精品解析：上海师范大学附属外国语中学2026-2027学年高三上学期期中考试数学试卷

上海师范大学附属外国语中学 高三数学期中卷 （满分150分，完卷时间120分钟） 2026.11 考生注意： 1.本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分. 2.答题前，务必在答题纸上填写学校、班级、姓名和考号. 3.答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法即可得解. 【详解】解：由，得， 则，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 2. 若事件、互斥，且、，则________ 【答案】 ## 【解析】 【详解】因为事件、互斥， 所以，又，， 所以. 3. 与向量共线同向的单位向量是________ 【答案】 【解析】 【分析】首先计算出，然后根据单位向量等于进行求解即可. 【详解】已知，， 则向量的单位向量是. 4. 若(是虚数单位)是方程，的一个根，则________ 【答案】 【解析】 【详解】因为，实系数一元二次方程的虚根成对出现，已知一个根为，则另一个根为， 由韦达定理：，计算得：， ，计算得， 于是. 5. 已知双曲线的一条渐近线方程是，则实数________ 【答案】 【解析】 【详解】因为表示双曲线，所以. 由，得， 所以该双曲线的渐近线方程为． 又已知其中一条渐近线是，所以，即． 6. 已知数列前项的和，且满足，，，则________ 【答案】 【解析】 【分析】由递推关系判定数列为等差数列，结合等差数列前n项和性质求出首项，再利用等差数列通项公式计算目标项的值. 【详解】∵，，∴，因此数列是公差的等差数列. ∵，∴. ∴. 7. 设，若，则________ 【答案】 【解析】 【详解】由二项式定理，的通项公式为， ， 令，得， 是的系数，即， 已知，代入得， ，， ，所以. 8. 有6名男运动员，4名女运动员，其中男、女队长各1名，选派4人外出比赛，既要有队长，又要有男运动员，选派方法有________种 【答案】 139 【解析】 【分析】分类讨论男女队长的个数即可求解． 【详解】只有男队长，没有女队长：种； 只有女队长，没有男队长：种； 男、女队长都选：种； 综上，共有种． 9. 设函数，若有且只有一个，使得函数取得最小值，则的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】首先根据已知条件求解函数的解析式，然后根据可得，进而依据题意可得，求解可得的取值范围. 【详解】已知，则， 当时，， 依题意需使，解得：， 则的取值范围是. 10. 设，直线：，点在曲线上，点在直线上，则的最小值为________ 【答案】 【解析】 【分析】先将曲线方程转化为上半圆的标准形式，结合图形，利用圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离减去半径，即可求得的最小值. 【详解】由，可得，，即，，故， 将等式变形为，得（），所以曲线是圆心为、半径的上半圆， 圆心到直线的距离为 ， 如图，点在曲线上，点在直线上，则的最小值为. 所以的最小值为. 11. 若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______. 【答案】16； 【解析】 【详解】依题意，为偶函数， 展开式中的系数为，故，的系数为，故，令，得，由对称轴为-2可知，将该式分解为，可知其在和处取到最大值，带入，可知最大值为16. 【考点定位】本题考查函数的性质，考查学生的化归与转化能力以及基本运算能力. 12. 已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】令，得到，问题转化为直线与的图象只有一个交点，分，与两种情况，画出函数图象，数形结合得到答案. 【详解】令，则方程等价为， 当时，的解为或，当有1个解，当有无数个解（），原方程有无数个实根，不符合题意； 当时，仅有解为，原方程等价于， 若，作出的图象如图，则直线与的图象只有一个交点，满足条件， 若，作出的图象如图，要使直线与的图象只有一个交点， 则需，解得， 综上，或，即实数的取值范围是． 二、选择题（13-14题每题4分，15-16每题5分，共18分） 13. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将根式转化为分数指数幂形式，结合同底数幂的乘法运算法则化简，匹配对应选项即可. 【详解】，故D正确. 14. 已知a，R，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】“”能推出“”，举出反例可得充分性不成立，得到答案 【详解】若，则，从而，即“”能推出“”； 反之，取，，满足，但不满足． 故“”是“”的必要不充分条件． 15. 一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移s与时间t的关系是，那么速度为零的时刻是（ ） A. 1秒末 B. 2秒末 C. 3秒末 D. 2秒末或3秒末 【答案】D 【解析】 【分析】求出导数，然后解方程可得． 【详解】∵，∴. 令，得，解得或. 故选：D. 16. 已知符号函数sgnxf（x）是定义在R上的减函数，g（x）＝f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（ ） A. sgn[g（x）]＝sgn x B. sgn[g（x）]＝﹣sgnx C. sgn[g（x）]＝sgn[f（x）] D. sgn[g（x）]＝﹣sgn[f（x）] 【答案】A 【解析】 【分析】根据符号函数的解析式，结合f（x）的单调性分析即可得解. 【详解】根据题意，g（x）＝f（x）﹣f（ax），而f（x）是R上的减函数， 当x＞0时，x＜ax，则有f（x）＞f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＞0，此时sgn[g （ x）]＝1， 当x＝0时，x＝ax，则有f（x）＝f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＝0，此时sgn[g （ x）]＝0， 当x＜0时，x＞ax，则有f（x）＜f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＜0，此时sgn[g （ x）]＝﹣1， 综合有：sgn[g （ x）]＝sgn（x）； 故选：A． 【点睛】此题考查函数新定义问题，涉及函数单调性辨析，关键在于读懂定义，根据自变量的取值范围分类讨论. 三、解答题（14+14+14+18+18=78分） 17. 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面，且. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明: 因为四边形是正方形，所以， 又平面 ，平面， 所以平面， 因为四边形是梯形，所以， 又平面 ，平面， 所以平面， 又，平面， 故平面平面， 又因为平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先利用正方形和梯形的性质证明线面平行，然后再根据线面平行证明面面平行即可； （2）根据题意建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关的向量，然后求出平面的一个法向量，利用向量法求出点到平面的距离. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为，平面，平面， 所以，即两两垂直， 故以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.   则有，，，， 所以 ，， 设平面的一个法向量，则有 令，则，所以， 所以点到平面的距离 所以点到平面的距离为. 18. 为了解学生使用图书馆情况，某高中按年级进行分层抽样抽取100名学生，以他们一周使用图书馆的时间（单位：小时）作为样本，调查发现样本中的数据均小于5，这100个数据在各区间内的频数记录如下表（、、、、均为自然数）： 使用时间 高一 5 12 3 2 高二 6 16 5 3 4 高三 4 （1）已知该高中三个年级一共有500名学生，其中高一年级有150名学生，求的值； （2）用区间的中点值给区间内每个数据赋值，估计高二年级学生一周使用图书馆的平均时间； （3）现从样本中任意抽取1个数据，记事件为“抽到的数据是高二学生的”，记事件为“抽到的数据在”，判断事件和事件是否独立，并说明理由． 【答案】（1） （2）小时 （3）事件与事件不独立，理由如下： 由题意，，且， 因，则， 所以事件与事件不独立. 【解析】 【小问1详解】 由题意，所抽取的100名学生中高一学生人数为人， 所以，可得； 【小问2详解】 由题意，高二年级学生一周使用图书馆的平均时间为小时； 【小问3详解】 略 19. 设. （1）解不等式; （2）设，若存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因，则， 故， 即，解得， 故原不等式的解集为. 【小问2详解】 因， 由，可得为奇函数. 又，因，，则 故在上单调递增. 故存在使得等价于存在使得， 等价于存在使得， 即存在使得， 因，， 则当时，取得最小值，故得. 故实数的取值范围是. 20. 已知椭圆的焦点在轴上，焦距和短轴长都是2. （1）求椭圆的标准方程； （2）点是椭圆的右顶点，定点在轴上，若点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，求实数的取值范围； （3）已知为常数，过右焦点且法向量为的直线交椭圆于、两点，若椭圆上存在点满足，求的最大值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）设椭圆方程为，由条件列方程求即可； （2）设，求出，根据二次函数在给定区间上的最值要求列不等式求解； （3）设直线的方程为，与椭圆联立，写出韦达定理，再根据求出的坐标，代入椭圆方程，利用韦达定理计算，利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 因为椭圆的焦点在轴上，故可设椭圆方程为， 由已知 ，， 所以，，， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 设，则，， 则， 所以，， 要时取最小值，则必有， 所以， 所以实数的取值范围； 【小问3详解】 设过点且法向量为的直线的方程为，， 联立，消去得， 则， 则， ， 又， 又点在椭圆上，则， 所以， 即， 所以， 所以， 所以， 即的最大值为. 21. 已知函数的导函数为，若函数的定义域为，且不等式对任意成立，则称函数是“超导函数”. （1）判断是否为“超导函数”，并说明理由； （2）若函数与都是“超导函数”，且对任意，都有，，记，求证：函数是“超导函数”； （3）已知函数是“超导函数”且，若有且仅有一个实数满足，求的取值范围. 【答案】（1）是，理由： 函数，求导得，则， 所以是“超导函数”. （2） 函数，求导得， 则， 由函数与都是“超导函数”，得， 由对任意，都有，，得， 因此，即， 所以函数是“超导函数”. （3）或. 【解析】 【分析】（1）求出导数，再利用“超导函数”定义判断即可. （2）求出的导数，作差变形，利用“超导函数”定义推理判断符号即得. （3）构造函数，利用“超导函数”定义确定单调性可得，再构造函数，利用导数求出函数值集合，结合已知求出范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由函数是“超导函数”，得对任意，， 令，求导得，函数在上单调递减，且， 由，得，即， 因此，即，令， 由有且仅有一个实数满足，得直线与函数的图象有且只有1个交点， ，当时，；当时，， 函数在上单调递增，函数值的集合为，在上单调递减，函数值的集合为， 因此当或时，直线与函数的图象有且只有1个交点， 所以的取值范围或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海师范大学附属外国语中学 高三数学期中卷 （满分150分，完卷时间120分钟） 2026.11 考生注意： 1.本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分. 2.答题前，务必在答题纸上填写学校、班级、姓名和考号. 3.答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 不等式的解集为______． 2. 若事件、互斥，且、，则________ 3. 与向量共线同向的单位向量是________ 4. 若(是虚数单位)是方程，的一个根，则________ 5. 已知双曲线的一条渐近线方程是，则实数________ 6. 已知数列前项的和，且满足，，，则________ 7. 设，若，则________ 8. 有6名男运动员，4名女运动员，其中男、女队长各1名，选派4人外出比赛，既要有队长，又要有男运动员，选派方法有________种 9. 设函数，若有且只有一个，使得函数取得最小值，则的取值范围是________ 10. 设，直线：，点在曲线上，点在直线上，则的最小值为________ 11. 若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______. 12. 已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是________ 二、选择题（13-14题每题4分，15-16每题5分，共18分） 13. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 14. 已知a，R，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移s与时间t的关系是，那么速度为零的时刻是（ ） A. 1秒末 B. 2秒末 C. 3秒末 D. 2秒末或3秒末 16. 已知符号函数sgnxf（x）是定义在R上的减函数，g（x）＝f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（ ） A. sgn[g（x）]＝sgn x B. sgn[g（x）]＝﹣sgnx C. sgn[g（x）]＝sgn[f（x）] D. sgn[g（x）]＝﹣sgn[f（x）] 三、解答题（14+14+14+18+18=78分） 17. 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面，且. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 18. 为了解学生使用图书馆情况，某高中按年级进行分层抽样抽取100名学生，以他们一周使用图书馆的时间（单位：小时）作为样本，调查发现样本中的数据均小于5，这100个数据在各区间内的频数记录如下表（、、、、均为自然数）： 使用时间 高一 5 12 3 2 高二 6 16 5 3 4 高三 4 （1）已知该高中三个年级一共有500名学生，其中高一年级有150名学生，求的值； （2）用区间的中点值给区间内每个数据赋值，估计高二年级学生一周使用图书馆的平均时间； （3）现从样本中任意抽取1个数据，记事件为“抽到的数据是高二学生的”，记事件为“抽到的数据在”，判断事件和事件是否独立，并说明理由． 19. 设. （1）解不等式; （2）设，若存在，使得，求实数的取值范围. 20. 已知椭圆的焦点在轴上，焦距和短轴长都是2. （1）求椭圆的标准方程； （2）点是椭圆的右顶点，定点在轴上，若点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，求实数的取值范围； （3）已知为常数，过右焦点且法向量为的直线交椭圆于、两点，若椭圆上存在点满足，求的最大值. 21. 已知函数的导函数为，若函数的定义域为，且不等式对任意成立，则称函数是“超导函数”. （1）判断是否为“超导函数”，并说明理由； （2）若函数与都是“超导函数”，且对任意，都有，，记，求证：函数是“超导函数”； （3）已知函数是“超导函数”且，若有且仅有一个实数满足，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $