天津市河北区2026-2027学年高二上学期期中统考数学试卷

高二数学试卷 本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟。 第1卷1至2页，第I卷3至6页。 祝各位考生考试顺利！ 第卷 注意事项：本卷共9题，每小题3分，共27分， 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的、 (1)已知直线1的斜率为-1，则1的倾斜角a为 (A)30 B)45 (C)135 ①)I50° (2)平行六面体ABCD-A,B,C,D,中，记AB=Q,AD=b,4=c,则BD,= (A)a+b+c (B)=a+6+c (C)a-b+c (D)a+b-c (3)已知空间向量a=自，-2，z),b=(2.y,4),若a∥5，则y+z= (A)-6 (B)-2 (C)2 (D)6 (4)若直线1，：(m-1)x+2y+1=0与直线1：x+my-3=0相互垂直，则实数m= (A)-1 ①)1 (5)椭圆2x2+3)2=1的一个焦点为 w(9 (C1.0) D)(0,) 高二年级数学试卷，第】页（共6页） (6)己知圆C:x2+y2-2x=0和圆C2:x竹+y2+6x-8y+16=0,则圆C与圆C,的位 置关系为 (A)内切 (B)相交 (C外切 D)外离 (7)已知直线l1:ax+y+2=0与直线/，：bx+2y-4=0,若(，与/2关于直线x-y=0对 称，则 (A)a=1,b=2 (B)a=-1,b=2 (C)a=1,b=-2 D)a=-1,b=-2 (8)如图天津市某生态公园规划了一个平面横截面为脑圆形的人工湖，为增器景现互动惟， 设计师在椭圆的两个焦点F,F,处分别建有一座水上雕湿，为方便游客近距离打卡，公园修建 了一条穿过碾塑F且与主轴（两摊塑连线F户3）垂直 的直线型水上木浅道，该浅道延伸至椭圆湖岸边，交 于最佳观景台P,经规划测量，从观景台P望向远端腿 塑F,的直线距离，恰好是两座罹塑之间距离的1.25倍 则该柿圆人工湖的离心率为 5 (A) 2 (B) 3 5 2 m马 (9)在四梭柱ABCD-A,B,C,D,中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AA,=2, 且∠AAB=∠A,AD=60'点P为底面正方形ABCD内部（含边界）的一动点若直线A,P 与底面ABCD所成角的正切值为√2，则线段PB长度的取值范囤是 (A)[3.11] ®，3] (C)1+V2,3+√2] D)〔6-1,6+ 高二年级数学试卷第2页（共6页） Ⅱ卷 注意事项：本卷共10题，共73分。 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分 (10)直线1：2x-3y+1=0的方向向量为 :（写出一个即可) (11)已知平面上两个定点A(3,0)B3,0),动点P满足PA+PB=8,则动点P的轨 迹方程为 (12)正方体ABCD-AB,CD,的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，则点O到平面 AC,D的距离为 (13)直线1：3x+4y+1=0与圆C:x2+y2+2x-6y-3=0交于M,N两点，则 MN= 。点P是圆C上一点，则△PMN面积的最大值为 (14)在三棱锥P-ABC中，侧棱PA,PB,PC两两互相垂直，且PA=1,PB=2,PC=3, 则PB·AC= :设n为平面ABC的一个法向量，且满足n·PA=6,若点M为 平面ABC内的一点，则nPM+n=」 (15)已知圆O:x2+y2=4与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧）.点P是圆0上异于 A,B两点的动点，直线AP交直线I:x=4于点M,直线BP交直线：x=4于点N以下 说法正确的有 ①M,N两点纵坐标之积yM·yw恒为定值-12： ②线段MN长度的最小值为8； ③以MW为直径的圆被x轴截得的弦长为定值4√5； ④直线AN与直线BM的交点Q恒在圆O上； ⑤△OMN的外接圆恒过不同于原点O的定点(7,0) 高二年级数学试卷第3页（共6页） 三、解答题：本大题共4小题，共49分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 (16)(本小题满分12分) 已知△ABC的三个顶点分别为A1,2),B(-1,-2),C3,-4), (T)求边BC所在的直线方程： (Ⅱ)求过点A且与边BC平行的直线方程； (m)求边BC的垂直平分线的方程 (17)(本小题满分12分) 已知圆心在直线L:y-3兰0上的圆C经过点(2，一1)和点B(0,1). (I)求圆C的标准方程； ()若经过点P(4,5)的直线I与圆C相切，求直线1的方程 高二年级数学试卷第4页（共6页） 三、解答题：本大题共4小题，共49分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (16)(本小题满分12分) 已知△ABC的三个顶点分别为A,2)B(-1,-2),C3,-4) (I)求边BC所在的直线方程： ()求过点A且与边BC平行的直线方程： (T)求边BC的垂直平分线的方程. (17)(本小题满分12分) 已知圆心在直线1：x+y-3=0上的圆C经过点A(2,-1)和点B(0,1). (I)求圆C的标准方程； (Ⅱ)若经过点P(4,5)的直线1与圆C相切，求直线1的方程. 高二年级敬学试卷第4页（共6页） (18)(本小题满分12分) 在长方体ABCD-AB,CD,中，AB=AD=2,AA=3.点E在楼DD上，且DE=2ED, D 点F为棱AB的中点，点M在棱AA,上，且AM=2MA· A B (I)求证：直线D,M∥平面CEF; (T)求平面AEF与平面CEF的夹角： M (I)求三棱锥B-CEF的体积. 高二年级数学试卷第5页（共6页） (19)(本小题满分13分) 回知椭圆0。+冷a>b>0的离心率为短稀长为2及 ()求椭圆的标准方程： (T)设P为椭圆的上顶点，过点P且斜率为e的直线I交x轴于点Q,交椭圆C于点M(与 点P不重合)若PM=2MO，且入≥2，求直线l的斜率k的取值范围. 高二年级数学试卷第6页（共6页） 高二数学试题参考答案及评分标准 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题3分，满分27分： (1)C (2)B (3)B (4)C (5)A (6)D (7)D (8)A (9)A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分24分： (10)(（3,2)(答案不唯一) (12)2 167 2 (13)6,6+3V13 (14)0,55 (15)①③④⑤ 三、解答题：本大题共5小题，共49分. (16)本小题满分12分 (I)由B(-1,-2),C3,-4) 所以得边BC所在的直线方程为： y-(2）_x-（-1) -4-(-2)3-(-1) 化简得：x+2y+5=0: (Ⅱ)设与边BC平行的直线方程为：x+2y+2=0 因为过点A1,2),代入得1+4+=0解得1=-5 所以过点A且与边BC平行的直线方程为：x+2y-5=0; (Ⅱ)设与边BC垂直的直线方程为：2x-y+4=0 因为BC的中点为(1，-3)，代入得2+3+4=0解得4=-5 边BC的垂直平分线的方程为2x-y-5=0. (17)本小题满分12分 (I)设圆心C的坐标为(a,b),因为圆心在直线1：x+y-3=0上，所以a+b-3=0① 因为A,B是圆C上两点，所以CA=CB,根据两点间距离公式，有 V(a-22+b+12=V(a-02+(b-12即a-b-1=0② 由①②可得a=2,b=1.所以圆心C的坐标为(2，). 圆的半径r=AC=V(2-2}+(1+12=2. 所以，所求圆C的标准方程为(x-22+(y-1=4. 高二年级数学参考答案第1页（共3页） (Ⅱ)1°直线l的斜率不存在时：因为直线l经过点P(4,5),所以直线1的方程为x=4, 此时圆心C(2,1)到直线l:x=4的距离为d=2=r, 所以直线：x=4是圆C的切线， 2°直线1的斜率存在时：设斜率为k,此时直线1的方程为y-5=k(x-4) 即x-y+5-4k=0, 所以此时圆心C(2,1)到宜线1的距离为d= 2k-4 Vk2+1 因为直线1与圆C相切，所以d=,即2k-4-2,化简得4k-3=0, Vk2+1 解得k=子，所以直线1的方程为3x-4y+8=0. 3 综上，直线l的方程为x=4或3x-4y+8=0. （18)本小题满分12分 以点D为坐标原点，分别以DA,DC,DD,所在直线为xy,z轴，建立空间直角坐标系D-yz. 由AB=AD=2,AA1=3,可得：D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,3),B1(2,2,3) 因为E在DD1上且DE=2ED1,所以E0,0,2). (I)D1M=(2,0,-1)。平面CEF内两向量：C正=(0，-2,2)，C7=(2,-1,0), 设平面CEF的法向量为i=(cy,z),则 0一 CF-2x-y=0 令=1，得i=(1,2,2)。因为n·D1M=1×2+2×0+2×(-1)=0,所以i⊥D1M, 又因为直线D1M￠平面CEF,所以直线D,M平面CEF. (Ⅱ)由(I)知，平面CEF的一个法向量为i=(1,2,2). A正=（←2,0,2），AF=(0,1,0).设平面AEF的法向量为m=(x1y1),则 [m·AE=-2x1+2z1=0」 m·AF=y1=0 →m=(10,1) 设平面AEF与平面CEF的夹角为0，则：cos0=历.列_I1x1+0x2+1×23V2 √2xv9 3V22 因为0∈0，π)故所求夹角为好 (II)由(I)知，平面CEF的法向量为7=(1,2,2)，且过点C0,2,0). 点B12,23)到平面CEF的距离为：=2+2x2+2×3-4_2+4+6-4到8 V12+22+22 3一=3 CE=√J02+(-2)2+22=2V2,CF=√22+(-1)2+02=V5,EF=V22+12+(-2)2=3 所以cos∠ECF=CE2+CF2-EF_8+5-94Vm 2-CECF2x2VaxV54W而0。则sin∠ECr-3m. 10 高二年级数学参考答案第2页（共3页） 所以5acar2cE:cFs∠EcF2aw53m 103. 所以三棱锥B-CEF的体积为x3x8=8 331 (19)本小题满分13分 (I)由题意知，椭圆的短轴长2b=2V5,解得b=V5,所以b2=3. 因为离心率e日所以61c 又根据椭圆的基本关系a2=b2+c2,代入可得：(2c)2=3+c2→3c2=3→c2=1 所以a2=42=4故椭圆C的标准方程为：王+ =1. (II)由(I)可知，椭圆的上顶点为P(0,V3). 设直线l的方程为：y=k+V5, 令心，解将一 (因为40，所以点Q的坐标为，0. 入椭圆方程三+1中，得：32+4+2，化简为3+42心2+8V3面 -8V3k 故点M的横坐标为：xM= 3+4k2’ 题目已知PM=M@,PM的横坐标为xM一xp=xM一0=xM:M@的横坐标为xQ-xM. 因此有：xM2w,化简得：(1+2w-2Q,即：23+42=(1+28k2一=34级' 8k2 8k2 因为22，即： 2-208302-1 3-4k2 3-4k2≥0， 6-6890且310所以162-640，名s即： 833 所以直线I的斜率k的取值范围是： e(源) 高二年级数学参考答案第3页（共3页）