系可得结论. 【详解】直线上存在两点在平面上，则. 故答案为：. 2. 已知圆柱底面圆的半径为1，母线长为4，则该圆柱的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱的体积公式求得正确答案. 【详解】依题意，圆柱的体积为. 故答案为： 3. 一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做__________． 【答案】 旋转面 【解析】 【详解】略 4. 正方体中，化简__________． 【答案】 【解析】 【详解】根据向量加法法则与减法法则， . 5. 一平面图形的直观图是边长为的正方形，则原图形的周长是___________． 【答案】8 【解析】 【分析】由斜二测画法可知，平行于轴的线段长度保持不变，平行于轴的线段长度变为原来的一半. 【详解】根据斜二测画法还原图形，根据直观图可得正方形的对角线的长为， 所以原图形中对应线段的长度为. 如图所示： 所以原图形中平行四边形的一条边的边长为：. 所以周长为：. 故答案为：. 6. 命题：“若空间中的三条直线、、两两相交，则直线、、在同一平面上．”是______命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【解析】 【分析】利用举反例的方法判断命题的真假． 【详解】假设空间中的三条直线、、为墙角的三条直线，它们两两相交于同一点， 但直线、、不在同一平面上，故命题为假命题． 故答案为：假． 7. 已知圆锥的底面积与侧面积之比为，则其轴截面顶角的正弦值为____. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥底面积和侧面积公式可求得之间的比例关系，结合二倍角正弦公式可求得结果. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，轴截面顶角为， 圆锥的底面积与侧面积之比为，，即， ，，， . 故答案为：. 8. 已知是球的直径上一点，，平面，为垂足，平面截球所得截面的面积为，则球的体积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设截面小圆的半径为，球的半径为，根据勾股定理可得；根据求得，根据截面的面积为求得，代入上述等式中即可得到，再代入球的体积公式中求解. 【详解】设截面小圆的半径为，球的半径为.因为，所以. 由勾股定理有，又由题意得，则，故，即 所以球的体积. 9. 在棱长为1的正四面体中，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算及数量积的运算求解. 【详解】因为， 所以 。 10. 《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体为鳖臑. 如图，在鳖臑中，平面，，，，分别为棱上一点，则的最小值为____. 【答案】 【解析】 【分析】结合垂直关系可得侧面的展开图，由此可确定当，时，取得最小值；利用长度关系和两角和差公式可求得，进而得到最小值. 【详解】平面，平面，，， ，，平面，平面， 又平面，； 将侧面沿展开，得到展开图如下图所示， 则当，时，取得最小值； ，，，， ，， ， . 故答案为：. 11. 如图，圆锥形容器的高为，圆锥内水面的高为，且，若将圆锥倒置，水面高为，则等于________. 【答案】 【解析】 【分析】根据水的体积不变列出方程解出． 【详解】解：设圆锥形容器的底面积为，则未倒置前液面的面积为． 水的体积． 设倒置后液面面积为，则，． 水的体积． ，解得． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的结构特征，圆锥的体积计算，属于中档题． 12. 正方体中，过作直线，若直线与平面中的直线所成角的最小值为，且直线与直线所成角为，则满足条件的直线的条数为_________. 【答案】2 【解析】 【分析】作出辅助线，得到为轴的圆锥母线（母线与成）是直线的运动轨迹，为轴的圆锥母线（母线与成）是直线的运动轨迹，两个圆锥的交线即为满足条件的直线的条数. 【详解】设立方体的棱长为1，过作直线， 若直线与平面中的直线所成角的最小值为， 即与平面所成角为， 为轴的圆锥母线（母线与成）是直线的运动轨迹， 连接，由题意得，直线与直线所成角为， 直线与直线所成角为. 此时为轴的圆锥母线（母线与成）是直线的运动轨迹， 两个圆锥相交得到两条交线. 故答案为：2 二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题3分，第15、16题每题4分，满分14分） 13. 空间四个点中，三点共线是这四个点共面的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用平面的性质和充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】空间四个点中，有三个点共线，根据“一条直线与直线外一点可以确定一个平面”得到这四个点共面，即充分性成立； 反之，当四个点共面时，不一定有三点共线，即必要性不成立， 所以空间四个点中，三点共线是这四个点共面的充分不必要条件． 故选：A. 14. 设，是两条不同的直线，，是两个平面，下列说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，那么 【答案】A 【解析】 【分析】对于A，在长方体中记平面为平面，平面为平面，直线为直线，由此可得，，但，故A错误，对于B，设，在直线上任取一点，在平面内过作，在平面内过作，由可得，证明，，由此可得，判断B，对于C，过直线作平面，，过直线作平面，，由线面平行性质定理可得，，再由线面平行判定定理证明，再证明结论，判断C，对于D，结合面面平行的定义和线面平行的定义即可判断. 【详解】对于A，如图，多面体为长方体， 记平面为平面，平面为平面，直线为直线， 则若，，此时，故A错误， 对于B，如图，，，， 设，在直线上任取一点，在平面内过作，在平面内过作， 因为，，，，所以，又， 所以， 同理， 因为，，，， 所以为二面角的平面角，又， 所以，又，，所以，B正确， 对于C，如图，，， 过直线作平面，，因为，，所以， 过直线作平面，，因为，，所以， 所以，又，，所以，又，， 所以，又，所以，C正确， 对于D，因为，所以平面与平面没有公共点， 又，所以直线与平面没有公共点， 所以，D正确， 故选：A. 15. 如图所示，正三棱柱的所有棱长均为，点、、分别为棱、、的中点，点为线段上的动点，则下列选项中不正确的是（ ） A. 直线与直线始终异面 B. 直线与直线可能垂直 C. 直线与直线可能垂直 D. 直线与直线可能垂直 【答案】B 【解析】 【分析】根据异面直线的定义可判断A选项；解法一：建系，利用空间向量法可判断BCD选项；解法二：利用空间向量垂直的关系可判断BD选项；证明出平面，可判断C选项. 【详解】在正三棱柱中，且，四边形为平行四边形， 且， 点分别为棱的中点，且， 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面， 四点不共面，直线与始终异面，故A正确； 法一：为等边三角形，为的中点，， 又平面，平面， 如图，以为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 设， 对于B，，， 若，则，，， ，不存在点使得直线与直线垂直，故B错误； 对于C，，， 若，则，，， 故当点在的位置时，直线与直线垂直，故C正确； 对于D，，， 若，则，，或， 故当点在的位置或为中点时，直线与直线垂直，故D正确； 法二：对于B，设， 则，， 若直线与直线垂直，则，， ，，解得， ，不存在点使得直线与直线垂直，故B错误； 对于C，连接、， 如图3，，为的中点，， 平面，平面，， ，、平面，平面， 又平面，， 当点在的位置时，直线与直线垂直，故C正确； 对于D，， ， ，解得或， 故当在点的位置或为中点时，，故D正确. 故选：B． 16. 有两个棱长均为1的正四棱锥，底面中心分别为、，另有一个棱长为1的正四面体，现将两个正四棱锥的各一个三角形侧面与正四面体的两个面完全贴合，拼接成一个新的几何体．对于所有的拼接方式，线段的长度所组成的集合中，共有（　　）个元素 A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据正四棱锥的结构特征分析可知，利用补形法，将四面体补成正方体，分析点的可能位置，即可得结果. 【详解】如图所示： 在正四棱锥中，， 则， ， 即全等，则， 将四面体补成正方体，如图所示： 可知点的可能位置为，且， 所以线段长度的集合有1个元素. 故选：A. 三、解答题（本大题共有5题，满分44分；大题若使用建系方法，得分减半计入总分．） 17. 如图，在正方体中，为正方形的中心，为直线与平面的交点．求证：，，三点共线． 【答案】 证明：如图，连接，， 则， 因为，， 所以四边形为平行四边形， 又，平面， 则平面， 因为平面平面， 所以．即，，三点共线． 【解析】 【分析】将三点共线转化为证明两面的交线问题，利用两面相交有且只有一条交线，即两面的公共点都在交线上. 【详解】略 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是证明平面，平面平面，，即可证，，三点共线． 18. 如图，在正三棱柱中，，，为棱上一点且. （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求二面角的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作交于点，连接，异面直线与所成角等于异面直线与所成角，在三角形中计算得到答案； （2）取的中点，连接，根据二面角定义得到二面角的平面角为，在三角形中计算得到答案； 【小问1详解】 在中，过点作交于点，连接， 所以异面直线与所成角等于异面直线与所成角， 在正三棱柱中，，，为棱上一点且. 所以，在中，， 在中，， 在中，由余弦定理的推论可得， 所以，因此，异面直线与所成角为 【小问2详解】 取的中点，连接，在等边中，， 在中，， 在中，， 在等腰中，，所以二面角的平面角为， 在中，， 在中，， 所以二面角的大小为. 19. 如图，四棱锥中，平面，，，为的中点，点在棱上，直线和直线相交． （1）求证： （2）若，，．求直线与平面所成的角． 【答案】（1）因为直线和直线相交，所以四点共面， 四棱锥中，，平面，平面，故平面， 又平面平面，平面，由线面平行的性质定理得：. （2） 【解析】 【分析】（1）由与相交可知共面，利用线面平行的判定与性质即可证明； （2）通过计算发现，结合底面可推出平面，从而，再结合等腰三角形性质得，从而证出平面，此时即为所求线面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，且为的中点，所以为的中点， 在底面中，，，，所以， 又，，满足，故， 因为平面，平面，所以， 结合，平面，所以平面. 连接，则平面，所以. 在中，，为中点，故， 又，平面，所以平面. 连接，则为在平面上的射影，故即为直线与平面所成的角， 在中，，则，， 在中，，所以， 故直线与平面所成的角为. 20. 如图，在三棱台中，底面满足，， ，，分别为，的中点，且. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； 【答案】（1）记的交点为，的交点为E，连接， 因为是三角形的中线，所以 ， 因为，所以，所以， 所以，所以， 因为平面 ， 平面 ，所以平面. （2）由（1）可知，，，所以，所以， 因为，所以， 因为分别为的中点，所以，且， 所以 ，所以 ， 因为，所以，所以，， 所以，所以， 所以， 又是平面内的相交直线，所以平面， 又平面，所以平面平面. 【解析】 【分析】（1）利用三角形重心、相似三角形得到线线平行，再利用线面平行的判定定理证明即可； （2）先利用相似、勾股定理得到两组垂直线，证明平面，再利用面面垂直的判定定理即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 已知是棱长为的正四面体，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，为的阶等距集． （1）若为的1阶等距平面且1阶等距集为，写出的所有可能值以及相应的的个数（无需说明理由）； （2）已知为的4阶等距平面，且点与点、、分别位于的两侧．是否存在，使的4阶等距集为，其中点到的距离为？若存在，求截正四面体得到的两部分几何体体积之比；若不存在，说明理由． 【答案】（1）当的值为时，有4个；当的值为时，有3个 （2） 【解析】 【分析】（1）分两种情况得出的所有可能值以及相应的的个数； （2）先根据已知得出，求截正四面体得到的两部分几何体体积之比. 【小问1详解】 情形一：分别取的中点， 由中位线性质可知， 此时平面为的一个1阶等距平面， 为正四面体高的一半，等于. 由于正四面体有4个面，这样的1阶等距平面平行于其中一个面，有4种情况； 情形二：分别取的中点， 将此正四面体放置到棱长为1的正方体中， 则为正方体棱长的一半，等于. 由于正四面体的六条棱中有3组对棱互为异面直线， 这样的1阶等距平面平行于其中一组异面直线，有3种情况. 综上所述，当的值为时，有4个；当的值为时，有3个. 【小问2详解】 在线段上分别取一点， 已知与分别在两侧，所以分别在棱上， 设点到的距离为， 又因为的4阶等距集为 而对应距离， 所以到的距离应分别为， 对于线段与平面的交点，有距离比与线段比的关系： 因此 同理， 所以 又所以 因此只要在三条棱上按， 取点，过这三点作平面，就能使四个顶点到平面的距离之比为 四面体与原正四面体共顶点， 且从出发的三条棱分别按比例缩小， 因此 所以含的小四面体体积为 另一部分体积为 于是两部分体积之比为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期位育中学期中考试试卷 高二年级数学学科 （考试时间100分钟 总分100分） 一、填空题（本大题共有12题，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分，满分42分） 1. 若点平面，点平面，则直线AB__________平面（填合适的符号） 2. 已知圆柱底面圆的半径为1，母线长为4，则该圆柱的体积为______． 3. 一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做__________． 4. 正方体中，化简__________． 5. 一平面图形的直观图是边长为的正方形，则原图形的周长是___________． 6. 命题：“若空间中的三条直线、、两两相交，则直线、、在同一平面上．”是______命题（填“真”或“假”）． 7. 已知圆锥的底面积与侧面积之比为，则其轴截面顶角的正弦值为____. 8. 已知是球的直径上一点，，平面，为垂足，平面截球所得截面的面积为，则球的体积为__________． 9. 在棱长为1的正四面体中，，则__________． 10. 《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体为鳖臑. 如图，在鳖臑中，平面，，，，分别为棱上一点，则的最小值为____. 11. 如图，圆锥形容器的高为，圆锥内水面的高为，且，若将圆锥倒置，水面高为，则等于________. 12. 正方体中，过作直线，若直线与平面中的直线所成角的最小值为，且直线与直线所成角为，则满足条件的直线的条数为_________. 二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题3分，第15、16题每题4分，满分14分） 13. 空间四个点中，三点共线是这四个点共面的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 设，是两条不同的直线，，是两个平面，下列说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，那么 15. 如图所示，正三棱柱的所有棱长均为，点、、分别为棱、、的中点，点为线段上的动点，则下列选项中不正确的是（ ） A. 直线与直线始终异面 B. 直线与直线可能垂直 C. 直线与直线可能垂直 D. 直线与直线可能垂直 16. 有两个棱长均为1的正四棱锥，底面中心分别为、，另有一个棱长为1的正四面体，现将两个正四棱锥的各一个三角形侧面与正四面体的两个面完全贴合，拼接成一个新的几何体．对于所有的拼接方式，线段的长度所组成的集合中，共有（　　）个元素 A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 三、解答题（本大题共有5题，满分44分；大题若使用建系方法，得分减半计入总分．） 17. 如图，在正方体中，为正方形的中心，为直线与平面的交点．求证：，，三点共线． 18. 如图，在正三棱柱中，，，为棱上一点且. （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求二面角的大小. 19. 如图，四棱锥中，平面，，，为的中点，点在棱上，直线和直线相交． （1）求证： （2）若，，．求直线与平面所成的角． 20. 如图，在三棱台中，底面满足，， ，，分别为，的中点，且. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； 21. 已知是棱长为的正四面体，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，为的阶等距集． （1）若为的1阶等距平面且1阶等距集为，写出的所有可能值以及相应的的个数（无需说明理由）； （2）已知为的4阶等距平面，且点与点、、分别位于的两侧．是否存在，使的4阶等距集为，其中点到的距离为？若存在，求截正四面体得到的两部分几何体体积之比；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $