精品解析：广东佛山市顺德区国华纪念中学2026-2027学年度第一学期期中考试高二数学试卷

国华纪念中学2026—2027学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 直线：与：相交，则交点是（ ） A. B. C. D. 3. 若方程表示圆，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若甲、乙、丙三人排队，则甲排在第二位的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，等于（ ） A. B. C. D. 6. 在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，若直线与线段AB相交，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点为圆上任意一点，过点分别向直线和作垂线，垂足分别为，．则的最大值为（    ） A. B. 16 C. D. 15 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分 9. 已知随机事件A、B发生的概率分别为，，则（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若A与B相互独立，则 C. 若，则 D. 若，则事件与相互独立 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若，则与的夹角是钝角 C. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 D. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量是 11. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）． A. B. 异面直线与所成角正弦值为 C. 点P到直线的距离是 D. M为线段上的一个动点，则的最大值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆的半径为________． 13. 2026年端午节，天津海河龙舟赛现场同步举办了“端午民俗知识竞答”活动．来自本市的三位市民甲、乙、丙独立参与挑战，题目涵盖粽子文化、艾草习俗等．已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为，丙答对题目的概率为．则至少有一人答对题目的概率为____________；甲、乙、丙恰有两人答对题目的概率为____________． 14. 已知正四面体的棱长为，用满足的动点构成的平面截正四面体，所得截面多边形的周长为__________． 四、解答题：本题共5题，共77分. 15. 已知的三个顶点坐标分别为、、． （1）求的边上的高所在的直线方程． （2）求的面积． 16. 已知圆的圆心在直线上，半径为，且圆经过点． （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆交于两点，若，求直线的方程． 17. 某公司组织抽奖活动，每人参与一次抽奖，规则如下: 在盒内放有标有数字为1，2，3的三个小球，参与者有放回地抽两次，三个小球都是等可能地被随机抽取，第一次取出小球上的数字记为 ， 第二次取出小球上的数字记为 ，若 ，则参与者中奖. （1）试列举出由样本点 组成的样本空间 ，并计算出参与者中奖的概率； （2）若甲、乙、丙、丁四人分别独立参与抽奖，求甲乙获奖总数大于丙丁获奖总数的概率. 18. 如图，，，为圆锥的三条母线，且． （1）证明：； （2）若为圆锥底面圆的直径，且圆锥侧面积为，（体积为，求平面与平面的夹角的余弦值． 19. 平面直角坐标系中，已知圆，圆. （1）过点作圆的切线，求切线的方程； （2）若，直线与圆交于，两点，且，求的值； （3）设为圆的任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出点的坐标，并求出定值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 国华纪念中学2026—2027学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】直线化为 所以直线的斜率为 2. 直线：与：相交，则交点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】联立直线方程求解即可. 【详解】联立，解得，即l1与l2的交点坐标为． 3. 若方程表示圆，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为方程表示圆， 所以，解得， 所以m的取值范围是. 4. 若甲、乙、丙三人排队，则甲排在第二位的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】甲在三个位置（第 1、第 2、第 3 位）是等可能的， 甲只可能在第 1 位、第 2 位、第 3 位，共 3 种等可能情况， 所以甲在第二位的概率. 5. 如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 . 6. 在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设直线与平面所成的角为， 则，又 ，故. 7. 已知点，，若直线与线段AB相交，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得直线恒过的定点，数形结合只需求得线段与直线有交点时的斜率，结合斜率和倾斜角的关系即可求得结果. 【详解】因为直线的方程可化为， 所以直线过定点， 又，， 所以直线的斜率，直线的斜率， 所以PA的倾斜角为，PB的倾斜角为， 结合倾斜角和斜率的关系可知倾斜角的取值范围是， 故选：C． 8. 已知点为圆上任意一点，过点分别向直线和作垂线，垂足分别为，．则的最大值为（    ） A. B. 16 C. D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知互相垂直且均经过定点，进而可得，再由基本不等式计算即可求解． 【详解】已知圆，化为标准方程为，因此圆的圆心，半径， 由直线和，可知互相垂直且均经过定点， 又因为，，所以四边形是一个矩形，且， 因此，当且仅当三点共线且在线段之间时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 检验：当三点共线时，， 直线的方程为，即， 直线与圆联立方程组得，解得两个交点分别为 和 ， 结合题意可知应在离较远的一侧，取， 此时，，所以， 经检验，当时，有最大值为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分 9. 已知随机事件A、B发生的概率分别为，，则（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若A与B相互独立，则 C. 若，则 D. 若，则事件与相互独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据事件互斥以及事件的运算性质计算，即可判断A、B、C；根据对立事件概率公式以及事件的独立性即可判断D. 【详解】对于A项，因为与互斥， 所以，故A正确； 对于B项，因为与相互独立，所以， 所以，故B正确； 对于C项，因为，所以，故C错误； 对于D项，由，可得， 所以，所以事件与相互独立，故D正确. 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若，则与的夹角是钝角 C. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 D. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.两向量共线可确定一个平面，第三个向量必然落在该平面内，三向量必共面；B. 包含与的夹角是 180° 的情况，不能直接判定为钝角； C.空间四点共面的充要条件是向量分解式的系数和为 1，代入验证即可；D.按投影向量公式计算. 【详解】对于A选项，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，A正确； 对于B选项，当与的夹角是时，满足，因此仅由 不能推出夹角是钝角，B错误； 对于C选项，对空间中任意一点，，则，，，四点共面的充要条件是， ，，满足四点共面的条件，C正确； 对于D选项，则在方向上的投影向量为，D正确． 11. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）． A. B. 异面直线与所成角正弦值为 C. 点P到直线的距离是 D. M为线段上的一个动点，则的最大值为2 【答案】BC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据坐标运算判断选项A；利用向量夹角公式和同角三角函数的基本关系求解，判断选项B； 根据点到直线的向量公式可判断选项C；利用坐标表示出，即可判断选项D． 【详解】建立下图所示空间直角坐标系，则，，，， ，，，，故，， ，，，，， ， 选项A：，故A错误； 选项B：设异面直线与所成角为，，则 ， 故，故B正确； 选项C：记与同向的单位向量为，则， 则点P到直线的距离是，故C正确； 选项D：设点，使得，， 即，故，点， 则， 当，即点M与Q重合时，取最大值3，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆的半径为________． 【答案】 2 【解析】 【分析】将圆的一般方程通过配方转化为标准方程，即可求解半径. 【详解】圆方程可化为 ，故半径为2. 13. 2026年端午节，天津海河龙舟赛现场同步举办了“端午民俗知识竞答”活动．来自本市的三位市民甲、乙、丙独立参与挑战，题目涵盖粽子文化、艾草习俗等．已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为，丙答对题目的概率为．则至少有一人答对题目的概率为____________；甲、乙、丙恰有两人答对题目的概率为____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】考查相互独立事件概率的计算，对于“至少有一人答对题目的概率”，可先求出“三人都答错的概率”，再用1减去该概率；对于“甲、乙、丙恰有两人答对题目的概率”需要分别计算出甲、乙答对丙答错，甲、丙答对乙答错，乙、丙答对甲答错这三种情况的概率，然后将它们相加即可. 【详解】设至少一人答对为事件，恰有两人答对为事件， 甲答对为事件，乙答对为事件，丙答对为事件， 由题意得 ， 而 . 14. 已知正四面体的棱长为，用满足的动点构成的平面截正四面体，所得截面多边形的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将正四面体放入正方体中，建立空间直角坐标系，利用空间两点的距离公式确定截面的形状，可求出周长. 【详解】如图， 将正四面体放入正方体中，因为正四面体的棱长为，所以对应正方体的棱长为4. 以为原点建立如图空间直角坐标系，则，，，. 设动点， 由题意得，， 整理得，. 取，，，分别为棱，，，的中点，则四边形即为动点构成的平面截正四面体所得的截面图形. 因为四边形为菱形，且， 所以所得截面多边形的周长为. 四、解答题：本题共5题，共77分. 15. 已知的三个顶点坐标分别为、、． （1）求的边上的高所在的直线方程． （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据高线的性质，结合互相垂直直线的斜率关系，结合直线点斜式方程进行求解即可； （2）根据点到直线距离公式、两点间距离公式、三角形面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 解：∵，， ∴AB的斜率 ， ∴AB边高线斜率，又， ∴AB边上的高线方程为. 【小问2详解】 解：直线AB的方程为，即， 顶点C到直线AB的距离为， 又， ∴的面积 . 16. 已知圆的圆心在直线上，半径为，且圆经过点． （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆交于两点，若，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆C的圆心为，然后由圆的标准方程结合待定系数法可得答案； （2）分直线的斜率不存在，斜率存在两种情况讨论，利用可得直线到圆心的距离，由点到直线距离公式可得答案. 【小问1详解】 设圆的圆心为，则圆的方程为， ，解得， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 由（1）知圆心，，设圆心到直线的距离为， 则，解得， 所以当直线斜率不存在时，，此时符合题意； 当直线斜率存在时，设，即， 此时，整理得，解得， 所以直线的方程为或． 17. 某公司组织抽奖活动，每人参与一次抽奖，规则如下: 在盒内放有标有数字为1，2，3的三个小球，参与者有放回地抽两次，三个小球都是等可能地被随机抽取，第一次取出小球上的数字记为 ， 第二次取出小球上的数字记为 ，若 ，则参与者中奖. （1）试列举出由样本点 组成的样本空间 ，并计算出参与者中奖的概率； （2）若甲、乙、丙、丁四人分别独立参与抽奖，求甲乙获奖总数大于丙丁获奖总数的概率. 【答案】（1），中奖的概率为 . （2）. 【解析】 【分析】（1）有放回地抽两次，按「先第一次、后第二次」的顺序把所有样本点列举出来，再用古典概型的概率公式求中奖概率. （2）把甲、乙看成一组、丙、丁看成另一组，用各自的获奖人数刻画两人的获奖总数，比较两个独立随机变量的大小，按大小关系分类求概率. 【小问1详解】 有放回地抽取两次，第一次与第二次的抽取结果互不影响，每次抽到 1，2，3 的可能性相同. 按先第一次、后第二次的顺序列出所有样本点：，共 9 个样本点. 中奖对应事件 ，所含样本点为 ，共 3 个. 9 个样本点出现的可能性相等，由古典概型的概率公式得中奖的概率 . 【小问2详解】 由（1）知每人中奖的概率为 ，不中奖的概率为 ，四人抽奖相互独立. 记甲、乙两人中获奖的人数为 ，则 的可能取值为 . ，，. 记丙、丁两人中获奖的人数为 ，同理有 ，，，且 与 相互独立. 所求事件即 ，按 与 两类整合：. 所以 . 18. 如图，，，为圆锥的三条母线，且． （1）证明：； （2）若为圆锥底面圆的直径，且圆锥侧面积为，（体积为，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：取中点M，连接，，如图所示： 因为，所以， 又因为，，，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为M是中点，所以． （2）． 【解析】 【分析】（1）通过证明平面，可得，结合M是中点，可完成证明； （2）另设中点，故为底面圆的圆心，以为坐标原点，，，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，算出平面与平面的法向量，结合空间向量知识可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为为直径，可另设中点，故为底面圆的圆心，且平面， 由（1）知，所以以为坐标原点，，，分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系 ． 因为圆锥侧面积为，体积为，设圆锥底面圆半径为，母线长为， 则有，又，解得，， 故，，，， 故，，， 设为平面的法向量，则， 令，则，，所以， 设为平面的法向量，则， 令，则，，所以， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 19. 平面直角坐标系中，已知圆，圆. （1）过点作圆的切线，求切线的方程； （2）若，直线与圆交于，两点，且，求的值； （3）设为圆的任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出点的坐标，并求出定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）和. （2）或. （3）存在定点对应定值为；或定点对应定值. 【解析】 【分析】（1）判断点在圆外，确定切线有两条，斜率不存在时直线与圆相切；斜率存在时设出点斜式方程，利用圆心到直线距离等于半径建立方程求解斜率，进而得到切线方程. （2）由圆的标准方程，得到圆心和半径.将直线方程代入圆方程，整理成关于横坐标的二次方程，结合韦达定理和数量积求解参数，再用圆心到直线距离验证相交. （3）若存在，使为定值，则由整理后的方程系数为求解. 【小问1详解】 圆的圆心为原点，半径. 点满足：，故在圆外，切线有两条. 若切线斜率不存在，直线为，到圆心距离为1，恰好等于半径，是一条切线； 若切线斜率存在，设切线方程为，即， 由圆心到切线距离等于半径可得：， 化简得，解得， 所以切线方程为. 综上所述切线方程为和. 【小问2详解】 由 可得圆心，半径， 将代入圆方程，整理得： ， 设，由韦达定理得：，. 计算数量积： 代入韦达定理结果化简可得： ， 解得或，故直线为或， 圆心到直线距离分别为： ，， 故直线与圆相交，或. 【小问3详解】 由题设，满足方程， 若存在，使为定值， 而，， 所以， 整理得， 将代入， 得， 整理可得， 要使为定值，则， 解得 或 . 综上，存在定点对应定值为或定点对应定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $