精品解析：陕西实验高级中学2026-2027学年高一上学期期中数学试卷

陕西实验中学2026—2027学年高一上学期期中考试 数　学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 4．本卷主要命题范围：必修第一册第一章～第三章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. 且 D. 且 3. 下列图形能表示函数图象的是（　　） A. B. C. D. 4. 已知是定义在上的奇函数，那么的值是（ ） A. B. C. D. 1 5. 函数的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 6. 已知，若，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 若不等式有且只有三个整数解，实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式的解集可能为（ ） A. B. C. D. 或 10. 下列命题中正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “且”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的充要条件 D. “”是“”的充要条件 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 函数为偶函数 B. 当时， C. 函数的值域为 D. 若，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 幂函数的图象经过点，则实数__________. 13. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为______. 14. 已知函数,若，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知全集，集合，． （1）求和； （2）求和． 16. 已知幂函数在上单调递增. （1）求的值； （2）当时，求函数的最小值. 17. 某地区上年度电价为0.8元/kW•h，年用电量为akW•h，本年度计划将电价降到0.55元/kW•h至0.75元/kW•h之间，而用户期望电价为0.4元/kW•h，经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）．该地区电力的成本为0.3元/kW•h． （1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式； （2）设，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？ （注：收益＝实际用电量×（实际电价﹣成本价）） 18. （1）已知都是正数，求证：； （2）若，且，求的取值范围． 19. 已知函数，且. （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明； （3）若对任意的恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西实验中学2026—2027学年高一上学期期中考试 数　学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 4．本卷主要命题范围：必修第一册第一章～第三章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题.所以原命题的否定为“”. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据零指数幂的性质、二次根式的性质、分式的性质进行求解即可. 【详解】由题意可知：且， 故选：D 3. 下列图形能表示函数图象的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的定义判断图象． 【详解】根据函数的定义，对于任意的取值，有唯一确定的与之对应，从选项可以看出，B，C，D中，一个对应两个值，故不能表示函数． 4. 已知是定义在上的奇函数，那么的值是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的定义得到，，求出，，得到答案. 【详解】由题意得，解得， 又，故， 所以，. 故选：D 5. 函数的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】换元再配方可得答案. 【详解】令，则， 所以. 故选：D. 6. 已知，若，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数为偶函数可得，再由函数单调性建立不等式求解即可. 【详解】因为的定义域为,关于原点对称，且， 所以是偶函数， 故由可得， 当时，是增函数， 所以，解得， 故选：B 7. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先计算，再代入公式，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意可知，， 所以， ， 而，所以，当时等号成立， 所以三角形面积的最大值为. 故选：B 8. 若不等式有且只有三个整数解，实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，，故可得不等式的解集中的三个整数为，据此可求参数的取值范围. 【详解】设，则， 故的解集中有整数1，而， 故不等式的解集中的三个整数为，故， 所以，故， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式的解集可能为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】AB 【解析】 【详解】已知，不等式，则， 而方程的两根是， 当，即时，不等式的解集为，对应选项A； 当，即时，不等式变为，无解； 当，即 时，不等式的解集为，对应选项B. 综上所述，结合选项可知AB正确. 10. 下列命题中正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “且”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的充要条件 D. “”是“”的充要条件 【答案】AB 【解析】 【分析】根据充要条件的性质即可判断求解也可以利用集合之间的关系更方便理解求解. 【详解】对于A：因为可以推出，但是不可以推出， 所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 对于B：因为且可以推出， 但是不可以推出且， 所以“且”是“”的充分不必要条件，故B正确； 对于C：因为，解得或， 所以“”可以推出“”， 但是“”不可以推出“” 所以“”是“”的充分不必要条件，故C错误； 对于D：当时，， 所以“”不可以推出“”， 但是“”可以推出“”， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D错误. 故选：AB. 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 函数为偶函数 B. 当时， C. 函数的值域为 D. 若，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用奇偶性定义可判断A选项；直接计算可判断B选项；由，根据可得函数的值域可判断C选项；判断出的单调性，根据单调性可得，两边平方解不等式可判断D选项. 【详解】对于A，，由， 可得函数为偶函数，故A选项正确； 对于B，由， 可得，故B选项正确； 对于C，由，又由，有， 有，可得函数的值域为，故C选项错误； 对于D，当时，由，可得函数在上单调递增， 又由函数为偶函数，可得函数的减区间为，增区间为， 若，有，不等式两边平方后可解得或，故D选项正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 幂函数的图象经过点，则实数__________. 【答案】##-0.5 【解析】 【分析】根据幂函数图象所过的点计算求参即可. 【详解】幂函数的图象经过点，则 则实数. 故答案为：. 13. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解集为，可知二次函数开口向上，判别式小于0，解得即可. 【详解】当时，，，不满足题意； 当时，,所以， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 14. 已知函数,若，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】讨论的范围，把不等式具体化，解出不等式即可. 【详解】根据分段函数的定义可知， 当时，不等式可化为， 解得； 当时，不等式可化为， 解得； 当，不等式可化为，无解. 综上知，的取值范围为 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知全集，集合，． （1）求和； （2）求和． 【答案】（1），或； （2）， 【解析】 【分析】（1）利用集合的补集运算即可求解； （2）利用集合的交并补集运算即可求解. 【小问1详解】 因为全集，集合， 所以，或； 【小问2详解】 由（1）得， 因为，所以． 16. 已知幂函数在上单调递增. （1）求的值； （2）当时，求函数的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义以及单调性求得的值. （2）讨论对称轴与区间的关系，根据函数的单调性求得在上的最小值． 【小问1详解】 由题意可得：， 解得：； 【小问2详解】 由（1）， 则，对称轴为直线， 当，即时，在上单调递增，所以； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以； 当，即时，在上单调递减，所以． 综上所述， 17. 某地区上年度电价为0.8元/kW•h，年用电量为akW•h，本年度计划将电价降到0.55元/kW•h至0.75元/kW•h之间，而用户期望电价为0.4元/kW•h，经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）．该地区电力的成本为0.3元/kW•h． （1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式； （2）设，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？ （注：收益＝实际用电量×（实际电价﹣成本价）） 【答案】（1） （2）0.6元/kw•h 【解析】 【分析】（1）先根据题意设下调后的电价为x元/kw•h，依题意知用电量增至，得出电力部门的收益即可； （2）依题意：“电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%”得到关于x的不等关系，解此不等式即得出电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%． 【小问1详解】 设下调后的电价为x元/kw•h， 依题意知用电量增至，电力部门的收益为 【小问2详解】 依题意有， 整理得， 解此不等式得， 答：当电价最低定为0.6元/kw•h仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%． 【点睛】本小题主要考查建立函数关系、解不等式等基础知识，考查综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的能力． 18. （1）已知都是正数，求证：； （2）若，且，求的取值范围． 【答案】（1）因为都是正数，所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 所以， 当且仅当时，等号成立， 故，得证； （2） ． 【解析】 【分析】（1）三次应用基本不等式结合不等式性质证明即可； （2）应用基本不等式，再结合换元法求解一元二次不等式计算即可. 【详解】（1）略 （2）因为，所以（当且仅当时等号成立）， 因为，移项，得， 所以， 设，则，解得（舍去）或， 因为，所以， 故的取值范围为． 19. 已知函数，且. （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明； （3）若对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）由（1）知，， 在上的单调递减， 证明如下：任取，设， ， 因为， 所以，故在上的单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）根据列式求解； （2）根据单调性的定义证明函数的单调性即可； （3）通过换元法，根据基本不等式求出的最小值，结合恒成立通过最值得关于的不等式，解不等式即可求解参数范围. 【小问1详解】 因为，代入得：即， 解得：. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 对任意的，， 因为，令， ， 根据基本不等式性质，， 当且仅当即时，等号成立，所以， 所以， 可转化为即， 解得：. 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $