广东广州市执信中学2026-2027学年第一学期高二数学期中试卷

《2026-2027学年度第一学期高二级数学科期中考试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B A B D A D AC AD 题号 11 答案 ACD 1．B 【分析】解对数不等式化简集合A，进而可得并集. 【详解】由题意可得：， 且，所以. 故选：B. 2．B 【详解】若两直线平行，则，解得或， 当时，两直线的斜率都为，纵截距分别为和，平行； 当时，两直线的斜率都为，纵截距分别为和，平行 所以“”是“”的充分不必要条件. 3．B 【分析】根据双曲线的标准方程及简单的几何性质判断即可. 【详解】因为为双曲线，所以，解得. 此时，双曲线方程可改写为. 对于，分别记，，，焦点在轴上，焦点为. 对于，分别记，，，焦点在轴上，焦点为. 对于A，第一个双曲线顶点为，第二个双曲线顶点为，只有当时，顶点相同，A错误. 对于B，两者焦点均为，B正确. 对于C，第一个双曲线虚轴长为，第二个双曲线虚轴长为2，只有当时，虚轴长相等，C错误. 对于D，第一个双曲线离心率为，第二个双曲线离心率为，只有当时，离心率相等，D错误. 4．A 【详解】因为双曲线的离心率为，可得， 则双曲线的渐近线为， 又因为抛物线的准线为， 可知直线与渐近线的交点为，， 所以三角形的面积. 5．B 【分析】利用正弦定理求，利用余弦定理求，然后结合面积公式可得解. 【详解】由正弦定理和可得， 又，， 所以， 因为，所以， 所以，得，即， 由余弦定理可得，即， 记边上的高为，则由面积公式得，得. 6．D 【分析】先求出侧面水平放置时，水在半圆截面内的横截面积，结合母线长得到水的体积；再将容器翻转，设底面水平放置时水面高度为，根据柱体体积公式列方程求解水面高度. 【详解】半圆柱的母线长度（即半圆柱的高）为，底面是半径的半圆. 水的横截面积（即垂直于半圆柱轴向的截面中，水占据的区域面积）：水面上方空白区域是弓形， 弓形面积扇形的面积的面积. 扇形面积公式：由扇形圆心角，，得； 三角形面积公式：由，，得. 所以弓形面积为. 又半圆面积：， 因此水的横截面积总和为：， 结合半圆柱轴向长度，水的体积为：. 当半圆柱的底面水平放置时，容器变为“底面为半径1的半圆、柱高为”的柱体， 此时水的体积满足：半圆底面面积×水面高h . 半径为1的半圆底面积为，代入体积等式：， 约去后整理得：. 综上，水面高为：. 7．A 【详解】由题得：设周长为 当且仅当M、A、B共线时，周长的最小 点睛：考察椭圆和双曲线的综合，根据题意要得周长得最小值，首先要将周长得表达式写出，根据椭圆和双曲线得性质得AB、BN、AM、AN的关系将其替换到周长中，然后根据三角形两边之和大于第三边得到答案 8．D 【分析】根据三角形面积比得到线段比例关系，结合等腰三角形性质和椭圆定义，利用余弦定理建立的关系求解离心率即可. 【详解】由，得. 因在线段上，，所以. 由，得. 根据椭圆定义，，故， 因此； 则. 因共线，，故. 在等腰中由余弦定理得： . 在中由余弦定理： . 即. 整理得，即，解得或. 又，所以. 9．AC 【详解】设，且，则共轭复数. ，故选项AC正确，B错误； 当时，，故选项D错误. 10．AD 【分析】根据椭圆的定义结合△ABF₂的周长为8的条件，即可求出的值，从而判断选项A；由椭圆中焦点三角形最大面积为，求出最大面积即可判断选项B；分情况考虑直角三角形的顶点，即可判断选项C；先内切圆的面积公式可知最大时，内切圆半径最大，求出内切圆半径；再由正弦定理可得外接圆半径的等量关系，当时，此时外接圆半径最小，求出最小值，即可判断选项D. 【详解】对于A，由题可知，椭圆焦点在轴上，由椭圆的定义可知，， 又，所以的周长为，所以，选项A正确； 对于B，由A知，则椭圆的方程为，即，所以， 因为，所以不存在点，使的面积为2，选项B错误； 对于C，若为直角三角形，当时，存在两个这样的点；当时，存在两个这样的点； 当时，可得的轨迹为以为直径的圆，即，不包括，两点，因为，所以圆与椭圆有四个交点， 即椭圆上存在4个不同的点，使得. 因此，椭圆上存在8个不同的点，使得为直角三角形，选项C错误； 对于D，由的周长为，设内切圆的半径为， 则，所以当最大时，内切圆半径最大， 此时为上顶点或下顶点，，则，解得； 设外接圆的半径为，由正弦定理可得， 由选项C可知，存在点使得，则，此时， 所以内切圆半径的最大值与外接圆半径的最小值的比值为，选项D正确. 11．ACD 【分析】对于A：根据双曲线方程求渐近线即可；对于B：设，结合双曲线方程分析证明；对于C：求点的坐标，结合斜率公式证明线线垂直；对于D：求点的坐标，可得，进而分析求解. 【详解】根据题意，如图所示： 对于A，双曲线的标准形式为，为等轴双曲线，，所以渐近线方程为，故A正确； 对于B，设，满足，，，则，故B错误； 对于C，直线的方程为，令得，所以直线的斜率， ，故，故C正确； 对于D，直线的方程为，令得， 则， 由得，故，即，取值范围为，D正确. 12．/ 【分析】先利用奇函数定义域关于原点对称的性质求得的候选值，再代入验证满足奇函数的定义即可. 【详解】由，解得， 由于奇函数的定义域关于原点对称，因此两个间断点和互为相反数，即，解得， 当时，，定义域为， 而 ，满足奇函数的定义， 故实数的值为. 13．. 【详解】设关于的对称点为， 则，解得，即， 因为，所以反射光线所在直线方程为，即. 14． 【分析】设四个顶点为，根据得到截面方程即可求解. 【详解】建立正四面体的顶点坐标， 设四个顶点为， 每条棱长均为，设动点， ， ， ， ， ， ， 因为， 所以，即所有满足条件的点构成的平面为平面（平面），    而为正方体的顶点（如图所示），且该正方体的中心为原点， 由对称性可得棱交于，棱交于，棱交于，棱交于， 截面四边形的顶点为， 在平面上形成一个菱形，其对角线的长度为，故面积为2. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）先根据三角恒等变换将题干信息转化为，再借助角化边变为，最后用余弦定理可得，用正弦定理即可求出外接圆的半径； （2）将已知数据带入第一问得到的等式，求出，再利用三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）由题知，， 根据正弦定理可得，整理得， 故，又，故. 根据正弦定理可得，外接圆的半径. （2）由（1）知，将代入上式， 得，解得或者（舍）， 故. 16．(1) (2) 【分析】（1）先通过两圆方程作差得到公共弦所在直线方程，再结合点到直线距离公式和弦长公式计算AB长度；（2） 先将转化为点P的轨迹方程，再利用两圆有公共点的圆心距条件求解a的取值范围. 【详解】（1）当时，圆M：，即圆M：， 圆和圆相交于，，将两圆方程作差消去二次项，得公共弦AB所在直线方程为， 圆的圆心为，半径，故圆心到直线AB的距离为 ， 由弦长公式得. （2）设点，由，得 ， 两边平方得 ，整理得点P的轨迹方程为， 即轨迹为以为圆心，半径的圆， 由题意圆M与上述轨迹圆有公共点，圆M的圆心为，半径，故圆心距满足 ，即，两边平方得， 对，化简为，其判别式，故该不等式对任意实数a恒成立； 对，化简为，解得； 综上，实数a的取值范围为 17．(1)证明： 在三棱柱中，， 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面平面， 所以， 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以， 因此，四边形为平行四边形． (2)存在点使得直线与平面所成的角为，且，理由如下： 因为平面，平面，平面 所以，，所以以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴， 建立如下图所示的空间直角坐标系， 由题意得，，，，，． 因为为中点，所以， ，，，，， 设，，则，所以， 设平面的法向量，则，令，得， 设直线与平面所成角为， 于是得，解得或（舍去） 当时，，即点与点重合． 18．(1)． (2)（ⅰ）;（ⅱ）． 【分析】（1）利用离心率的公式得到的等式，由在椭圆上得到的等式，结合计算得到，，从而得到椭圆的方程． （2）（ⅰ）根据题意设直线的方程为，此直线和椭圆联立方程组，消去得到关于的一元二次方程，则，设，，利用韦达定理求出，，求出.（ⅱ）由结合（ⅰ）的计算结果求出，从而得到，，由结合的值求出，利用三角形的面积公式求出，，计算，利用基本不等式求出的最大值． 【详解】（1）因为椭圆：（）的离心率为， 所以，化简得①， 因为在椭圆上，所以②， 联立①②解得，，故椭圆的方程为． （2）（ⅰ）过轴上的一点（）作直线交椭圆于，两点（异于点，）， 设直线的方程为， 则联立，消去得， 其中，即， 设，，则，， 则 . （ⅱ）因为， 所以由（ⅰ）可得， 解得，即， 则，， 因为，，所以，解得， 记的面积为，的面积为， 则，， 则， 令，则， 则，当且仅当，即时等号成立． 则的最大值为． 19．(1)不存在，理由： 假设存在定义域为的函数， 使得是的“关联函数”， 由定义可得， 取，则 ，矛盾， 故不存在这样的函数； (2) (3) 【分析】（1）根据关联函数定义，若存在，则应有．取即可得到矛盾． （2）由的偶性和周期性，先确定时，从而．再分析方程在各区间内的解的个数，确定第22个解的位置． （3）由两个关联关系推出与零点相同，于是只需求的解．再按分类讨论即可． 【详解】（1）略 （2）当时，因为是周期为的偶函数，且当时，，所以． 因为是的“关联函数”，所以． 由，得．当时，． 令，得，所以或． 当时，，所以，故方程无解． 当时，在区间内，方程有4个解， 分别为 因此，在内有2个解；之后每经过一个形如的区间，会增加4个解． 要至少有22个解，除开始的2个解外，还需增加20个解，即需要5个这样的区间， 第22个解为，故的最小值为． （3）由题意，存在函数及，使得且 若，由可得； 若，由可得． 因此与的零点相同． 所以求方程的解，等价于求方程的解． 当时，， 令，得 因为，所以. 当时，，于是 因为，所以. 因为，所以，从而 故时，方程无解． 综上，方程的解为 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期 高二级数学科期中考试卷 命题人：陈少婉 审题人：肖艳茹 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1.开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、考号等相关信息填写在答题卡指定区域内。 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．若：与：是两条不同的直线，则“”是“”的（     ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．双曲线与双曲线的（    ） A．顶点相同 B．焦点相同 C．虚轴长相等 D．离心率相等 4．已知抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，点为坐标原点，若双曲线的离心率为2，则三角形的面积（    ） A． B． C． D． 5．在中，角所对的边分别为，，，则边上的高为（    ） A． B．1 C． D．2 6．一个半圆柱容器中盛有水，半圆柱的高，底面半径，若侧面水平放置时（如图），水面恰好没过线段CD，此时，那么当底面ABCD水平放置时，水面高为（     ） A． B． C． D． 7．有一凸透镜其剖面图（如图）是由椭圆和双曲线的实线部分组成，已知两曲线有共同焦点M、N；A、B分别在左右两部分实线上运动，则周长的最小值为 A． B． C． D． 8．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率不为0的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设复数的共轭复数为，若为虚数，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知椭圆C的方程是，P为椭圆C上任意一点，分别为椭圆的左、右焦点，过点且斜率不为0的直线与椭圆C交于A，B两点，的周长为8，则下列说法正确的是（    ） A． B．存在点P，使得的面积为2 C．椭圆C上只存在4个不同的点P，使得为直角三角形 D．内切圆半径的最大值与外接圆半径的最小值的比值为 11．已知点，分别为双曲线：（）的左，右顶点，点为上异于，的动点，直线，与轴的两个交点分别为，，下列结论正确的是（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．直线，的斜率之积为2 C．是直角三角形 D．的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知为奇函数，则实数________． 13．已知光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程为________． 14．已知正四面体的棱长为，动点P满足，用所有这样的点P构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知中，，且． (1)求外接圆的半径； (2)若，求的面积． 16．（15分）已知点，为坐标原点，圆：． (1)当时，已知圆和圆相交于，两点，求线段的长度； (2)若圆上存在点使得，求实数的取值范围． 17．（15分）如图，三棱柱中，平面，，．过的平面交于点，交棱于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)是否存在点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18．（17分）已知椭圆：（）的离心率为，且经过点． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左，右顶点分别为，，过轴上的一点（）作直线交椭圆于，两点（异于点，）．设直线斜率为，直线斜率为． （ⅰ）求（用表示）； （ⅱ）若，记的面积为，的面积为，求的最大值． 19．（17分）对于函数和，若存在函数，使得，则称是的“关联函数”. (1)已知，，是否存在定义域为的函数，使得是的“关联函数”?并说明理由； (2)已知是周期为2π的偶函数，且当时，.函数是的“关联函数”，若方程在上至少有22个根，求的最小值； (3)已知函数和的定义域都为.当时，.若存在函数及，使得是的“关联函数”，且是的“关联函数”，求方程的解. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $