精品解析：广东广州市执信中学2026-2027学年第一学期高二数学期中试卷

2026-2027学年度第一学期 高二级数学科期中考试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、考号等相关信息填写在答题卡指定区域内. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若：与：是两条不同的直线，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 双曲线与双曲线的（ ） A. 顶点相同 B. 焦点相同 C. 虚轴长相等 D. 离心率相等 4. 已知抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，点为坐标原点，若双曲线的离心率为2，则三角形的面积（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角所对的边分别为，，，则边上的高为（ ） A. B. 1 C. D. 2 6. 一个半圆柱容器中盛有水，半圆柱的高，底面半径，若侧面水平放置时（如图），水面恰好没过线段CD，此时，那么当底面ABCD水平放置时，水面高为（ ） A. B. C. D. 7. 有一凸透镜其剖面图（如图）是由椭圆和双曲线的实线部分组成，已知两曲线有共同焦点M、N；A、B分别在左右两部分实线上运动，则周长的最小值为: A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率不为0的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数的共轭复数为，若为虚数，则下列结论一定正确的是（    ） A. B. C. D. 10. 已知椭圆C的方程是，P为椭圆C上任意一点，分别为椭圆的左、右焦点，过点且斜率不为0的直线与椭圆C交于A，B两点，的周长为8，则下列说法正确的是（ ） A. B. 存在点P，使得的面积为2 C. 椭圆C上只存在4个不同的点P，使得为直角三角形 D. 内切圆半径的最大值与外接圆半径的最小值的比值为 11. 已知点，分别为双曲线：（）的左，右顶点，点为上异于，的动点，直线，与轴的两个交点分别为，，下列结论正确的是（    ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 直线，的斜率之积为2 C. 是直角三角形 D. 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为奇函数，则实数________． 13. 已知光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程为________． 14. 已知正四面体的棱长为，动点P满足，用所有这样的点P构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知中，，且． （1）求外接圆的半径； （2）若，求的面积． 16. 已知点，为坐标原点，圆：． （1）当时，已知圆和圆相交于，两点，求线段的长度； （2）若圆上存在点使得，求实数的取值范围． 17. 如图，三棱柱中，平面，，．过的平面交于点，交棱于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）是否存在点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18. 已知椭圆：（）的离心率为，且经过点． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左，右顶点分别为，，过轴上的一点（）作直线交椭圆于，两点（异于点，）．设直线斜率为，直线斜率为． （ⅰ）求（用表示）； （ⅱ）若，记的面积为，的面积为，求的最大值． 19. 对于函数和，若存在函数，使得，则称是的“关联函数”. （1）已知，，是否存在定义域为的函数，使得是的“关联函数”?并说明理由； （2）已知是周期为2π的偶函数，且当时，.函数是的“关联函数”，若方程在上至少有22个根，求的最小值； （3）已知函数和的定义域都为.当时，.若存在函数及，使得是的“关联函数”，且是的“关联函数”，求方程的解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期 高二级数学科期中考试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、考号等相关信息填写在答题卡指定区域内. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解对数不等式化简集合A，进而可得并集. 【详解】由题意可得：， 且，所以. 故选：C. 2. 若：与：是两条不同的直线，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若两直线平行，则，解得或， 当时，两直线的斜率都为，纵截距分别为和，平行； 当时，两直线的斜率都为，纵截距分别为和，平行 所以“”是“”的充分不必要条件. 3. 双曲线与双曲线的（ ） A. 顶点相同 B. 焦点相同 C. 虚轴长相等 D. 离心率相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程及简单的几何性质判断即可. 【详解】因为为双曲线，所以，解得. 此时，双曲线方程可改写为. 对于，分别记，，，焦点在轴上，焦点为. 对于，分别记，，，焦点在轴上，焦点为. 对于A，第一个双曲线顶点为，第二个双曲线顶点为，只有当时，顶点相同，A错误. 对于B，两者焦点均为，B正确. 对于C，第一个双曲线虚轴长为，第二个双曲线虚轴长为2，只有当时，虚轴长相等，C错误. 对于D，第一个双曲线离心率为，第二个双曲线离心率为，只有当时，离心率相等，D错误. 4. 已知抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，点为坐标原点，若双曲线的离心率为2，则三角形的面积（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为双曲线的离心率为，可得， 则双曲线的渐近线为， 又因为抛物线的准线为， 可知直线与渐近线的交点为，， 所以三角形的面积. 5. 在中，角所对的边分别为，，，则边上的高为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理求，利用余弦定理求，然后结合面积公式可得解. 【详解】由正弦定理和可得， 又，， 所以， 因为，所以， 所以，得，即， 由余弦定理可得，即， 记边上的高为，则由面积公式得，得. 6. 一个半圆柱容器中盛有水，半圆柱的高，底面半径，若侧面水平放置时（如图），水面恰好没过线段CD，此时，那么当底面ABCD水平放置时，水面高为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出侧面水平放置时，水在半圆截面内的横截面积，结合母线长得到水的体积；再将容器翻转，设底面水平放置时水面高度为，根据柱体体积公式列方程求解水面高度. 【详解】半圆柱的母线长度（即半圆柱的高）为，底面是半径的半圆. 水的横截面积（即垂直于半圆柱轴向的截面中，水占据的区域面积）：水面上方空白区域是弓形， 弓形面积扇形的面积的面积. 扇形面积公式：由扇形圆心角，，得；​ 三角形面积公式：由，​，得. 所以弓形面积为. 又半圆面积：， ​因此水的横截面积总和为：，​  结合半圆柱轴向长度，水的体积为：. 当半圆柱的底面水平放置时，容器变为“底面为半径1的半圆、柱高为”的柱体， 此时水的体积满足：半圆底面面积×水面高h . 半径为1的半圆底面积为，代入体积等式： ， 约去后整理得：. 综上，水面高为：. 7. 有一凸透镜其剖面图（如图）是由椭圆和双曲线的实线部分组成，已知两曲线有共同焦点M、N；A、B分别在左右两部分实线上运动，则周长的最小值为: A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题得：设周长为 当且仅当M、A、B共线时，周长的最小 点睛：考察椭圆和双曲线的综合，根据题意要得周长得最小值，首先要将周长得表达式写出，根据椭圆和双曲线得性质得AB、BN、AM、AN的关系将其替换到周长中，然后根据三角形两边之和大于第三边得到答案 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率不为0的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形面积比得到线段比例关系，结合等腰三角形性质和椭圆定义，利用余弦定理建立的关系求解离心率即可. 【详解】由，得. 因在线段上，，所以. 由，得. 根据椭圆定义，，故， 因此； 则. 因共线，，故. 在等腰中由余弦定理得： . 在中由余弦定理： . 即. 整理得，即，解得或. 又，所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数的共轭复数为，若为虚数，则下列结论一定正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由复数的基本运算求解． 【详解】设，且，则共轭复数. ，故选项AC正确，B错误； ，当时，，故选项D错误. 10. 已知椭圆C的方程是，P为椭圆C上任意一点，分别为椭圆的左、右焦点，过点且斜率不为0的直线与椭圆C交于A，B两点，的周长为8，则下列说法正确的是（ ） A. B. 存在点P，使得的面积为2 C. 椭圆C上只存在4个不同的点P，使得为直角三角形 D. 内切圆半径的最大值与外接圆半径的最小值的比值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据椭圆的定义结合△ABF₂的周长为8的条件，即可求出的值，从而判断选项A；由椭圆中焦点三角形最大面积为，求出最大面积即可判断选项B；分情况考虑直角三角形的顶点，即可判断选项C；先内切圆的面积公式可知最大时，内切圆半径最大，求出内切圆半径；再由正弦定理可得外接圆半径的等量关系，当时，此时外接圆半径最小，求出最小值，即可判断选项D. 【详解】对于A，由题可知，椭圆焦点在轴上，由椭圆的定义可知，， 又，所以的周长为，所以，选项A正确； 对于B，由A知，则椭圆的方程为，即，所以， 因为，所以不存在点，使的面积为2，选项B错误； 对于C，若为直角三角形，当时，存在两个这样的点；当时，存在两个这样的点； 当时，可得的轨迹为以为直径的圆，即，不包括，两点，因为，所以圆与椭圆有四个交点， 即椭圆上存在4个不同的点，使得. 因此，椭圆上存在8个不同的点，使得为直角三角形，选项C错误； 对于D，由的周长为，设内切圆的半径为， 则，所以当最大时，内切圆半径最大， 此时为上顶点或下顶点，，则，解得； 设外接圆的半径为，由正弦定理可得， 由选项C可知，存在点使得，则，此时， 所以内切圆半径的最大值与外接圆半径的最小值的比值为，选项D正确. 11. 已知点，分别为双曲线：（）的左，右顶点，点为上异于，的动点，直线，与轴的两个交点分别为，，下列结论正确的是（    ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 直线，的斜率之积为2 C. 是直角三角形 D. 的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据双曲线方程求渐近线即可；对于B：设，结合双曲线方程分析证明；对于C：求点的坐标，结合斜率公式证明线线垂直；对于D：求点的坐标，可得，进而分析求解. 【详解】根据题意，如图所示： 对于选项A：双曲线的标准形式为，为等轴双曲线，， 所以渐近线方程为，故A正确； 对于选项B：设，满足，，， 则，故B错误； 对于选项C：直线的方程为， 令得，所以直线的斜率， 可得，故，故C正确； 对于选项D：直线的方程为， 令得，则， 由得，故，即， 所以的取值范围为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为奇函数，则实数________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】先利用奇函数定义域关于原点对称的性质求得的候选值，再代入验证满足奇函数的定义即可. 【详解】由，解得， 由于奇函数的定义域关于原点对称，因此两个间断点和互为相反数，即，解得， 当时，，定义域为， 而 ，满足奇函数的定义， 故实数的值为. 13. 已知光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程为________． 【答案】. 【解析】 【分析】设关于的对称点为，列出方程组，求得的值，进而求得反射光线所在直线方程. 【详解】设关于的对称点为， 则，解得，即， 因为，所以反射光线所在直线方程为，即. 14. 已知正四面体的棱长为，动点P满足，用所有这样的点P构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】设四个顶点为，根据得到截面方程即可求解. 【详解】建立正四面体的顶点坐标， 设四个顶点为， 每条棱长均为，设动点， ， ， ， ， ， ， 因为， 所以，即所有满足条件的点构成的平面为平面（平面）， 而为正方体的顶点（如图所示），且该正方体的中心为原点， 由对称性可得棱交于，棱交于，棱交于，棱交于， 截面四边形的顶点为， 在平面上形成一个菱形，其对角线的长度为，故面积为2. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知中，，且． （1）求外接圆的半径； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据三角恒等变换将题干信息转化为，再借助角化边变为，最后用余弦定理可得，用正弦定理即可求出外接圆的半径； （2）将已知数据带入第一问得到的等式，求出，再利用三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 由题知，， 根据正弦定理可得，整理得， 故，又，故. 根据正弦定理可得，外接圆的半径. 【小问2详解】 由（1）知，将代入上式， 得，解得或者（舍）， 故. 16. 已知点，为坐标原点，圆：． （1）当时，已知圆和圆相交于，两点，求线段的长度； （2）若圆上存在点使得，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先通过两圆方程作差得到公共弦所在直线方程，再结合点到直线距离公式和弦长公式计算AB长度；（2） 先将转化为点P的轨迹方程，再利用两圆有公共点的圆心距条件求解a的取值范围. 【小问1详解】 当时，圆M：，即圆M：， 圆和圆相交于，，将两圆方程作差消去二次项，得公共弦AB所在直线方程为， 圆的圆心为，半径，故圆心到直线AB的距离为  ， 由弦长公式得. 【小问2详解】 设点，由，得  ， 两边平方得  ，整理得点P的轨迹方程为， 即轨迹为以为圆心，半径的圆， 由题意圆M与上述轨迹圆有公共点，圆M的圆心为，半径，故圆心距满足  ，即，两边平方得， 对，化简为，其判别式，故该不等式对任意实数a恒成立； 对，化简为，解得； 综上，实数a的取值范围为 17. 如图，三棱柱中，平面，，．过的平面交于点，交棱于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）是否存在点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：在三棱柱中，， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面平面， 所以， 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，因此，四边形为平行四边形． （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理可得，，即可得结果； （2）建立空间直角坐标系，，，求平面的法向量，利用空间向量结合线面夹角运算求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 存在点使得直线与平面所成的角为，且，理由如下： 因为平面，平面，平面 所以，， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴， 建立如下图所示的空间直角坐标系， 由题意得，，，，，． 可得，，，，， 设，，则， 所以， 设平面的法向量，则， 令，得， 设直线与平面所成角为， 于是得，解得或（舍去） 当时，，即点与点重合． 18. 已知椭圆：（）的离心率为，且经过点． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左，右顶点分别为，，过轴上的一点（）作直线交椭圆于，两点（异于点，）．设直线斜率为，直线斜率为． （ⅰ）求（用表示）； （ⅱ）若，记的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】（1）． （2）（ⅰ）;（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）利用离心率的公式得到的等式，由在椭圆上得到的等式，结合计算得到，，从而得到椭圆的方程． （2）（ⅰ）根据题意设直线的方程为，此直线和椭圆联立方程组，消去得到关于的一元二次方程，则，设，，利用韦达定理求出，，求出.（ⅱ）由结合（ⅰ）的计算结果求出，从而得到，，由结合的值求出，利用三角形的面积公式求出，，计算，利用基本不等式求出的最大值． 【小问1详解】 因为椭圆：（）的离心率为， 所以，化简得①， 因为在椭圆上，所以②， 联立①②解得，，故椭圆的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）过轴上的一点（）作直线交椭圆于，两点（异于点，）， 设直线的方程为， 则联立，消去得， 其中，即， 设，，则，， 则 . （ⅱ）因为， 所以由（ⅰ）可得， 解得，即， 则，， 因为，，所以，解得， 记的面积为，的面积为， 则，， 则， 令，则， 则，当且仅当，即时等号成立． 则的最大值为． 19. 对于函数和，若存在函数，使得，则称是的“关联函数”. （1）已知，，是否存在定义域为的函数，使得是的“关联函数”?并说明理由； （2）已知是周期为2π的偶函数，且当时，.函数是的“关联函数”，若方程在上至少有22个根，求的最小值； （3）已知函数和的定义域都为.当时，.若存在函数及，使得是的“关联函数”，且是的“关联函数”，求方程的解. 【答案】（1）不存在，理由： 假设存在定义域为的函数， 使得是的“关联函数”， 由定义可得， 取，则 ，矛盾， 故不存在这样的函数； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据关联函数定义，若存在，则应有．取即可得到矛盾． （2）由的偶性和周期性，先确定时，从而．再分析方程在各区间内的解的个数，确定第22个解的位置． （3）由两个关联关系推出与零点相同，于是只需求的解．再按分类讨论即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，因为是周期为的偶函数，且当时，，所以． 因为是的“关联函数”，所以． 由，得．当时，． 令，得，所以或． 当时，，所以，故方程无解． 当时，在区间内，方程有4个解， 分别为 因此，在内有2个解；之后每经过一个形如的区间，会增加4个解． 要至少有22个解，除开始的2个解外，还需增加20个解，即需要5个这样的区间， 第22个解为，故的最小值为． 【小问3详解】 由题意，存在函数及，使得且 若，由可得； 若，由可得． 因此与的零点相同． 所以求方程的解，等价于求方程的解． 当时，， 令，得 因为，所以. 当时，，于是 因为，所以. 因为，所以，从而 故时，方程无解． 综上，方程的解为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $